專題18二次函數與幾何圖形綜合題（與角度問題）

1.（2022?江蘇省蘇州市）如圖，二次函數y=-x2+2mx+2m+l（m是常數，且m>0）的圖象與x

軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C,頂點為D.其對稱軸與線段BC

交于點E,與x軸交于點F.連接AC,BD.

（1）求A,B,C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求/0BC的度數；

（2）若NACONCBD,求m的值；

（3）若在第四象限內二次函數y=-x2+2mx+2m+l（m是常數，且m>0）的圖象上，始終存在

備用圖

【解析】解：(1)當y=0時，-x2+2mx+2m+l=0,

解方程，得X[=-l,x2=2m+l,

:點A在點B的左側，且m>0,

AA(-1,0),B(2m+L0),

當x=0時，y=2m+l,

AC(0,2m+l),

.'.0B=0C=2m+l,

VZB0C=90°,

.?.Z0BC=45°；

（2）如圖1中，連接AE.

.,.D(m,(m+1)2),F(m,0)，

???DF=(m+1)2,OF=m,BF=m+l,

VA,B關于對稱軸對稱,

???AE=BE,

???NEAB=N0BC=45°，

VZACO=ZCBD,NOCB=NOBC,

NACO+NOCB=NCBD+NOBC,BPZACE=ZDBF,

VEF/70C,

.,/AEBEBF1

..tanZACE~^^~—~m+1,

CECEOF

?m+i_1

>?------m+1,

m

m=l或—1,

Vm>0,

??111=1；

(3)如圖，設PC交x軸于點Q.

當點P在第四象限時，點Q總是在點B的左側，此時NCQA>/CBA,即NCQA>45°,

VZACQ=75°,

.\ZCA0<60°,

2m+l<V3，

2

2

2.(2022?四川省達州市)如圖1,在平面直角坐標系中，已知二次函數y=ax?+bx+2的圖象經

過點A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點C.

(1)求該二次函數的表達式；

(2)連接BC,在該二次函數圖象上是否存在點P,使/PCB=NABC?若存在，請求出點P的

坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,直線1為該二次函數圖象的對稱軸，交x軸于點E.若點Q為x軸上方二次函

數圖象上一動點，過點Q作直線AQ,BQ分別交直線1于點M,N,在點Q的運動過程中，EM+EN

的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

J八

yy：y

ry才要r\V

圖I圖2備用圖

【解析】解：(1):拋物線y=ax2+bx+2經過點A(-1,0),B(3,0),

?[a—b+2=0

'-l9a+3b+2=0,

解得：)43,1:

該二次函數的表達式為y=-|x2+|x+2；_

(2)存在，理由如下：

如圖1,當點P在BC上方時,

圖1

VZPCB=ZABC,

；.CP〃AB,即CP〃x軸，

點P與點C關于拋物線對稱軸對稱，

24

y-——x2+—x+2,

4

???拋物線對稱軸為直線x二―『1,

2x(-|)

VC(0,2),

AP(2,2)；

當點P在BC下方時，設CP交x軸于點D(m,0),

則0D=m,DB=3-m,

ZPCB=ZABC,

CD=BD=3-m,

在RSCOD中，OC2+OD2=CD2,

22+m2=(3-m)2,

解得：m=|,

6

ADG，0),

6

設直線CD的解析式為y=kx+d,則［k+d=°

(d=2

解得：Ik=~—

5，

d=2

，直線CD的解析式為y=-9x+2,

-y=-y12x+,2?

