第二十四章圓知識歸納與題型突破(題型清單)

01思維導(dǎo)圖

「圓的對稱性

廠圓的有關(guān)性質(zhì)V弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

-同弧或等弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系

r點(diǎn)和圓的位置關(guān)系一三角形的夕忖妾圓

點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系4

L直線與圓的位置關(guān)系一三角形的內(nèi)切圓

Y

正多邊形與圓｛等分圓周

r弧長

L弧長和扇形面積?扇形面積

-圓錐的側(cè)面積和全面積

02知識速記

、圓的有關(guān)概念

定義注意

弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦圓中有無數(shù)條弦，其中直徑是最

直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑長的弦

(1)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧；

(2)圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，

弧、半圓、弧包括優(yōu)弧、劣弧和半圓；半圓

每一條胡都叫做半圓；

優(yōu)弧、劣弧既不是劣弧，也不是優(yōu)弧

(3)小于半圓的弧叫做劣弧；

(4)大于半圓的弧叫做優(yōu)弧

1

能夠重合的兩個圓叫做等圓.容易看出：半徑相等的等圓只和半徑的大小有關(guān)，和圓

等圓

兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等心的位置無關(guān)

等弧只能出現(xiàn)在同圓或等圓中；

等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧等弧是全等的，而不僅僅是弧的

長度相等

二、垂徑定理及其推論

1、垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弦.

2、垂徑定理的推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

三、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

1、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；

2、推論

(1)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；

(2)在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等；

3、弦和弦心距(圓心到弦的距離)之間的關(guān)系

在同圓或等圓中，如果兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦相等.

四、圓周角

1、圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

2、圓周角定理的推論

(1)同弧或等弧所對的圓周角相等；

(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑.

3、“五量關(guān)系”定理

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弧所對的圓周角、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一

組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

五、圓內(nèi)接多邊形

1、圓內(nèi)接多邊形

2

如果一個多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形

的外接圓.

2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

推論：圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角.

六、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)。O的半徑為r,點(diǎn)尸到圓心的距離OP=d,則有:

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系特點(diǎn)等價關(guān)系

點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑點(diǎn)尸在圓外u>d>r

點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑點(diǎn)P在圓上=d=r

點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑點(diǎn)尸在圓內(nèi)r

2、確定一個圓的條件

(1)已知圓心、半徑，可以確定一個圓；

(2)不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.

七、直線和圓的位置關(guān)系

直線和圓的位置關(guān)系相離相切相交

-^-1

圖示

--1

公共點(diǎn)個數(shù)012

公共點(diǎn)名稱切點(diǎn)交點(diǎn)

直線名稱切線割線

圓心。到直線/的距

d>rd=rd<r

離d與半徑r的關(guān)系

d>r=直線I=直線1d<r<=>直線I

等價關(guān)系

與。。相離與。。相切與。。相交

八、切線的相關(guān)知識

1、切線的判定

(1)判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

(2)判定方法

3

a.定義法:與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線；

b.數(shù)量法:圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線；

c.判定定理法:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2、切線的性質(zhì)

(1)性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

(2)切線的性質(zhì)

a.切線和圓只有一個公共點(diǎn)；

b.圓心到切線的距離等于半徑；

c.圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；

d.經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)(找切點(diǎn)用)；

已經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心(找圓心用).

3、切線長定理

(1)切線長定義經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

(2)切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條

切線的夾角.

九、三角形的外接圓

1、三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個項點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，這個三角形

叫做這個圓的內(nèi)接三角形.“接”是指三角形的三個頂點(diǎn)都在圓上.

2、三角形的外心

(1)定義:三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂真平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心

(2)性質(zhì):三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，等于其外接圓的半徑.

3、三角形外接圓的作法作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點(diǎn);以該交點(diǎn)為圓心，以交點(diǎn)到三個

頂點(diǎn)中任意一點(diǎn)的距離為半徑作圓即可

十、三角形的內(nèi)切圓

1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫做這個圓的外切三角形

2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心

3、三角形內(nèi)心的性質(zhì)

三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，且等于其內(nèi)切圓的半徑.

