1/12022北京燕山初三一模數學2022.4考生須知：1.本試卷共8頁，共三道大題，28道小題．滿分100分．考試試卷120分鐘．2.在試卷和草稿紙上準確填寫姓名、準考證號、考場號和座位號．3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4.在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5.考試結束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下圖是某幾何體三視圖，該幾何體是（）A.圓錐 B.圓柱 C.三棱錐 D.長方體2.小云同學在“百度”搜索引擎中輸入“北京2022冬奧會”，能找到相關結果約為42500000個，將42500000用科學記數法表示應為（）A. B. C. D.3.如圖，直線，交于點O．射線平分，若，則等于（）

A. B. C. D.4.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.5.實數a，b，c，d在數軸上對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A. B. C. D.6.如圖，有5張形狀、大小、質地均相同的卡片，正面分別印有北京冬奧會的會徽、吉祥物（冰墩墩）、主題口號和獎牌等四種不同的圖案，背面完全相同．現將這5張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面圖案恰好是獎牌的概率是（）A. B. C. D.7.已知，，，．若n為整數且，則n的值為（）A.43 B.44 C.45 D.468.線段．動點以每秒1個單位長度的速度從點出發，沿線段運動至點B，以線段為邊作正方形，線段長為半徑作圓．設點的運動時間為t，正方形周長為y，的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數關系分別是（）A.正比例函數關系，一次函數關系 B.一次函數關系，正比例函數關系C.正比例函數關系，二次函數關系 D.反比例函數關系，二次函數關系二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若代數式有意義，則實數x的取值范圍是__________．10.分解因式：=_________________．11.寫出一個比大且比小的整數是____________．12.方程組的解為_________13.在直角坐標系中，直線與雙曲線交于，兩點．若點，的橫坐標分別為，，則的值為____________．14.如圖，在中，點D、E分別、上的點，與交于點O．給出下列三個條件：①；②；③．利用其中兩個條件可以證明是等腰三角形，這兩個條件可以是____________．15.是平面直角坐標系中的兩點，線段長度的最小值為____________．16.甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽賽前訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行．半天訓練結束時，發現甲共當裁判9局，乙、丙分別進行了14局、12局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共進行了_______局比賽，其中最后一局比賽的裁判是_______．三、解答題（本題共68分，第17－23題，每小題5分，第24－25每小題6分，第26－28題，每小題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：18.疫情防控過程中，很多志愿者走進社區參加活動．如圖所示，小冬老師從A處出發，要到A地北偏東方向的C處，他先沿正東方向走了到達B處，再沿北偏東方向走，恰能到達目的地C處，求A，C兩地的距離．（結果取整數，參考數據：）19.已知：如圖，直線l，和直線外一點P．求作：過點P作直線PC，使得PC∥l，作法：①在直線l上取點O，以點O為圓心，OP長為半徑畫圓，交直線l于A，B兩點；②連接AP，以點B為圓心，AP長為半徑畫弧，交半圓于點C；③作直線PC．直線PC即為所求作．（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接BP．∵BC＝AP，∴．∴∠ABP＝∠BPC（）（填推理依據）．∴直線PC∥直線l．20.已知關于的方程總有兩個不相等的實數根．（1）求取值范圍；（2）寫出一個的值，并求此時方程的根．21.如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，過點D作交的延長線于點E．

