專題09幾何動態與函數圖象問題

授筌建送?摸一的速.?通—

題吧.遁

學習幾何動態問題需要學生能夠將實際問題轉化為函數的問題并準確的畫出函數圖象理解函數的性質;

其次能利用函數的圖象及其性質解決簡單的實際問題；最后提高解決實際問題的能力.函數的學習需要學生

真正理解函數的定義，熟練運用函數的基本性質去解相關題型.本專題主要對函數與幾何圖形結合的相關題

型的解法進行歸納總結，所選題型為近年各省市中考真題或模擬題型.

幾何動態與函數圖象問題，常以選擇題、填空題的形式出現.命題方式常涉及三種題型：①分析實際

問題判斷函數圖象；②結合幾何圖形中的動點問題判斷函數圖象；③分析函數圖象判斷結論正誤；④根據

函數性質判斷函數圖象.題目難度中等，屬于中考熱點題型.

模型01動點問題

動點問題結合的函數題型，首先需要理清是哪種動點移動問題，是單動點還是雙動點問題.在幾何中的

動點問題中，由于動點位置改變需要學生能夠將實際問題轉化為函數的問題，并能判斷出自變量與因變

量，根據變量的變化特點準確的畫出函數圖象，根據函數圖象理解函數的性質；其次能利用函數的圖象及

其性質解決簡單的實際問題.

模型02線動問題

線動問題的函數圖象題，該題型對于用圖象描述分段函數的實際問題，要抓住以下幾點：①自變量變

化而函數值不變化的圖象用水平線段表示，②自變量不變化而函數值變化的圖象用鉛垂線段表示，③

自變量變化函數值也變化的增減變化情況，④函數圖象的最低點和最高點.根據圖象要對圖象及其數

量關系進行一定分析，要抓住圖象中的轉折點及拐點，這些拐點處往往是運動狀態發生改變或者相互

的數量關系發生改變的地方.

模型03函數圖象判斷

函數圖象判斷該題型對于用圖象描述分段函數的實際問題，要抓住以下幾點：①自變量變化而函數值

不變化的圖象用水平線段表示，②自變量不變化而函數值變化的圖象用鉛垂線段表示，③自變量變化

函數值也變化的增減變化情況，④函數圖象的最低點和最高點.

更結?牌型福建

模型01動點問題

考I向I預I測

動點問題的函數圖象題本題型主要考查的是動點問題的函數圖象，確定函數的表達式是解本題的關鍵.這

類問題需要學生具有一定的想象能力、分析能力和運算能力及分類討論的解題思想.本題型主要是以選擇、

填空為主，具有一定的難度，是學生主要的失分題型之一.

答I題I技I巧

第一步：根據運動判斷圖象，關鍵是判斷運動變化的節點，運動變化的節點往往就是函數圖象分段

的節點；

第二步：找到節點后分段研究運動過程，列出關系式，進而判斷圖象；

第三步：根據選項做出選擇；

［題型守停I

例1.（2024?河南南陽?一模）如圖1,在AABC中，AB=BC,3。J_AC于點。（AD>8D）.動點〃從A

點出發，沿折線45fBe方向運動，運動到點c停止.設點"的運動路程為無，AAWD的面積為y,y

與x的函數圖象如圖2,則AC的長為（）

【答案】A

【詳解】解：由圖2知，AB+BC=2岳,

：AB=BC,

A8=屈，

■.■AB=BC,BD1AC,

：.AC=2AD,NAZ陽=90°,

在RtZXABO中，AD2+BD2=AB2=13?,

設點M到AC的距離為〃，

SAABM=^ADh,

???動點”從A點出發，沿折線ABf方向運動，

,當點M運動到點B時，△400的面積最大，即/z=3￡）,

由圖2知，△41〃）的面積最大為3,

-ADBD=3,

2

:.ADBD=6（2）,

①+2x②得，AD2+BD2+2ADBD=13+2x6=25,

（AD+BDf=25,

:.AD+BD=5（負值舍去），

：.BD^5-AD（3）,

將③代入②得，AD（5-AD）=6,

:.AD=3^AD=2,

;AD>BD,

AD=3,

:.AC=2AD=6,

故選：A.