4

十一、弧長和扇形面積

,nnR

1、弧長公式I=-----

180

°miR2

2、扇形面積8=------

360

03題型歸納

題型一圓的基本概念辨析

例1.（2024九年級上.全國?專題練習(xí)）下列語句中，不正確的是（）

A.圓既是中心對稱圖形，又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形

B.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)89。57,時，不會與原來的圓重合

D.圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級上.全國?專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.大于半圓的弧叫做優(yōu)弧

B.長度相等的兩條弧叫做等弧

C.過圓心的線段是直徑

D.直徑一定大于弦

2.（24-25九年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）下列說法：①直徑是弦；②半圓是弧；③半徑相等的兩個圓是等圓;

④長度相等的兩條弧是等弧；⑤平面上任意三點(diǎn)能確定一個圓.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.（23-24九年級上?寧夏石嘴山?期中）如圖，下列說法正確的是（）

5

c

A.線段4B,AC,CD都是O。的弦

B.線段AC經(jīng)過圓心。，線段4C是直徑

C.AD=BD

D.弦把圓分成兩條弧，其中初是劣弧

題型二利用垂徑定理求平行弦問題

例2.（2023九年級上?全國?專題練習(xí)）已知。。的直徑為20加，AB,CD是O。的兩條弦，AB||CD,AB=

如，CD=貝）與之間的距離為

16Vrlll12Vrmlll,148CDcm.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023九年級?全國?專題練習(xí)）在半徑為10的。。中，弦4B=12,弦CD=16,且AB||CD,叫4B與C。之

間的距離是—.

2.（22-23九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）設(shè)AB、8是。。的兩條弦，AB\\CD.若。。的半徑為13,43=24,

CD=10,則AB與CD之間的距離為.

3.（21-22九年級上?黑龍江大慶?階段練習(xí)）已知。。的直徑為26cm,AB.CD是。。的兩條弦，AB//CD,

AB=24cm,CD=10cm,則AB>之間的距離為cm.

題型三利用垂徑定理求同心圓問題

例3.（22-23九年級上?北京?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過力（2,2）,5（4,0）,O三點(diǎn),

那么這條圓弧所在圓的圓心為圖中的（）

6

C.點(diǎn)/D.點(diǎn)G

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上.安徽合肥?期末）將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在

桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm,水的最大深度是2cm,則杯底

C.4V3D.4小

2.（2023九年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在兩個同心圓。。中，大圓的弦力B與小圓相交于C,。兩點(diǎn).

（1）求證：AC=BD；

（2）若AC=3,BC=5,大圓的半徑R=5,求小圓的半徑r的值.

7

3.(22-23九年級上?浙江杭州?階段練習(xí))如圖，在兩個同心圓。。中，大圓的弦4B與小圓相交于C,。兩

⑴求證：AC=BD.

(2)若AC=2,3C=4,大圓的半徑R=5,求小圓的半徑r.

題型四利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

例4.(24-25九年級上?江蘇南通?階段練習(xí))如圖，△ABC內(nèi)接于。0,A為劣弧BC的中點(diǎn)，^BAC=120°,

BD為O。的直徑，連接4。，若4。=8,則4C的長為.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?安徽六安?模擬預(yù)測)如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，已知4C1BD,垂足為E,弦4B的

弦心距為OF.

(1)若4F=0F,貝叱4DB的度數(shù)為.

(2)若。。的半徑為5,AB=8,則CD的長為

8

2.（22-23九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）如圖，在O。中，CD是O。上的一條弦,直徑ZB1CD,連接AC、0D,

3.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）如圖，在半圓。中，點(diǎn)C在半圓。上，點(diǎn)。在直徑4B上，將半圓。沿過BC所在

的直線折疊，使詫恰好經(jīng)過點(diǎn)若BC=m，BD=1,則半圓。的直徑為.