（1）求證：四邊形平行四邊形；（2）若，，求的值．22.在平面直角坐標系中，一次函數的圖象由函數的圖象向上平移3個單位長度得到．（1）求這個一次函數的解析式；（2）當時，對于的每一個值，函數的值大于一次函數的值，直接寫出的取值范圍．23.農業農村經濟在國民經濟中占有重要地位，科技興農、為促進鄉村產業振興提供有力支撐．為了解甲、乙兩種新品獼猴桃的質量，進行了抽樣調查．在相同條件下，隨機抽取了甲、乙各25份樣品，對大小、甜度等各方面進行了綜合測評，并對數據進行收集、整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a．測評分數（百分制）如下：甲77798080858686878889899091919191919293959596979898乙69877979867987899089909090919092929492959696979898b．按如下分組整理、描述這兩組樣本數據：甲0a914乙13b16注：分數90分及以上為優秀，80~89分為合格，80分以下為不合格．c．甲、乙兩種獼猴桃測評分數的平均數、眾數、中位數如下表所示：品種平均數眾數中位數甲89491d乙89.4c90根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中a，b，c，d的值；（2）記甲種獼猴桃測評分數的方差為，乙種獼猴桃測評分數的方差為，則，的大小關系為____________；（3）根據抽樣調查情況，可以推斷____________種獼猴桃的質量較好，理由為____________．（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）24.某景觀公園內人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現測量出如下數據，在湖面上距水槍水平距離為d米的位置，水柱距離湖面高度為h米．d（米）0.51.02.03.03.54.5…h（米）1.62.12.52.1m0…請解決以下問題：（1）以水槍與湖面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，水槍所在直線為y軸，在下邊網格中建立平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接．（2）請結合表中所給數據或所畫圖象，寫出水柱最高點的坐標．（3）湖面上距水槍水平距離為3.5米時，水柱距離湖面的高度____________米．（4）現公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過調節水槍高度，使得公園湖中的游船能從噴泉下方通過．游船左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，若游船寬（指船的最大寬度）為2米，從水面到棚頂的高度為2.1米，要求是游船從噴泉水柱中間通過時，為避免游船被噴泉淋到，頂棚到水柱的垂直距離均不小于0.5米．請問公園該如何調節水槍高度以符合要求？請通過計算說明理由．25.如圖，為的直徑，點C在上，過點C作的切線，過點A作于點D，交的延長線于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．26.在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的交點為點和點B．（1）用含a的式子表示b；（2）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；（3）分別過點和點作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N，記拋物線在M，N之間的部分為圖象G（包括M，N兩點）．記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值是m，最小值為n．①當時，求的最小值；②若存在實數t，使得，直接寫出a的取值范圍．27.如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點A逆時針旋轉得到線段，連接交于點F．（1）依題意補全圖形，寫出____________°（2）求和的度數；（3）用等式表示線段之間的數量關系，并證明．28.對于平面直角坐標系中的線段，給出如下定義：若存在使得，則稱為線段的“等冪三角形”，點R稱為線段的“等冪點”．（1）已知．①在點中，線段的“等冪點”是____________；②若存在等腰是線段的“等冪三角形”，求點B的坐標；（2）已知點C的坐標為，點D在直線上，記圖形M為以點為圓心，2為半徑的位于x軸上方的部分．