第07講實數(4種題型)

O【知識梳理】

一.實數

(1)實數的定義：有理數和無理數統稱實數.

(2)實數的分類：

按定義分：

、詡「有理數：有限小數或無限循環小數

實數［4無理數：無限不循環小數

按與0的大小關系分：

'正有理數

正數＜

、正無理數

實數0

，負有理數

負數＜

、負無理數

二.實數的性質

(1)在實數范圍內絕對值的概念與在有理數范圍內一樣.實數a的絕對值就是在數軸上這個數對應的點與

原點的距離.

(2)實數的絕對值：正實數a的絕對值是它本身，負實數的絕對值是它的相反數，。的絕對值是0.

(3)實數。的絕對值可表示為同={a"NO)-a(a＜0),就是說實數。的絕對值一定是一個非負數，即

|a|N0.并且有若|x|=a(。20),則尤=±a.

實數的倒數

乘積為1的兩個實數互為倒數，即若。與b互為倒數，則必=1；反之，若必=1,則。與b互為倒數，這

里應特別注意的是0沒有倒數.

三.實數與數軸上的點的關系

(1)實數與數軸上的點是一一對應關系.

任意一個實數都可以用數軸上的點表示；反之，數軸上的任意一個點都表示一個實數.數軸上的任一點表示

的數，不是有理數，就是無理數.

(2)在數軸上，表示相反數的兩個點在原點的兩旁，并且兩點到原點的距離相等，實數。的絕對值就是在

數軸上這個數對應的點與原點的距離.

（3）利用數軸可以比較任意兩個實數的大小，即在數軸上表示的兩個實數，右邊的總比左邊的大，在原點

左側，絕對值大的反而小.

我們嘗試用數軸上的一個點來表示正.

由前面的學習，我們知道兩個邊長為1的小正方形可以拼成一個面積為2的正方形465,它的邊長為行.觀

察正方形/及力,可知它的一邊是一個直角三角形的斜邊，這個直角三角形的兩條直角邊長都是1.

這樣，就在數軸上確定一個點來表示后.

要點：每一個實數都可以用數軸上的點表示，而且這些點是唯一的；反過來，數軸上的每一個點都表示一個

實數.數軸上的點與實數一一對應。

四.實數的運算

（1）實數的運算和在有理數范圍內一樣，值得一提的是，實數既可以進行加、減、乘、除、乘方運算，又

可以進行開方運算，其中正實數可以開平方.

（2）在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加

減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用.

【規律方法】實數運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、塞的運算、指數（特別是負整數指數，0指數）運算、根式運算、特殊三角

函數值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，

無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

二」【考點剖析】

實數（共7小題）

1.（2022秋?大田縣期中）把下列各數填入相應的括號內：-1,V石，O.p-3.14,J礪，（-&）2

3

1.010010001

（1）無理數：｛1.010010001V^_-｝；

（2）負實數：｛&壓,-3.14…｝;

（3）整數：｛,尻（-於）2…）;

（4）分數：｛春0.-3.14,…｝.

【分析】先求出J而與（-&）2的值，再由實數的分類即可解答.

【解答］解:每=6,（-料）2=2,

（1）無理數｛1.010010001…，■｝;

（2）負實數｛歌，-3.14-｝；

（3）整數｛、廊,（-&）2…｝;

（4）分數管0.7，-3.14｝.

故答案為：1.010010001-,^5-；力石，-3.14；V36,（-72）2；2,0.7,-3.14.

3

【點評】本題考查的是實數，熟知實數的分類是解題的關鍵.

2.（2022秋?城陽區期中）把下列各數填入相應的集合內:

°，號.將1舟^3.1011,0.3737737773…（相鄰兩個3之間7的個數逐次

加1）.

（1）整數集合］0,副二豆，—??,｝；

（2）分數集合｛號，需，3.1011…｝;

（3）無理數集合｛-義殳，三，03737737773…（相鄰兩個3之間7的個數逐次加1）…｝.

3-3

【分析】先把各數化簡，再根據實數的分類進行解答即可.

【解答】解：-屆=-1是分數，■=-2是整數，丁而=7是整數.

（1）整數集合｛0,燈司，J函…｝;

（2）分數集合｛竿，3.1011,???）；

（3）無理數集合｛-返,—,0.3737737773-（相鄰兩個3之間7的個數逐次加1）-??）.

33

故答案為：0,燈三，V49；處,，3.1011；-匹，—,0.3737737773…（相鄰兩個3之間7

33

的個數逐次加1）

【點評】本題考查的是實數，熟知實數的分類是解題關鍵.