題型五利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

例5.（24-25九年級上?江蘇徐州?階段練習(xí)）如圖，AB.CD是。。的兩條弦，"與BD相交于點(diǎn)E,4B=

CD.求證：AC=BD.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，在。。中，AC=BC,8_14。于點(diǎn)。，CE1。8于點(diǎn)E.

9

AB

(1)求證：AD=BE.

(2)若4。=DO,r=3,求CD長.

2.(24-25九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí))如圖，四邊形48CD內(nèi)接于O。，。是弧AC的中點(diǎn)，延長8c到點(diǎn)E,

使CE=AB,連接BD,ED.

(1)求證：BD=ED.

⑵若乙4BC=60。，4。=5,求。。的半徑,

3.(24-25九年級上?浙江紹興?階段練習(xí))如圖，O。的直徑48為10,弦BC為6,。是公的中點(diǎn)，弦8。和CE

交于點(diǎn)/，且DF=DC.

(1)求證：EB=EF；

⑵求證：BE=AE

(3)求CE的長.

題型六求圓弧的度數(shù)

10

例6.（22-23九年級上?全國?單元測試）已知AB,CD是。。的直徑，弦CE||AB,4C0E=40。，則第的度

數(shù)是（）

A.70°B.110°C.40°D.70°或110°

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24九年級上?山東聊城?期中）如圖，AB,CD是O。的弦，延長力B,CD相交于點(diǎn)E,已知NE=

30%乙4OC=100°,則筋的度數(shù)是（）

A.70°B.50°C.40°D.30°

2.（2023?福建?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)4B,C在。。上，巔=2筋，/ABC=38。，連接。4交BC于點(diǎn)M,則

乙4MC的度數(shù)是（）

A.108°B.109°C.110°D.112°

3.（23-24九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?期中）如圖,AB,AC是。。的兩條弦，且4B=AC,點(diǎn)D,P分別在正和檢上,

若NBDC=150°,貝lj乙4PC的度數(shù)是（）

11

A.105°B.110°C.120°D.150°

題型七利用圓周角定理求角度

例7.（24-25九年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知。。的半徑04=1,弦力B的長為若在O。上找一點(diǎn)C,

貝IJNBCA=°.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，。。是AABC的外接圓，若NOAB=25。，貝UNACB的度數(shù)為

2.（24-25九年級上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，以△2BC的邊為直徑的。。分別交48、AC于點(diǎn)。、E,

連接。￡?、OE.若ZA=62。，貝UNDOE=°.

12

A

3.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）已知4C是。。的弦，點(diǎn)B在。。上，連接。4,OC,OB,Z.BOC=40°.

（1）如圖①，當(dāng)標(biāo)=詫時，/-OAC='

（2）如圖②，當(dāng)4C||OB時，乙4OC=°

（3）如圖③，當(dāng)AC=OB時，N力。B='

題型八利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求角度

例8.（24-25九年級上?江蘇徐州?階段練習(xí)）如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，BC是。。的直徑,

BC=2AB,則乙4DC的度數(shù)為°.

鞏固訓(xùn)練

13

1.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，在。。的內(nèi)接四邊形4BCD中，AB=AD,NE=130。，貝叱。

的度數(shù)為'

2.（23-24九年級上?黑龍江大慶?期中）如圖，四邊形2BCD內(nèi)接于。0,延長CO交。。于點(diǎn)E,連接BE,

若NA=100。，NE=60。，則NOCD的大小為°.

3.（24-25九年級上?全國?單元測試）如圖，已知四邊形48CD是。。的內(nèi)接四邊形，E為延長線上一點(diǎn),

/-AOC=128°,貝此CDE等于.

題型九利用圓周角定理的推論進(jìn)行探究證明

例9.（24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）如圖，四邊形4BCD內(nèi)接于O。，4比1。=90。，BC=CD,過

點(diǎn)C作CE,使得CD=CE,交力。的延長線于點(diǎn)E.

