天津市2022-2023高三年級模擬考試（二）數學試卷一、單選題(每題5分，共45分)1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據對數函數的性質和一元二次不等式的解法，分別求得集合，結合集合交集的概念及運算，即可求解.【詳解】由，可得，則，又由，解得，因，所以，所以．故選：D．2.歐拉公式：將復指數函數與三角函數聯系起來，在復變函數中占有非常重要的地位，根據歐拉公式，復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據復數的幾何意義結合象限角的三角函數值的符號分析判斷【詳解】由題意可得：對應的點為，∵，則，故位于第二象限.故選：B.3.若某函數在區間上的大致圖像如圖所示，則該函數的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過函數在區間內的正負性，范圍及零點情況排除選項.【詳解】A選項，設，則當時，，則，不符合圖像，排除A；C選項，設，當時，，且，，，所以．所以，不符合圖像，排除C；D選項，設，令，解得或，與圖像不符，排除D.故選：B．4.已知，，，比較a，b，c的大小為（）A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞c＞a D.b＞a＞c【答案】D【解析】【分析】易得，.又，比較與0大小即可.【詳解】，因函數在上單調遞增，則，.，因，則.故，綜上有.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題涉及比較對數值大小，難度較大.因，難以找到中間量，故結合換底公式做差，后再利用基本不等式比較大小.5.下面是追蹤調查200個某種電子元件壽命（單位：）頻率分布直方圖，如圖：其中300-400、400-500兩組數據丟失，下面三個說法中，只有一個是正確的，正確的是（）①壽命超過的頻率為0.3；②用頻率分布直方圖估計電子元件的平均壽命為：③壽命在400-500的矩形的面積可能是0.2A.① B.② C.③ D.以上均不正確【答案】C【解析】【分析】分別設其中一個正確，來推斷另外兩個說法，即可判斷選項.【詳解】若①正確，壽命超過的頻率為，那么壽命在400-500的頻率為0.15，這樣電子元件的平均壽命為，②正確，③錯誤，不滿足條件，故①正確不成立；若②正確，則①正確，③錯誤，故②正確不成立；若③正確，則壽命超過的頻率為0.35，①③都不正確，故③正確.故選：C6.半正多面體（semiregularsolid）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現了數學的對稱美．二十四等邊體就是一種半多正多面體．如圖，棱長為的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體，則下列說法錯誤的是（）A.該幾何體外接球的表面積為B.該幾何體外接球的體積為C.該幾何體的體積與原正方體的體積比為2：3D.該幾何體的表面積比原正方體的表面積小【答案】C【解析】【分析】由題意求該幾何體的體積與表面積，由外接球的半徑求體積與表面積，對選項逐一判斷【詳解】由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為1，外接球的表面積為，體積為，故A，B正確對于C，該幾何體的體積，正方體體積為，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為，故C錯誤，對于D，該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形，故D正確故選：C7.已知雙曲線的兩頂點為，虛軸兩端點為，兩焦點為，若以為直徑的圓內切于菱形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據點到直線的距離公式得到齊次方程，解出即可.【詳解】直線方程為，即，由題意，變形為，∵，∴，．故選：C．8.關于函數有下述四個結論：①是偶函數；②在區間上單調遞增；③在上有4個零點；④的值域是.其中所有正確結論的編號是（）A.①② B.②③ C.①④ D.③④【答案】A【解析】【分析】根據函數的奇偶性、單調性、零點、值域等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】函數的定義域為，，所以是偶函數，①正確.當時，，令，，函數在區間上單調遞增，，開口向上，對稱軸為，故在上遞增，根據復合函數單調性同增異減可知在區間上單調遞增，②正確.，在區間上，，，所以在區間上，至少有個零點，根據對稱性可知，在區間上至少有個零點，所以③錯誤.由上述分析可知，所以④錯誤.綜上所述，正確的為①②.故選：A9.已知函數，函數,則關于的實根個數取得最大值時，實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導數判斷的單調性，進而作出兩函數的圖象，數形結合，根據的圖象確定的取值情況，再結合的圖象，確定解的情況，即可求得答案.【詳解】由題意得，，令，得，則在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，當時，取最大值為2，當時取最小值-2；由函數的圖象可知，當或時，；（1）當時，方程，則或，當時，有一個實根，當時，方程有三個實根，此時關于的方程共有4個實根;（2）當時，方程，則或，當時方程只有一個實根，當時，方程只有一個實根，此時關于的方程共有2個根；（3）當時，方程，則或，當時方程有三個實根，當時，方程有三個實根，此時關于的方程共有6個實數根；（4）當時，方程，有或，當時方程有三個實根，當時，方程有三個實根，此時關于的方程共有6個實數根；（4）當時，方程，有，方程有3個或2個或1個實根，綜上所述：關于x的方程的實根最多有6個，實數的取值范圍是,故選：A【點睛】本題考查了已知兩個函數研究某個函數復合形式構成的方程的根的個數問題，首先要具備討論思想.解題時，首先畫出兩個函數的草圖，利用數形結合思想，借助圖象解題更為直觀；本題借助的圖象，根據，由的值反看的值或其取值范圍，然后借助的圖象，根據的值或范圍反看的值或的個數.二、填空題(每題5分，共30分)10.已知的二項展開式的奇數項二項式系數和為，若，則等于__________．【答案】【解析】【分析】根據二項式系數和公式求出，再利用展開式求.【詳解】的二項展開式的奇數項二項式系數和為64，，即，則的通項公式為，令，則，所以.故答案為：.11.已知直線與圓交于A，B兩點，直線垂直平分弦，則弦的長為__________．【答案】【解析】【分析】根據題意可得直線過圓心，求出，進而求出，再利用垂徑定理求出結果.