3.（2023春?凱里市校級期中）把下列各數填入表示它所在的數集的大括號：

-2.4,n,2.022,-0.15,0,-10,-1.1010010001-.

3

整數集合：｛0,-10｝；負分數集合：｛-2.4,-兇，-0.15｝；

3

正實數集合：｛n，2.022｝；無理數集合：｛TT,-1.1010010001…｝.

【分析】實數包括有理數和無理數；整數和分數統稱為有理數；無理數即無限不循環小數，據此進行分

類即可.

【解答】解：整數集合：0,-10；

負分數集合：-2.4,-兇，-0.15；

3

正實數集合：n,2.022；

無理數集合：n,-1.1010010001-；

故答案為:0,-10；-2.4,-—,-0.15；it,2.022；n,-1.1010010001-.

3

【點評】本題考查實數的分類，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

4.（2022秋?黑山縣期中）把下列各數分別填入相應的集合內：

對，-JW，信信-2,0,-0.2121121112…（相鄰兩個2之間的1的個數逐次加1）

【分析】根據無理數以及正實數的定義，在給定實數中分別挑出無理數以及正實數，此題得解.

【解答】解：如圖所示：

無理數集合正實數集合

【點評】本題考查了有理數的分類，熟練掌握有理數的分類是解題的關鍵.

5.（2022秋?渾南區月考）將下列數按要求分類，并將答案填入相應的括號內：

庫-0.25,2.3,刎^,0,-二,《-2,日,與；

負實數集合｛-0.25,-二,V3-2???）：

2—

有理數集合（1^-,-0.25,2.3,0,_V4_…｝;

4

無理數集合｛哼—…｝.

【分析】運用實數的概念進行逐一辨別、分類.

【解答】解：-0.25,?-2是負實數，

2

1—,-0.25,2.3,0,日是有理數，

4

歷萬-2L,V3-2,近■是無理數，

23

故答案為：-0.25,--V3-2；1—,-0.25,2.3,0,日；^10--工，我-2,晅.

24v皿23

【點評】此題考查了運用實數的概念進行分類的能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識.

6.（2022秋?浚縣期中）把下列各實數填在相應的大括號內；

二，-|-3|,0,手，-3.1,V5-1.1010010001-

整數：｛-1-31，0｝；

分數：J爭-3j—卜

無理數：]；,,底,1.1010010001…｝；

負數：｛-[-3|,-3.1）.

【分析】直接利用整數以及分數、無理數和負數的定義得出答案.

【解答】解:整數｛T-3],0）；

分數｛鳴？竿-3.1｝；

無理數｛2L,屈,i.ioiooioooi……｝；

2

負數｛-|-3|,-3.1,｝.

故答案為：T-3|,0；學，-3.1,號務；；，娓,1.1010010001-；-|-3|,-3.1.

【點評】本題考查了實數的有關定義，掌握實數的定義是關鍵.

7.（2023春?東莞市月考）把下列各數填到相應的集合內（只填序號）：

①2近；②-［；③④°$4：⑤0」J⑥;；⑦0；⑧-23；⑨（77）2;⑩0.3020020002…（相

39

鄰兩個2之間0的個數逐次加一）

有理數集合：｛②③④⑤⑦⑧⑨…｝.

無理數集合：｛①⑥⑩?"）.

正實數集合：｛①④⑤⑥⑨⑩…｝.

負實數集合：｛②③⑧…｝.

【分析】運用實數的概念進行逐一分類、辨別.

【解答】解：：—；刻兩；0.54：0.1⑦0;⑧-23；⑨（V7）2是有理數，

3

2a；—；0.3020020002…是無理數，

9

2?；0.54：0.1q；—；（V7）2;0.3020020002…是正實數，

39

副兩；-23是負實數，

故答案為：②③④⑤⑦⑧⑨，①⑥⑩，①④⑤⑥⑨⑩，②③⑧.

【點評】此題考查了對實數進行正確地分類，關鍵是能準確理解并運用以上知識.

二.實數的性質（共6小題）

8.（2023春?仙游縣校級期中）遙-2的相反數是（）

A.-0.236B.A/5+2C.2-遍D.-2+75

【分析】根據相反數的定義即可得出結論.

【解答】解:V5-2的相反數是2一后.

故選C

【點評】本題考查的是相反數，熟知只有符號不同的兩個數叫互為相反數是解題的關鍵.

9.（2023?泗縣校級模擬）T與的倒數是（）

A.V3B.近c.-V3D._愿

33

【分析】根據倒數的定義即可得出答案.

