第04講等式與不等式性質(zhì)（含糖水不等式）

（6類核心考點(diǎn)精講精練）

12。考情探究?

【備考策略】1.梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì)

2.能夠利用不等式的性質(zhì)比較不等式的大小關(guān)系

3.能夠利用不等式的關(guān)系表示不等式的范圍

4.能利用糖水不等式解決不等式的相關(guān)問(wèn)題

考點(diǎn)梳理

核心考點(diǎn)考點(diǎn)4由不等式性質(zhì)證明不等式

考點(diǎn)5糖水不等式及其應(yīng)用

考點(diǎn)6多選題綜合

知識(shí)講解

1.等式的性質(zhì)

性質(zhì)1如果a=b,那么；

性質(zhì)2如果。=6,b=c,那么

性質(zhì)3如果。=/?,那么；

性質(zhì)4如果a=b,那么；

性質(zhì)5如果。=6,cwO,那么

【答案】b=aa=ca±c=b±c

1

2.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小

兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小是用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)定義的，有：

a—b>0o；

a—b=0<=>；

a-b<0_____________

另外，若b>0,貝!J有3>10Q>6；—=1<=>a=b；—<1<^>a<b.

bbb

【答案】a>ba=ba<b

3.不等式的基本性質(zhì)：

(1)對(duì)稱性：.

(2)傳遞性：.

(3)可加性：.

(4)可積性：①;②.

(5)同向可加性：；異向可減性：.

(6)同向正數(shù)可乘性；異向異號(hào)可乘性：;異向正數(shù)可除性：.

(7)乘方法則：(?eN+,n>2).

(8)開方法則：(?eN+,?>2).

(9)倒數(shù)法則：；.

【答案】a>bob<a°〉”b>c=a>ca>b<^a+c>b+ca>b,c>Onac>bc

a>b,c<0=ac<bea>b,c>dna+c>b+da>b,c<da-c>b-d

a>b>0,c>d>ac>bda>b>0,c<dac<bda>b>0,0<c<d=>—<—

cd

a>b>Qna”>b"a>b>Q=S>詬a>b>0^>-<^-a<b<0=>->^~

abab

4.糖水不等式及其變形

生』?rj年口,八nmbb+mbb—maa+maa-m

右實(shí)數(shù)a,b,c,滿足a>b>0,冽>0n,則一__________，—_________,(6一旭>0)；；____---；；______

aa+maa-mbb+mbb—m

(6—加>0)(用不等號(hào)填空).

【答案】<>><

5.對(duì)數(shù)型糖水不等式及其變形

⑴設(shè)〃eN+，且n>\,則有l(wèi)og?+1?<log?+2(n+l)

(2)設(shè)a>b>\,m>0,則有l(wèi)ogab<loga+m(b+m)

(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>\,m>0,則有l(wèi)og6a>\ogb+m(a+m)

考點(diǎn)一、由不等式性質(zhì)判斷式子大小關(guān)系

2

中典例引領(lǐng)

1.（2024?上海楊浦?二模）已知實(shí)數(shù)。，b,c,d滿足：a>b>0>c>d,則下列不等式一定正確的是（）

A.a+d>b+cB.ad>bcC.a-\-c>b+dD.ac>bd

【答案】C

【分析】舉例說(shuō)明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.

【詳解】對(duì)于ABD,取。=2,6=1,。=-2,4=-4,滿足。>b>0>c>d,

顯然。+4=-2<-1=/?+。，ad=-8<-2=bc,ac=-4=bd,ABD錯(cuò)誤；

對(duì)于C,a>b>0>c>d,則a+c〉6+d,C正確.

故選：C

2.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）下列命題為真命題的是（）

A.若a>b,則"°〉—B.若a>b,c>d,則〃一d>6-c

a+ca

C.若a<b,貝！J/vqbv/D.若a>b,貝U—^->—

a-ba

【答案】B

【分析】由不等式的基本性質(zhì)，賦值法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,可以取。=2,6=1,c=-l,此時(shí)小^<2,所以人錯(cuò)誤.

a+ca

對(duì)于B：■:c>d,:.一d>-c,因?yàn)樗詀-d〉6—c,故B正確；

對(duì)于C：取。=一2,6=T時(shí)，則/=4,ab=2,Z?2=1,則/>仍>/,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：當(dāng)。=1,3=-1時(shí)，=-=U則二故D錯(cuò)誤；

a-b2aa-ba

故選：B.