聯立，得

y=-fX2+gx+2,

?22

{"}舍去），X2=T

解得:214,

V產F

214、

AP(y,

綜上所述，點P的坐標為（2,2）或（春-翌）；

（3）由⑵知：拋物線丫=-9+3+2的對稱軸為直線x=l,

AE(1,0),

設Q(t,-ft嗎t+2),且

設直線AQ的解析式為y=ex+f,貝4te+f=_々2+3t+29

解得:仁HU

13

工直線AQ的解析式為尸(-|t+2)x-|t+2,

當x=l時，y=-1t+4,

4

AM(1,-1t+4),

同理可得直線BQ的解析式為y=x+2t+2,

當x=l時，y=1t+1,

?■?N(1，孑+a,

.-.EM=-^t+4,EN=1t+p

.,.EM+EN=』4t+4+g4t+會41拼6

故EM+EN的值為定值?

3.(2021?江蘇連云港市?中考真題)如圖，拋物線歹=儂？+(加2+3卜-(6加+9)與x

軸交于點A、B,與y軸交于點C,已知3(3,0).

(1)求m的值和直線8C對應的函數表達式；

(2)P為拋物線上一點，若S&BC=S&ABC，請直接寫出點P的坐標；

(3)Q為拋物線上一點，若N/CQ=45。，求點Q的坐標.

【分析】

（1）求出A,B的坐標，用待定系數法計算即可;

（2）做點A關于BC的平行線/片，聯立直線/片與拋物線的表達式可求出《的坐標，設

出直線么片與y軸的交點為G,將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線

P3P2,聯立方程組即可求出P；

（3）取點。，連接CQ,過點A作C。于點。，過點。作軸于點尸，過

點。作于點￡,得直線CZ）對應的表達式為y=；x-3,即可求出結果；

【詳解】

（1）將5（3,0）代入y=mx1+（加之+3）%_（6加+9）,

化簡得加2+加=o,則加=0（舍）或加=-1,

m=—1,

得:y=-x2+4x-3,則。（0,—3）.

設直線BC對應的函數表達式為y=kx+b,

將8（3,0）、。（0,-3）代入可得｛_3_6，解得左=1，

則直線BC對應的函數表達式為y=x-3.

（2）如圖，過點A作4f；〃BC,設直線/片與y軸的交點為G,將直線BC向下平移GC個

單位，得到直線寫鳥，

由（1）得直線BC的解析式為y=x—3,2（1,0）,

直線AG的表達式為y=x-i,

解得x=］舍），或］x尸=2］

???6(2,1),

由直線AG的表達式可得G（-1,0）,

/.GC=2,CH=2,

，直線的表達式為y=x—5,

聯立《

y=-x2+4x-3

3+V17[3-717

(3)如圖，取點。，連接C。，過點A作于點。,

過點。作。尸J_x軸于點尸，過點。作C￡J_。/于點E,

ZACQ=45°,

；.AD=CD,

又：//。。=90。，

ZADF+ZCDE=90°,

,：ZCDE+ZDCE=90°,

：.ZDCE=ZADF,

又：ZE=ZAFD=90°,

\CDE^\DAF,則4/=O￡,CE=DF.

設DE=AF=a,

?：OA=1,OF=CE,

CE=DF=a+1.

由。C=3,則。尸二？—a,即Q+1=3—a,解之得，a=\.

所以。（2,—2）,又。（0,-3）,

可得直線CD對應的表達式為＞=-3,

設0］機，；機—3）,代入＞=—Y+4x—3,

1,1,7

得一加一3=一加+4m-3,—m=-m~+4m,m2——m=0,

222

又7〃R0,

【點睛】

本題主要考查了二次函數綜合題，結合一元二次方程求解是解題的關鍵.

4.（2021?四川自貢市?中考真題）如圖，拋物線y=（x+l）（x-a）（其中。＞1）與x軸交

于A、B兩點，交y軸于點C.

