第一章數與式

第01講實數及其運算（3~6分）

（思維導圖+14考點+6種題型+難度分層練）

考情透視目標導航..............................................................2

知識導圖思維導航..............................................................3

考點突破考法探究..............................................................4

重點考點一實數的分類......................................................4

重點考點二數軸、相反數'絕對值'倒數......................................5

重點考點三科學記數法與近似數（高頻考點）..................................7

重點考點四實數比較大小....................................................8

重點考點五平方根、算術平方根、立方根......................................9

重點考點六實數的運算（高頻考點）.........................................11

題型精研考向洞悉.............................................................12

第一部分：常考考點講練........................................................12

考點1：數軸................................................................12

考點2：相反數..............................................................13

考點3：絕對值..............................................................13

考點4：科學記數法..........................................................13

考點5：平方根..............................................................14

考點6：算術平方根..........................................................14

考點7：立方根..............................................................14

考點8：無理數..............................................................14

考點9：實數................................................................15

考點10：實數的性質.........................................................15

考點11：實數與數軸.........................................................15

考點12：實數大小比較.......................................................16

考點13：估算無理數的大小...................................................16

考點14：實數的運算.........................................................17

第二部分：高頻題型洞悉........................................................17

題型1：有關實數的大小比較..................................................................17

題型2：有關實數的計算問題...................................................................18

題型3：無理數的估算...........................................................................19

題型4：有關實數與數軸的簡單應用題........................................................19

題型5：有關實數與數軸的復雜應用題........................................................20

題型6：數軸中的數形結合思想................................................................22

分層訓練鞏固提升..................................................................................23

基礎夯實訓練....................................................................................23

能力拔高訓練....................................................................................23

考情透視?目標導航

考點要求新課標要求考直頻次（地區版加）命題預測

理解有理數、無理數的概念，知道10年8考實數這一考點在中考數學中

實數的分類

實數是由有理數和無理數組成的屬于較為簡單的一類考點，在

可以借助數軸理解相反數和絕對值近10年連續考查中考，實數的分類及相關概念

實數的相關概的意義，會求實數的相反數、絕對主要以選擇題或填空題形式

念值、倒數，知道實數與數軸上的點考查，比較簡單；科學記數法、

----對應近似數多以選擇題或填空題

利用科學記數法簡化表示非常大或形式考查，有大數和小數兩種

科學記數法、

非常小的數，了解近似數，會按問形式,有時帶“億”“萬”“千萬”

近似數

題的要求進行簡單的近似計算等單位，做題時要仔細審題，

實數比較大小靈活運用多種方法比較實數大小切忽略單位；實數的大小比較

常以選擇題形式出現，常與數

平方根、算術了解平方根、算術平方根、立方根

平方根、立方的概念，會用根號表示數的平方根、軸結合考查；實數的運算考查

根算術平方根、立方根形式多樣，多數以解答題形式

出現，結合絕對值、銳角三函

掌握有理數的加、減、乘、除、乘

數、二次根式、平方根、立方

方及簡單的混合運算（以三步以內

實數的相關計根等知識考查.對于實數的復

為主）；能運用有理數的運算解決簡

算習，需要學生熟練掌握實數相

單的問題，知道有理數的運算律在

關概念及其性質的應用、實數

實數范圍內仍然適用.

運算法則和順序等考點.

知識導圖?思維引航

零既不是正數，也不是負數正數大于0的數

正數和負數」-------------；----------

0的相反數、絕對值是0關于零要牢記--------------負數小于0的數

Qi殳有倒數數軸在直線上用點表示數

且到原點距離相等位于原點兩側相反數的幾何意義相反數只有符號不同的兩個數

絕對值數軸上表示數a的點到原點的距離

非負性

去絕對值，看符號把握難點相關概念

同2。

非負數

專

VazO(azO)

知

學

題

識

正數＞0＞負數法

-----------------------1法則比較法

輸

兩個負數比較大小，絕對值大的數反而小--------------指

01實

理

導

數軸上右邊的點表示的數大于左邊的點表示的數數軸比較法

數

a—6>0oa>"及

作差比較法

a-b=Qo<i=b]

。-IvOoaVbl其

翅的大小

tt?運

fvloavb

作商比較法算

loa-b(a>0,b>6)

若。＞0.6＞0.則"＞y。。＞6平方比較j去

比較被開方數根指數相同匕啦被開方數

化簡絕對值時，沒有判斷絕對值符號中各個數或式子的正負

實數的混合計算“兩變”出現錯誤學習誤區

用科學記數法表示數時，容易把n的值算措

考點突破?考法探究

重點考點一實數的分類

國充實縣礎知識精沮

1、正負數的概念:大于0的數叫做正數.正數前面加上符號的數叫負數.負數前面的負號不能省

略.0既不是正數,也不是負數.