即時(shí)檢測(cè)

I______________________

1.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知》>兀則下列不等式正確的是（）

A.l-x<l-yB.x2>y2C.|-|>1D.宓>尸

y

【答案】A

【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤，通過(guò)舉反例可說(shuō)明B,C兩項(xiàng)錯(cuò)誤.

【詳解】x>y,—x<—y,—x+1<—y+1,即1-故選項(xiàng)A正確；

Y—11

當(dāng)尤=-1,了=-2時(shí)，滿足,但x?=1,/=4,此時(shí)/</，|—1=|—1=-<1,故選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤;

y—22

當(dāng)z<0時(shí)，由x>y可得xz<yz,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選:A.

2.（2024?北京豐臺(tái)?二模）若a,，eR,且a>b,貝I］（）

3

11

A-------<-------B.a2b>ab1

a2+lJ

a+b.

C.a2>ab>b1D.a>---->b

2

【答案】D

【分析】舉反例即可求解ABC,根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解D.

【詳解】由于…，取“=1小一±=，吩八仍』，無(wú)法得到11

—；——<—；——a2b>ab2，

a+1b+1

故AB錯(cuò)誤,

取a=0,6=-2,則〃=0,〃6=0萬(wàn)=4,無(wú)法得至！Ja：>a">〃,C錯(cuò)誤,

由于則2a>b+a>2b,所以Q>———>b,

2

故選：D

考點(diǎn)二、由不等式關(guān)系，求解不等式范圍

典例引領(lǐng)

47r7T

1.（2023rWj二?全國(guó)?專題練習(xí)）已知兀＜a+/?＜?-,—K＜a—/3＜——,求2a—，的取值范圍為

【答案】卜兀謂

【分析】先利用待定系數(shù)法得到2a-尸=：i（a+/?）+13_（a-/?）,再利用不等式的性質(zhì)即可得解.

1

x=—

x+y=22

則―一解得

3

y=—

2

13

所以2a-0=萬(wàn)僅+/?)+—(cc—,

47rTi

因?yàn)樨?lt;“+/?<-,-Ti<a-(3<--,

所以1＜；（a+￡）＜/，一￡＜■!（￡_?）＜一］

7T

所以一兀＜2。一夕＜一.

6

則2a-尸的取值范圍為卜兀弓.

故答案為:一唱?

4

2.（2024?河北石家莊?二模）若實(shí)數(shù)x,y,zNO,且x+y+z=4,2x-y+z=5,則河=4尤+3y+5z的取值范

圍是.

【答案】[15,19]

）7747

【分析】先得到x=3-7,y=l-j,并根據(jù)x,%z20得至I」04Z43,從而求出W=?+15e[15,19].

2zz

【詳解】因?yàn)閤+y=4-z,2x-y=5-z,故x=3-■—,y=l-y,

2z

3——>0

3

z

由x/,z?0得<1一]20,解得04z<3,

z>0

故M=4x+3y+5z=4（3.m+5z=?+15e[15,19].

故答案為：[15,19]

即時(shí)檢測(cè)

■____________

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知12<。<6CM5<6<36,則的取值范圍是________,q的取值范圍

b

是.

【答案】(-24,45)

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)?5〈6〈36,所以-36<-6<T5.

X12<a<60,

所以12-36<。-6<60-15,

所以-24<0-6<45,

即的取值范圍是(-24,45).

,111-,12a60

因mA為一<一<一所crl以s一<-<一，

36b1536b15

即』<q<4,

3b

所以:的取值范圍是4

答案：(-24,45),Q,4^|

2.(23-24高三?安徽?階段練習(xí))已知lVx-”2,2<x+y<4,則3x-y的最小值

5

【答案】4

【分析】利用不等式的性質(zhì)求解.