例2.（2023?北京）如圖是一種軌道示意圖，其中ADC和ABC均為半圓，點A,C,N依次在同一直

線上，且AM=OV.現有兩個機器人（看成點）分別從M,N兩點同時出發，沿著軌道以大小相同的速度

勻速移動，其路線分別為CfN和NfC-3fAfAf.若移動時間為x,兩個機器人

之間距離為》則y與x關系的圖象大致是（）

B

【答案】D

【詳解】解：由題意可得：機器人（看成點）分別從M,N兩點同時出發,

設圓的半徑為R,

團兩個機器人最初的距離是AM+OV+2R,

團兩個人機器人速度相同,

團分別同時到達點4C,

回兩個機器人之間的距離y越來越小，故排除A,C；

當兩個機器人分別沿AfOfC和C33fA移動時，此時兩個機器人之間的距離是直徑2R,保持不

變,

當機器人分別沿CfN和AfM移動時，此時兩個機器人之間的距離越來越大，故排除C,

故選：D.

模型02線動問題

考I向I預I測

線動問題的函數圖象題，根據幾何圖形的線動要對圖象及其數量關系進行一定分析，抓住圖象中的轉

折點及拐點，這些拐點處往往是運動狀態發生改變或者相互的數量關系發生改變的地方.該題型一般以

選擇題的形式出現，具有一定的難度，需要學生綜合運用幾何與函數的相關知識.

答I題I技I巧

第一步：找準變量；

第二步：抓住圖象中點轉折點和拐點，幾何圖中的轉折點往往是函數圖中的拐點；

第三步：數據分析，結合幾何與函數圖形的數據得出相應結論；

第四步：根據題意解答；

|題型三停I

例1.（2024?河南許昌?一模）如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=30°,點尸從點A出發運動到點8

時停止，過點P作尸Q1AB,交直角邊AC（或8C）于點Q,設點尸運動的路程為x,△AP。的面積為

y,y與x之間的函數關系圖象如圖2所示，當x=5時，△4尸。的面積為（）

【答案】C

【詳解】解：根據圖2知，AB=8,

當x=5時，AP=5,BP=3,

0ZB=3O°,

0Pe=JBPxtan3O0=\^,

工”。［小加號抬，

故選：C.

例2.（2023?海南）如圖,例AABC中,ZC=90°,AB=5,BCMA/?，點D在折線ACB上運動，過點

。作A3的垂線，垂足為E.設=5￡=，，則y關于x的函數圖象大致是（）

c

【詳解】解：如圖所示，過點。作DWLAB于點F,

EIRt4A5c中，ZC=90°,AB=5,BC=5

0AC=y/AB2-BC2=2^/5,

團tanA=0」,

AC2

^\DE±AE

DECF_1

團tanA=

AE-AF-2

ACxBC下又2小

團CT=

AB5

團AF=4,

當點。在AC上時，即0v%v4時,

回AE=X,^^ADE~y9

111

BDE=—X,y=—AExDE=—x92

2,24

當點。在磁上時，即4Wx<5時,

如圖所示，連接AD,

^\EB=AB—AE=5—x，tanB==2

CBEB

?DE=2EB=2（5—x）

團y=2（5—尤）尤=—2%2+10xz

綜上所述，當0vx<4時，拋物線開口向上，當4Wxv5時，拋物線開口向下,

故選：A.

模型03函數圖象判斷

考I向I預I測

函數圖象判斷該題型對于用圖象描述分段函數的實際問題，要抓住以下幾點：①自變量變化而函數值

不變化的圖象用水平線段表示，②自變量不變化而函數值變化的圖象用鉛垂線段表示，③自變量變化

函數值也變化的增減變化情況，④函數圖象的最低點和最高點.

答I題I技I巧

第一步：一變一不變，圖象是直線；

第二步：兩個都變圖象是曲線；

第三步：同增同減口向上；

第四步：一增一減口向下；

例1.（2024?山東聊城,一模）如圖，在矩形ABCD中，AD=6cm,AB=3cm,E為矩形ABCD的邊AD上

一點，AE=4cm,點尸從點2出發沿折線3-E-D運動到點￡）停止，點。從點2出發沿運動到點C

停止，它們的運動速度都是O.5cm/s,現P,。兩點同時出發，設運動時間為x（s）,VBP。的面積為

yen?,則y關于x的函數圖象為（）

AED

【答案】C

【詳解】解：在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=6cm,AD//BC,點石在AO上，且AE=4cm,