若圖形M上存在點E，使得線段的“等冪三角形”為銳角三角形，直接寫出點D的橫坐標的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1—8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.圓錐 B.圓柱 C.三棱錐 D.長方體【答案】A【解析】【分析】根據幾何體的三視圖，對各個選項進行分析即可得到答案．【詳解】根據主視圖是三角形可知，圓柱、三棱錐、長方體不符合要求根據幾何體的三視圖，可得該幾何體為圓錐故選：A．【點睛】本題考查的是幾何體的三視圖，掌握主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形是解題的關鍵．2.小云同學在“百度”搜索引擎中輸入“北京2022冬奧會”，能找到相關結果約為42500000個，將42500000用科學記數法表示應為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學計數法：用科學記數法表示較大的數時，注意中a的范圍是1≤a<10，n是正整數，n與原數的整數部分的位數m的關系是m－1=n，反過來由用科學記數法表示的數寫出原數時，原數的整數部分的數位m比10的指數大1．（即m=n+1）【詳解】解：42500000故選B【點睛】本題考查科學技術法的應用，掌握其寫法是關鍵．3.如圖，直線，交于點O．射線平分，若，則等于（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據對頂角求得，根據角平分線的意義求得，根據鄰補角即可求解．【詳解】解：，，射線平分，．．故選D．【點睛】本題考查了對頂角相等，角平分線的意義，求一個角的鄰補角，數形結合是解題的關鍵．4.下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【詳解】解：A、等腰三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，不符合題意；B、平行四邊形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；C、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；D、直角三角形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念；軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180°后與原圖重合．5.實數a，b，c，d在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據數軸上點的位置關系，可得a，b，c，d的大小，根據有理數的運算，絕對值的性質，可得答案．【詳解】解：由數軸上點的位置，得﹣4＜a＜b＜0＜c＜5＜d．A、b+c>0，故A符合題意；B、bd＜0，故B不符合題意；C、|a|＜|d|，故C不符合題意；D、a＞-4，故D不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了實數與數軸以及絕對值，觀察數軸，能根據點的位置判斷點對應的數的大小是解題關鍵．6.如圖，有5張形狀、大小、質地均相同的卡片，正面分別印有北京冬奧會的會徽、吉祥物（冰墩墩）、主題口號和獎牌等四種不同的圖案，背面完全相同．現將這5張卡片洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機抽取一張，抽出的卡片正面圖案恰好是獎牌的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用概率公式求解即可．【詳解】解：∵隨機抽取一張卡片有5種等可能結果，其中抽出的卡片正面圖案恰好是獎牌結果有2種，∴抽出的卡片正面圖案恰好是獎牌的概率是：．故選：B【點睛】本題考查概率公式，解題的關鍵是利用概率的定義求事件概率．7.已知，，，．若n為整數且，則n的值為（）A.43 B.44 C.45 D.46【答案】B【解析】【分析】由已知條件的提示可得，即得出．再根據，且n為整數，即可得出答案．【詳解】∵，∴，即．∵，n為整數．∴．故選B．【點睛】本題考查的是無理數的估算，掌握無理數的估算方法是解題的關鍵.8.線段．動點以每秒1個單位長度的速度從點出發，沿線段運動至點B，以線段為邊作正方形，線段長為半徑作圓．設點的運動時間為t，正方形周長為y，的面積為S，則y與t，S與t滿足的函數關系分別是（）A.正比例函數關系，一次函數關系 B.