專題01有理數【思維導圖】【學問要點】學問點一有理數基礎概念有理數（概念理解）正數：大于0的數叫做正數。負數：正數前面加上符號“-”的數叫負數。有理數的分類（兩種）（見思維導圖）數軸規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。數軸的三要素：原點、正方向、單位長度（重點）任何有理數都可以用數軸上的點表示，有理數與數軸上的點是一一對應的。數軸上的點表示的數從左到右依次增大；原點左邊的數是負數，原點右邊的數是正數.【留意】數軸是一條直線，可向兩段無限延長。在數軸上原點，正方向，單位長度的選取需依據實際狀況而定。相反數只有符號不同的兩個數叫做互為相反數.（肯定值相等，符號不同的兩個數叫做互為相反數）肯定值肯定值的概念：一班數軸上表示a的數與原點之間的距離叫做數a的肯定值。肯定值的意義：正數的肯定值是它本身；負數的肯定值是它的相反數；0的肯定值是0。（互為相反數的兩個數的肯定值相等。）比較大小1）數軸上兩個點表示的數，右邊的總比左邊的大。2）正數大于0，負數小于0，正數大于負數。3）兩個負數比較，肯定值大的反而小。4）兩個正數比較，肯定值大的反而大。常用方法：數軸比較法、差值比較法、商值比較法、肯定值比較法等。1．（2024·海南瓊山中學中考模擬）下列各組數中，互為相反數的是()A．|+2|與|-2| B．-|+2|與+(-2) C．-(-2)與+(+2) D．|-(-3)|與-|-3|【詳解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故這兩個數相等，故此選項錯誤；

B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故這兩個數相等，故此選項錯誤；

C、-（-2）=2與+（+2）=2，這兩個數相等，故此選項錯誤；

D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，這兩個數互為相反數，故此選項正確．

故選：D．2．（2024·四川中考真題）肯定是A．正數 B．負數 C． D．以上選項都不正確【詳解】∵a可正、可負、也可能是0∴選D.3．（2024·內蒙古中考模擬）如圖，在數軸上表示互為相反數的兩數的點是（）A．點A和點C B．點B和點C C．點A和點B D．點B和點D【詳解】A、B、C、D所表示的數分別是2，1，-2，-3，因為2和-2互為相反數，故選A．4．（2013·江蘇中考真題）如圖，數軸上的點A、B分別對應實數a、b，下列結論中正確的是（）A．a＞b B．|a|＞|b| C．﹣a＜b D．a+b＜0【詳解】依據數軸，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，A、應為a＜b，故本選項錯誤；B、應為|a|＜|b|，故本選項錯誤；C、∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴﹣a＜b正確，故本選項正確；D、應當是a+b＞0，故本選項錯誤．故選C．5．（2024·甘肅中考真題）已知，是2的相反數，則的值為()A．-3 B．-1 C．-1或-3 D．1或-3【詳解】∵，是2的相反數，∴或，，當時，；當時，；綜上，的值為-1或-3，故選：C．考察題型一肯定值非負性應用1．（2024·山東中考真題）當1<a<2時，代數式|a－2|＋|1－a|的值是（）A．－1 B．1 C．3 D．－3【詳解】解：當1＜a＜2時，|a﹣2|+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．故選B．2．（2024·山東中考模擬）表示實數a，b的點在數軸上的位置如圖所示，化簡的結果是()A．2a－b B．b C．－b D．－2a+b【詳解】依據數軸可以推斷出，則，，所以所以選C.3．（2024·廣西中考模擬）若，那么的值是（）A．2或12 B．2或-12 C．-2或12 D．-2或-12【詳解】由可得x=±7，由可得y=±5，由可知：當x=7時，y=5；當x=7時，y=-5，則，故選：A4．（2024·浙江中考模擬）假如|a|≥0，那么（）A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a為隨意數【詳解】解：∵∴a為隨意數，故選：D．5．（2024·湖北中考模擬）若|x﹣2|+|y+2|=0，求x﹣y的相反數．【詳解】∵|x﹣2|+|y+2|=0，∴x﹣2=0，y+2=0，解得x=2，y=﹣2，∴x﹣y=2﹣（﹣2）=4，∴x﹣y的相反數是﹣4．6.（2024·廣東中考模擬）已知|a+3|+|b﹣5|=0，求：（1）a+b的值；（2）|a|+|b|的值．【詳解】（1）由題意得，a+3=0，b﹣5=0，解得a=﹣3，b=5，所以，a+b=﹣3+5=2；（2）|a|+|b|=|﹣3|+|5|=3+5=8．考查題型二有理數比較大小1．（2024·山東中考模擬）假如a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．則下列說法中可能成立的是（）A．b為正數，c為負數 B．c為正數，b為負數C．c為正數，a為負數 D．c為負數，a為負數【解析】由題目答案可知a，b，c三數中只有兩正一負或兩負一正兩種狀況，假如假設兩負一正狀況合理，要使a+b+c=0成立，則必是b＜0、c＜0、a＞0，否則a+b+c≠0，但題中并無此答案，則假設不成立，D被否定，于是應在兩正一負的答案中找尋正確答案，若a，b為正數，c為負數時，則：|a|+|b|＞|c|，∴a+b+c≠0，∴A被否定，若a，c為正數，b為負數時，則：|a|+|c|＞|b|，∴a+b+c≠0，∴B被否定，只有C符合題意．