12.2平方根和開平方

（第1課時）2023-2024學年滬教版七年級下冊數學課件學習目標1．理解平方根產生的背景和平方根的概念及其符號表示；2．知道正平方根與平方根的區別，理解正數的兩平方根之間的關系及實數范圍內負數沒有平方根；3．會根據開平方根與平方的逆運算關系求完全平方數的平方根.

我們在上一節認識了像

、

、

這樣的無理數,它們的表示形式中都有“

”,現在來學習與這類數有關的概念和運算.問題1

學校要舉行美術作品比賽，小優裁出了一塊面積為25dm2

的正方形的畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？分析：∵()2=25∴這個正方形畫布的邊長應取

dm.55問題2

如果一個數的平方為25，那么這個數是多少？分析：∵(±5)2=25∴這個數是5或

-5.想一想：5和-5有什么特征5和

-5互為相反數，會不會是巧合呢？平方根的定義及性質平方根的概念

如果一個數的平方等于

a，那么這個數叫做

a的平方根，或二次方根.這就是說，如果

x2=a，

x叫做

a的平方根.求一個數

a

的平方根的運算，叫做開平方.a

叫做被開方數.例如：(±3)2=9，3和

-3是9的平方根，簡記為±3是9的平方根.

你能再舉幾個例子嗎？注意：被開方數a≥0.例如82=64，所以8是64的平方根；(-8)2=64，所以-8是64的平方根；所以64的平方根是±8.–1+1+2–2+3–3149–1+1+2–2+3–3149平方開平方比較兩圖中的兩種運算的特點，你能發現什么？互為逆運算開平方運算與平方運算互為逆運算.根據這種互逆關系，可以求一個數的平方根總結

互為逆運算平方運算開平方運算1.正數的平方根有什么特點？2.0的平方根是多少？3.負數有平方根嗎？平方根的性質正數的平方根有兩個，它們互為相反數，其中正的平方根就是這個數的算術平方根.因為02=0，所以0的平方根是0在我們所認識的數中，任何一個數的平方都不會是負數，所以負數沒有平方根.正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根.總結例題1

分別求下列各數的平方根：解：由于

(±2)2

=4，因此4的平方根是2與

-2.36是正數(1)4；

有兩個平方根教材第7頁解：由于(±0.4)2=0.16，(3)0.16.因此0.16的平方根是0.4與

-0.4.(2)

；解：由于

，.1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.的平方根是什么？4.-4有沒有平方根？為什么？0沒有，因為一個數的平方不可能是負數.正數的平方根有幾個？零有平方根嗎？負數有平方根嗎？（1）正數a的兩個平方根互為相反數，可以用表示其中表示a的正平方根（又叫做算術平方根），讀作“根號a”，表示a的負平方根，讀作“負根號a”；（2）0的平方根就是0，記作（3）負數沒有平方根.思考1：例題2

一個正數的兩個平方根分別是2a＋1和

a－4，

求這個數．解：由于一個正數的兩個平方根是2a＋1和

a－4，則有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，

解得

a＝1.

所以這個數為(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.方法歸納：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數.表示

a的正的平方根表示

a的負的平方根記作一個非負數的平方根的表示方法：(算術平方根)開平方根的數學符號表示只有當a

≥0時才有意義.a＜0時無意義.a﹙a≥0﹚的平方根表示為各表示什么意義？表示7的正的平方根（即算術平方根）表示7的負的平方根表示7的平方根例題3

求下列各式的值：解：(1)

.(2)

.(3)

.計算下列各題:3333思考2：從上題中，你能否發現并總結某些規律？為什么會有這樣的規律？因為開平方與平方互為逆運算，根據平方根的意義，我們可以得到（1）當a>0時，（2）當a≥0時,當a<0時，也可以表示為思考3：

a算術平方根記為

，讀作“根號

a”或“二次根號

a”，其中

a

叫做被開方數.算術平方根的符號表示x2＝30(x＞0)

問題：81的算術平方根是多少？

81的算術平方根9

30的算術平方根是(非負數

x)2=aa的算術平方根平方根號被開方數讀作：根號

a(a≥0)(x≥0，a≥0)