（1）直接寫出NOC4的度數和線段AB的長（用a表示）；

（2）若點D為4/臺。的外心，且與△NC。的周長之比為屈：4,求此拋物線

的解析式；

（3）在（2）的前提下，試探究拋物線y=（x+1）0-。）上是否存在一點P，使得

NC4P=NDB4?若存在,求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

2

【答案】（1）Z0CA=45°,AB=a+l；（2）y=x-x-2-（3）存在，Pt（,

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根據二次函數解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出0A=0B=a,

OB=L即可證明AOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根據線段的和差關系可表示AB

的長；

(2)如圖，作AABC的外接圓。D,根據等腰直角三角形的性質可得AC="z，利用兩點間

距離公式可用a表示出BC的長，根據圓周角定理可得/D=2/0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可證明△DBCs^ocA,根據相似三角形周長之比等于相似比列方程求出a值

即可得答案；

(3)如圖，過點D作DHLAB于H,過點C作AC的垂線，交x軸于F,過點0作OGLAC于

G,連接AP交CF于E,可得aOCF是等腰直角三角形，利用待定系數法可得直線CF的解析

式，根據外心的定義及等腰直角三角形的性質可求出點D坐標，即可得出BH、DH的長，根

據NCAP=NDBA,ZBHD=ZACE=90°可證明△BHDs^ACE,根據相似三角形的性質可求

出CE的長，根據兩點間距離公式可得點E坐標，利用待定系數法可得直線AE解析式，聯立

直線AE與拋物線的解析式求出點P坐標即可得答案.

【詳解】

(1)?.,拋物線y=(x+l)(x—。)(其中。>1)與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C.

???當x=0時,y=-a,

當y=0時，(、+1)(%—。)=0,

解得：再=_],%=a，

AA(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

OB=1,OA=OC=a,

???△OCA是等腰直角三角形，

Z0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如圖,作△ABC的外接圓。D,

???點D為△48。的外心，

.\DB=DC,

:△OCA是等腰直角三角形，0A二a,

/.Z0AC=45°,AC=V2(z>

VZBDC和NBAC是BC所對的圓心角和圓周角，

AZBDC=2ZBAC=90°,

ZDBC=45°,

JNDBC=NOAC,

.'.△DBC^AOCA,

???八BCD與△4C。的周長之比為麗：4，

.BCV10日「J"1Vio

??---=----,即—j=——----，

AC441a4

解得：a=+2,

經檢驗：a=±2是原方程的根，

,/a>1,

a=2,

???拋物線解析式為：y=(x+l)(x_2)=J_X_2.

(3)如圖，過點D作DHJ_AB于H,過點C作AC的垂線，交x軸于F,過點0作0GLAC于

G,連接AP交CF于E,

Va=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2萬

VZ0CA=45°,

Z0CF=45°,

/.△OCF是等腰直角三角形，

：.F(-2,0),

設直線CF的解析式為y=kx+b,

-2k+b=0

\b=-2

k=-1

解得：<

b=—2

直線CF的解析式為y=-x—2,

「△OCA是等腰直角三角形，OG±AC,

...0G所在直線為AC的垂直平分線，點G為AC中點,

???點D為A/BC的外心，

.?.點D在直線0G上,

VA(2,0),C(0,-2),

/.G(1,-1),

設直線0G的解析式y=mx,

??Ul=-1,

直線0G的解析式丫=-,

?.?點D為4ABC的外心，

.?.點D在AB的垂直平分線上，

-1+21

???點D的橫坐標為------

22

把X=y代入y=-x得y=-；,

D(一,),

22

?113

??DH=一,BH==一,

222

ZCAP=ZDBA,ZBHD=ZACE=90°,

ABHD^AACE,

13

DHBH--

-------...........>BonP2_2，

CE近=電

解得：CE二巫,

3

?.?點E在直線CF±,

，設點E坐標為（n,-n-2）,

???CE=荷+(_〃_2+2)2=,

2

解得：n=±—,

3

廠24廠2

1?E1(—,—),E2(一,

333

設直線AE]的解析式為y=k1x+b"

’24

—k+b=—

：.<3}11]3,

2kl+4=0

k[=一

解得：\2,

4=T

直線AE|的解析式為y=—1,

同理：直線AE?的解析式為y=2x—4,

1,

V--X-1

聯立直線AE|解析式與拋物線解析式得《2

y=x2-x-2

1

rx=2

解得:'c（與點A重合，舍去），

〔必=。

1

P1(-----

24

聯立直線AE°解析式與拋物線解析式得[y尸=2入x-4一

X]—1x-2

解得：<<2_（與點A重合，舍去），

Ji=-2'〔歹2=°

/.P2(1,-2).