故選：C．2．（2024·北京中考模擬）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，假如a+b＝0，那么下列結論正確的是（）A．|a|＞|c| B．a+c＜0 C．abc＜0 D．【詳解】∵a+b=0，∴原點在a，b的中間，如圖，由圖可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，=-1，故選C.12．（2024·山東濱州市濱城區東城中學中考模擬）有理數a，b在數軸上的對應點如圖所示，則下面式子中正確的是()①b＜0＜a；②|b|＜|a|；③ab＞0；④a﹣b＞a+b．A．①② B．①④ C．②③ D．③④【解析】由圖知，b<0<a，故①正確，因為b點到原點的距離遠，所以|b|>|a|,故②錯誤，因為b<0<a，所以ab<0，故③錯誤，由①知a-b>a+b，所以④正確.故選：B.4．（2024·湖北中考真題）在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四個數中，最小的數是（）A．0B．﹣1C．0.5D．（﹣1）2【詳解】依據有理數比較大小的方法，可得﹣1＜0＜0.5＜（﹣1）2，∴在0，﹣1，0.5，（﹣1）2四個數中，最小的數是﹣1．故選B．5．（2024·山東中考真題）實數a，b，c，d在數軸上的位置如圖所示，下列關系式不正確的是（）A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0【詳解】從a、b、c、d在數軸上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；A、|a|＞|b|，故選項正確；B、a、c異號，則|ac|=-ac，故選項錯誤；C、b＜d，故選項正確；D、d＞c＞1，則a+d＞0，故選項正確．故選：B.學問點二有理數四則運算有理數的加法（重點）有理數的加法法則：（先確定符號，再算肯定值）1.同號兩數相加，取相同的符號，并把肯定值相加；2.異號兩數相加，肯定值不相等時，取肯定值較大的加數的符號，并用較大的肯定值減去較小的肯定值；3.互為相反數的兩個數相加得0；（假如兩個數的和為0，那么這兩個數互為相反數）4.一個數同0相加，仍得這個數。有理數的加法運算律：加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變。即；加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。即。有理數的減法有理數的減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數。即。注：兩個改變：減號變成加號；減數變成它的相反數。有理數的加減混合運算規則：運用減法法則將加減混合運算統一為加法進行運算步驟：（1）減法化加法；（2）省略括號和加號；（3）運用加法運算律使計算簡便；（4）運用有理數加法法則進行計算。注：運用加法運算律時，可按如下幾點進行：（1）同號的先結合；（2）同分母的分數或者比較簡單通分的分數相結合；（3）互為相反數的兩數相結合；（4）能湊成整數的兩數相結合；（5）帶分數一般化為假分數或者分為整數和分數兩部分，再分別相加。有理數的乘法（重點）有理數的乘法法則：（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把肯定值相乘。（2）任何數同0相乘，都得0.倒數：乘積是1的兩個有理數互為倒數。0沒有倒數。（數的倒數是）多個有理數相乘的法則及規律：幾個不是0的數相乘，負因數的個數是奇數時，積是負數；負因數的個數是偶數時，積是正數。確定符號后，把各個因數的肯定值相乘。（2）幾個數相乘，有一個因數為0，積為0；反之，假如積為0，那么至少有一個因數是0.注：帶分數與分數相乘時，通常把帶分數化成假分數，再與分數相乘。有理數的乘法運算律乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。即。乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即。乘法安排律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。即。有理數的除法有理數除法法則：（1）除以一個不為0的數，等于乘以這個數的倒數。即。（2）兩數相除（被除數不為0），同號得正，異號得負，并把肯定值相除。0除以任何不為0的數，都得0。步驟：先確定商的符號，再算出商的肯定值。有理數的乘除混合運算運算依次：從左往右進行，將除法化成乘法后，進行約分計算。（注：帶分數應首先化為假分數進行運算）有理數的四則混合運算運算依次：先乘除，后加減，有括號要先算括號里面的。注：除法一般先化為乘法，帶分數化為假分數，合理運用運算律1．（2024·江蘇中考模擬）計算：|–5+3|的結果是（）A．–8B．8C．–2D．2【解析】原式=|-2|=2，故選：D．2.（2024·浙江中考真題）某地一周前四天每天的最高氣溫與最低氣溫如右表，則這四天中溫差最大的是（）星期一二三四最高氣溫10℃12℃11℃9℃最低氣溫3℃0℃-2℃-3℃A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四【詳解】星期一溫差：10﹣3＝7℃；星期二溫差：12﹣0＝12℃；星期三溫差：11﹣（﹣2）＝13℃；星期四溫差：9﹣（﹣3）＝12℃；綜上，周三的溫差最大.