一次函數關系，正比例函數關系C.正比例函數關系，二次函數關系 D.反比例函數關系，二次函數關系【答案】C【解析】【分析】根據題意分別列出與，與的函數關系，進而進行判斷即可．【詳解】解：依題意：AP=t，BP=5-t,故y=4t，S=（5-t）2故選擇：C【點睛】本題考查了列函數表達式，正比例函數與二次函數的識別，根據題意列出函數表達式是解題的關鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9.若代數式有意義，則實數x的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據分式有意義的條件即可求得．詳解】解：代數式有意義，，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握和運用分式有意義的條件是解決本題的關鍵．10.分解因式：=_________________．【答案】（2x+3y）（2x﹣3y）【解析】【詳解】解：原式=（2x+3y）（2x﹣3y）．故答案為：11.寫出一個比大且比小的整數是____________．【答案】2##3

【解析】【分析】根據實數的估算，進而取值即可．【詳解】解：∵1<<2，≈3.14∴比大且比小的整數有2，3故答案為：2（故答案為：3）．【點睛】本題考查了實數的估算，準確地判斷無理數的大小是解決本題的關鍵．12.方程組的解為_________【答案】【解析】【分析】根據觀察看出用加減法消元較好，把兩式相加便可消去y，解出x的值，再把x的值代入變形后的式子，即可得到y的值．【詳解】解：兩式相加得3x=9解得：x=3，把x=5代入第一個方程得：y=3，∴方程組的解為：．故答案為：【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的解法，解題的關鍵是消元，消元的方法有兩種：①加減法消元，②代入法消元．當系數成倍數關系式一般用加減法消元，系數為1時，一般用代入法消元．13.在直角坐標系中，直線與雙曲線交于，兩點．若點，的橫坐標分別為，，則的值為____________．【答案】0【解析】【分析】根據“正比例函數與反比例函數的交點關于原點對稱”即可求解.【詳解】解：∵正比例函數和反比例函數均關于坐標原點O對稱，∴正比例函數和反比例函數的交點亦關于坐標原點中心對稱，∴，故答案為：0.【點睛】本題考查正比例函數和反比例函數的圖像性質，根據正比例函數與反比例函數的交點關于原點對稱這個特點即可解題.14.如圖，在中，點D、E分別、上的點，與交于點O．給出下列三個條件：①；②；③．利用其中兩個條件可以證明是等腰三角形，這兩個條件可以是____________．【答案】①③或②③【解析】【分析】根據全等三角形和等腰三角形的性質分析，即可得到答案．【詳解】當、時在和中∴∴，∵，∴在和中∴∴是等腰三角形，即①③可以證明是等腰三角形；當、時在和中∴∴，，∵，∴在和中∴∴是等腰三角形，即②③可以證明是等腰三角形；故答案為：①③或②③．【點睛】本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質，從而完成求解．15.是平面直角坐標系中的兩點，線段長度的最小值為____________．【答案】3【解析】【分析】根據兩點之間的距離公式即可求解．【詳解】解：∵A（a，0），B（5，3），∴，當，即時，線段AB的長度的值最小，此時，故答案為：3．【點睛】本題考查了坐標系中求兩點間的距離，熟練掌握上兩點間的距離公式是解題關鍵．16.甲、乙、丙三人進行羽毛球比賽賽前訓練，每局兩人進行比賽，第三個人做裁判，每一局都要分出勝負，勝方和原來的裁判進行新一局的比賽，輸方轉做裁判，依次進行．半天訓練結束時，發現甲共當裁判9局，乙、丙分別進行了14局、12局比賽，在這半天的訓練中，甲、乙、丙三人共進行了_______局比賽，其中最后一局比賽的裁判是_______．【答案】①.17②.甲【解析】【分析】先確定了乙與丙打了9局，甲與丙打了3局，乙與甲打了5局，進而確定三人一共打的局數，可推導出甲當裁判9局，乙當裁判3局，丙當裁判5局，甲當裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出結果，即可得到答案．【詳解】解：∵甲當了9局裁判，∴乙、丙之間打了9局，又∵乙、丙分別共打了14局、12局，∴乙與甲打了局，丙與甲打了局，∴甲、乙、丙三人共打了局，又∵甲當了9局裁判，而從1到17共9個奇數，8個偶數，∴甲當裁判的局為奇數局，∴最后一局比賽的裁判是：甲，故答案為：17，甲．【點睛】本題考查推理與論證，解本題關鍵根據題目提供的特征和數據，分析其存在的規律和方法，并遞推出相關的關系式，從而解決問題．