14

A

⑴求證：AB^AE；

(2)若AD=DE=4,求CD的長.

鞏固訓(xùn)練

1.(24-25九年級上?浙江寧波?階段練習(xí))如圖,4B是半圓。的直徑,C,。是圓上的兩點(diǎn),NC=90。,且。D||AC,

。。與BC交于點(diǎn)E.

(1)求證：E為BC的中點(diǎn).

(2)若BC=10,DE=3,求力B的長度.

2.(24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖所示，四邊形力BCD是半徑為r的。。的內(nèi)接四邊形，是。。

的直徑，^ABD=45°,直線/與三條線段CD、乙4、口4的延長線分別交于點(diǎn)E、F、G.且滿足NCFE=45°.

(1)求證：直線/，直線CE；

⑵若AB=DG.

①求證：hABCSAGDE；

②若半徑r=2,CE=3,求四邊形ABC。的周長.

15

3.（24-25九年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，48為。。的直徑，CD為弦,CD，4B于點(diǎn)E,連接。。并延

長交O。于點(diǎn)E連接質(zhì)交CC于點(diǎn)G,CG=AG,連接AC.

（1）求證：AC||DF；

⑵①ZAOD=°；

②若4B=12,由①中結(jié)論求GD的長.

題型十切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用

例10.（2024九年級上?全國?專題練習(xí)）如圖，4B是。。的直徑，P4與。。相切于點(diǎn)A,乙4BC=20。，。。的

延長線交P2于點(diǎn)尸，則NP的度數(shù)是（）

C.50°D.60°

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）如圖，在四邊形ZBCD中，AB||CD,ADLAB,以。為圓心，力。為半徑的

弧恰好與BC相切，切點(diǎn)為E,若等=［，則tanC的值是（）

16

B,也D.四

2.（23-24九年級上?四川綿陽?期中）如圖，48是圓。的弦，AB,。。相交于點(diǎn)C,且CD=BD.連

接。B,當(dāng)。4=3,。。=1時，則線段BD的長為（）

3.（2023九年級?全國?專題練習(xí)）如圖，在△2BC中，AB=AC,以AC邊為直徑作O。交8c于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作

3

。。的切線，交4B于點(diǎn)E,交4C的延長線于點(diǎn)F；若半徑為3,且sin/C陽=m，則線段4E的長是（）

題型十一利用切斜長定理求解

例11.（23-24九年級上.四川綿陽?階段練習(xí)）如圖，AD.4E是。。的切線，。、E為切點(diǎn)，BC與。。相切

于點(diǎn)R分別交2D、4E于點(diǎn)B、C.若△ABC的周長為16,則切線長4。為（）

D.無法確定

17

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下?陜西西安?階段練習(xí)）如圖，直線A3、BC、CD分別與。。相切于點(diǎn)E、F、G且||CD,

若05=8cm,0C=6cm,貝+CG等于（）

2.（22-23九年級上?遼寧盤錦?開學(xué)考試）以正方形ZBCD的ZB邊為直徑作半圓。，過點(diǎn)C作直線切半圓于點(diǎn)F,

交邊于點(diǎn)E,若ACDE的周長為12,則直角梯形ZBCE周長為（）.

A.12B.13C.14D.18

3.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，瓦4,ED是。。的切線,切點(diǎn)為A,。,點(diǎn)3,C在。。上，若4H4E+=

236°,貝ikE=（）

A.56°B.60°C.68°D.70°

18

題型十二利用切線長定理求證

例12.(2024九年級下?遼寧?專題練習(xí))如圖，點(diǎn)A在。。外，AB.AD分別與O。相切于點(diǎn)8,D,AD,BO

的延長線相交于點(diǎn)C,O。交BC于點(diǎn)E,連接。。并延長，交O。于點(diǎn)R連接EF.