是非負數

a的算術平方根根指數為

2，省略不寫21.一個正數的算術平方根有幾個？0的算術平方根有一個，是0.2.0的算術平方有幾個？負數沒有算術平方根.3.-1有算術平方根嗎？負數有算術平方根?一個正數的算術平方根有1個.正數的平方不可能是負數.思考4：(x≥0，a≥0)(a≥0，

≥0)咱倆都是非負數；我是你的方，你是我的根；根號我就是你；我是完全平方數，你就是有理數，

否則，根號我就是你的樣子25是5的方，5是25的根52=25就是5→5(有理數)例題3

求下列各數的正平方根：被開方數越大，對應的算術平方根也越大.總結從大到小

解：(1)由于102=100，因此(2)由于

，因此

(3)由于0.72=0.49，因此

；

；

.教材第8頁判斷題：下列各式是否有意義？為什么？有有有無你能舉出幾個算術平方根的例子嗎？(1)16的算術平方根是______；42一步運算兩步運算(2)的算術平方根是______.總結

計算

的算術平方根時，注意先計算=4，再計算4的算術平方根.因為a

是正數

x

的平方，所以

a是正數.即

中的被開方數

a是正數.邊長(x)面積(a)回憶正方形的面積公式：x

是邊長是正數，那么

a是什么數？為什么？算術平方根的非負性a的算術平方根

也就是說，非負數的算術平方根是非負數.負數不存在算術平方根，即當

a＜0

時，

無意義.非負數非負數算術平方根的性質基本條件：數的角度：關系的角度：形的角度：怎么理解(a≥0，).是一個非負數.的平方是

a；是

a的算術平方根；不計入0，

是一個面積為正數

a的正方形的邊長.3.若，則

a=

；2.若(m

-7)2

=0，則

m=

；4.若

|a-

3|+

，則代數式(a+b)2023=___.1.若|a+3|=0，

則

a=__；-375-1到目前為止，表示非負的式子有：|a|≥0，a2≥0，

≥0.1.（2023黃浦區期中）下列說法正確的是(____)A.任何正數都有平方根B.任何實數都有平方根C.(-2)2的平方根是-2D.|-4|的平方根是2A【解析】解：A、任何正數都有平方根，正確，符合題意；B、負數沒有平方根，故本選項錯誤，不符合題意；C、(-2)2的平方根是±2，故本選項錯誤，不符合題意；D、|-4|的平方根是±2，故本選項錯誤，不符合題意；故選：A．

B

3.（2023靜安區二模）下列關于9的算術平方根的說法正確的是(____)A.9的算術平方根是3與-3B.9的算術平方根是-3C.9的算術平方根是3D.9的算術平方根不存在C【解析】解：9的算術平方根是3，故選：C．4.（2023春?楊浦區期末）4的平方根是____．±2【解析】解：∵22=4，(-2)2=4，∴4的平方根是±2，故答案為：±2．

6.（2023春?寶山區期末）已知實數a的一個平方根是2，則它的另一個平方根是____．【解析】解：根據一個正數的平方根有兩個，它們互為相反數可知：2的相反數是-2．所以a的另一個平方根是-2．7.（2023春?普陀區期中）如果m-3和m+1是一個非零數的兩個平方根，那么m=____．【解析】解：由題意知，m-3=-(m+1)，解得m=1，故答案為：1．1.包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.平方根與算術平方根的聯系與區別：2.只有非負數才有平方根和算術平方根.3.0

的平方根是0，算術平方根也是0.區別：1.個數不同：一個正數有兩個平方根，但只

有一個算術平方根.聯系：歸納總結2.表示法不同：平方根表示為，而算術平方根表示為.算術平方根定義表示特征如果一個正數

x的平方等于

a，即________那么這個正數

x

叫做

a

的算術平方根.a

的算術平方根標記為________.非負數

a

的算術平方根記作“_______”.讀作“_______”，其中

a

叫做___________正數

a

的算術平方根是_______；0算術平方根是_______；負數沒有算術平方根x2=