［詳解J設(shè)3尤一y=m(x-y)+n{x+y)=(m+n)x+(-m+n)y,

加+〃=3m=2

所以「解得

-m+H=-1n-1

所以2W2(尤-y)44,2Wx+”4,

所以442(x-y)+x+y(8,

即4W3x-”8,

所以3x-y的最小值為4,

3

X=—

2(x-#)=2Bnj時(shí)取得最小值,

當(dāng)x+k2，即

y=-

2

故答案為4

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知正數(shù)a,b,c滿足/+，=i6,b2+c2=25,貝以=a2+〃的取值范圍

為.

【答案】9〈左＜41

【分析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

?.?正數(shù)。、b、c滿足/+C2=16,Z>2+c2=25.

c2=16-a2,〃〉。所以o</<i6

同理：有c2=25-62得至|Jo<c2<25,所以0/<16

兩式相加：a2+b2+2c2=41

即/+/=41一2c②

又16<—c2<0,即-32<-2c2<0

.-.9<41-2c2<41

即9〈人＜41.

故答案為：9＜上＜41

考點(diǎn)三、作差法或作商法比較式子大小關(guān)系

典例引領(lǐng)

3322

1.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)。，。滿足a＞b,求證：a-b＞ab-ab.

【答案】證明見解析

【分析】利用作差法比較大小即可證明.

6

［詳解］/)=Q3+〃萬(wàn)2_93+〃2人卜〃卜2+萬(wàn)2>)

=(4-6)(〃2+〃)，

因?yàn)閍>6,所以(4一6)(42+62)〉0,

所以/一6,>c^b-ab2-

2.（上海浦東新?階段練習(xí)）…〉°,比較尋與￡的大小

/d-b

【答案】———->-----

a+ba+b

【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.

【詳解］a>b>0a+b>0,a-b>0,

a2-h2(a+b^a-b)g-b

'a2+b2~a2+b2%+b

J-b1

222

.a+b:(a+b)_2ab.

,,a-ba2+b2-a2+b2'

a+b

；,a\~b\

Q?+Z?2a+b

即時(shí)檢測(cè)

I_________L__________

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知a,6為正實(shí)數(shù).求證：—+—>a+&.

ba

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到且+_—（°+6）=（"-4G+6）,結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得證.

baab

【詳解】證明：因?yàn)椤?￡_（.+6）=/一"力-a"=Q』卜Zr：-b）=U/jQ+b）,

baababab

又因?yàn)閍>0/>0,所以（".）"（"+：NO,當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)等號(hào)成立，

ab

所以幺+竺〉〃+b.

ba

2.方a>b>0,求證：優(yōu)/〉（abF-

【答案】證明見解析

【分析】作商法證明不等式.

【詳解】證明：?.?。>6>0,

—>1,且u—b>0.

7

aabb

.??作商得:a+b

(仍產(chǎn)

a+:

aabb>(ab)~■

考點(diǎn)四、由不等式性質(zhì)證明不等式

甲典例引領(lǐng)

1.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）證明命題："若在A48C中a、b、c分別為角4B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，則

cab?

-----<------+------"

1+。1+a\+b

【答案】證明見解析

cc+（a+b-cya+baa

【分析】由作差法證明/<]+」（.+」）----------------1---------------再-由

1+。+b1+a+b\+a+b

aab6、十「口。ab

----------<------,----------<------證明------<------+------

1+。+61+。1+。+61+61+c1+。1+6

cc+mc(d+加)-d(c+加)加(c—d)

【詳角軍】證明：取l+c=d,〃+6—c=加，

dd+md(d+m)d(d+m)

m（c-d}

因?yàn)闄C(jī)所以而麗即g<*

dd+m

c+(〃+b-c)a+ba

所以士<----------------1----------------

1+C+(Q+6-C)\+a+b1+。+61+a+b

aabbaaab

又因?yàn)?---------<-----------------<-------,故------+------<-----+--，

1+a+b\+a\+a+b1+b1+。+b1+。+61+。1+6

ab

所以上<---+----.

1+Q1+Z?