則在直角AABE中，根據勾股定理得到BE=y/AB2+AE2=A/42+32=5cm>

①當0W0,即點尸在線段班上，點。在線段2C上時，過點尸作尸尸，3c于凡

◎NAEB=NPBF,

ADOO

團sin?PBFsin?AEB一=_,貝UPF=8尸仔inPBF=—t

BE510

團》=;尸￡

21040

此時，該函數圖象是開口向上的拋物線在第一象限的部分;

②當10WK12,即點尸在線段DE上，點。在線段BC上時，此時y=；3Q?CD；倉*，3=|G此時該

函數圖象是直線的一部分；

③當12<仁14,即點P在線段DE上，點。在點C時，V3P。的面積=g倉63=9cm2,此時該三角形面

積保持不變;

綜上所述，C正確.

故選：C.

例2.（2023?吉林）如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=5,點P是BC邊上的一個動點（點P與點B,C都不

重合），現將4PCD沿直線PD折疊，使點C落到點F處；過點P作NBPF的角平分線交AB于點E,設

【詳解】由已知可知團EPD=90°,

回團BPE+國DPC=90°,

團團DPC+團PDC=90°,

釀CDP二團BPE,

團團B二團090°,

釀BPE團團CDP,

團BP：CD=BE：CP,即x：3=y：（5-x）,

團y=f+5口（0<x<5）；

3

故選C.

京襄??化鈿緣

1.（2023?湖北）如圖，在RtAABC中，點。為AC邊中點，動點尸從點。出發，沿著OfAf8的路徑

以每秒1個單位長度的速度運動到B點，在此過程中線段CP的長度》隨著運動時間x的函數關系如圖2所

示，則BC的長為（）.

D

圖1

A.區4AD,哇

3113

【答案】C

【詳解】解：回動點尸從點。出發，線段CP的長度為y,運動時間為無的，根據圖象可知，當x=o時,

y=2

0CD=2,

回點。為AC邊中點,

^AD=CD=2,CA=2CD=4,

由圖象可知，當運動時間尤=R+JIT卜時，y最小，即CP最小,

根據垂線段最短,

團此時CP2L48,如下圖所不，此時點尸運動的路程OA+AP=lx（2+JTT）=（2+JTT）,

所以止匕時AP=（2+而）一AD=如F,

00A=I3A,EIAPC=0ACB=9OO,

EEAPCEEACB,

APAC

團---=----

ACAB

即姮」

4AB

解得:小嗜,

在中，BC=VAB2-AC2=

11

故選c.

2.（2023?山東）如圖（1）,RtZkABC中，ZACB=90°,CD是中線，點尸從點。出發，沿。fCf5的

方向以lcm/s的速度運動到點瓦圖（2）是點尸運動時，ZW）尸的面積'（cn?）隨時間工⑸變化的圖象，則

a的值為（）

A

Ko

IA",

CPBopaa+2~~x/s

圖⑴圖⑵

A.2B.-C.D.5/5

22

【答案】D

【詳解】解：由點P的運動可知，CD=acm,BC=a+2-a=2cm,且當點尸運動到點C時，AADC的

面積為2cm,

過點。作。E人AC于點E,

^-ACDE=2,BPACDE=4,

2

團8是中線，ZACB=90°,

0AD=CD,

團。為AC中點，

EI￡>E是AA3c的中位線，

0DE=—BC=1cm,

2

團AC=4cm,

在Rt^ABC中，由勾股定理可知，AB=742+22=25/5cm

團a=CD=—AB=&cm,

2

故選：D.

3.（2023?廣西）如圖1,點歹從四條邊都相等的YABCD的頂點A出發，沿AfOf3以lcm/s的速度勻

速運動到點3,圖2是點方運動時，△FBC的面積Men?)隨時間x(s)變化的關系圖象，則。的值為

()

C.1D.2途

A.A/5B.2

【答案】C

【詳解】解：過點。作OE1.3c于點E

團YABCD的四條邊都相等，

SAB=BC=CD=AD.

由圖象可知，點F由點A到點。用時為公,△FBC的面積為acm2.

/.AD=BC=a,

:.—DEBC=a,

2

:.DE=2,

當點方從點。到點5時，用時為底

/.BD=A/5，

RtA￡)￡B中，

BE=NBD。-DE。=7(A/5)2-22=1,

???YA3CD的四條邊都相等，

:.EC=a-l,DC=a

RtADEC中，

a2=22+(a-l)2,

解得：a=g

故選：C.