2、正負數的意義:表示具有相反意義的量.在一對具有相反意義的量中，通常先規定其中一個為正，則另

一個就用負表示.

3、整數和分數統稱為有理數（本質：能夠化為分數的形式）.無限不循環小數叫做無理數.有理數和無理數

統稱為實數.

4、實數的分類:

1）按定義分類:2）按性質分類:

廉!唐^易錯把握細節

L有限小數和無限循環小數可以轉化為分數,因此有限小數和無限循環小數是有理數.（例：0.53（分數形

qQ4.

式：—1.333333…（分數形式：-）等）.

1003

2.無限不循環小數不能化成分數,因此無限不循環小數不是有理數.（例如："，=（不是分數）等）.

3.帶根號的數并不都是無理數，而開方開不盡的數才是無理數.

4.對非負整數、非正整數、非負數、非正數分類時遺漏0.

技巧點撥方法歸納

判斷一個數是有理數或無理數的方法

關鍵：1.有理數都可以寫成分數的形式，而無理數不能寫成分數的形式.

2.判斷一個數是否為無理數，不能只看形式，要看化簡結果.如J16是有理數，而不是無理數.

常見的無理數：

①開方開不盡的數，如：&、V5等.

②有特定意義的數，如圓周率“，或化簡后含有”的數，如5-3+“，

③具有特定結構的數，如0.1010010001…（兩個1之間依次增加1個0）.

④某些三角函數，如sin60°、cos20°.

重點考點二數軸'相反數、絕對值'倒數

習夯實目礎卻濱崎以

相關概念概念補充與拓展

數軸上的點與實數具有一一對應的關系.

將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示

的數大.

數軸規定了原點、正方向、在數軸上距原點n個單位長度的點有2個.

單位長度的直線叫做數軸中點公式：數軸上有兩點A、B分別表示的數為x,y,若C是A、

數軸.B兩點的中點，C所表示的數為c,則有：2c=x+y.

數軸兩點距離=數軸上右側的點所表示的數-左側的點表示的數

（簡稱大數-小數）.

若a、b互為相反數，則a+b=0（反之亦成立）.

互為相反數的兩個數在數軸上對應的兩個點到原點的的距離相等且

位于原點的兩側.

只有符號不同的兩個正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0.相反數

相反數數稱為互為相反數.是本身的數是0.

(a+b)的相反數是-(a+b),(a-b)的相反數是-(a-b)或b-a.

多重符號化簡口訣：數負號個數，奇負偶正.

兩個正數比較，絕對值大數越大；兩個負數比較，絕對值大的反而小.

正數的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數的絕對值是它的相反數

若a=a（或a-a=0）,則a20,若a=-a（或a+a=0）,則aWO.

在數軸上表示數a的若a二b或a二-b,則a=b(反之亦成立).

絕對值點到原點的距離叫做若a+b=0,則a=0且b=0(a、b可以是多項式).

a的絕對值，記為|a|.幾何意義補充：1x|=|x-O],數軸上表示x的點到原點的距離

X-1,數軸上表示X的點與表示1的點之間的距離

x+2,數軸上表示x的點與表示-2的點之間的距離

0沒有倒數.

1除以一個不等于零

若a、b互為倒數，則ab=l

倒數的實數所得的商，叫

互為倒數的兩個數必定同號(同為正數或同為負數).

做這個數的倒數.

倒數是本身的只有1和T.

n個相同的因數a相負數的奇次塞是負數，負數的偶次幕是正數

乘記作a",其中a為正數的任何次幕都是正數.

乘方

底數，n為指數，

規定：a°=l（aWO）

乘方的結果叫做鬲.

廉I腐顓易錯把握細節

1.0的相反數是0,0的絕對值是0.絕對值最小的數是0.最小的自然數是0.0是最小的非負數.

2.任何一個數都有且只有一個相反數.任何一個數的絕對值總是正數或0(或非負數).

3.到已知點的距離相等的點有兩個，注意分類討論.此外，運用數軸可以將絕對值化為幾何問題，代數式

|x-a|的幾何意義是數軸上x所對應的點與a所對應的點之間的距離，代數式|x+a|的幾何意義是數軸上x

所對應的點與一a所對應的點之間的距離，不可將兩者混淆.