即時(shí)校L

1.（1）設(shè)6>q>0,m>0,證明：一<-------；

bb+m

XVz

（2）設(shè)x>0,y>0,z>0,證明：1<-----1------1----<2.

x+yy+zz+x

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)作差法證明即可；

（2）由于二—--,故J+——，再結(jié)合（1）的結(jié)論易證^^+」二+^—<2.

x+yx+y+zx+yy+zz+xx+yy+zz+x

【詳解】證明：（1）因?yàn)閎〉a>0,m>0,所以Q—Z?<0,b+m>0o

8

一aa+m“6+加）-6（〃+加）（a-b）m

所以T—-----------------------------------―-----------<0,

bb+mb（b+m^b@+冽）

故得證;

xXyyzz

（2）由不等式的性質(zhì)知,-,>-------,---->-------,-->------

x+yx+y+zy+zx+y+zz+xx+y+z

~,xyzxy

所以——+3一+——>——-~■=1,

x+yy+zz+xx+y+zx+y+zx+y+z

xx+zyz歹+2

又因?yàn)楦鶕?jù)（1）的結(jié)論可知,<<

x+yx+y+zy+zx+y+zz+xx+y+z

▽…％Vzx+zx+yy+z。

所以----+以一+-----<-------F——--F---------=2

x+yy+zz+xx+y+zx+y+zx+y+z

所以1<上+上+二<2.

x+yy+zz+x

考點(diǎn)五、糖水不等式及其應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上?河南?階段練習(xí)）已知6克糖水中含有。克糖（6>。>0）,再添加加（加>0）克糖（假設(shè)全部

溶解），糖水變甜了，能恰當(dāng)表示這一事實(shí)的不等式為（）

7.mma+ma

A.bm>amB.b+m>a+mC.—>—D.--------->—

abb+mb

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知：在糖水中加入糖后，糖水濃度變大了，所以糖水變甜了.

【詳解】原糖水的濃度為加入糖后糖水的濃度為產(chǎn)，加入糖后糖水濃度變大了,

bb+m

所以■;——>-.

b+mb

故選：D

2.（2023?四川涼山?一模）。克糖水中含有6克糖，糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比為這個(gè)質(zhì)量比決定了糖水

a

的甜度，如果再添加加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，對(duì)應(yīng)的不等式為"二>2（a>b>0,m>0）.

a+ma

若再=log32,X[=log1510,X3=log4520,則

A.x1<x2<x3B.<w<馬

C.x3<xx<x2D.x3<x2<xx

【答案】B

【解析】根據(jù)題意當(dāng)a>6>0,加>0時(shí)^—>3成立，得出X2>X],X3>%,用作差法比較得出%

a+ma

9

即可得出答案.

【詳解】解：因?yàn)橛萯=log32,x2=log1510,x3=log4520

訴DIx上lgl0lg2+lg521g2+lg5

所"1lg3'x2=lgl5=Ig3+lg5'321g3+lg5

A+mh

根據(jù)題意當(dāng)a〉b>。，加>0時(shí)---->—成立，

a+ma

Xlg3>lg2>0,lg5>0,

Ig2+lg5,lg221g2+lg5；21g2

所"lg3+lg5lg3'21g3+lg521g3

即：x2>X15X3>X],

Ig2+lg521g2+lg5_Ig5(lg3-lg2)

J/X)―X-,——>u

Ig3+lg521g3+lg5(Ig3+lg5)(21g3+lg5)

所以X2>x3,

所以再<三<%,

故選：B.

【點(diǎn)睛】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路：

(1)拆：首先利用幕的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，使幕的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用

對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并；

(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、

商、幕的運(yùn)算.

即時(shí)檢測(cè)

I______________________

1.(2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)校考二模)已知實(shí)數(shù)。,6,c滿足0<a<6<c,則下列說(shuō)法正確的是()

11bb+c

A.---->-----B.—>------

c—ab—aaa+c

11

U~aD.ab+c2>ac+bc

(C-Q)b(c—a)

【法一】由糖水不等式的倒數(shù)形式，z)>?>o,c>o,則有：2〉2±二

aa+c

【法二】—>+C<^>b[a+c\>a[b+c\<=>bc>ac<=>b>a,故B正確；

aa+c

因?yàn)?<〃<b<c,所以有。一?！?—?！?,^—<7^—,故A錯(cuò)誤；

c-ab-a

1111

———\>T7——b>a，故C正確；

a[(c-a)b(c-a)ab

ab+c1>ac+bc<=>c^c-b)-a[ca)(c-b)>0,故D正確.