【解答】解：-遮的倒數是-1;

3

故選：D.

【點評】此題主要考查了倒數，倒數的定義：若兩個數的乘積是1,我們就稱這兩個數互為倒數.

10.（2023春?晉安區期中）在下列各組數中，互為相反數的是（）

A.-3與?B.|-3|與-JC.|-五|與-遙D.3與＜（一3）2

3

【分析】根據數值相同符號相反的兩個數互為相反數得出結論即可.

【解答】解：???|-、巧=?,

???I-、巧I與-我互為相反數，

故選：C.

【點評】本題主要考查實數的相關概念，熟練掌握絕對值和相反數的概念是解題的關鍵.

11.（2023春?景縣期中）-VN的絕對值是（）

A.-4B.4C.-2D.2

【分析】根據算術平方根，絕對值的意義，進行計算即可解答.

【解答】解：|-/41=|-2|=2,

故選：D.

【點評】本題考查了實數的性質，算術平方根，絕對值，熟練掌握算術平方根，絕對值的意義是解題的

關鍵.

12.（2022春?海淀區校級期中）已知正數。的兩個平方根分別是2x-3和1-x,科五■與田定石互為相

反數，求a+2b的值.

【分析】利用平方根的意義求出。值，利用相反數的意義求出b值，將。值代入代數式計算即可.

【解答】解：二.正數a的兩個平方根分別是2尤-3和1-x,

2x-3+1-x=0,

解得：x—2.

??2x-3=1,1-x~~-1,

>?tz=1；

;弘-2b與Mb-5互為相反數，

/.I-28+36-5=0,

解得:6=4.

當<7=1,6=4時，

<7+26=1+2X4=1+8=9.

【點評】本題主要考查了實數的性質，平方根，立方根，相反數的意義，利用平方根的意義求出a值，

利用相反數的意義求出b值是解題的關鍵.

13.（2022秋?蘇州期中）小明在學完立方根后研究了如下問題：如何求出-50653的立方根？他進行了如下

步驟：

①首先進行了估算：因為1（）3=1000,1003=1000000,所以當50653是兩位數;

②其次觀察了立方數：13=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；

猜想板演的個位數字是7；

③接著將50653往前移動3位小數點后約為50,因為33=27,43=64,所以病怎的十位數字應為3,

于是猜想力50653=37,驗證得：50653的立方根是37；

④最后再依據“負數的立方根是負數”得到斗-50653=-37,同時發現結論：若兩個數互為相反數，則

這兩個數的立方根也互為相反數；反之也成立.

請你根據小明的方法和結論，完成下列問題：

⑴.117649=一49；

⑵若%l-2x+我=0,則尸3；

已知M-2+2=X，且如y-i與2l-2x互為相反數，求了，》的值.

【分析】（1）根據題中的猜想得出知117649的個位數與十位數，再取其相反數即可；

（2）根據兩數相加等于。列出關于X的方程，求出X的值；由切U+2=x求出X的值，再根據相反數

的定義列出關于y的方程，求出y的值即可.

【解答】解：（1）V103=1000,1003=1000000,

**?，117649是兩位數?

33

Vl=l,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,9=729s痘前的個位

數字是9.

:將117649往前移動3位小數點后約為H7,因為33=27,43=64,53=125,所以知50653的十位數

字應為4,

.,.117649的立方根是49,.

???兩個數互為相反數，則這兩個數的立方根也互為相反數，

A/-117649=-49-

故答案為：-49；

（2）?斗1一2胃+

1-2x=-5,解得x=3.

,A/x~2+^=Xf

,Vx~2=x~2,

Ax-2=0,x-2=-1或%-2=1,解得了=2,1或3；

丁My-1與弘-2x互為相反數，

???3y-l=2x-1,即

當％=2時，3y-l=3,解得丁=邑；

3

當％=1時，3y-l=l,解得y=2；

3

當尤=3時，3y-l=5,解得y=2.

故答案為：3；x=2時，y=—；尤=1時，j=—；x=3時，y=2.

-33

【點評】本題考查的是實數的性質，熟知若兩個數互為相反數，則這兩個數的立方根也互為相反數是解

題關鍵.

三.實數與數軸（共7小題）

14.（2023春?上思縣期中）如圖，點A表示的實數是（)

C.V5D.-V5

【分析】根據勾股定理可求得。4的長為JG，再根據點A在原點的左側，從而得出點A所表示的數.

【解答】解：如圖，0B=\]22+F=

：04=02,

點A在數軸上表示的實數是-辰.