【詳解】圓可以化為，圓心，半徑，由垂徑定理可得直線過圓心，則，所以，因為直線與直線垂直，所以，則，圓心到直線的距離，則，故答案為：.12.從裝有大小完全相同的個白球，個紅球和3個黑球共6個球的布袋中隨機摸取一球，有放回地摸取3次，記摸取的白球個數為，若，則______，______．【答案】①.1②.【解析】【分析】根據二項分布概率模型求數學期望和概率即可求解.【詳解】由題可得服從二項分布，即，因為，所以，所以.故答案為:1;.13.數列的前項和，則數列中的最大項為__________．【答案】【解析】【分析】根據與的關系，可得到，進而求出，，通過求解，解出正整數，即可求得數列中的最大為.【詳解】當時，，當時，由已知，，，則，當時，，滿足，所以，設，則，設數列bn中的第項最大，則應滿足，即，整理得，解得，又，所以，又，所以數列中的最大項為.故答案為：.14.已知關于的不等式的解集為空集，的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據一元二次不等式的解集的情況得出二次項系數大于零，根的判別式小于零，可得出，再將化為，由和均值不等式可求得最小值.【詳解】由題意可得：，，可以得到，而，可以令，則有，當且僅當取等號.所以的最小值為4.故答案為：4.【點睛】本題主要考查均值不等式,關鍵在于由一元二次不等式的解集的情況得出的關系，再將所求的式子運用不等式的性質降低元的個數，運用均值不等式，屬于中檔題.15.在中，，，其中，均為邊上的點，分別滿足：，，則下列說法正確的是__________．①為定值3②面積的最大值為③的取值范圍是④若為中點，則不可能等于【答案】①②④【解析】【分析】對于①:利用和數量積的計算公式可求；對于②：利用面積公式和基本不等式即可判斷；對于③：先判斷出，結合的范圍即可判斷；對于④：利用求出范圍，即可判斷.詳解】設.對于①:因為，所以D為BC的中點.因為，所以，即，所以.因為，所以，所以.故①正確；對于②：，又，當且僅當“"時,取“=”此時，所以.故②正確；對于③：因為，所以，所以.當時，D、E重合，取得最大值3.可知為銳角，當最大銳角時，最大，但無法取到.故③錯誤；對于④：若為中點，則.故④正確.故答案為：①②④.三、解答題（共75分）16.已知在中，三個內角的對邊分別為，若，.（1）求角的大小；（2）若點為上一點，滿足，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據降冪公式，結合三角形內角和定理，通過解一元二次方程，結合特殊角的余弦值、正弦定理、同角三角函數關系式中商關系進行求解即可；（2）由（1），可以得知為等腰三角形，頂角，由的面積建立等式關系，結合三角形面積公式進行求解即可.【小問1詳解】解：由得，即，解得或因為，所以，.根據正弦定理知，代入得，因為，，所以，故，因此或（舍去），故.【小問2詳解】解：由（1）知為等腰三角形，頂角.設，由，即，整理得，解得，故.17.如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；（Ⅲ）設點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由．【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)見解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論；(Ⅱ)建立空間直角坐標系，結合兩個半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)首先求得點G坐標，然后結合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內.【詳解】(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.(Ⅱ)以點A為坐標原點，平面ABCD內與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，由可得點F的坐標為，由可得，設平面AEF的法向量為：，則，據此可得平面AEF的一個法向量為：，很明顯平面AEP的一個法向量為，，二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.(Ⅲ)易知，由可得，則，注意到平面AEF的一個法向量為：，其且點A在平面AEF內，故直線AG在平面AEF內.18.設橢圓的方程為，點為坐標原點,點的坐標為，點的坐標為，點在線段上，滿足，直線的斜率為.（1）求橢圓的離心率；（2）設點的坐標為，為線段的中點，點關于直線的對稱點的縱坐標為，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據題設條件確定M坐標，結合離心率的定義求解；（2）由題設條件設點關于直線的對稱點為，進而確定線段的中點的坐標，結合點在直線上及建立方程組求解.【小問1詳解】由題設，知點的坐標為，由，整理得，而，所以橢圓的離心率為.【小問2詳解】由（1）知，則直線的方程為，由，得，設點關于直線的對稱點的坐標為，則線段的中點的坐標為，因為點在直線上，且，則有，解得，故，所以橢圓的方程為.19.在數列中，，其中．（1）證明數列{b（2）設，數列的前n項和為，求；（3）已知當且時，，其中，求滿足等式的所有n的值之和．【答案】（1）證明見解析（2）（3）5【解析】【分析】（1）根據等差數列的定義進行證明，（2）由（1）可求出，從而可求得，然后利用錯位相減法求和，（3）先將轉化為，結合及等比數列求和公式得出時無解，驗證前5項可得結果【小問1詳解】證明：因為，所以，所以數列{b【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，所以，所以小問3詳解】由（1）將化為，即，所以，因為當且時，，所以，，……，，所以，所以當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以滿足的所有和3，其和為520.已知函數，的最大值為．求實數b的值；當時，討論函數的單調性；(3)當時，令，是否存在區間，，使得函數在區間上的值域為？若存在，求實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1);(2)a=2時，在單調增；時,在單調遞減，在單調遞增；時,同理在單調遞減，在單調遞增；（3）不存在.【解析】【詳解】分析：(1)利用導數研究函數的單調性，可得當時，取得極大值，也是最大值，由，可得結果；（2）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（3）假設存在區間，使得函數在區間上的值域是，則，問題轉化為關于的方程在區間內是否存在兩個不相等的實根，進而可得結果.詳解：(1)由題意得，令，解得，