10

【答案】BCD

2.（23-24高三?福建龍巖?階段練習(xí)）若。克不飽和糖水中含有6克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為“，這個(gè)質(zhì)量分?jǐn)?shù)

決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜，從而可抽象出不等式

hh-\-TYl

<a>b>0,機(jī)>0）數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可判斷l(xiāng)ogs2與log）。的大小:

aa+m

例如log2="<n：=粵=log/o,試比較10g43_______log4的大?。ㄌ罨?，或"="）

3m3In3+In5In155

【答案】<

【分析】根據(jù)糖水不等式的知識(shí)求得正確答案.

14In3+In—In—1A

【詳解】依題意log,3=三＜-------1=T＜m=lo&4

ln4ln4+ln^山5In5

4

故答案為：＜

考點(diǎn)六、多選題綜合

典例引領(lǐng)

1.（2024?湖南長(zhǎng)沙?二模）設(shè)a,b,c,d為實(shí)數(shù),且a>b>0>c>",則下列不等式正確的有（）

cd

A.c1<cdB.ci—c<ib—dC.ac<bdD.------->0

ab

【答案】AD

【分析】根據(jù)不等式的相關(guān)性質(zhì)可得A,D項(xiàng)正確；通過(guò)舉反例可說(shuō)明B,C項(xiàng)錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A,由0>c>a和不等式性質(zhì)可得故A正確；

對(duì)于B,因〃〉Z?>O>c>d,若取〃=2,b=1,c=-lfd=-2,

則。一。=3,b-d=3,所以a—c=6—d,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因若取。=2,b=l,c=-lfd=-2,

則ac=-2,bd=-2,所以ac=bd,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閍>6>0,則又因0>c>d貝!JO<-c<-d,

ab

由不等式的同向皆正可乘性得，-土故￡-g>0,故D正確.

abab

故選：AD.

2.（2024?廣西?二模）已知實(shí)數(shù)a,6,c滿足。>b>c,且a+6+c=0,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a+b>0B.ac>be

【答案】AD

11

【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和已知條件可逐項(xiàng)分析得到答案.

【詳角牟】。+6+。=0且。>6>c,則?！?,。<0,

則Q+6〉0,A正確；

因?yàn)閍>b,。<0,所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)閍>Z?>c,a-b>O,b-c>0,（〃一Z?）-優(yōu)一c）=〃+c-2Z）=-3b,

當(dāng)6>0時(shí)，Ova—b<b-c,貝!J—-—>—--；當(dāng)6<0時(shí)，a-b>b-c>0,貝!]―-—<—-—，當(dāng)6=0時(shí),

a-bb-ca-bb-c

a-b=b-c,貝!1―二-二J—,故C錯(cuò)誤；

a-bb-c

因?yàn)椋ā?c）（6一。）一gc2=（a-c27）-^c2=-a2-ac-^2=~"g1.，

當(dāng)且僅當(dāng)。=一!。時(shí)，等號(hào)成立，止匕時(shí)由〃+占+。=0可得6=，不符合a>b>c,

22

所以-\+gc]=0不成立，故一\+gc]<0,即（。-。）優(yōu)-。）</2,D正確.

故選：AD

即時(shí)檢測(cè)

I________L__________

1.（2024?福建龍巖?一模）下列命題正確的是（）

A.若avb<0,貝!J/〉。/,〉/

B.若。<6<0,貝！

C.若0<Q<6<C,貝！]—>—

ab

D.若。<“<6,則2Q+2>2?K

2

【答案】AC

【分析】對(duì)A和C利用不等式性質(zhì)即可判斷，對(duì)B和D舉反例即可反駁.