【點評】本題考查了實數和數軸，以及勾股定理，注意原點左邊的數是負數.

15.（2023春?長沙期中）如圖，3,，五在數軸上的對應點分別為C,B,點C是的中點，則點A表示

的數是（）

。4CBt

03711

A.-711B.3-A/11C.VT1-3D.6-VT1

【分析】設點A表示的數是x,再根據中點坐標公式即可得出x的值.

【解答】解：設點A表示的數是尤，

?..數軸上表示3、JTI的對應點分別為C、8,點C是A8的中點，

?VTT+x

解得尤=6-VTi.

故選：D.

【點評】本題考查的是實數與數軸，熟知數軸上的點與實數是一一對應關系是解答此題的關鍵.

【分析】首先根據勾股定理可得AC=J5,再根據AE=AC可得AE,然后用-1+AE的長可得答案.

【解答】解：由題意得，AC=Ji2+i2=&,

:.AE=AC=42^

.,.點E表示的數是-1+&='次-1,

故選：C.

【點評】本題考查勾股定理的運用，根據勾股定理得出AC的長是解題關鍵.

17.（2023春?鄭城縣期中）如圖，實數。在數軸上的位置如圖所示，化簡：|軟->巧|=（）

a

?i.i??>

-10123

A.-a-V2B.a+>/2C.A/2-aD.a-V2

【分析】由數軸可知進而得到a-&<0,再根據絕對值的性質進行化簡即可得到答案.

【解答】解：由數軸可知，0<cz<l,

a-V2<0,

?e-Ia-近I=V2-a.

故選：C.

【點評】本題考查了數軸，絕對值，熟練掌握絕對值的性質是解題關鍵.

18.（2022秋?濟南期末）己知數軸上兩點A,B,其中A表示的數為-2,B表示的數為2,表示A,2兩

點之間的距離.若在數軸上存在一點C,使得AC+BC=w,則稱點C為點A,8的“力節點”.例如圖1

所示，若點C表示的數為0,有AC+3C=2+2=4,則稱點C為點A,B的“4節點”

（1）若點C為點A,2的“力節點”，且點C在數軸上表示的數為-3,則〃=6；

（2）若點。為點A,8的“4?節點”，請直接寫出點。在數軸上表示的數為+2A/3;

（3）若點E在數軸上（不與48重合），滿足A,E兩點之間的距離是8,E兩點之間的距離的加倍，

且點E為點A,8的“〃節點”，求w的值.

ACB

―*----1-----X----1----

-2-1012

圖1

AB

—4--------1----------1---------1---------

-2-1012

備用圖

【分析】（1）根據新定義求解；

（2）設未知數，根據新定義列方程求解;

(3)先求點E表示的數，再計算w的值.

【解答】解：(1)AC+BC=(-2+3)+(2+3)=6,

故答案為：6；

(2)設。表示的數為尤，

則|x+2|+|x-2|=4、回，

解得：x=±2近，

故答案為：±2、&；

(3)設E點表示的數是》

貝U：|-2-y|=V2|2-j|,

解得：y=6±4&，

當y=6+4,日時，

“=AE+BE=8+4料+4+4&=12+8&,

當y=6-4&時，

n—AE+BE—S-4^/^+4'匹-4=4.

【點評】本題考查了數軸和實數，方程思想是解題的關鍵.

19.(2021秋?綏寧縣期末)如圖1,這是由8個同樣大小的立方體組成的魔方，體積為64.

(1)求出這個魔方的棱長.

(2)圖中陰影部分是一個正方形ABC。，求出陰影部分的面積及其邊長.

(3)把正方形ABCD放到數軸上，如圖2,使得A與-1重合，那么D在數軸上表示的數為-1-2

【分析】(1)根據正方體的體積公式可求這個魔方的棱長.

(2)根據魔方的棱長為4,所以小立方體的棱長為2,陰影部分由4個直角三角形組成，算出一個直角

三角形的面積乘以4即可得到陰影部分的面積，開平方即可求出邊長.

(3)根據兩點間的距離公式可得D在數軸上表示的數.

【解答】解：（1）^64=4-

答：這個魔方的棱長為4.

（2）?..魔方的棱長為4,

小立方體的棱長為2,

陰影部分面積為：AX2X2X4=8,

2

邊長為：78=272.

答:陰影部分的面積是8,邊長是2近.

（3）。在數軸上表示的數為-1-2近.

故答案為：-1-2&.

【點評】本題考查的是立方根在實際生活中的運用，解答此題的關鍵是根據立方根求出魔方的棱長.