(2)若4。=6亞,CD=3V5,求O。的半徑及EF的長.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?黑龍江齊齊哈爾.模擬預(yù)測)如圖，已知力B是。。的直徑，過點(diǎn)A作射線114B,點(diǎn)尸為/上一個

動點(diǎn)，點(diǎn)C為。。上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且P4=PC,過點(diǎn)B作4B的垂線交PC的延長線于點(diǎn)。，連接4D.

(1)求證：PC為。。的切線；

(2)若4P=4BD,求sin/BAD的值.

2.(2023?湖北黃岡?模擬預(yù)測)如圖，AABC的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)。，E,F,過產(chǎn)作BC的平行線交DE的延

長線于點(diǎn)G,求證：FH=GH.

19

A

3.（23-24九年級下?北京?期末）如圖，48是。。的直徑，PB,PC是。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為8,C.連

接P。交O。于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,連接AC.

-1

⑴求證：OE=^AC；

（2）若點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，。。的半徑為6,求PB的長.

題型十三圓的綜合問題

例13.（2023?遼寧丹東?中考真題）如圖，已知4B是。。的直徑，BD是。。的弦，點(diǎn)尸是O。外的一點(diǎn),

PCLAB,垂足為點(diǎn)C,PC與BD相交于點(diǎn)E,連接尸￡>,且PD=PE,延長尸。交BA的延長線于點(diǎn)￡

⑴求證：PD是。。的切線；

⑵若W=4,PE=I，cosZ.PFC=I，求BE的長.

20

鞏固訓(xùn)練

1.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)如圖，是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)過點(diǎn)C作CD14B于點(diǎn)E,交。。于

點(diǎn)。，點(diǎn)尸是4B延長線上一點(diǎn)，連接CF,AD,乙FCD=2乙DAF.

(1)求證：CF是。。切線；

(2)若AF=10,sinF=求CD的長.

2.(2023?湖南永州?中考真題)如圖，以4B為直徑的。。是A4BC的外接圓，延長BC到點(diǎn)D使得ABAC=

NBD4,點(diǎn)E在D4的延長線上，點(diǎn)2在線段AC上，CE交BM于N,CE交48于G.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若AC=V6,=5,4C>CD,求BC的長;

(3)若DE?AM=2C?4。，求證：BM1CE.

3.(2023?四川雅安?中考真題)如圖，在RtaABC中，^ABC=90°,以4B為直徑的。。與4C交于點(diǎn)。，點(diǎn)E

是BC的中點(diǎn)，連接BD,DE.

21

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若DE=2,tanABAC=1,求4D的長；

⑶在(2)的條件下，點(diǎn)尸是。。上一動點(diǎn)，求P4+PB的最大值.

題型十四三角形的周長、面積與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系

例14.(23-24九年級上?江蘇鹽城?期中)如圖，。。為AABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為尸、G、H,點(diǎn)。,E分別

為BC,AC上的點(diǎn)，且DE為。。的切線.

⑴若〃=40。，求乙40B的度數(shù);

(2)若AC=8,AB=6,BC=9,求△CDE的周長.

鞏固訓(xùn)練

1.(22-23九年級上?貴州黔西?期中)如圖，已知。是AABC的內(nèi)心，連接CM,OB,0C.若AABC內(nèi)切圓

的半徑為2,△ABC的周長為12,求△ABC的面積.

22

1.（2024.湖北武漢.二模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓。。與BC,CA,48分別相切于點(diǎn)。，E,F,且48=20,

BC=21,CZ=13,則下列說法不正確的是（）

A.乙EDF=AAB.乙EOF=+/C

14

C.50=14D.0E=—

3

3.（22-23九年級上?湖北襄陽?自主招生）圓。1內(nèi)切于正三角形△48C,半徑為R,圓。2與圓。1及4B,AC均

相切，圓出的半徑為r,則/等于（）

A.4B.2C.3D.5

題型十五三角形內(nèi)切圓與外接圓綜合

例15.（2023?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，。是△48C的外心，/是△48C的內(nèi)心，連接4/并延長交BC和O。于

(1)求證：EB=EI-,

(2)若AB=8,AC=6,BE=4,求力/的長.