【詳解】對(duì)A,因?yàn)椤?lt;6<0,則兩邊同乘。得/>加，兩邊同乘b得好>〃，

則〃2>而>/,故A正確；

對(duì)B,當(dāng)。二0時(shí)，ac1=be2,故B錯(cuò)誤；

11cc

對(duì)C,因?yàn)閯t一>：,又因?yàn)椤！?,所以一〉：，故C正確；

abab

b8_____

對(duì)D,舉例。=2,6=8,貝！]20+5=2x2+5=8,而2M=242義8=8，

此時(shí)兩者相等，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

2.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知a<b<0<c<〃，則下列不等式一定正確的是（）

12

A.a+b<c+dB.ac<bcC.ab<cdD.—<—

cd

【答案】ABD

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閍<b<O<c<d,所以。+6<0<c+d,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)镼<6,c>0,所以故B正確；

對(duì)于C,當(dāng)〃二一3,b=-2,c=l,d=2時(shí)，ab>cd,故C不正確；

對(duì)于D,因?yàn)?<c<d,所以1>1，又a<0,所以@<三.故D正確.

caca

故選：ABD.

3.（2024?安徽淮北?一模）已知b,CGR,下列命題為真命題的是（）

A.若a>b〉c,則a+Z?>cB.若〃〉6〉卜|,則

cch/）+r

C.若a<b<c<0,則一>:D.若a>6>c>0,則一<----

abaa+c

【答案】BD

【分析】

利用舉反例和不等式得性質(zhì)進(jìn)行判斷.

【詳解】當(dāng)6為負(fù)數(shù)時(shí)A可能不成立，例如-2>-3>-4但-2+（-3）>-4是錯(cuò)誤的.

因?yàn)椤?gt;6>|c|N0根據(jù)不等式性質(zhì)可得/>〃>,2正確.

因?yàn)閍<6<0,所以二>0,所以。二<6々<0即!<4<0所以￡>￡>o故C錯(cuò)誤.

abababbaba

因?yàn)椤ā礲〉c〉0,所以2ab+bc-ab-acc(b-a\

------------------------=/-------V<0

aa+cQ(Q+C)Q(〃+C)

所以2<小￡正確.

aa+c

故選：BD

12.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

一、單選題

1.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）"a>b>0,c>d是"數(shù)>""的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)不等性質(zhì)直接判斷.

13

【詳解】由于。，d的正負(fù)性不確定，由〃a>6>0,c〉d〃不能推出〃ac>bd〃，故充分性不成立；同時(shí)

當(dāng)〃Qc>6d〃時(shí)也不能推出"a>b>0,c>d”,故必要性也不成立.

故選：D.

2.（2023?吉林長(zhǎng)春?一模）若。，b,cGR,且?！缔k，則下列不等式一定成立的是（）

A.ac>bcB.ac2>be2

C.（b—a）c2<0D.（a-b）（^>0

【答案】D

【分析】利用特殊情形可判斷ABC,根據(jù)不等式性質(zhì)判斷D.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)c<0時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,當(dāng)。=0時(shí)，不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)。=0時(shí)，（6-。）02<0不成立，故c錯(cuò)誤；

對(duì)D,由a〉b=>Q—b〉O,Xc2>0,所以（a—b）。？?。，故D正確.

故選：D

3.（23-24高三上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）設(shè)“，6,。為實(shí)數(shù)，且a〉6>0,則下列不等式正確的是（）

°°ba°。11

A.ac1>be2B.—>—C.a1>ab>b2D.—>7

abab

【答案】C

【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，作差法比較出大小關(guān)系；CD選項(xiàng)，利用不等式的性質(zhì)得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)C=0時(shí)，ac1=be2=0,A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，2_巴=3="+。）僅一。）,

ababab

因?yàn)閍>6>0,所以6-。<0,則）_@=藝二且=伍+。）3一"）<o,

ababab

故—工<0，—<7，B專曰陜；

abab

C選項(xiàng)，a>b>0兩邊同乘以。得/>就，

a>b>0兩邊同乘以6得打>〃，

故a2>ab>b2,C正確；

D選項(xiàng)，因?yàn)閍〉6〉0,所以ab〉O,

a>b>0兩邊同除以得丁〉一，D錯(cuò)誤.

ba

故選：C

4.（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于實(shí)數(shù)〃，b,c,下列結(jié)論中正確的是（）

A.若a>b,則以？>6°2B.若。>6>0,則

ab

C.若a<b<0,則色<2D.若a>b,—>—,則46Vo

baab

【答案】D

14

【分析】由不等式的性質(zhì)逐一判斷.