20.（2023春?雷州市校級期中）如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬了2個單位長度到達點3,點A表示

-加,設點8所表示的數為格

（1）實數m的值是2-M；

（2）求依+1|+依-1|的值;

（3）在數軸上還有C、。兩點分別表示實數c和肩且有|2c+M與｛d2_16互為相反數，求2c-3d的平

方根.

lA.llB.lI>

-2-1012

【分析】（1）點A表示-\歷，沿著x軸向右移動2個單位到達點2,2所表示的數為，-即：

2-歷

故答案為：2-心

（2）:九=2-五，則優+1>0,m-1<0,進而化簡回+1出機-1|,并求出代數式的值；

（3）根據非負數的意義，列方程求出c、d的值，進而求出2c-3d的值，再求出2c-3d的平方根.

【解答】解：（1）-、次+2=2-衣；

（2）Vm=2-\^2，貝卜”+1>0,m-1<0,

/.|m+l|+|m-l|=m+l+l-m=2；

答：|m+l|+|m-1|的值為2.

（3）???|2c+d|與｛d2-16互為相反數，

???|2。+切=0,且山2?16=。，

解得：c=-2,d=4,或c=2,d=-4,

①當c=-2,d=4時，

所以2c-3d=-16,無平方根.

②當c=2,d=-4時，

2c-3d=16,

???2c-3d的平方根為±4,

答：2c-3d的平方根為±4.

【點評】考查數軸、非負數的性質、絕對值的意義，分類討論是常用的方法.

四.實數的運算(共7小題)

2L(2023?大安市四模)計算：

【分析】利用負整數指數累及零指數幕進行計算即可.

【解答】解：原式=3+1=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查實數的運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

22.(2022秋?滄州期末)對于任意的實數m,n,定義一種詞貝!J(4+2/弓)*(4-2^5)

=()

A.-4B.4C.-4遙D.4遙

【分析】根據九*"代入計算可以求得所求式子的值.

【解答】解：*.*m^n-mn+n+m,

???(4+2V5)*(4-2V5)=(4+275)X(4-2V5)+(4+275)+(4-275)

=16-20+4+27^+4-2遙

=4.

故選：B.

【點評】本題考查了實數的運算，二次根式的混合運算，解答本題的關鍵是明確題意，會用新定義解答

問題.

23.(2023春?長垣市期末)計算：日一寸二需=，/_.

【分析】先計算開平方和開立方，再計算減法.

【解答】解：y-寸孑

=2+工

2

=2工，

2

故答案為：2工.

2

【點評】此題考查了實數的開平方和開立方的綜合運算能力，關鍵是能準確理解以上運算法則，并能進

行正確的計算.

0

24.(2023?鼓樓區校級一模)計算：|一3|+(工1)-V4-

【分析】依據題意，根據實數的運算性質進行計算即可得解.

【解答】解：原式=3+1-2

=4-2

=2.

【點評】本題主要考查了實數的性質，解題時要熟練掌握并準確計算.

25.(2023春?東莞市期中)計算：V4-(V3-2)+(-l)2023-

【分析】根據實數的混合運算法則計算即可.

【解答】解：74-(V3-2)+(-l)2023

=2-百+2-1

=3^^3-

【點評】本題考查了二次根式的加減運算，以及算術平方根、實數的乘方運算等知識，解題的關鍵是掌

握運算法則進行解題.

26.(2023?金安區校級三模)計算：+|愿-1|+工27,

【分析】先計算算術平方根.化簡絕對值，求解立方根，再合并即可.

【解答】解：V16+k/3-il+V7^?

=4+-1-3

=V3.

【點評】本題考查是算術平方根的含義，化簡絕對值，求解立方根，實數的混合運算，掌握“算術平方

根與立方根的含義”是解本題的關鍵.

27.（2023春?利川市期中）計算：

（-2）2+切-64+4（-2產+|1-V3|,

【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答.

【解答】解：（-2）2+^64+7（-2）2+|1-V3|

=4+（-4）+2+^3-1

=0+2+?-1

=F+1.

【點評】本題考查了實數的運算，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

廿【過關檢測】

一、單選題

2TT

1.（2023?江蘇?八年級假期作業）在實數一針0,上,-3.14,萬，4，-0.1010010001…（每兩個1之

間依次多1個0）,0-3.14）°這8個實數中，無理數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】根據無理數的概念：無限不循環小數是無理數即可解答.

【詳解】解：4=2,（^-3.14）°=1

在實數-g，0,6，-3.14,p4，-0.1010010001…（每兩個1之間依次多1個0）,（萬-3.14）°這8

_77

個實數中，無理數有：百，5，-0.1010010001...（每兩個1之間依次多1個0）,共3個.