鞏固訓(xùn)練

23

1.(2024?上海.模擬預(yù)測)已知AaBC的內(nèi)心為。，AO=V3.

(1)如果AABC的外心也為O,求證：△ABC為等邊三角形，并尺規(guī)作線段40；

(2)延長2。交邊BC于E,求證：,=受

2.(22-23九年級上?江蘇鹽城?期中)如圖，/是A/IBC的內(nèi)心，4/的延長線交AABC的外接圓于點(diǎn)D

D

⑴求證：乙BAD=LCBD；

(2)求證：BD=ID；

(3)連接B/、CI,求證：點(diǎn)。是AB/C的外心.

3.(21-22九年級上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期末)如圖，點(diǎn)E是△A8C的內(nèi)心，AE的延長線和△A8C的外接圓

相交于點(diǎn)。，連接8E,

⑴若/C3ZA34。,求NBEC的度數(shù);

(2)求證：DE=DB.

24

題型十六正多邊形與圓的綜合

例16.(24-25九年級上?江蘇鹽城?階段練習(xí))如圖，正方形4BCD內(nèi)接于O0,M為弧4。中點(diǎn)，連接BM,CM.

M

(1)求證：BM=CM；

(2)連接。B、0M,求NBOM的度數(shù).

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24九年級上?云南紅河?期末)如圖,正六邊形4BCDEF內(nèi)接于。0,。。半徑為4.

E--

O

A'-......-

(1)求點(diǎn)。至IjAB的距離；

(2)求正六邊形ABCDEF的面積.

2.(23-24九年級下.全國?課后作業(yè))如圖,正方形A8CD的外接圓為O。，點(diǎn)尸在劣弧CD上(不與點(diǎn)C重

合).

(1)求MPC的度數(shù);

25

（2）若。。的半徑為8,求正方形4BCD的邊長.

3.（23-24九年級上.安徽淮南.階段練習(xí)）如圖，正六邊形4BCDEF的邊長為2,求該正六邊形的外接圓與內(nèi)

切圓所形成的圓環(huán)面積.

題型十七弧長與扇形面積

例17.（2024?安徽?模擬預(yù)測）“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業(yè)生產(chǎn)中廣泛使用的一種圖形.如

圖，分別以等邊△ABC的三個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑畫弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”.若

圖中陰影部分的面積為Si，空白部分的面積為S2,則金的值為（）

2

C.且D.

23

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）如圖，在AABC中，N2BC=144。，AB與。。相切于點(diǎn)以點(diǎn)C在O。上，若

。。的半徑為1,則我的長為（）

26

D.2a

2.（2024.山西晉中.一模）如圖，在RtAZBC中，NC=90。，乙4=30。，BC=2,以邊4C為直徑作半圓交

邊48于點(diǎn)D.以點(diǎn)B為圓心，邊2C長為半徑作左交邊48于點(diǎn)E,則圖中陰影部分的面積為（）

A

A.5TT-4V3B.-7T-2V3D.—TT-2A/3

3.（2023?山東青島?中考真題）如圖，四邊形48CD是。。的內(nèi)接四邊形，=58。，AACD=40°.若。。的

半徑為5,則虎的長為（）

D.-7T

27

第二十四章圓知識歸納與題型突破(題型清單)