故選C．3．（2024·四川中考模擬）假如a，b是有理數，那么下列各式中成立的是（）A．假如a<0，b<0，那么a＋b>0B．假如a>0，b<0，那么a＋b>0C．假如a>0，b<0，那么a＋b<0D．假如a>0，b<0，且|a|>|b|，那么a＋b>0【解析】解：A、∵同號兩數相加取與加數相同的符號，∴a+b<0,故選項錯誤；B、如a=1,b=-2時，a+b=-1<0，故選項錯誤；C、如a=3,b=-2時，a+b＝１>0，故選項錯誤；D、異號兩數相加，取肯定值較大數的符號，并用較大的肯定值減去較小的肯定值，故選項正確．故選D．4．（2024·遼寧中考模擬）計算的正確結果是（）A． B．- C．1 D．﹣1【詳解】原式故選：D.5．（2024·山東中考真題）計算－(－1)＋|－1|，其結果為()A．－2 B．2 C．0 D．－1【解析】試題分析：由題可得：原式=1+1=2，故選：B．6．（2024·遼寧中考模擬）兩個非零有理數的和為零，則它們的商是（）A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1【詳解】∵兩個非零有理數的和為零，∴這兩個數是一對相反數，∴它們符號不同，肯定值相等，∴它們的商是-1，故選A．7．（2024·內蒙古中考模擬）若-12的倒數與m+4互為相反數，則A．1 B．-1 C．2 D．-2【詳解】-1m+4=2，解得m=?2，故選：D.8．（2024·天津中考模擬）-6÷的結果等于（）A．1 B．﹣1 C．36 D．﹣36【詳解】解：原式=﹣6×6=﹣36故選：D．8．（2024·平陽縣鰲江中學中考模擬）－2×（－5）的值是A．－7 B．7 C．－10 D．10【詳解】﹣2×（﹣5）=+(2×5)=10.故選D.9．（2024·天津中考模擬）計算（–18）÷（–6）的結果等于A．3 B．–3 C． D．?【詳解】=3考查題型三與肯定值有關的分數化簡1．（2024·福建中考模擬）若a≠0，b≠0，則代數式的取值共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【詳解】由分析知：可分4種狀況：①a＞0，b＞0，此時ab＞0，所以=1+1+1=3；②a＞0，b＜0，此時ab＜0，所以=1﹣1﹣1=﹣1；③a＜0，b＜0，此時ab＞0，所以=﹣1﹣1+1=﹣1；④a＜0，b＞0，此時ab＜0，所以=﹣1+1﹣1=﹣1；綜合①②③④可知：代數式的值為3或﹣1，故選A．2．（2024·南宮市奮飛中學中考模擬）已知a，b，c為非零的實數，則的可能值的個數為（）A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：①a、b、c三個數都是正數時，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；②a、b、c中有兩個正數時，設為a＞0，b＞0，c＜0，則ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；設為a＞0，b＜0，c＞0，則ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；設為a＜0，b＞0，c＞0，則ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；③a、b、c有一個正數時，設為a＞0，b＜0，c＜0，則ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；設為a＜0，b＞0，c＜0，則ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；設為a＜0，b＜0，c＞0，則ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；④a、b、c三個數都是負數時，即a＜0，b＜0，c＜0，則ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．綜上所述：的可能值的個數為4．故選A．3.．（2024·四川初一期中）有理數a，b．c滿意abc＜0，的值為（）A．1或﹣3 B．﹣4 C．0 D．0或﹣4【詳解】解：∵abc＜0，∴當有理數a，b，c中有一個數小于0時，，當有理數a，b，c中三個數都小于0時，，故選：D．考察題型四有理數乘法運算律的應用1．（2024·貴州中考真題）計算+++++……+的值為（）A． B． C． D．【解析】原式==，=1-=．

