浙江省衢州市2023-2024學年高一上學期1月期末教學質量檢測試題數學

姓名：班級：考號：

題號——四總分

評分

一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求的.

1.已知集合4={-1,0,1},B={-2,-1,2},則4UB=()

A.{-1}B.{-1,0,1,2}

C.{-2,—1,192)D.{-2,-1,0,1,2)

2."Inx<0”是“x<1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數/(%)=x3(aex—e-)為偶函數，貝Ua=()

A.-1B.0C.1D.e

1

4西-()

sin20°cos20°

A.-4B.-2C.2D.4

7T

5.已知a,0e(0,2),且cos(a+0)-=稱,sina=貝UcosS=()

近

AB.2V5c2V5口11左

525?虧,

、，11

比t,[(%)=.汽+在+8)的圖象如圖所不，則曲線

6.函數/(%)=X2,g(%)=%3,/l(x)=e1[1,

a,b,c,d對應的函數分別為()

A.h(x),/(%),t(x),gQ)B.t(x),/(%),g(x)

C.h(x),t(x),g(X),/(%)D.t(x),h(x),/(%),g(x)

7.根據氣象部門提醒，在距離某基地正北方向588km處的熱帶風暴中心正以21km"的速度沿南偏東45。方向

移動，距離風暴中心441km以內的地區都將受到影響，則該基地受熱帶風暴中心影響的時長為()

1

c.(14A/2-7)/1D.(14V2+7)/i

8.已知實數x,y滿足久+log2久=4,y+4y-貝Ux+2y=()

A.2B.2V2C.3D.2V3

二'多選題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目

的要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知函數fO)=sin(2久+9,貝!J()

A.函數/(%)的最小正周期為兀

B.函數/(久)的圖象關于直線％=-1對稱

C.函數/(%)在區間(%今上單調遞減

D.函數/(%)的圖象可由y=s譏2%的圖象向左平移與個單位長度得到()

10.已知。>0,b>0,a+b=3ab9貝1J()

4284

7Bb7>+4b>3

^->-+-<-ca+D--a-

A.993D.

11.已知函數/(久)的定義域為R,對任意久,yER，都有2f(x+y)=/(久)/(y),當x>0時，“久)>2,則

()

A.f(0)=2B./(x)為奇函數

C./(%)的值域為(0,+oo)D./(久)在R上單調遞增

(2x+1—1,x<0

12.已知函數/'(久)=<'—，g(x)=f(x)-m,貝IJ()

I\lgx\,x>0

A.若函數y=g(久)有3個零點，則me(0,1)

B.函數y=/，(久)］有3個零點

C.3mER,使得函數丫=/［g。)］有6個零點

D.WmeR,函數y=g［/(%)］的零點個數都不為4

三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.

13.tanl25°sin22300(填“>”或“<”).

1

14-(-給*+0.2°+2sg23=------------

O

2

2

15.已知函數〃%)=包毀詈Q_的最大值為M,最小值為m,則M+m=.

16.已知％0為2為方程/一［五第一tern(:+/?)］久+J=。的兩個實數根，且3e(0,分x2=3x2,則tana

的最大值為.

四'解答題：本題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知集合U=R,71={x|l-a<x<l+2a},F={%I%2+%-2<0}.

(1)若a=1,求4n(C03)；

(2)若ZUB=4求實數a的取值范圍.

18.在平面直角坐標系中，角a的頂點與原點。重合，始邊與工軸的非負半軸重合，且cosa=-1,終邊上有兩

點4(—19CL)9B(—2,b).

(1)求I。-口的值；

(2)若ae(0,兀)，求cosg舒(1+s,2a)的值.

sina+cosa

19.某汽車公司生產某品牌汽車的固定成本為48億元，每生產1萬臺汽車還需投入2億元，設該公司一年內

(10一條，0<%<50,

共生產該品牌汽車％萬臺并全部銷售完，每萬臺的銷售額為RQ)億元，且R(x)={3947200

(1)寫出年利潤〃(億元)關于年產量x(萬臺)的函數解析式;

(2)當年產量為多少萬臺時，該公司在該品牌汽車的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.

3

20.函數f(%)=2cos(a)x+p)(3>0,0<^<引77"的部分圖象如圖所示.

(1)求函數/(%)的解析式；

(2)求函數g(%)=f(x-1)/(x+*)在［0,勺上的值域.

(%2+TTX+2,x<0,

21.已知函數/(%)=<2

%+-,%>0.

kx

(1)若函數y=/(%)的值域為R,求實數a的取值范圍；

(2)若不等式/(%)2弓久+可在R上恒成立，求實數a的取值范圍.

22.已知函數f(%)=x2+ax+b(a,bGR).