01思維導(dǎo)圖

r圓的對稱性

廠圓的有關(guān)性質(zhì)-弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

-同弧或等弧所對的圓周角和圓心角的關(guān)系

r點(diǎn)和圓的位置關(guān)系一三角形的夕忖妾圓

點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系4

L直線與圓的位置關(guān)系一三角形的內(nèi)切圓

Y

正多邊形與圓｛等分圓周

r弧長

L弧長和扇形面積?扇形面積

*圓錐的側(cè)面積和全面積

02知識速記

二、圓的有關(guān)概念

定義注意

弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦圓中有無數(shù)條弦，其中直徑是最

直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑長的弦

(1)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧；

(2)圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，

弧、半圓、弧包括優(yōu)弧、劣弧和半圓；半圓

每一條胡都叫做半圓；

優(yōu)弧、劣弧既不是劣弧，也不是優(yōu)弧

(3)小于半圓的弧叫做劣弧；

(4)大于半圓的弧叫做優(yōu)弧

28

能夠重合的兩個圓叫做等圓.容易看出：半徑相等的等圓只和半徑的大小有關(guān)，和圓

等圓

兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等心的位置無關(guān)

等弧只能出現(xiàn)在同圓或等圓中；

等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧等弧是全等的，而不僅僅是弧的

長度相等

二、垂徑定理及其推論

1、垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弦.

2、垂徑定理的推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

三、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系

1、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；

2、推論

(1)在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；

(2)在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等；

3、弦和弦心距(圓心到弦的距離)之間的關(guān)系

在同圓或等圓中，如果兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦相等.

四、圓周角

1、圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

2、圓周角定理的推論

(1)同弧或等弧所對的圓周角相等；

(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90。的圓周角所對的弦是直徑.

3、“五量關(guān)系”定理

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弧所對的圓周角、兩條弦、兩條弦的弦心距中有一

組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.

五、圓內(nèi)接多邊形

1、圓內(nèi)接多邊形

29

如果一個多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形

的外接圓.

2、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ).

推論：圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角.

六、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)。O的半徑為r,點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,則有:

點(diǎn)和圓的位置關(guān)系特點(diǎn)等價關(guān)系

點(diǎn)在圓外點(diǎn)到圓心的距離大于半徑點(diǎn)尸在圓外=d>r

點(diǎn)在圓上點(diǎn)到圓心的距離等于半徑點(diǎn)P在圓上=d=r

點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑點(diǎn)尸在圓內(nèi)r

2、確定一個圓的條件

(1)已知圓心、半徑，可以確定一個圓；

(2)不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.

七、直線和圓的位置關(guān)系

直線和圓的位置關(guān)系相離相切相交

圖示

———1

公共點(diǎn)個數(shù)012

公共點(diǎn)名稱切點(diǎn)交點(diǎn)

直線名稱切線割線

圓心。到直線/的距

d>rd=rd<r

離d與半徑r的關(guān)系

d>r=直線I=直線1d<r0直線I

等價關(guān)系

與。。相離與。0相切與。。相交

八、切線的相關(guān)知識

1、切線的判定

(1)判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

(2)判定方法

30

a.定義法:與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線；

b.數(shù)量法:圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線；

c.判定定理法:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2、切線的性質(zhì)

(1)性質(zhì)定理圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

(2)切線的性質(zhì)

a.切線和圓只有一個公共點(diǎn)；

b.圓心到切線的距離等于半徑；

c.圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；

d.經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)(找切點(diǎn)用)；

已經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必過圓心(找圓心用).

3、切線長定理

(1)切線長定義經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

(2)切線長定理從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條

切線的夾角.

九、三角形的外接圓

1、三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個項點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，這個三角形

叫做這個圓的內(nèi)接三角形.“接”是指三角形的三個頂點(diǎn)都在圓上.

2、三角形的外心

(1)定義:三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂真平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心

(2)性質(zhì):三角形的外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，等于其外接圓的半徑.

3、三角形外接圓的作法作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點(diǎn);以該交點(diǎn)為圓心，以交點(diǎn)到三個

頂點(diǎn)中任意一點(diǎn)的距離為半徑作圓即可

十、三角形的內(nèi)切圓

1、三角形的內(nèi)切圓

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫做這個圓的外切三角形

2、三角形的內(nèi)心

三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心

3、三角形內(nèi)心的性質(zhì)

三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，且等于其內(nèi)切圓的半徑.