故選：B．2．（2024·河北中考模擬）利用運算律簡便計算52×（–999）+49×（–999）+999正確的是A．–999×（52+49）=–999×101=–100899B．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900C．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898D．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998【詳解】原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－99900．故選B3．（2024·河北中考真題）請你參考黑板中老師的講解，用運算律簡便計算：（1）999×（-15）；（2）999×+999×（）-999×.【詳解】試題分析：依據題目中所給的規律，第一題湊整法，其次題提同數法解決即可.試題解析：（1）999×（-15）=（1000-1）×（-15）=15-15000=149985;（2）999×+999×（）-999×=999×[+（）-]=999×100=99900.學問點三有理數的乘方乘方（重點）一般地，個相同的因數相乘，即a×a×a?×an個，記作，讀作的次方。求個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在中，叫做底數，叫做指數。讀作的次方，也可以讀作的次冪。當底數為分數時，要先用括號將底數括上，再在其右上角寫指數，指數要寫的小些。乘方的規律：負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0.有理數乘方的運算方法：依據乘方的符號規律確定結果的符號。計算結果的肯定值。有理數的混合運算運算依次：（1）先乘方，再乘除，最終加減；（2）同級運算,從左到右進行；（3）如有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號的依次。科學記數法把一個大于10的數記成的形式，其中是整數數位只有一位的數（即），是正整數，這樣的記數方法叫科學記數法。（用科學記數法表示一個數時，10的指數比原數的整數位數少1.）把還原成原數時，只需把的小數點往前移動位。近似數和有效數字在實際問題中，由“四舍五入”得到的數或大約估計的數都是近似數。（近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0.）一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，全部的數字都是這個數的有效數字。一個近似數有幾個有效數字，就稱這個近似數保留幾個有效數字。精確度：表示一個近似數與精確數的接近程度。一個近似數，四舍五入到哪一位，就稱這個數精確到哪一位。1．（2024·丹東第九中學中考模擬）下列算式中，運算結果為負數的是()A．|-1|B．(-2)3C．(-1)×(-2)D．(-3)2【解析】本題涉及乘法、肯定值、乘方等學問點．在計算時，須要針對每個學問點分別進行計算．詳解：A.|?1|＝1，錯誤；B.(-2)3＝?8，正確；C.（?1）×（?2）＝2，錯誤；D.(-3)2＝9，錯誤；故選：B．2．（2024·四川成都外國語學校中考模擬）下列各數|﹣2|，﹣（﹣2）2，﹣（﹣2），（﹣2）3中，負數的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】解：|﹣2|＝2，﹣（﹣2）2＝﹣4，﹣（﹣2）＝2，（﹣2）3＝﹣8，﹣4，﹣8是負數，∴負數有2個．故選：B．3.（2024·河南中考模擬）若a=﹣4×4，b=﹣|﹣32×1|，c=﹣5+2（﹣22），則a、b、c的大小關系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．c＞a＞b【詳解】因為a=﹣4×4=-16，b=﹣|﹣32×1|=-15，c=﹣5+2（﹣22）=-13.-13>-15>-16.所以c＞b＞a故選：B考查題型五有理數混合運算1．（2024·湖北中考模擬）計算：（1）5-（-2）+（-3）-（+4）；（2）（-）×（-24）；（3）（-3）÷××（-15）；（4）-14+|（-2）3-10|-（-3）÷（-1）2024．【詳解】解：（1）原式=5+2﹣3﹣4=5﹣3+2﹣4=2﹣2=0；（2）原式=×24+×24﹣×24=18+15﹣18=15；（3）原式=（﹣3）×××（﹣15）=4×4×5=80；（4）原式=﹣1+|﹣8﹣10|﹣（﹣3）÷（﹣1）=﹣1+18﹣3=14．2．（2024·湖北中考模擬）計算：（1）﹣15+（﹣8）﹣（﹣11）﹣12（2）（3）（4）﹣23+[（﹣4）2﹣（1﹣32）×3]【詳解】原式.（2）原式（3）原式，，（4）原式=32．3．（2024·海南瓊山中學中考模擬）【詳解】原式考查題型六用科學記數法表示肯定值較大的數1．（2024·河南鄭州試驗外國語中學中考模擬）我國提倡的“一帶一路”建設將促進我國與世界一些國家的互利合作，依據規劃“一帶一路”地區覆蓋總人口為4400000000人，這個數用科學記數法表示為A．44×108 B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010【詳解】解：4400000000=4.4×109，故選C．2．（2024·河南中考真題）今年一季度，河南省對“一帶一路”沿線國家進出口總額達214.7億元，數據“214.7億”用科學記數法表示為（）A．2.147×102B．0.2147×103C．2.147×1010D．0.2147×1011【解析】214.7億，用科學記數法表示為2.147×1010，故選：C．3.（2024·安徽中考模擬）據資料顯示，地球的海洋面積約為360000000平方千米，請用科學記數法表示地球海洋面積面積約為多少平方千米()A． B． C． D．【解析】詳解：將360000000用科學記數法表示為：3.6×108．故選：B．4．（2024·廣東中考真題）260000000用科學計數法表示為()A． B． C． D．【詳解】260000000的小數點向左移動8位得到2.6，所以260000000用科學記數法表示為，故選B.5．（2024·山東中考模擬）一個