(1)若9(x)=㈤在區間(-1，2)上單調遞增，求a的取值范圍；

111

(2)若b>0,關于％的方程/(%2+2%—1)=0有四個不同的實數根％1，%2，％3，x49滿足弓+5+可+

求高+4b的最小值.

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：因為集合2={-1,0,1},B={—2,-1,2],所以AUB={—2,-1,0,1,2).

故答案為：D.

【分析】利用集合的并集運算求解即可.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：解不等式Inx<0,可得0<%<1,故“仇x<0”是“久<1”的充分不必要條件.

故答案為：A.

【分析】先解不等式，再根據充分、必要條件判斷即可.

3.【答案】C

【解析】【解答】解：因為函數/(%)為偶函數,所以/(-久)=(—x)3(ae~x-ex)=f(x)=x3(aex—e~x),

即一久3(Qer—e%)=x3(aex—e~x),BP%3(aex—ex+ae~x—e~x)-0,

Sflx3(a-l)(ex+e-x)=0,因為%3(^+e^)不恒為0,所以a—1=0,所以a=1.

故答案為：C.

【分析】根據偶函數的定義直接計算即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：點。-1。ecos2,-s譏=2(三8s2。-zsm2。)=2sin(60°-2。°)=1

sin20°cos20°sin20°cos20°|x2sin20°cos20°暴出40°

故答案為：D.

【分析】逆用正弦的二倍角公式以及兩角差的正弦公式化簡求解即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：因為a,/?6(0,今，所以a+，6(0,兀)，

又因為cos(a+/?)=1,sina=*，

所以sin(a+S)=告，cosa=V1—sin2a=

貝Ucos.=cos[(a+3)—a]=cos(a+￡)cosa+sin(a+/?)sina=|x+得x*=

故答案為：C.

【分析】根據同角三角函數基本關系，結合兩角差的余弦公式進行求解即可.

6.【答案】B

11

【解析】【解答】解：取x=e,則〃e)=e2,g(e)=e3,h(e)=e6-1,t(e)=21

因為%(e)=e6-1>2,t(e)=2,2>A>A'

6

所以曲線a,b,c,d對應的函數分別為無（久），tQ）,f（x）>g（%）?

故答案為：B.

【分析】取特值進行判斷即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標系，設|。圖=\0G\=441,OF1EG,

由題意，易知|0F|=?x588=294魚，貝U|GF|=yJ\OG\2-\0F\2=421609=147,

所以該基地受熱帶風暴中心影響的時長：?=皆=14.

故答案為：B.

【分析】建立如圖所示平面直角坐標系，解三角形即可求解.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：由丫+獷=方可得2y+2-22〃=3,則（2丫+1）+2?22曠=4,

可得Iog222y+1+22V+1=4,因為函數/?（￡）=%+10g2久在定義域上單調遞增，

又因為x+/。如久=4,所以％=229+1,解得2y+1=log2久，BP2y=log2x—1

所以尤+2y=x+log2x-1=4—1=3.

故答案為：C.

【分析】根據題意，由y+4y=|,可得1哂22>1+22V+1=4,結合函數=%+10g2%的的單調性，得到

2y+1

x=2,求得2y=log2x—1,代入求解即可.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、函數/（x）=s譏（2支+芻的最小正周期為r=手=兀，故A正確；

B、由2久+可=2+kn,kEZ,解得％=+kn,kEZ,

則久=-看不是函數"%）的對稱軸，故B錯誤；

C、由今+2時42%+髀爭+2Mr,keZ得"%）=s譏（2］+芻的所有單調遞減區間為

［今+kn,+kn\,kWZ,當k=0時,?,Q［今,?故C正確；

7

D、y=sm2久的圖象向左平移看個單位長度得到"%)的圖象，故D錯誤.

故答案為：AC.

【分析】根據函數的最小正周期公式判斷A；求函數〃%)的對稱軸即可判斷B；通過求出所有單調區間即可判

斷C；根據三角函數圖象平移公式即可判斷D.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、因為a>0,b>0,所以3ab=a+b>2y[ab=ab2《，

當且僅當a=b=|時等號成立，故A錯誤；

B、當a=/,b=l時，a+b=3ab成立，但02+廬端不成立，故B錯誤；

C、因為a>0,b>0,所以a+b=3abW3(竽j,解得a+b?J

當且僅當a=b=|時等號成立，故C正確；

-11

D、因為a>0,b>0,所以a+b=■—=3,

ba

所以a+4b=鼻+｝缶+曲)巖(5+桿當日(5+2后平)=3，

當且僅當建"即a=《，b=馴等號成立，故D正確.

ba33

故答案為：ACD.