31

十一、弧長和扇形面積

1、弧長公式1=黑

loU

2、扇形面積=—

s360

03題型歸納

題型一圓的基本概念辨析

例1.（2024九年級上.全國?專題練習(xí)）下列語句中，不正確的是（）

A.圓既是中心對稱圖形，又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形

B.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)89。57,時，不會與原來的圓重合

D.圓的對稱軸有無數(shù)條，對稱中心只有一個

【答案】C

【分析】此題考查了圓的軸對稱性質(zhì)和圓的旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn).

根據(jù)圓是軸對稱圖形的性質(zhì)，以及圓的旋轉(zhuǎn)不變性即可求解.

【詳解】解：A、因為圓旋轉(zhuǎn)任意一個角度都能夠與自身重合，所以圓不僅是中心對稱圖形，也是旋轉(zhuǎn)對稱

圖形，正確；

B、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確；

C、當(dāng)圓繞它的圓心旋轉(zhuǎn)89。57,時，會與原來的圓重合，錯誤；

D、任意過圓心的直線都是圓的對稱軸，有無數(shù)條，對稱中心即是圓心，有一個，正確.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024九年級上.全國?專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.大于半圓的弧叫做優(yōu)弧

B.長度相等的兩條弧叫做等弧

C.過圓心的線段是直徑

D.直徑一定大于弦

32

【答案】A

【分析】此題考查了圓的有關(guān)定義及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn).

根據(jù)圓的有關(guān)定義及性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A、大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，原說法正確，符合題意；

B、在同圓或等圓中長度相等的兩條弧叫做等弧，原說法錯誤，不符合題意；

C、過圓心的弦是直徑，原說法錯誤，不符合題意；

D、在同圓或等圓中，直徑一定大于除直徑外的弦，原說法錯誤，不符合題意；

故選：A.

2.（24-25九年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）下列說法：①直徑是弦；②半圓是弧；③半徑相等的兩個圓是等圓;

④長度相等的兩條弧是等弧；⑤平面上任意三點(diǎn)能確定一個圓.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題考查的是圓的認(rèn)識，根據(jù)等圓、等弧和半圓的定義以及確定圓的條件，分別進(jìn)行判斷.

【詳解】解：直徑是弦，故①正確，

半圓是弧，故②正確，

半徑相等的圓是等圓，故③正確，

同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故④錯誤，

平面上不共線的三點(diǎn)能確定一個圓，故⑤錯誤，

正確的各數(shù)為3,

故選：C.

3.（23-24九年級上?寧夏石嘴山?期中）如圖，下列說法正確的是（）

A,線段AB,AC,CD都是。。的弦

B.線段AC經(jīng)過圓心。，線段4C是直徑

C.AD=BD

D.弦4B把圓分成兩條弧，其中初是劣弧

【答案】B

33

【分析】本題考查圓的相關(guān)定義，根據(jù)弦的定義對A進(jìn)行判斷；根據(jù)直徑的定義對B進(jìn)行判斷；不能確定

AD=BD,則可對C進(jìn)行判斷；根據(jù)劣弧和優(yōu)弧的定義對D進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A.線段AB,4C都是。。的弦，CD不是，所以A選項不符合題意；

B.線段47經(jīng)過圓心。，線段4C是直徑，所以B選項符合題意；

C.當(dāng)點(diǎn)。為48的中點(diǎn)時，AD=BD,所以C選項不符合題意；

D.初為優(yōu)弧，所以D選項不符合題意.

故選：B.

題型二利用垂徑定理求平行弦問題

例2.（2023九年級上?全國?專題練習(xí)）已知。。的直徑為20cm，AB,CD是。。的兩條弦，AB||CD,AB=

16cm，CD=12cm，貝UB與CD之間的距離為cm.

【答案】2或14

【分析】作