故選：C.

【點睛】本題考查無理數的概念，掌握實數的分類與概念是解題的關鍵.

2.（2022秋?八年級單元測試）-27的立方根與81的平方根的和是（）

A.6B.0C.6或-12D.0或6

【答案】C

【分析】先列式，再根據立方根、平方根的定義進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果.

【詳解】由題意得，行+（a'）=-3±9

結果為6或-12

故選：C.

【點睛】本題考查了實數的運算，熟練掌握平方根、立方根的求法，是基礎知識比較簡單.

3.（2023?江蘇?八年級假期作業）已知〃="b=2,c=6,則。、b、c的大小關系是（）

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

【答案】c

【分析】由2=a，4<a<史,進行判斷即可.

【詳解】解：2="，（百，

a>b>c,

故選：C.

【點睛】本題考查了實數的大小比較，算術平方根.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握.

4.（2022秋?甘肅蘭州?八年級統考期末）在實數無中，無理數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據實數的分類：有理數和無理數，結合無理數的概念逐項進行辨別即可得到答案.

2

【詳解】解：0,14141是有理數；兀,正是無理數；

???在所有數字中無理數有2個，

故選：B.

【點睛】本題考查實數的分類、對無理數的辨別能力，關鍵是能準確理解并運用相關知識.

5.（2023春?廣東汕頭?八年級統考期末）如圖，矩形A3CD的邊在數軸上，若點A與數軸上表示數-1

的點重合，點。與數軸上表示數-3的點重合，AB=1,以點A為圓心以對角線AC的長為半徑作弧與數軸

負半軸交于一點E,則點E表示的數為（）

C/B

,,r

-4-3-2-10~1

A.-6B.1-5/5C.一1-6D.-1-^/3

【答案】C

【分析】根據勾股定理計算出AC=A/L進而求得該點與點A的距離，再根據點A表示的數為-1,可得該

點表示的數.

【詳解】解：在長方形ABCD中，AD=-1—（-3）=2,AB=CD=1,

AC=VAD2+CD2=乃+產=，

則點A到該交點的距離為石，

???點A表示的數為-1,

,該點表示的數為：-1-亞

故選：C.

【點睛】此題主要考查了勾股定理的應用，解決本題的關鍵是掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中,

兩條直角邊長的平方和一定等于斜邊長的平方.

6.（2022春?八年級單元測試）在數軸上，下列各數所表示的點在表示2的點右側的數是（）

A.0B.6C."D.y/5

【答案】D

【分析】先比較出各數的大小，找出符合條件的數即可.

【詳解】解：：2<3<4<5,

:.亞〈也〈瓜〈耳，BPA/2<A/3<2<75,

V5>2,

V5所表示的點在表示2的點右側.

故選：D.

【點睛】本題考查的是實數與數軸及實數的大小比較，熟知實數比較大小的法則是解答此題的關鍵.

7.（2023秋?江蘇淮安?八年級統考期末）關于巫的敘述錯誤的是（）

A.是無理數B.在數軸上存在表示的點

C.V13=A/4+A/9D.V13>3

【答案】C

【分析】根據無理數的定義、在數軸上的點與實數是一一對應關系、無理數的估算逐項判斷即可解答.

【詳解】解：A、J萬不能開的盡方，是無理數，正確，不符合題意；

B、在數軸上存在表示舊的點，正確，不符合題意；

C、A/4+^/9=5）錯誤，符合題意；

D、713>5/9=3,正確，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了無理數的定義、在數軸上的點與實數是一一對應關系、無理數的估算，熟練掌握相關

知識是解答的關鍵.

8.（2023秋?河北石家莊?八年級校考期末）如圖，在數軸上標有O,A,B,C,。五個點，根據圖中各點

所表示的數，判斷厄應該在下列線段的（）

OABCD

-023~16~~5^8~

A.Q4上B.A3上C.3C上D.8上

【答案】B

【分析】計算已知點的平方，再進行判斷即可.

【詳解】解：.2.52=6.25,36=12.96,

2.5<J12<3.6,

V12在數軸上的位置會在線段AB上，

故選：B.

【點睛】本題考查無理數的估算，數軸表示數的意義和方法，正確的估算無理數的大小是正確判斷的前

提.

9.（2023春?江西南昌?八年級統考期末）在下列四個數中，最大的數是（）

A.73B.-5/6C.45D.一0

【答案】C

【分析】根據實數的大小比較方法即可得出答案.