綜上所述：存在點P,使得NC4P=NZ)A4,點P坐標為巳,P(1,

242

~2).

【點睛】

本題考查二次函數的綜合，考查了二次函數的性質、待定系數法求一次函數解析式、圓周角

定理、等腰三角形的性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相關性質及定理是解題關

鍵.

5.(2021?遼寧中考真題)己知函數了==5苫+IX+m(X<m),記該函數圖像為G.

x2-mx+m(x>m)

(1)當冽=2時，

①已知在該函數圖像上，求n的值；

②當0WxW2時，求函數G的最大值；

(2)當m>0時，作直線x=g加與x軸交于點P,與函數G交于點Q,若立尸。。=45。時，求

m的值；

(3)當加W3時，設圖像與x軸交于點A,與y軸交與點B,過B做血交直線工=加與點

C,設點A的橫坐標為a,C點的縱坐標為c,若“=-3c,求m的值.

【答案】(1)①〃=10,②函數G的最大值為*；(2)5=6；(3)加=”或%=-1|

【分析】

——x+2(x<2).、

(1)由題意易得歹=22①把點M(4/)代入求解即可；②根據二次函

x2-2x+2(x>2)

數的性質可進行求解;

（2）由題意可得如圖所示，然后可得△尸。。是等腰直角三角形，則有

L進而代入求解即可；

（3）由題意可得如圖所示，則有C（加,。）,/（。,0）,8（0,加），然后可得

OB=OE=m,OA=-a,設直線工=機與x軸的交點為E,過點C作CD_Ly軸于點D,進而易證

△AOB咨ABDC,然后根據全等三角形的性質可求解.

【詳解】

解：（1）-：m=2,

—x~H—龍+2（x<2）

{22'',

x2-2x+2（^x>2）

①在該函數圖像上，

二〃=4?-2x4+2=10；

②由題意得：當x<2時，函數G的解析式為y=+當xZ2時，函數G的解析

式為y=x2-2x+2,

0<x<2,

當0Vx<2時，貝=一工％2+]_工+2=一工（%一工]+—,

22212）8

117

???當、=時，函數G有最大值，即為右；

2o

當x=2時，則有函數G的最大值為》=2?-4+2=2,

??士>2,

8

17

.?.當0WxW2時，函數G的最大值為丁；

O

（2）由當俏>0時，作直線x=g機與x軸交于點P,與函數G交于點Q,可得點Q必定落在

y=+；x+"?的函數圖象上，如圖所示：

,/APOQ=45°,

-,?△尸。0是等腰直角三角形,

PQ=OP=；

mm

：.Q

一；x：加2+；x；"?+"?=g"?,化簡得：m2-6m=0,

解得：mx=0,m2=6,

m>0,

??.根=6；

(3)①當0〈加W3時，由題意可得如圖所示，設直線與x軸的交點為E,過點C作CD,

y軸于點D

yx=m

：.ABDC=NAOB=ZCEO=90°,

令y=0,則有0=-+冽，解得：x=l±Jl+也,

222

Vm<3,

.l-Vl+8m

??Cl---------------<0,

2

由題意得：。（私c）,4（。,0）*（0,加），四邊形D0EC是矩形,

ADC=OB=OE=m,OA=-a,OD=CE=|c|,

???BCLBA,

ZABC=90°f

/ABO+ZDBC=/DBC+/BCD=90°,

AABO=/BCD,

.?.小AOB會八BDC（ASA）,

BD=OA=—a,

a=-3c,

a<0,c>0f

：.OD=CE=c,

4

OB=OD+BD=—a+。=—a=m,

3

BPx------1+8加=皿，化簡得：9加2-20加=0,

32

解得：mx=—,m2=0（不符合題意，舍去），

②當加＜0時，設直線-加與x軸的交點為E,過點C作CD_Ly軸于點D,如圖所示:

m+ylm1-4m

?,?令y=0，貝!J有0=工2一7nx+加，解得:x=------------

2

.m+yim1—4m

??a=-------------

2

4

同理可得OB=OD+BD=Q-C=§Q=—m,

3

——m=-------------，化間得：21機+16加=0,

42

當，加2=。（舍去）；

解得：m=-

x21

綜上所述：加=當或加=一雪

921

【點睛】

本題主要考查二次函數的綜合，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

6.（2021?江蘇中考真題）如圖，拋物線y=-；/+bx+c與x軸交于A（T,0）,B（4,0）,

與了軸交于點C.連接AC,BC,點P在拋物線上運動.

(1)求拋物線的表達式；

⑵如圖①，若點P在第四象限，點Q在PA的延長線上，SZCAQ=ZCBA+45°時，求點P

的坐標；

(3)如圖②，若點P在第一象限，直線AP交BC于點F,過點P作x軸的垂線交BC于點H,

當APFH為等腰三角形時，求線段PH的長.

131s

【答案】(1)夕=一彳/++2；()(6,-7)；(3)PH=3括一5或L5或M

222o

【分析】

(1)根據待定系數法解答即可；

(2)求得點C的坐標后先利用勾股定理的逆定理判斷/ACB=90°,繼而可得/ACO=/CBA,

在x軸上取點E(2,0),連接CE,易得AOCE是等腰直角三角形，可得/0CE=45°,進一

步可推出/ACE=/CAQ,可得CE//PQ,然后利用待定系數法分別求出直線CE與PQ的解析式，

再與拋物線的解析式聯立方程組求解即可；

(3)設直線AP交y軸于點G,如圖，由題意可得若APFH為等腰三角形，則4CFG也為等

腰三角形，設G(0,m),求出直線AF和直線BC的解析式后，再解方程組求出點F的坐標，

然后分三種情況求出m的值，再求出直線AP的解析式，進而可求出點P的坐標，于是問題

可求解.

【詳解】

解：(1)把A(-l,0),B(4,0)代入y=—+bx+c,得

1Lnf,3

-----b+c=0「,b=—

<2,解得：,2,

-8+4/?+c=0c=2

iQ

???拋物線的解析式是y=--x2+^x+2；

(2)令x=0,則y=2,即C(0,2),

V^C2=l2+22=5,5C2=22+42=20,AB2=25,

???AC2+BC2=AB2,

：.ZACB=90°,

ZAC0+ZCA0=ZCBA+ZCA0=90

???ZAC0=ZCBA,

在x軸上取點E(2,0),連接CE,如圖,

則CE=0E=2,

Z.Z0CE=45°，

：.ZACE=ZAC0+45°=ZCBA+45°=ZCAQ,

???CE〃PQ,

VC(0,2)，E(2,0)，

???直線CE的解析式為y=-x+2,

設直線PQ的解析式為尸-x+n,把點A(-1,0)代入，可得n=T,

???直線PQ的解析式為y-x-1,

13)