。技巧點撥方法歸納

1.數軸上的動點問題

解決動點問題首先要做到仔細理解題意，弄清運動的整個過程和圖形的變化，然后再根據運動過程展

開分類討論畫出圖形，最后針對不同情況尋找等量關系列方程求解.而對于建立在數軸上的動點問題來說，

由于數軸本身的特點，這類問題常有兩種不同的解題思路.一種是根據“形”的關系來分析尋找等量關系，

也就是利用各線段之間的數量關系列方程求解；另一種是從“數”的方面尋找等量關系，就是利用各點在

數軸上表示的數之間存在的內在關系列方程.因此解決數軸上的動點問題要明確以下幾個問題：

1.找出動點的基準坐標，即運動的起始坐標；

2.算出動點運動后的坐標：

向右運動：運動后的坐標=基準坐標+運動路程；

向左運動：運動后的坐標=基準坐標-運動路程；

3.表示線段長度：線段右端點表示的數-線段左端點表示的數；

4.列方程：根據運動的關系或題目中的條件，列出方程，未知數通常是運動時間t、速度v或所求坐標；

5.求解

2.利用零點分段法化簡絕對值

零點:使得絕對值符號內的代數式為0的未知數的值，稱為絕對值的零點

利用零點分段法去絕對值符號的方法：

1.化簡含絕對值的式子，關鍵是去絕對值符號，先根據所給的條件，確定絕對值符號內的數的正負（即a>0,

a<0,還是a=0）如果已知條件沒有給出其正負，應該進行分類討論.

2.分類討論時先假設每個絕對值符號內的數（或式子）等于0,得到相應的未知數的值；再把這些值表示在數

軸上，對應的點（零點）將數軸分成了若干段，在每一小段上，絕對值內代數式的符號都是能夠判定的；最后

依次在每一段上化簡原式，這種方法被稱為零點分段法

零點分段法的具體步驟：1.找零點2分區間；3.定正負;4.去符號.

重點考點三科學記數法與近似數（高頻考點）

￡1?夯實目礎知i只精誼

相關概念概念補充與拓展

科學記數法的表示形式為a用科學記數法表示數時，確定a,n的值是關鍵

科學記數

Xl（r的形式，其中14|a|當原數絕對值大于10時，寫成aX10"的形式，其中lW|a|<

法

<10,n為整數.10,n等于原數的整數位數減1

當原數絕對值小于1時，寫成aXl（r的形式，其中iw|a1<

10,n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包

括小數點前面的零）.

小技巧：1萬=10,1億=1萬*1萬=1（）8

近似數與準確數的接近程近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0

度通常用精確度來表示，近一個近似數從左邊第一位非。的數字起，到末位數字止，所有

近似數似數一般由四舍五入取得，的數字都是這個數的有效數字

四舍五入到哪一位，就說這一個近似數有幾個有效數字，就稱這個近似數保留幾個有效數

個近似數精確到哪一位.字

?ft窿顓易錯把握細節

1.含有萬、億等單位的數，用科學記數法表示時，要先還原成原數，再用科學記數法表示，最后按要求取

近似值.

2.科學記數法的表示的數ax1。11還成成原數時，n>0時，小數點就向右移動n位得到原數；

n<0時，小數點則向左移動|n|位得到原數.

3.對于較大的數取近似數時，結果一般用科學記數法來表示.例如：356000（精確到萬位）的結果是3.6X

105.

4.用科學記數法表示的近似數的有效數字時，只看乘號前面的數字.例如：4.0X10”的有效數字是4,0.

重點考點四實數比較大小

回夯實目礎Hli只嶂/

實數比較大小的6種基礎方法：

1.數軸比較法：將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.

2.類別比較法：正數大于零；負數小于零；正數大于一切負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而小.

3.作差比較法：若a,b是任意兩個實數，則

①a-b>O<=>a>b；②a-b=O<=>a=b；③a-b〈O<=>a<b

4.平方比較法：①對任意正實數a,b,若￡>b2aa>b

②對任意負實數a,b,若a^b2ga〈b

5.倒數比較法：若l/a>l/b,ab>0,則a<b

6.作商比較法:6任意實數a,b,a/b=lOa=b

2）任意正實數a,b,a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3）任意負實數a,b,a/b>l<=>a<b,a/b<l<=>a>b

?技巧點撥方法歸納

L取近似值法：通過估算，將無理數取近似值，即可比較出這兩個實數的大小.這里需要我們記住三個常用

的近似值：V2?l.414,J3心1.732,J5-2.236

2.添加根號法：如果兩個數都是正數，且一個帶根號.一個不帶根號時，可以將不帶根號寫成帶根號的形式

根據“兩個正無理數，被開方數大的那個數大”，即可與另一個含根號的數比較大小.