【詳解】解：根據正數大于負數可得大數為石或百，

又：5>3,

二石>G

二最大數為正，

故選：C.

【點睛】本題考查實數的大小比較，熟練掌握實數的大小比較方法是解題關鍵.

10.（2022秋?遼寧沈陽?八年級統考階段練習）如圖，輸入機=2近，則輸出的數為（）

A.8B.16C.32D.64

【答案】B

【分析】按照程序運算的規則輸入機=20,逐步運算即可.

【詳解】解：輸入加=20,可得加=（2點『=8<10,

??J2x8=yfl6=4，

再輸入得：42=16>10,

...此時輸出16,

故選B.

【點睛】本題考查的是程序框圖與實數的運算，理解程序框圖的含義是解本題的關鍵.

二、填空題

11.（2023?江蘇?八年級假期作業）在下列數中：-幣,1.732,卜6],1一枝,0.643,-（-1戶（”為正

整數），4+嶼.有理數是;無理數是.

【答案】1.732,0.643,-（-1）2"（"為正整數），4+^8-8，卜,1-72

【詳解】解：卜冏=應;-（-1）2，，=-1（"為正整數）；4+O=4-2=2.

有理數有：1.732,0.643,-（-1）筋（"為正整數）,4+0

無理數有：-石，卜庭1-0,

故答案為：1.732,0.643,-（-1戶（"為正整數），4+/；-石，卜,1-72

【點睛】本題考查實數的分類，解題的關鍵是掌握有理數和無理數的定義.

12.（2023?江蘇?八年級假期作業）把下列各數的標號填在相應的大括號內：①2,②③2月，④

25%,⑤0.25555…，⑥-0.040040004…（每兩個4多一個0）.

（1）有理數集合：｛｝；

（2）無理數集合：{}.

【答案】①④⑤②③⑥

【分析】（1）整數與分數統稱有理數，再根據有理數的含義填空即可；

（2）無限不循環的小數為無理數，再根據無理數的定義填空即可；

【詳解】解：（1）有理數集合：{①，④，⑤};

故答案為：①④⑤；

（2）無理數集合：{②，③，⑥};

故答案為：②③⑥.

【點睛】本題考查的是有理數與無理數的含義，實數的分類，熟記概念是解本題的關鍵.

13.（2023?全國?八年級假期作業）小華編寫了一個程序：輸入X-立方根―算術平方根-2,則%為_

【答案】64

【分析】反向遞推法.算術平方根是2,則這個數是4,立方根為4,則這個數是64.

【詳解】是4的算術平方根，64的立方根為4,

二輸入的數為64.

故答案為：64.

【點睛】本題考查了算術平方根、立方根的含義和反向求解的知識點，用反向遞推法是解題的關鍵.

14.（2023春?遼寧?八年級期末）計算：（-1）°+卜-班卜.

【答案】百

【分析】首先利用零指數幕的性質以及絕對值的性質分別化簡得出答案.

【詳解】解：（-1）°+|1-V3|=1+V3-1=V3.

故答案為：V3.

【點睛】此題考查了實數的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

15.（2023春?廣西南寧?八年級統考期中）若。，。為實數，且k+Z+則（0+6廣3的值是

【答案】-1

【分析】首先根據題意，可得：a+2=0,6-1=0,據此分別求出。、8的值，然后把8的值代入

（a+bf2,計算即可.

【詳解】解：a,。為實數，且|°+2|+g=0,

.,.〃+2=0,b—1=0,

a=-2,b=\,

?(,八2023

?.(〃+/?)

=(-2+1嚴3

=(T嚴

=—1.

故答案為：-1.

【點睛】此題考查了實數的運算、絕對值與算術平方根非負性的應用，解題關鍵是利用非負性求出。、b

的值.

16.(2022秋.八年級單元測試)師的相反數是.亞-2的絕對值是.

【答案】22-72

【分析】先求出立方根，再求相反數，再利用絕對值的性質計算可得.

【詳解】解：舛=-2,

；?二的相反數是2,

0一2的絕對值是2-4=2-0,

故答案為：2,2-V2.

【點睛】本題考查了實數的性質，立方根，相反數，絕對值，解題的關鍵是掌握相應的概念和求法.

17.(2022秋.廣東清遠.八年級校聯考期中)若777+(4->)2=0,則弧=.

【答案】2

【分析】根據非負數的性質列出方程求出x、y的值，代入所求代數式計算即可.

【詳解】解：V^T+(4-J)2=0

…。

J[4-y=0

y/xy=A/4=2

故答案為：2.