4.（2023?江蘇）如圖①，在正方形A3CD中，點M是AB的中點，沒DN=x,AN+MN=y.已知y與x

之間的函數圖象如圖②所示，點E（4,2君）是圖象上的最低點，那么正方形的邊長的值為（）

【答案】C

【詳解】解：如圖，連接AC交3。于點。，連接NC,連接MC交33于點N'.

回四邊形ABCD是正方形，

04、C關于BO對稱，

QNA=NC,

^AN+MN=NC+MN,

團當M、N、C共線時，》的值最小，

Ely的值最小就是MC的長，

0MC=2A/5,

設正方形的邊長為加，則

在中，由勾股定理得：MC1=BC-+MB-,

回20=加？+[g根]，

0w=4（負值已舍）,

國正方形的邊長為4.

故選：C.

5.（2023?貴州）把兩個全等的等腰直角三角形透明紙片ABC、RGH如圖1放置（點C與點H重合），若

將繞點C在平面內旋轉，HG、分別交邊AB于點E、D（點。、E均不與點AB重合）.設

AE=x,BD=y,在旋轉過程中，V與x的函數關系圖象如圖2所示，則下列結論中正確的是（）

B.y=x2-4x-5

C.AEr+BE1^IDE1D.xy=S

【答案】D

【詳解】由題意可知,若點。與點A重合，則CGLAS,AE=2,

Sia=AB=2AE=4,故選項A中的結論不正確,

由人5=4可得AC=8C=2拒，

0ZCEA=N3+NBCE=45°+NBCE=ZDCE+ZBCE=NBCD,ZB=ZA,

0AAECS^BCD,

AEAC

團--=---,

BCBD

=%述

272=

y

團孫=8,故選項B中的結論不正確，選項D中的結論正確,

0AE=x,BD=y,AB=4,

團AD=4—y,BE=4—x,DE=x+y-4,

SAD2+BE2=(4-y)2+(4-.x)2=x2+/-8x-8y+32,

DE2=（x+y-4）~=x2+y2-8x-8y+2xy+16=x2+y2-8x-8j+32,

AD2+BE2=DE2＞故選項C中的結論不正確，

故選：D.

6.（2023?北京）如圖，44BC中，ZC=90°,AC=15,3C=20.點。從點A出發沿折線A—C—3運動

到點2停止，過點。作。￡工鉆，垂足為E.設點。運動的路徑長為x,△"）￡■的面積為若＞與x的

對應關系如圖所示，則。-6的值為（）

【答案】B

【詳解】解：當x=10時，由題意可知，

AD=IO,CD=5,

在RtACDB中，由勾股定理得BD?=CD2+BC2=5?+202=425,

設AE=z,3E=25—z,

BE2=(z-25)2=z2-50z+625,

在RtAADE中，由勾股定理得DE1=AD2-AE2=100-z2,

在中，由勾股定理得BI)?=DE2+5E2,

BP425=100-z2+z2-50z+625,

解得2=6,

:.DE=6,BE=19,

:.a-S^BDE=—xl9x8=76,

當尤=25時，由題意可知，CD=BD=W,

設BE=q,AE=25—q,

AE?=(25-4=625-50q+q2,

在RtACZM中，由勾股定理得AD2=AC2+CD2=152+102=325，

在RSBDE中由勾股定理得DB?=B￡)2-BE2=100-/,

RtVD￡4中，由勾股定理得AD2=DE2+AE2，

即325=100-/+625-50q+q1,

解得4=8,

DE=6,

:.b=S△D?ZnJFtS=—2x6x8=24,

〃=76—24=52.

c

D

A

故選：B.

7.(2023?上海)如圖，AABC中，N-ACB=90。，NA=30。，AB=16,點P是斜邊AB上任意一點，過

點尸作尸Q,AS,垂足為尸，交邊AC（或邊CB）于點。設=AAPQ的面積為y,則y與尤之間的

函數圖象大致是（)

【答案】D

【詳解】解：E0ACB=9O°,0A=3O°,AB=16,

00B=6O°,BC=^AB^8,

00BCZ)=3O°,

0BD=^BC=4,

^AD=AB-BD=12.