三、解答題（本題共68分，第17－23題，每小題5分，第24－25每小題6分，第26－28題，每小題7分）解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17.計算：【答案】【解析】【分析】利用銳角三角函數值，代入計算即可.【詳解】解：【點睛】本題考查三角函數的混合運算，熟練地掌握特殊角的三角函數值是解決本題的關鍵.18.疫情防控過程中，很多志愿者走進社區參加活動．如圖所示，小冬老師從A處出發，要到A地北偏東方向的C處，他先沿正東方向走了到達B處，再沿北偏東方向走，恰能到達目的地C處，求A，C兩地的距離．（結果取整數，參考數據：）【答案】【解析】【分析】過點C作垂線交延長線于點D，先證明，再由含30°角的直角三角形的性質得出，則，再根據含30°角的直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵∴∴過點C作垂線交延長線于點D，∴．在中，∴∴又在中，．∴∴A，C兩地的距離是．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-方向角問題，正確理解題意并作出輔助線是解題的關鍵．19.已知：如圖，直線l，和直線外一點P．求作：過點P作直線PC，使得PC∥l，作法：①在直線l上取點O，以點O為圓心，OP長為半徑畫圓，交直線l于A，B兩點；②連接AP，以點B為圓心，AP長為半徑畫弧，交半圓于點C；③作直線PC．直線PC即為所求作．（1）使用直尺和圓規，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明：證明：連接BP．∵BC＝AP，∴．∴∠ABP＝∠BPC（）（填推理依據）．∴直線PC∥直線l．【答案】（1）見解析（2），同弧或等弧所對的圓周角相等【解析】【分析】（1）根據所給作法進行尺規作圖即可得；（2）根據圓周角定理進行解答即可得．【小問1詳解】解：如圖，直線PC即為所求作．【小問2詳解】證明：連接PB．∵BC＝AP，∴，∴∠ABP＝∠BPC（同弧或等弧所對的圓周角相等），∴直線PC∥直線l．故答案為：，同弧或等弧所對的圓周角相等．【點睛】本題考查了尺規作圖，圓周角定理，解題的關鍵是掌握圓周角定理．20.已知關于的方程總有兩個不相等的實數根．（1）求的取值范圍；（2）寫出一個的值，并求此時方程的根．【答案】（1）（2）答案不唯一，見解析【解析】【分析】（1）根據根的判別式＞0，求出的取值范圍；（2）根據（1）中的的取值范圍，代入符合要求的k值，進而求解.【小問1詳解】解：∵方程總有兩個不相等的實數根，∴，∴，∴k的取值范圍是；【小問2詳解】答案不唯一例如：時，方程可化為∴，【點睛】本題考查由根的判別式求參數的取值范圍，涉及的知識點有一元一次不等式，解一元二次方程，正確地計算是解題的關鍵.21.如圖，在菱形中，對角線與相交于點O，過點D作交的延長線于點E．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，，求的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性質及同位角相等兩直線平行，即可證明，，根據平行四邊形的判定即可得到結論；（2）由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半及等邊對等角的性質可得，再由等角的三角函數值相等進行求解即可．【小問1詳解】證明：∵四邊形是菱形∴，．∵∴∴∴∴四邊形是平行四邊形．【小問2詳解】解：∵四邊形是平行四邊形∴∵∴∵∴∴∵，，∴∴∴【點睛】本題考查菱形的性質、平行四邊形的判定和性質、平行線的判定、直角三角形的性質、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定，學會用轉化的思想思考問題．22.在平面直角坐標系中，一次函數的圖象由函數的圖象向上平移3個單位長度得到．（1）求這個一次函數的解析式；（2）當時，對于的每一個值，函數的值大于一次函數的值，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據一次函數平移的性質分析，即可得到答案；（2）根據一次函數圖像的性質分析，即可得到答案．【小問1詳解】∵一次函數的圖象由函數的圖象向上平移3個單位長度得到∴，∴這個一次函數的解析式為；【小問2詳解】假設時，∴如下圖：