y=---X2H—X+2x--1x=6

解方程組，22，得y=0或

y=-x-l'=—7

???點P的坐標是(6,-7)；

(3)設直線AP交y軸于點G,如圖,

：PH〃y軸,

；./PHC=/OCB,ZFPH=ZCGF,

.?.若^PFH為等腰三角形，則4CFG也為等腰三角形,

VC(0,2),B(4,0),

，直線BC的解析式為〉=一;x+2,

設G(0,m),VA(-1,0),

；?直線AF的解析式為y=mx+m,

4—2機

1cx=

y=——x+22m+1

解方程組2得V

5m

y=mx+m片

2m+1

4-2m5m

???點F的坐標是

2m+1'2m+1

222

4-2m5m-2^,FG2=4-2m5m

CG2=(2-,CF2I+I+----------m

2m+12m+12m+12m+1

當CG=CF時，(2、1蓋:+〔妥解得：嚕存1(舍去負值),

此時直線AF的解析式為

22

13c

y=—x2-\—x+2(x=5-y[5

小；得X=-1

解方程組昨0或'7指-11，

V=-----XH-------尸~2-

22

???點P的坐標是(5-6，7#T1),此時點H的坐標是(5-51二b,

22

APH=TA/S-II_V51=3^_5.

22

4-2mV4-2mV2]

5m25m|，解得m=；或nF-5（舍）

當FG=FC時,2m+1J2m+1J-------m

2m+12m+1

或m=2（舍），

此時直線AF的解析式為x+/,

y=--X2+—x+2

22彳曰x=-lx=3

解方程組，倚y=0或

11夕=2'

y=—x+—

22

???點P的坐標是（3,2）,此時點H的坐標是（3,y）,

???PH=2-9=1.5；

2

4-2m5m

當GF二GC時，（2—機/二I+-----m|，解得加=、或m=2（舍去），

2m+12m+1

33

此時直線AF的解析式為y『+“

5

y=--X2+—X+2x=—

22x=-12

解方程組,得或,

33y=021

>=—x+—y=一

448

點p的坐標是（g,21）,此時點H的坐標是（|,

T

._213_15

??rPHtl---------——

848

綜上，PH=3指-5或L5或

O

【點睛】

本題是二次函數的綜合題，主要考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數圖象上點

的坐標特征、直線與拋物線的交點以及等腰三角形的判定和性質等知識，具有相當的難度,

熟練掌握二次函數的圖象和性質、靈活應用數形結合的思想是解題的關鍵.

7.(2021?湖北中考真題)在平面直角坐標系中，拋物線＞=。/+服+。與x軸交于點

/(T⑼和點8,與V軸交于點C,頂點。的坐標為

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點尸在拋物線上且滿足=求點P的坐標；

(3)如圖2,〃是直線2C上一個動點，過點M作軸交拋物線于點N,。是直線

NC上一個動點，當AQWN為等腰直角三角形時，直接寫出此時點初及其對應點。的坐標

【答案】⑴y=x2-2x-3；(2)Pi(4,5),8],lj；⑶此[§'—

M(5,2),2(-5,12)；M4(2,-l),04(0,-3)；

%(1,-2),ft(0,-3)；跖(7,4),以(-7,18).

【分析】

(1)由和。(1,-4),且D為頂點列方程求出a、b、c,即可求得解析式;

(2)分兩種情況討論：①過點C作/〃皿，交拋物線于點召，②在8C下方作

NBCF=NBCE交BG于點、F,交拋物線于2；

(3)AQW為等腰直角三角形，分三種情況討論：當QM=MN,2QMN=90。；②當

QN=MN,ZQNM=90°；③當QM=QN,4MQN=90°.

【詳解】

解：(1)將4(—1,0)和。(1,—4)代入＞=QX2+bx+°

a-b+c=0

a+b+c=-4

又..?頂點。的坐標為(1,-4)

a=l

???解得6=-2

。二一3

，拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

(2)???3(3,0)和。(1,-4)

...直線的解析式為：y=2x-6

:拋物線的解析式為：J=X2-2X-3,拋物線與了軸交于點C,與x軸交于點和點

則C點坐標為(0,-3),B點坐標為(3,0).

①過點C作CPJ/BD,交拋物線于點月，

則直線C片的解析式為y=2x-3,

結合拋物線y=--2x-3可知尤2-2%-3=2尤一3,

解得：%=0(舍)，%2=4,

故4（4,5）.