3.放縮法：將一個實數取比它大的整數，而另一個實數取比它小的整數，通過這兩個整數的大小即可比較

兩個實數的大小.（例如：比較了3和2.5大小.："3〈2,2〈2.5/.V3<2.5）

重點考點五平方根'算術平方根、立方根

m夯實目礎卻浪精沮

相關概

概念補充與拓展

念

如果一個正數X的平方等于a,即x'a,那

算術平正數只有一個算術平方根，且恒為正；。的算術平

么這個正數x叫做a的算術平方根.記為V

方根方根為0；負數沒有算術平方根

a,a叫做被開方數.

平方根如果一個數的平方等于a,那么這個數就叫正數有兩個平方根，且它們互為相反數.

做a的平方根或二次方根，即如果x'a,那

0的算術平方根為0;負數沒有算術平方根.

么x叫做a的平方根.

正數只有一個正的立方根；0的立方根是0;負數

如果一個數的立方等于a,即x'a,那么x

立方根只有一個負的立方根.

叫做a的立方根或二次方根

互為相反數的兩個數的立方根互為相反數

常見實數的平方根與立方根:

1八22八23八24八25八26八27八28八29八210八2

149162536496481100

AA

常見數的11212八213八214八215216八217八218八219八220八2

平方

121144169196225256289324361400

25八230八235八240八2

62590012251600

常見數的1八32八33八34八35八36八37八38八39八310八3

立方

1827641252163435127291000

實數的非負性及性質：

1.在實數范圍內，正數和零統稱為非負數.

2.非負數有三種形式：①任何一個實數a的絕對值是非負數，即|a|20；

②任何一個實數a的平方是非負數，即a?》。；

③任何非負數的算術平方根是非負數，即

3.非負數具有以下性質：①非負數有最小值零；②非負數之和仍是非負數；

③幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0

?ft裔顓易錯把握細節

1.一個正數a的算數平方根用符號表示為Ja,一個非負數a的平方根用符號表示為土Ja；一個數a的立

方根用符號表示為3Ja

2.0的算術平方根、平方根和立方根都是0;平方根等于其自身的有0和1;立方根等于其自身的有一1、

0和1.

3.有時候題目會故意沒有把Ja去根號，這時候就要注意千萬不要把Ja的平方根當作a的平方根，要先

把Ja去根號，再求平方根.

重點考點六實數的運算（高頻考點）

眉^兗實目礎知識精沮

常見的實數運算:

運算法則特殊計算

乘方①(-a)n=ann為偶數①（T）x1n為偶數

②(-a)n=-ann為奇數②（T）n=Tn為奇數

零次籌a0=l(aWO)

負整數的指數a-n二（aKO,n為正整數）a-1-(aHO)

ana

罌

去括號①-(a-b)=-a+b或b-a

②+(a-b)=a-b

去絕對值符號①|a-b=a~b,a>b

②|a-b=0,a=b

③|a-b二b-a,a<b

三角函數30°45°60°

j_V2V3

sina

2~2~~2~

cosaV3V2J_

~2~22

V3

tana1V3

3

實數的四則運算：

1.實數的加法法則：

1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

2）異號兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.

2.實數的減法法則：

減去一個數等于加上這個數的相反數.

3.實數的乘方法則：

1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

2）任何數同0相乘，都得0.

4.實數的除法法則：

1）除以一個不為0的數，等于乘以這個數的倒數；

2）0除以任何不為0的數，都得0.

5.運算順序：加和減屬于運算中的第一級運算，級別是最低的，通常放在最后面計算；乘和除屬于運算中

的第二級運算，級別中等，運算順序高于加和減；而乘方和開方則屬于第三級運算，級別較高，通常是最

優先計算的（如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行運算，無論

何種運算，都要注意先定符號后運算）.

高^易錯把握細節

1.有理數的運算定律在實數范圍內都適用，常用的運算定律有加法結合律、加法交換律、乘法交換律、

乘法結合律、乘法分配律.

2.在實數混合運算中不注意運算順序導致結果錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：

①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號.

@技巧點撥方法歸綱

實數運算的“兩個關鍵”：

1）明確運算順序：要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里

面的，同級運算要按照從左到右的順序進行，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

2）運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

題型精研?考向洞悉?

第一部分：常考考點講練

考點1：數軸

【例1】（2024?蘇州）用數軸上的點表示下列各數，其中與原點距離最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【變式11（2024?灌云縣一模）點A在數軸上的位置如圖所示，將點A向左移動3個單位長度得到點3,

則點5表示的數是（)

.A______

61

A.4B.3C.-3D.-2

考點2：相反數

［例2］（2024?鹽城）2024的相反數是（）

A.2024B.-2024C.D.———

20242024

【變式1］（2024?鹽城二模）若加的相反數是.——，則m的值為（)

2023

A.———B.-2023C.