∵當時，對于的每一個值，函數的值大于一次函數的值，∴m的取值范圍是．【點睛】本題考查了一次函數、平移的知識；解題的關鍵是熟練掌握平移、一次函數圖像的性質，從而完成求解．23.農業農村經濟在國民經濟中占有重要地位，科技興農、為促進鄉村產業振興提供有力支撐．為了解甲、乙兩種新品獼猴桃的質量，進行了抽樣調查．在相同條件下，隨機抽取了甲、乙各25份樣品，對大小、甜度等各方面進行了綜合測評，并對數據進行收集、整理、描述和分析，下面給出了部分信息．a．測評分數（百分制）如下：甲77798080858686878889899091919191919293959596979898乙69877979867987899089909090919092929492959696979898b．按如下分組整理、描述這兩組樣本數據：甲0a914乙13b16注：分數90分及以上為優秀，80~89分為合格，80分以下為不合格．c．甲、乙兩種獼猴桃測評分數的平均數、眾數、中位數如下表所示：品種平均數眾數中位數甲89.491d乙89.4c90根據以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中a，b，c，d的值；（2）記甲種獼猴桃測評分數的方差為，乙種獼猴桃測評分數的方差為，則，的大小關系為____________；（3）根據抽樣調查情況，可以推斷____________種獼猴桃的質量較好，理由為____________．（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）【答案】（1），，，（2）（3）甲，理由見解析【解析】【分析】（1）根據眾數和中位數的定義分別進行解答即可．（2）按照方差的計算公式，分別計算出甲，乙的方差，然后比較大小即可．（3）根據甲和乙的平均數，中位數，眾數，方差進行綜合分析，判斷，注意至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性．【詳解】（1），，，（2）則，的大小關系為；（3）可以推斷甲種獼猴桃的質量較好，理由為①甲種獼猴桃測評分數的眾數、中位數都大于乙種獼猴桃測評分數②也就是甲獼猴桃測評分數的方差小于乙種獼猴桃測評分數的方差，質量均勻較好；【點睛】本題主要考查了平均數，眾數，中位數，方差在實際問題中的正確運用，熟練掌握定義和計算公式，是解題的關鍵．24.某景觀公園內人工湖里有一組小型噴泉，水柱從垂直于湖面的水槍噴出，水柱落于湖面的路徑形狀是拋物線．現測量出如下數據，在湖面上距水槍水平距離為d米的位置，水柱距離湖面高度為h米．d（米）0.51.02.03.03.54.5…h（米）1.62.12.52.1m0…請解決以下問題：（1）以水槍與湖面交點為原點，原點與水柱落地處所在直線為x軸，水槍所在直線為y軸，在下邊網格中建立平面直角坐標系，根據已知數據描點，并用平滑的曲線連接．（2）請結合表中所給數據或所畫圖象，寫出水柱最高點的坐標．（3）湖面上距水槍水平距離為3.5米時，水柱距離湖面的高度____________米．（4）現公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過調節水槍高度，使得公園湖中的游船能從噴泉下方通過．游船左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，若游船寬（指船的最大寬度）為2米，從水面到棚頂的高度為2.1米，要求是游船從噴泉水柱中間通過時，為避免游船被噴泉淋到，頂棚到水柱的垂直距離均不小于0.5米．請問公園該如何調節水槍高度以符合要求？請通過計算說明理由．【答案】（1）見解析（2）（2，2.5）（3）1.6（4）水槍高度至少向上平移0.5米，理由見解析【解析】【分析】（1）建立合適的坐標系，根據表格依次描點，用平滑的曲線連接即可；（2）根據函數圖象，找到最高點；（3）設頂點式h=a（d-2）2+2.5，再代入（4.5，0），求出a=-0.4，進而求出解析式，當d=3.5時，代入求值即可；（4）由題意得，設平移后解析式為h2=-0.4（d-2）2+2.5+m，當橫坐標為3時，縱坐標的值大于等于2.6即可；【小問1詳解】解：以水槍與湖面的交點為原點，水槍所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：【小問2詳解】解：由圖象可得，最高點的坐標是（2，2.5）；【小問3詳解】解：設二次函數的頂點式h=a（d-2）2+2.5將（4.5，0）代入，得a×（4.5-2）2+2.5=0解得a=-0.4∴二次函數的解析式為：h=-0.4（d-2）2+2.5當d=3.5時，h=-0.4×（3.5-2）2+2.5解得h=1.6故答案為：1.6；【小問4詳解】解：根據題意設平移后的解析式為h2=-0.4（d-2）2+2.5+m當橫坐標為2+1=3時，縱坐標的值大于等于2.1+0.5=2.6，∴-0.4×（3-2）2+2.5+m≥2.6解得：m≥0.5∴水槍高度至少向上平移0.5米．【點睛】本題考查二次函數的噴水問題，利用待定系數法求函數解析式，以及求函數最值，讀懂題意，利用函數圖象的性質解決問題是解決本題的關鍵．