【分析】利用基本不等式逐項判斷即可.

n.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：對任意％,yER,都有2/(x+y)=/(%)f(y),

令久=y=o,得2/(0)=。2(0),解得f(0)=0或f(0)=2,

令％=Ly=o,得2/(1)=/(1)/(0),

因為當x>0時，/(%)>2,所以/(1)>2,

顯然由2f(1)="l)f(0)=〃0)>0,因此/(0)=2,故A正確;

因為-0)=2,所以函數/(%)不可能為奇函數，故B錯誤；

再令y=-x,所以有2/(0)=/(x)/(-x)=/(x)f(-x)=4>0,

4

當久<0時，所以一支>0時，可得/(%)/(—久)=4=>f(x)—/(_萬)C(0,2),

而f(0)=2,所以"%)的值域為(0,+00),故C正確;

設血cR,x1<x2,顯然％2一久1>°，即有/'(冷一%1)>2成立,

因為2/(x+y)=f(x)/(y),

8

1

所以由/(%2—%1)>2=*/(%2)/(—%1)>2,而/。)/(—')=4,

所以由(%2)/(-％1)>2=>；/(%2),/當)>2=>1,

因為fO)的值域為(0,+00),所以/'(%)>00/(久1)>0,

因此由密>1=/(%2)>"%1)，即〃久)在R上單調遞增，故D正確.

故答案為：ACD.

【分析】取值利用代入法，結合函數的奇函數、單調性的定義逐項判斷即可.

12.【答案】B,D

【解析】【解答】解：函數“功的圖象如下圖所示：

A、令g(%)=/(%)-TH=0,即函數/(%)與直線y=TH有三個不同的交點，由圖象可知,

me(0,1],故A錯誤；

B、由函數的圖象可知：/(%)>-1,令y=/[/(%)]=0,可解/(%)=1,/(%)=一1舍去,

當/(%)=1時，由圖象可知有三個實數解，故B正確；

C、當函數y=f[g(%)]有6個零點時,此時有g(%)=—Lg(%)=1，

當g(%)=—1時，即/(%)—m=—1=>/(%)=m—1,

當9(%)=1時，/(%)-m=1=>f(x)=m+1,

由圖象可知，函數/(%)與直線y二機最多有三個不同的交點，

因此要使函數y=/[g(%)]有6個零點,則有｛:d；建;nme。，故C錯誤；

D、由y==/[/(%)]-m=0=>/[/(%)]=m,

令f(x)=t,則f(t)=m,

當Tn>1時，即/(t)=m>1=>t>1或0<t<1,

當t>l時，/(%)=t有兩個不同的實根，

當01時，/(x)=t有三個不同的實根

所以此時函數y=有五個零點，

當Tn=1時，/(t)=m=l=>t=0,或t>1,或0<t<1,

由圖象可知此時時函數y=(%)]一共有七個零點，

當0＜租＜1時，o＜/(t)v1=te(-1,0),或te(0,1),或

9

由圖象可知函數y=(久)］此時一共有6個零點，

當m=0時，/(t)=0nt=—1,或t=1,

由圖象可知函數y=g［/(久)］此時一共有3個零點，

當m<0時，f(t)=m=>t<-1,即y(久)<一1,此時不等式的解集為空集，

綜上所述：VmCR,函數y=g，Q)］的零點個數都不為4,故D正確.

故答案為：BD.

【分析】根據指數函數和對數函數的圖象性質，結合函數零點的定義逐項判斷即可.

13.【答案】>

【解析】【解答】解：因為125。位于第二象限，所以tanl25o<0；223。位于第三象限，所以sin223。<0,

所以tanl25°sin223°>0.

故答案為：>.

【分析】根據各象限三角函數的符號判斷即可.

14.【答案】|

1I

【解析】【解答】解：(—給3+0,2。+2吟=［(-|)T+l+3=-|+4=|.

故答案為：

【分析】利用指數、對數的運算性質求解即可.

15.【答案】2

2

【解析】【解答】解：原函數變形可得/(%)=sin*+l)=1+sin產2x,

人IX人I.L

令g(x)=/(%)—1=當譽，易知久久)定義域為R,且滿足g(—久)+9(%)=皿罄2+當手=0,即

9。)為奇函數，

故/COmax-1=g(%)max=M-1,/(X)min-1=g(%)min=一一1，由奇函數的對稱性質可知g(%)min+

9(久)max=0nM+m=2.

故答案為：2.

【分析】先將函數八支)變形，再構造函數利用奇偶性計算即可.