②過點8作了軸平行線，過點C作x軸平行線交于點G,

由=0C可知四邊形OBGC為正方形，

:直線C召的解析式為廣2尤-3

??.C4與x軸交于點

在3c下方作/8CF=/8C￡交8G于點尸，交拋物線于2

/.NOCE=ZFCG

又「OCXG,ZCOE^ZG=90°

△OEC/^GFC（ASA）,

：.FG=OE=^,小一，，

又由C（0,—3）可得

直線C尸的解析式為廣，-3,

結合拋物線y=x2-2x-3可知*-2x-3=；x-3,

解得％=0（舍），x2=1,

綜上所述，符合條件的尸點坐標為：耳（4,5）,

（3）V5（3,0）,C（0,-3）

/.直線8C的解析式為為c=x-3

設M的坐標為（加,m-3）,則N的坐標為（加，m2-2w-3）

MN=^ni-3-^m2-2m-3）|=p??2-3m|

C（0,-3）

直線8C的解析式為"c=-3工-3

V為等腰直角三角形

:.①當QM=MN,NQW=90。時，如下圖所示

135

解得：冽i=0（舍去）,rn2=—fm3=-

二此時Q[W；啖

則Q點的坐標為m2-2m-3

3

2

2m-m2m+m

QM=m-

33

2

m+m=|m2-3m|

3

解得：W1=0（舍去），m2=5,m3=2

，此時M（5,2）,ft（-5,12）；a（2,-I）,a（0,-3）；

③當QM=QN,/兒QN=90。時，如圖所示

則Q點縱坐標為g（m-3+m2_2加一3）=；（〃/—m—6^=-^m2—^m—3

（11,1,1

/.Q點的坐標為|--m-3

Voo22

1151

；?Q點至!jMN的距離二—m——m9-m=—m+—m9

6666

/.=~|/n2-3m|（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

oo211

解得：加|=0（舍去）,加2=7,加3=1

此時M（L-2）,2（0,-3）；&（7,4）,a（-7,18）.

5_4

綜上所述，點及其對應點。的坐標為：

MMx35-3，2一瀉；u2

134

;%（5,2）,2（-5,12）；/（2,-1）,0（0,-3）；M（l,-2）,ft（0,-3）；

aV5745

%6（7,4）,ft（-7,18）.

【點睛】

本題主要考查二次函數與幾何圖形.該題綜合性較強，屬于中考壓軸題.

8.(2021?湖南中考真題)在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱

該點為“雁點”.例如(1,1),(2021,2021)……都是“雁點”.

4

(1)求函數>=—圖象上的“雁點”坐標；

x

(2)若拋物線了="2+5》+，上有且只有一個“雁點”E,該拋物線與x軸交于M、N兩點

(點M在點N的左側).當。>1時.

①求c的取值范圍；

②求的度數；

(3)如圖，拋物線了=-，+2丫+3與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，P是拋物

線y=-?+2x+3上一點，連接AP,以點P為直角頂點，構造等腰小△APC,是否存在點

P,使點C恰好為“雁點”？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴(2,2)和(-2,-2)；(2)①0<c<4；②45°；⑶存在，P點坐標為

前，+師3]〔回3]

或1+虧，不或1一-不，"

【分析】

4

(1)根據“雁點”的定義可得尸x,再聯立歹=一求出“雁點”坐標即可；

4

(2)根據》=。/+5工+。和y=x可得°x2+4x+c=0,再利用根的判別式得到c=—,再求

a

出a的取值范圍；將點c代入解析式求出點E的坐標，令y=0,求出M的坐標，過E點向x

軸作垂線，垂足為H點，如圖所示，根據EH=MH得出為等腰直角三角形，/EMN的度

數即可求解;

(3)存在，根據圖1,圖2,圖3進行分類討論，設C(m,m),P(x,y)，根據三角形

全等得出邊相等的關系，再逐步求解，代入解析式得出點P的坐標.