25.如圖，為的直徑，點C在上，過點C作的切線，過點A作于點D，交的延長線于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，根據切線的性質得到，根據平行線的性質、等腰三角形的判定和性質定理證明即可；（2）連接，根據余弦的定義求出，根據勾股定理求出，根據余弦的定義計算，得到答案．【小問1詳解】證明：連結，是的切線，為的半徑，又，．；【小問2詳解】解：連接，為的直徑在中，，．，，又，．【點睛】本題考查的是切線的性質、銳角三角函數的定義，解題的關鍵是掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑．26.在平面直角坐標系中，拋物線與x軸的交點為點和點B．（1）用含a的式子表示b；（2）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；（3）分別過點和點作x軸的垂線，交拋物線于點M和點N，記拋物線在M，N之間的部分為圖象G（包括M，N兩點）．記圖形G上任意一點的縱坐標的最大值是m，最小值為n．①當時，求的最小值；②若存在實數t，使得，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）（2），（3）①1；②或【解析】【分析】（1）把點代入即可得；（2）由對稱軸公式可得拋物線的對稱軸為直線，由拋物線對稱性得點坐標；（3）①當時，，即得拋物線與軸交點坐標為，，與軸交點坐標為，頂點坐標為，當圖象為對稱圖形時有最小值，可得，，即得的最小值為；②由（1）知拋物線為，得，，，頂點坐標為，可分四種情況討論的取值：（Ⅰ）當，且時，，解得，可得；（Ⅱ）當，且時，，可得，（Ⅲ）當，且時，，可得；（Ⅳ）當，且時，，可得，即知當時，，同理可得：當時，也符合條件．【小問1詳解】解：把點代入得：，；【小問2詳解】解：由（1）知拋物線為，拋物線的對稱軸為直線，而關于直線對稱點是，由拋物線對稱性得：點坐標；【小問3詳解】解：①如圖：當時，，拋物線與軸交點坐標為，，與軸交點坐標為，頂點坐標為，由圖象知：當圖象為對稱圖形時有最小值，又，，，，，過點和點作軸的垂線，交拋物線于點和點，，，頂點坐標，的最小值為；②點和點作軸的垂線，交拋物線于點和點，由（1）知拋物線為，，，，又拋物線對稱軸為直線，頂點坐標為，根據、點的相對位置和拋物線的開口方向可分以下四種情況討論的取值：（Ⅰ）當，且時，即圖象在對稱軸左側時，此時點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，，解得，又，，且，；（Ⅱ）當，且時，即圖象在對稱軸右側時，此時點的縱坐標最大，點的縱坐標最小，，解得，又，，且，，（Ⅲ）當，且時，即最低點是拋物線頂點且點縱坐標大時，此時，，，解得，又，，，，；（Ⅳ）當，且時，即最低點是拋物線頂點時且點縱坐標大，此時，，，解得，又，，，，綜上所述，當時，，同理可得：當時，也符合條件，的取值范圍為或．【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，難度較大，解題的關鍵是分類討論圖象上縱坐標的大小值．27.如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點A逆時針旋轉得到線段，連接交于點F．（1）依題意補全圖形，寫出____________°（2）求和的度數；（3）用等式表示線段之間的數量關系，并證明．【答案】（1）圖見解析，°（2），（3），證明見解析【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質，補全圖形即可；（2）根據等腰三角形三線合一的性質，求得∠BAD=∠BAC，由旋轉的性質可得∠ABE=∠E，由三角形內角和定理在△ABE中，∠ABE+∠E+∠BAC=180°-∠CAE，便可求得∠BAF+∠ABF，再由三角形外角的性質可得∠FBC；（3）在EF上取點M，使EM=BF，連接AM，由△ABF≌△AEM求得AF=AM，∠BAF=∠EAM，再由∠CAE=60°可得△AFM是等邊三角形，便可解答；【小問1詳解】解：如圖分別以A，C為圓心，以AC為半徑作弧，兩弧交于點E，連接BE交AD于點F，則∠CAE=60°；【小問2詳解】解：∵，是邊的高線，∴，∵線段繞點A逆時針旋轉得到線段，∴，又，∴，在中，，∴∴又∵是邊的高線，∴∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．【小問3詳解】解：如圖，在EF上取點M，使EM=BF，連接AM，∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△AB