如圖1,當04￡>412時，

AP=x,PQ=AP?tan30°=^-x,

A=^X2;

-236

如圖2：當12<立16時，BP=AB-AP=16-x,

EIPQ=BP?tan60°=如(16-x),

Ely=4x?6(16-x)=—3龍2+8瓜，

22

該函數圖象前半部分是拋物線開口向上，后半部分也為拋物線開口向下,

故選D.

圖1圖2

8.（2023?廣西）如圖，矩形ABCD中，AB=3,8C=5,點P是邊上的一個動點（點P不與點8,C重

合），現將aPC。沿直線尸。折疊，使點C落下點C/處；作&BPG的平分線交AB于點E.設BP=x,

BE=y,那么y關于x的函數圖象大致應為（）

【詳解】由翻折的性質得，S\CPD=SC'PD,

團尸石平分團BPCi,

^\BPE^\CiPE,

團團5PE+團C7V）=90°,

幽090°,

團團CP0+團尸。。=90°,

^BPE=^PDC,

又團團3二團C=90°,

^PCD^EBP,

BEPB

團--------，

PCCD

即已若，

5-x3

1.、

^\y=-x(5-x)-(x--)2+—

3212

回函數圖象為C選項圖象.

故選C.

9.（2023?內蒙古）如圖1,點尸從等邊三角形ABC的頂點A出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從

PB

該點沿直線運動到頂點以設點P運動的路程為％,—=y,如圖2所示為點P運動時y隨％變化的函數

關系圖象，則等邊三角形ABC的邊長是（）

A.273B.4C.6D.4石

【答案】A

【詳解】如圖，點尸從頂點A出發，沿直線運動到三角形內部一點。，再從點。沿直線運動到頂點B,

A

結合圖象可知，當點尸在49上運動時，-=1,

0PB=PC,AO=2,

又回AABC為等邊三角形，

0ZBAC=60°,AB=AC,

回AAPB9AAPC（SSS）,

QZBAO=ZCAO=3Q°,

當點P在。8上運動時，可知點尸到達點2時的路程為4,

005=2,即40=03=2,

EIZBAO=ZABO=30o,

過點。作COLAS,垂足為，

回AD=BD,則AO=AO-COS30O=VL

^AB=AD+BD=2sf3,

即等邊三角形ABC的邊長為2TL

故選：A.

10.（2023?杭州）如圖1,點P從等邊三角形A3C的頂點A出發，沿直線運動到三角形內部一點，再從該

PB

點沿直線運動到頂點艮設點尸運動的路程為％,—=^,圖2是點尸運動時y隨］變化的關系圖象，則

等邊三角形ABC的邊長為（）

4P）

△B

473x

圖1圖2

A.6B.3C.473D.2A/3

【答案】A

【詳解】解：如圖，令點尸從頂點A出發,沿直線運動到三角形內部一點。，再從點。沿直線運動到頂點

B.

AA

BC

結合圖象可知，當點尸在A0上運動時，--1,

回PB=PC,AO=2y/3,

又EUABC為等邊三角形，

0ZBAC=6O°,AB=AC,

0AAPC(SSS),

SZBAO^ZCAO,

0ZBAO=ZC4O=3O°,

當點尸在。8上運動時，可知點P到達點B時的路程為473,

團08=2百，即40=08=2百，

0ZBAO=ZABO=3O°,

過點。作OD_LAB,

BAD=BD,貝UAD=AO-cos3(T=3,

團AB=AD+BD=6,

即：等邊三角形A5c的邊長為6,

故選：A.