【詳解】解：對(duì)于A：c=0時(shí)，不成立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：若a>6>0,則工<!，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：令。=-2,6=-1,代入不成立，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若a>b,—,貝!Ja>0,b<Q,貝U,D正確；

ab

故選：D.

5.（23-24高三上?北京房山?期末）已知。，。為非零實(shí)數(shù)，且a>6,則下列結(jié)論正確的是（）

11ba11

A.a2>b?B.->-C.->-D,2>-7-

abababab

【答案】D

【分析】對(duì)A、B、C舉反例即可得，對(duì)D作差計(jì)算即可得.

【詳解】對(duì)A：若0〉〃〉b,則/<〃，故錯(cuò)誤;

對(duì)&若a>力>則呆小故錯(cuò)誤;

對(duì)C：若a>b>0,則ab>0,左右同除〃6,有，>~,故錯(cuò)誤;

ba

對(duì)D：由。>b且。，6為非零實(shí)數(shù)，則上-47=增>0,即3>上，故正確.

ababababab

故選：D.

6.（2023?廣東?二模）若?=G+2正,b=6—,c,貝U（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】A

【分析】利用作差法比較大小即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)閍-c=C-e+百一少;陋產(chǎn)=732-/27>（,所以

2V62V6276

、,田廣32后+6-2下

a>c.c-b=yj2-yl5+—產(chǎn)=———---—,

2G2

因?yàn)椋?亞+6）2-（2?y=4而-9=灰-聞>0,

且2&+石>0,27?>0,所以2&+人>2百，所以c-6>0,所以c>6.故a>c>6.

故選：A

二、多選題

7.（2023?湖南張家界?二模）下列命題正確的是（）

A.若a>b,貝！Jac?！??/B.若。>例，貝Ij/>/

15

C.若a>b,貝！D.若同>6,則02>方2

【答案】BC

【分析】

舉例說(shuō)明即可判斷AD；根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可判斷B；根據(jù)暴函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C.

【詳解】A：若c=0,貝!）42=兒2,故A錯(cuò)誤；

B：若"回，則0>0,故時(shí)兩邊平方，可得力>〃，故B正確；

C：因?yàn)榱?尤3在R上單調(diào)遞增，所以若。>6,則/>〃，故c正確；

D：若時(shí)>6,不妨設(shè)“=0,b=-2,顯然不滿足片>〃，故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

三、填空題

8.（2023高三?全國(guó)■課后作業(yè)）已知0V。+6<1,2Va-b<3,則6的取值范圍是.

【答案】

【分析】利用不等式的性質(zhì)即可求出右的取值范圍.

【詳解】由題意，

在24。-6<3中，

-3<b-a<-2

0<a+b<1,

31

/.—3<2b<—1,解得：—<b<—,

22

故答案為：1|,一1].

9.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若1<&<3,-4<尸<2,則2a+.的取值范圍是.

【答案】（2,10）

【分析】

根據(jù)絕對(duì)值定義求忸|范圍，再根據(jù)不等式性質(zhì)求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?4<。<2,

所以04期<4,

又l<a<3,

所以2<2a<6,

所以2<2a+網(wǎng)<10.

故答案為：（2,10）.

10.（23-24高三上?海南?？?開學(xué)考試）已知-l<x<4,2<y<3,則3x+2y的取值范圍是

16

【答案】（U8）

【分析】由-l<x<4,2<><3得到-3<3x<12,4<2y<6,相加后得到取值范圍.

【詳解】因?yàn)?1〈尤<4,2<y<3,

所以一3<3%<12,4<2y<6,

得3x+2”（-3+4,12+6）=0,18）.

故答案為：（1,18）

能力提

一、單選題

1.（2024?山東聊城?三模）"a+b<-2,且必>1"是".<一1,且6<-1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，利用不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條