【點睛】本題考查了非負數的性質，正確得出x,y的值是解題關鍵.

18.（2022秋?吉林長春.八年級校考階段練習）觀察下列依次排列的一列數，夜，2,瓜,20，

M，…，按這個規律寫出第〃個數：（第〃個數）.

【答案】向

【分析】觀察不難發現，被開方數是偶數，然后解答即可.

【詳解】解：<肥=卬,

2=J2x2，■

-\/6=A/2X3，

2A/2=瓜=72^4，

A/10=>/275,

L

.?.第九個數是而.

故答案為：后.

【點睛】本題是對數字變化規律的考查，從被開方數是2的倍數考慮求解是解題的關鍵.

19.（2023春?安徽?八年級統考期末）如圖，A、B、C分別為數軸上的三點，且AB=3C,若點8對應的實

數為1,點C對應的實數為6，則點A對應的實數為.

ABC

_________?_____illa

O173X

【答案】2-5/3/-V3+2

【分析】設出點A所表示的數為了,根據AB=BC列出方程，即可求出A的值.

【詳解】設點A所表示的數為x,

AB=BC

即也—1=1-x,

解得：x=2-石

故答案為：2-卡1.

【點睛】本題主要考查了實數與數軸的知識，根據=列出方程是解題的關鍵.

三、解答題

20.（2023春?福建泉州?八年級統考期末）計算：（萬-2023）°-后+（工

【答案】-1

【分析】分別計算零次幕，算術平方根，負整數指數幕，再合并即可.

【詳解】解：原式=1-5+3

=-1.

【點睛】本題考查的實數的混合運算，零次累，負整數指數塞的含義，熟記運算法則是解本題的關鍵.

21.（2023春?云南昭通?八年級校考期末）計算：一（一2022）+（兀-3.14）°+河+（

【答案】2023

【分析】分別計算零指數塞、立方根、負整數指數累即可.

【詳解】原式=2022+1+3-3

=2023.

【點睛】本題考查了實數的運算，涉及零指數嘉、立方根、負整數指數塞等知識，掌握這些知識是關鍵.

22.（2022秋?山東青島.八年級校考階段練習）把下列各數分別填入相應的集合里:

,—222I-------I-----71

-V12，0,—,^125,0.1010010001710^-0.3,--

有理數集合：｛｝；

無理數集合：｛｝；

負實數集合：｛｝.

【答案】見解析.

【分析】根據有理數、無理數、負實數的定義解答.

22TT

【詳解】解：在一而'，0,y,lp[25,0.1010010001阮方，0.3,--

中，-無=-2#）,&125=-5,710^=10-1-

有理數集合：卜，,，而巨。31；

無理數集合：|-V12,0.10100100011；

負實數集合：卜厄冷西-]

【點睛】本題考查了實數的定義，掌握實數的范圍以及分類方法是解題的關鍵.

23.（2023?全國?八年級假期作業）如圖，ABC是張大爺的一塊小菜地，已知CD是,ABC中AB邊上的

高，AC=5,CD=4,3C=3AO,求出）的長.（結果保留根號）

【答案】765

【分析】先在Rt^ACD中根據勾股定理求出的長，進而可知BC的長，再在Rt^BCZ）中，根據勾股定

理求出的長即可.

【詳解】是「ABC中AB邊上的高，

△ACO和△BCO都是直角三角形.

在RtAACD中AC=5,CD=4,

??AD=，52-4。=3>

,?BC=3AD,

：.BC=9,

在RtABCZ）中，

BD=y/92-42=y/65-

【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理并能正確的計算是解題的關鍵.

24.（2022春?八年級單元測試）觀察下列各式：

r~i~r,11i~~r,11,1Li~~r,11,1

/l+—+—=1H-------=1—；J1+—+—--------=1一;J1+—+—r=1H--------=1——;?"

AVI222122v2232236V32423412

請根據以上三個等式提供的信息解答下列問題：

⑴猜想：J1+/+J=_=_?

Vo/

（2）歸納：根據猜想寫出一個用“（〃表示正整數）表示的等式；

⑶應用計算：IFI-

【答案】（i）i+：T，*

（2）11+4+—=1+----=1—1—

vn2（〃+1）2nn+1n（n+l）

(3)1—

90

【分析】(1)根據提供的解法可得答案；

(2)根據規律推廣至一般情況即可；

(3)利用上述規律方法解答即可.

【詳解】⑴.i+4+4=i+---=i—.

V62726742

故答案為：1+g-；，1-；

(2)由上述