支吉?題型逼美

1.(2024?河南?一模)如圖1,在AABC中，CA=CB,直線/經過點A且垂直于AB.現將直線/以lcm/s

的速度向右勻速平移，直至到達點8時停止運動，直線/與邊A3交于點與邊AC(或CB)交于點

N.設直線/移動的時間是尤(s),AAWN的面積為.y(cm?),,若y關于x的函數圖象如圖2所示，則

圖2

A.16cmB.17cmC.18cmD.20cm

【答案】c

【詳解】解：過C作CDLAB于。，如圖，

由函數圖像知，當直線/與8重合時，y的值最大為6,

止匕時AM=AD=4,-ADCD=6,

2

EICD=3,

SAC=BC,CD1AB,

I3AB=2AZ>=8,

由勾股定理得：AC=\IAD2+CD2=5>

團^ABC的周長為AC+BC+AB=2AC+AB=18(cm),

圖1

2.（2024?河南安陽?一模）如圖1,RtAABC中，點P從點C出發，沿折線C-3-A勻速運動，連接

AP,設點尸的運動距離為x,AP的長為九，關于尤的函數圖象如圖2所示，則當點尸為BC的中點時,

AP的長為（）

【答案】B

【詳解】解：因為p點是從C點出發的，C為初始點，

觀察圖象x=0時，=4,則AC=4,尸從C向8移動的過程中，AP是不斷增加的,

而尸從8向A移動的過程中，AP是不斷減少的，

因此轉折點為8點，P運動到8點時，即％時，BC=PC=a,此時y=a+2,

即AP=AB=a+2,AC=4,BC=a,AB=a+2,

???ZC=90°,

由勾股定理得：3+2)2=42+/,

解得：a=3,

「.AS=5,BC=3,

3

當點尸為3c中點時，CP.，

:.AP=^AC2+CP-=

故選:B.

3.（2024?四川廣元?二模）如圖，在梯形ABCD中，ZB=90°,AB=4,CD=3,AD=V10,點P,E

分別為對角線AC和邊BC上的動點，連接PE點尸在C4上以每秒1個單位長度的速度從點C運動到

點A,在這個過程中始終保持PEL3c.設△CPE的面積為則>與點尸的運動時間》的函數關系圖象

【答案】D

【詳解】解：如圖所示，過點A作AFLCD,交8的延長線于點尸,

則四邊形ABCD是矩形,

團CD=3,AB=4

回CF=AB=4,FD=1,

BAD=y/lO,

^CB=AF=VAD2-FD2=3

在RtZkABC中，AC=4AB。+BC?=5,

13S△/4ioaC,——2AB'x.BC——2x3x4=6

團點尸在C4上以每秒1個單位長度的速度從點C運動到點A,

B0<t<5

國PE工BC

^PE//AB

aACPES^CAB

2

團u^PCEt

a^ACB25

團y=的（0<r<5）

當t=l時，y=—=0.24

觀察函數圖象，只有D選項符合題意,

故選：D.

4.（2024?河南信陽?一模）如圖1,已知YABCD的邊長AB為4石，ZB=3O°,AE_LBC于點E.現將

△ABE沿BC方向以每秒1個單位的速度勻速運動，運動的44BE與YABCD重疊部分的面積S與運動時間

t的函數圖象如圖2,則當t為9時，S的值是（）

D.56

【答案】C

【詳解】解：回AB為4石，ZB=30°,AE_L8c于點E.

0AE=2A/3,

^BE=YJAB2-AE2=6>

由運動的AABE與YABCD重疊部分的面積S與運動時間t的函數圖象得:

當運動到6時，重疊部分的面積一直不變,

0CE=6,

回5C=12,

由函數圖象得：當運動時間r>6時，為二次函數，且在1=6時達到最大值，對稱軸為直線r=6,

團二次函數與坐標軸的另一個交點為（0,0）,

設二次函數的解析式為S=m“-12）。>6）,

將點（6,6君）代入得：a=_B,

團S=-'0-12）?>6）,

當f為9時，S=-.

2

故選：c.

5.（2023?廣西）如圖，在Rt^ABC中，NACB=90。，ZA=30°,A8=4j3cm,CDYAB,垂足為點

D,動點/從點A出發沿AB方向以梃m/s的速度勻速運動到點B,同時動點N從點C出發沿射線。C

方向以Icm/s的速度勻速運動.當點〃停止運動時，點N也隨之停止，連接MN,設運動時間為人,

的面積為Sen?,則下列圖象能大致反映S與I之間函數關系的是（）

【詳解】解：回/ACB=90°,NA=30°,AB=46'

回/3=60。，BC=AB=2A/3,AC=6BC=6,

^CDYAB,

ECD=—AC—3,AD=y/3CD=3A/3,BD=—BC=A/3,

團當M在4。上時，0W/W3,

MD=AM-AD=36,DN=DC+CN=3+t,

EIS=gAffl?DN=g(3右一口)(3+f)=—孝嚴+券，

當M在8。上時，3<?<4,

MD=AD-AM=底-3幣,

ias=；Mr>?r)N=g(?_3A)(3+f)=?嚴一竽，

故選：B.