16.【答案】12V2

【解析】【解答】解：因為久1，相為方程/—［嬴—切忌帝］久+1=0的兩個實數根，久1=3到，

_2Gi=V2(x1=-V2

由韋達定理可得：久接2=。解得|々，或岳

X1=3%2--3-=一至

10

%i=-V2

11嬴<tan(1a+￡)'

若后則tan^tan(a+P)<0即

X2=~T

TT

因為a,0e(0,力，故a+0e(0,兀)，

7T11

若a+6>2,則tan(a+0)<O,砌<血口+仍不成山

若°<a+0<號則tm(a+0)>tan/?,故患〉麗看仍，

V2

」<____1____X1

故tanp不成立，故

%2

11

所以丫+r-_4々川11-tanatan/?_472

所以/+x2-砌-tan(a+^~—>劃砌—tana+ta遭一丁

貝1Jtana+tan/3—(1—tancrtan^)tan^=(tana+tan，)-tan0，

化簡可得(tana—耳與tan2s—^^tanatan/?+tana=0，由方程有解可知：4=等tan2a—4tana(tana—

>0,

即tan2a—12V2tana<0,解得0<tana<12V2,所以tana的最大值為12V

故答案為：12e.

2=V2

11

%1%23,解得?,竽，化簡

【分析】根據題意，結合韋達定理可得72由％1+%2tanptcm(a+S)一

血=3%2%2=百

為關于tan￡的一元二次方程，根據方程有解，利用判別式計算即可求解.

17.【答案】（1）解：由題意得8=[—2,1]

若a=1,則4=[0,3],CyB-(—00,—2)U(1,+oo),

所以an(QB)=(1,3]

(2)解：由/UB=4知BUZ,

所以｛:蒿J,得a23

【解析】【分析】（1）解不等式求得集合B,將a=1代入求得集合A,再根據集合的補集、交集運算求解即

可;

（2）由4UB=A可知BU4根據集合的關系列式求解即可.

18.【答案】⑴解：法一:因為c°sa=—|,所以由"士亭

所以JZ坐彳當=|tana|=器

-1_2—22

cosa=cosa==

法二：因為2-3,^TT~3,所以尻=5,易知a,b同號,

Ja+1[b'+44

11

所以|Q—川=卓

(2)解：因為aE(0,兀)，所以sizia=亭，

所以cos(a-$)(l+sin2a)=sina(l+sin2a)

sina+cosa-sina+cosa

=sina(sina+cosa)=

5-2/5

9

【解析】【分析】(1)法一：根據已知條件，利用任意角正切三角函數值公式計算即可；法二：利用任意角的

三角函數的定義計算即可；

(2)利用誘導公式、同角三角函數的基本關系以及正弦的二倍角公式化簡求值即可.

11

19.【答案】⑴解：當0<%<50,W=(10-^x)%-2%-48=-^x2+8x-48,

4皿_,3947200、_,7200.

=％>50,W=-----2~—Q2%—4/8o=346—(2.xH———),

f—%之+8%—48,0<汽<50,

所以卬=7200

(346-(2久+型為，%>50

(2)解：當0<xM50,W=-^%2+8%—48,當％=40時，勿最大，最大利潤為W(40)=112；

當久>50,卬=346—(2支+必犯)，當2%=磔^時，即久=60時，2久+烏生最小為240,

vX7XX

此時卬最大為106,

因為106<112,所以當年產量為40萬臺時，該公司在該品牌汽車的生產中所獲得的利潤最大，

最大利潤為112億元

【解析】【分析】(1)根據已知條件，結合產量支的不同取值分類討論進行求解即可；

(2)由(1)的結論，根據二次函數的性質和基本不等式分別求最大值，再比較求利潤的最大值即可.

20.【答案】(1)解：設〃%)的周期為T,區間［0,咨］為/(%)的G+3T=|T，

畔?濟冬一。…2,

由f(0)=V3,則2cos0=6n<p=卷

TT

所以/(%)=2cos(2%+&)

(2)解：g(%)=f(x—.)?/(%+分=4cos(2%—金).cos(2x+普)

57r7T571

g(x)=2cos(2%+~2)cos(2x+]?)

12

5兀57r5兀

=4si7i(2x+.二)?cos(2.x+.r)—2si?i(4xH—7-)

IzINo

因為久e[0,第，所以知+胄,

貝iJs譏(4久+等)e[―1,芻，故g(x)的值域為[-2,1]

【解析】【分析】(1)根據余弦型函數的圖象，結合余弦型函數的周期計算公式以及特殊點進行求解即可;

(2)根據正弦二倍角公式，結合余弦型函數的最值性質進行求解即可.

21.【答案】(1)解：當久e(—8,o]時，f(%)e[|j,+oo),

由/(X)的值域為R知a<0

⑵解：先考慮/(%)>|i%+磯對％6(0,+8)恒成立.

①若a<o,則當％e(o,V^)時，/(%)<0,不滿足

②若a=0,/(x)=x>1對％E(0,+8)恒成立，滿足

右a>0,f(%)N|2%+a|--^x+a=x+——a之0對％e(0,+8)恒成上

令9(%)=；%+三一a，％e(0，+oo),則只需g(%)疝