【詳解】

4

y=-

解：(1)聯立X,

尸X

x-2x-—2

解得尸2或

,=_2

4

即：函數歹=—上的雁點坐標為(2,2)和(-2,-2).

x

y=x

(2)①聯立

y=ax2*4+5x+c

得ax2+4x+c=0

?：這樣的雁點E只有一個，即該一元二次方程有兩個相等的實根,

***A=42-4ac=0

?L-

a

'：a>\

0<c<4

44

②將c二一代入，得ax；+4XH—=0

aaE

2

解得/=-―

a

4

對于y=if+5x+—,令y=°

a

過E點向x軸作垂線，垂足為H點,

22,4、2

EH=-,MH=-------(——)=-

aaaa

：.EH=MH=-

a

???為等腰直角三角形，ZEMN=45°

(3)存在，理由如下：

如圖所示：過P作直線1垂直于x軸于點k,過C作CH_LPK于點H

設C(m,m),P(x,y)

???ZkCPB為等腰三角形，

.'.PC=PB,ZCPB=90°,

：.ZKPB+ZHPC=90°,

VZHPC+ZHCP=90°,

ZKPB=ZHCP,

VZH=ZPKB=90°,

.'.△CHP^APKB,

ACH=PK,HP=KB,

3

y=m—

I2

當x=g時，^=(-1)23+2X|+3=^

圖1

如圖2所示，同理可得：△KCPgZkJPB

???KP=JB,KC=JP

設P(x,y),C(m,m)

KP=x-m,KC=y-m,JB=y,JP=3-x,

3

x=mH--

2

解得

3

蚱5

3

令-Y+2x+3=一

2

解得寸呼，￡=子

二雇±普I）或尸占普|

圖2

如圖3所示，

VARCP^ATPB

ARC=TP,RP=TB

設P(x,y)，C(m,m)

y-m=3-x

即

x-m=y

3

x=mH--

2

解得

3

一

3

令-X?+2x+3=一

2

解得寸子，于等

...此時p與第②種情況重合

綜上所述，符合題意p的坐標為（"號或（生叵E）或（三叵二）

242222

圖3

【點睛】

本題考查了利用待定系數法求函數解析式，圖形與坐標，等腰三角形的判定與性質，二次函

數的綜合運用，理解題意和正確作圖逐步求解是解題的關鍵.

9.(2021?四川中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線＞="2+/+4(。*0)

經過點幺(-2,0)和點8(4,0).

(1)求這條拋物線所對應的函數表達式；

(2)點尸為該拋物線上一點(不與點C重合)，直線CP將的面積分成2：1兩部分,

求點P的坐標；

(3)點刊從點C出發，以每秒1個單位的速度沿了軸移動，運動時間為f秒，當

=-/。跖4時，求t的值.

【答案】(1)y=-^x2+x+4；(2)點P(6,-8)；(3)當點/從點C出發，以每秒1

個單位的速度沿了軸正方向移動時，片2秒；沿C0方向在V軸移動時，片10秒.

【分析】

(1)根據待定系數法將AB兩點坐標代入函數解析式求解即可；

(2)在的AB邊上找到將AB分成2：1兩部分的點Q,此時CQ將“BC的面積分成

2：1兩部分，求出直線CQ與拋物線交點坐標即是點P坐標；

(3)先利用圖形在/。。3內構造乙4'。3=/。。3-20。，求出tan//'C3,在MAO/N

中由tan/O3=tan/4C3,OA=2,求出0M長即可解答，

【詳解】

解：(1)由拋物線了="2+/+4(“*0)經過點/(-2,0)和點8(4,0),得：

\4a-2b+4=0

[16a+4b+4=0'

'_1

解得："二一2

b=\

2

即：條拋物線所對應的函數表達式為：y=~x+x+4;

(2)由(1)可知點C坐標為(0,4)

1?點4(一2,0)和點8(4,0).

AB=6,

將AB分成2：1兩部分的點有原點和