6.(2023?遼寧)如圖，矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC與3D交于點。，M是BC的中

點.P、。兩點沿著3fC—。方向分別從點8、點又同時出發，并都以1cm/s的速度運動，當點。到

達。點時，兩點同時停止運動.在P、。兩點運動的過程中，與△。尸。的面積隨時間f變化的圖象最接近

的是()

【詳解】解：,矩形ABCD中，AB=8cm,AD=12cm,AC與8。交于點O,

11

.??點。到BC的距離=]A3=4,到CD的距離=耳4￡>=6,

,點M是BC的中點,

:.CM=-BC=6,

2

點。到達點C的時間為6+1=6s,

點尸到達點C的時間為12+1=12s,

點Q到達點D的時間為(6+8)+1=14s,

①0WCW6時，點P、。都在3C上，PQ=6,

/\OPQ的面積=gx6x4=12；

②6ct(12時，點尸在3C上，點。在C￡>上,

cp=n-t,CQ=%—6,

S&OPQ=S^COP+^\COQ~SAPCQ，

=~x(12-/)x4+x(/-6)x6-x(12-?)x(/—6),

1

=—*9—8%+42,

2

1

=-(/-8)29+10,

③12＜心14時，PQ=6,

△o尸。的面積=：X6X6=18；

縱觀各選項，只有B選項圖形符合.

故選：B.

7.(2024?山東淄博?一模)如圖1,點尸從A4BC的頂點B出發，沿8fCfA勻速運動到點A,圖2是點

P運動時，線段8P的長度＞隨時間x變化的關系圖象，其中曲線部分為軸對稱圖形，M為最低點，則

△ABC的面積是()

【答案】C

【詳解】解：由圖得，當點P運動到點C和店A處時，BP長都是5,即3c=54=5,

當BP最短時，即5P垂直AC時長為4,

如圖,

在RtABCP中,

;BC=5,BP=4,

:.PC=^BC--BP-=3,

?；BC=BA,BPLAC,

,\CP=AP=3,

AC=6,

.?.SABC=|AC.BP=ix6x4=12.

故選：C.

8.（2023?山東）如圖，在Rt^ABC中，AB=10cm,sinA=-,ZACB=90°,過點C向A3作垂線，垂

足為。.直線孤〃垂直于AB,直線加分別與AB,AC相交于點M,N,直線”分別與AB,BC相交于點尸、

Q.直線機從點A出發，沿A3方向以lcm/s的速度向點。運動，到達點。時停止運動；同時，直線”從

點8出發，沿班方向以相同的速度向點O運動，到達點O時停止運動.若運動過程中直線機、〃及

△ABC圍成的多邊形MVCQ尸的面積是Men?）,直線機的運動時間是x（s）,則y與尤之間函數關系的圖

象大致是（）

【詳解】解：Rt^ABC中，ZACB=90°,過點C向AB作垂線,

0ZCDB=90°,

0ZA+ZACD=90°,/BCD+ZACD=90°,

EIZA=ZBCD,

同理NB=NACD

3

0AB=10cm,sinA=-,

0BC—AB?sinA=6,

在Rt/VIBC中，運用勾股定理得AC=8,

^-ABCD=-ACBC,EICD=—

225

344

由sinA=一得：cosA=—,tanA=—

553

1Q

當0<x<不時，AM=BP=x,

4334321g

由切柿二耳，tanB=-M：MN=-x,QP=-xfAD=—,BD=—

321g

0MD=——x,DP=——x,

55

國y=S五邊形MNc°；（MN+CD〉MD+g（。尸+CD）?。尸

If2433218252?

-------F-XX--x-----x+24；

2545)25324

當時,

y=S四邊形MN?=+CD)?MD=g324必-尤

—XH-------

455

32384

——x+——.

825

-於+。<18

24x<—

5

團y=<,根據函數解析式判斷A選項符合題意,

38461832

——<x<——

++2555

故選：A.

10.（2024?山東聊城一模）如圖，在"RC中，AB=10,BC=6,AC=8,點尸為線段AB上的動點,

以每秒1個單位長度的速度從點A向點8移動，到達點8時停止.過點尸作PM,AC于點/，作

PN1BC于■苴N,連結MN,線段的長度》與點P的運動時間八秒）的函數關系如圖所示，則函數圖象

最低點E的坐標為

【詳解】解：連接CP,如圖,

I3AB=1O,BC=6,AC=8,

0BC2+AC2=36+64=100,AB2=100,

0BC2+AC2=AB2,

0ZACB=9O°,

^PMLAC,PN1BC,

0ZPMC=ZPNC=ZMCN=90°,

團四邊形MPNC為矩形，

0MN=CP,

回點尸為線段AB上的動點，由于垂線段最短，

團當CPLAB時，CP取得最小值，即'=加取最小值,

過點。作。尸，A5于點P,

0ZAPC=ZACS=90°,

X0ZA=ZA,

HAACP^AABC,

ACCPAP

0----=-----=-----

ABBCAC

8CP_AP

回一

10w

2432

回CP=—,AP=—

55

團當，=三時，y取最小值為^

5o

回函數圖象最低點E的坐標為

故答案為：看力.

11.如圖①，在菱形ABC。中，〃=120。，點E是BC的中點，點P是對角線AC上一動點，設尸C的長

度為1,理與必的長度之和為y,圖②是y關于］的函數圖象，則圖象上最低點H的坐標

為.

【詳解】圖像上最低點表示的意義為y=P8+PE最小，

團菱形ABC￡),

團昆。關于AC對稱，

團連接DE交AC于P,此時y=PB+PE最小，最小值為DE長度,

回》=0即點尸與點C重合時，y=6,

^\BC+CE=6,

團點E是的中點，

0BC=4,CE=2.

連接3D.

團菱形ABC。，ZADC=120°,

^\AD=AB=CD=BC=4,NBCD=60°,ZACB=ZACD=30°,

回是等邊三角形，

團點E是AB的中點，

^DEIAB,NCDE=30。,BE=CE=；BC=2,

回近="2—22=2/，即，=2g.

CE

團cosNACB=—,

CP

團"=20=遞，即.記

23

團圖像上最低點。的坐標為

故答案為：

12.（2024?山東棗莊?一模）如圖1,在廿WC中，點P從點A出發向點C運動，在運動過程中，設x表示

線段"的長，y表示線段的長，y與x之間的關系如圖2所示，則加一"=.

【詳解】解：由圖2知：當尤=0,P和A重合，則AB=2,

當x=l,y最小，最小值為w,止匕時3P_LAB,AP=1,

回九=A/22-12=y/3,

當x=4時，P和6重合，則呂。=機，

回m=/同+（4_嚀=26,

團帆一〃=2y/3—\/3=A/3，

故答案為：6

13.如圖1,在平行四邊形ABCD中，ZB=60°,BC=2AB,動點尸從點A出發，以每秒1個單位的速

度沿線段A3運動到點6停止，同時動點Q從點3出發，以每秒4個單位的速度沿折線8-C-O運動到點

。停止.圖2是點尸、。運動時，VBPQ的面積S與運動時間f函數關系的圖象，則。的值是.

【答案】9/

【詳解】解：由題圖2得，『=6時，點P停止運動，

點尸以每秒1個單位速度從點A運動到點3用了6秒,

/.AB=1x6=6,

.\BC=2AB=2x6=12,

由點P和點。的運動可知，AP=t,BP=6-t,

當點。在8C上時，即0</<3時，BQ=4t,

過點尸作PM上交8C于M,

AD

爾/wso。,

BMQC

PM=BP-sin60°=^（6-r）,

SQBPQ=5BQ，PM=—,4?—+6\/3t,

當點。在CD上時，即3W時，

:.AB//CD,

???S?2=S"=；BCPM=；X12X*（6T）=-3后+184,

由上可知，當點。到達點C時，S=a,

即當t=3時，a=-3gx3+18&=96，

故答案為：93

14.（2024?福建福州一模）如圖（1），點。為等邊三角形ABC的邊A3的延長線上一點，且BD=a，點E

在線段2C上運動，點F在AC的延長線上運動，連接。￡EF,“跖恒為120。，設8E的長為x,CP的

長為y,且y與x之間的函數關系的圖象如圖（2）所示（當點E與點C重合時，不妨設y=。），已知點。

為該圖象的最高點，則。的值為.

A

圖⑴圖⑵

【答案】2

【詳解】解：根據函數圖象可知：

設函數解析