博弈論習(xí)題及解答※第一章緒論§1.21.什么是博弈論?博弈有哪些基本表示方法?各種表示法的基本要素是什么?（見教材）2.分別用規(guī)范式和擴(kuò)展式表示下面的博弈。兩個(gè)相互競(jìng)爭(zhēng)的企業(yè)考慮同時(shí)推出一種相似的產(chǎn)品。如果兩家企業(yè)都推出這種產(chǎn)品，那么他們每家將獲得利潤(rùn)400萬元；如果只有一家企業(yè)推出新產(chǎn)品，那么它將獲得利潤(rùn)700萬元,沒有推出新產(chǎn)品的企業(yè)虧損600萬元；如果兩家企業(yè)都不推出該產(chǎn)品，則每家企業(yè)獲得200萬元的利潤(rùn)。3.什么是特征函數(shù)?（見教材）4.產(chǎn)生“囚犯困境”的原因是什么？你能否舉出現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中囚徒困境的例子？原因：個(gè)體理性與集體理性的矛盾。例子：廠商之間的價(jià)格戰(zhàn)，廣告競(jìng)爭(zhēng)等。※第二章完全信息的靜態(tài)博弈和納什均衡1.什么是納什均衡?（見教材）2.剔除以下規(guī)范式博弈中的嚴(yán)格劣策略，再求出純策略納什均衡。先剔除甲的嚴(yán)格劣策略3,再剔除乙的嚴(yán)格劣策略2,得如下矩陣博弈。然后用劃線法求出該矩陣博弈的純策略Nash均衡。3.求出下面博弈的納什均衡。由劃線法易知，該矩陣博弈沒有純策略Nash均衡。由表達(dá)式(2.3.13)~(2.3.16)可得如下不等式組Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1將這些數(shù)據(jù)代入(2.3.19)和(2.3.22),可得混合策略Nash均衡((),())4.用圖解法求矩陣博弈的解。解：設(shè)局中人1采用混合策略(x,1-x),其中x∈[0,1],于是有:,其中F(x)=min{x+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x)}令z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x)作出三條直線，如下圖，圖中粗的折線，就是F(x)的圖象由圖可知，納什均衡點(diǎn)與β1無關(guān)，所以原問題化為新的2*2矩陣博弈：由公式計(jì)算得：。所以該博弈的納什均衡點(diǎn)為（（2/3，1/3），（0，1/2，1/2）），博弈的值為1。5.用線性規(guī)劃法求矩陣博弈的解。將矩陣中的所有元素都加4,得將數(shù)據(jù)代入(2.4.34)和(2.4.35)可得局中人1的混合策略,(0.45,0.24,0.31),將數(shù)據(jù)代入(2.4.36)和(2.4.37)可得局中人2的混合策略,((0.31,0.24,0.45))6.某產(chǎn)品市場(chǎng)上有兩個(gè)廠商，各自都可以選擇高質(zhì)量，還是低質(zhì)量。相應(yīng)的利潤(rùn)由如下得益矩陣給出：(1)該博弈是否存在納什均衡？如果存在的話，哪些結(jié)果是納什均衡?由劃線法可知，該矩陣博弈有兩個(gè)純策略Nash均衡，即(低質(zhì)量,高質(zhì)量)，(高質(zhì)量,低質(zhì)量)。該矩陣博弈還有一個(gè)混合的納什均衡Q=a+d-b-c=-970,q=d-b=-120,R=-1380,r=-630，可得??因此該問題的混合納什均衡為。(2)如果各企業(yè)的經(jīng)營(yíng)者都是保守的，井都采用最大最小化策略，結(jié)果如何?(高質(zhì)量,高質(zhì)量),(低質(zhì)量,低質(zhì)量)。7.甲、乙兩人就如何分100元錢進(jìn)行討價(jià)還價(jià)。假設(shè)確定了以下規(guī)則：雙方同時(shí)提出自己要求的數(shù)額s1和s2，0≤s1，s2≤100。如果s1+s2≤100，則兩人各自得到自己所提出的數(shù)額；如果s1+s2>100，雙方均獲得0元。試求出該博弈的納什均衡。該博弈的納什均衡為下圖的線段AB：即：s1+s2=100,s1,s2∈[0,100]。8.假設(shè)古諾寡頭壟斷模型中有n個(gè)企業(yè)，令qi表示企業(yè)i的產(chǎn)量，且Q=q1+…+qn表示市場(chǎng)總產(chǎn)量，p表示市場(chǎng)出清價(jià)格，并假設(shè)逆需求函數(shù)由p(Q)=a-Q給出（設(shè)Q<a。企業(yè)同時(shí)就產(chǎn)量進(jìn)行決策。求出該博弈的納什均衡。當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，會(huì)發(fā)生什么情況？<bdsfid="162"p=""><a。企業(yè)同時(shí)就產(chǎn)量進(jìn)行決策。求出該博弈的納什均衡。當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，會(huì)發(fā)生什么情況？<>解：廠商i的利潤(rùn)為：πi=p(Q)-cqi=(a-Q-c)qi令，則有：q=a-c-Q*??????????????（1）()組成該博弈的純策略納什均衡點(diǎn)。式（1）兩邊同時(shí)求和，可得：，于是，，此時(shí)p*=a-Q*=，當(dāng)n趨于無群大時(shí)，有Q*=a-c,q=0，p*=c，說明此時(shí)各廠商的產(chǎn)品價(jià)格等于邊際成本，這時(shí)的市場(chǎng)已是完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)。9.對(duì)于下列的威懾進(jìn)入博弈，首先計(jì)算壟斷情況下的產(chǎn)量與價(jià)格組合，再計(jì)算存在競(jìng)爭(zhēng)的情況下兩企業(yè)的產(chǎn)量與價(jià)格組合，并對(duì)這兩種情況下的結(jié)果作比較分析。假定進(jìn)入者相信壟斷在位者在隨后的階段將會(huì)維持它的產(chǎn)量水平。市場(chǎng)需求曲線由方程p=10-2Q給出，其中p是市場(chǎng)價(jià)格，Q是總的市場(chǎng)產(chǎn)量。假定在位者和進(jìn)入者有相同的總成本函數(shù)TCi=+4qi，其中i=1,2分別表示在位者和進(jìn)入者。解：設(shè)壟斷在位者的產(chǎn)量策略為q1，價(jià)格為p1；進(jìn)入者的產(chǎn)量為q2，價(jià)格為p2。其利潤(rùn)分別為：π1,π2。先討論壟斷在位者不威懾的情形。若進(jìn)入者進(jìn)入，各自利潤(rùn)為求導(dǎo)得：解得均衡時(shí)q1=q2=1，則p=8，利潤(rùn)為：π1=π2=。若進(jìn)入者不進(jìn)入，則q2=0。由得q1=，則相應(yīng)地有p=7,π1=4。如果壟斷在位者進(jìn)行威懾，由以上分析可知，如果兩者都生產(chǎn)，則最大產(chǎn)量為2。所以壟斷在位者采取威懾為永遠(yuǎn)取產(chǎn)量為2，此時(shí)，若進(jìn)入者進(jìn)入，均衡分析如下：,,則有q2=，p=5,π1=,π2=0.若進(jìn)入者選擇不進(jìn)入：q2=0，p=6,π1=。由以上計(jì)算分析可以看出，壟斷在位者的威懾是可信的。壟斷在位者的產(chǎn)量為2，進(jìn)入者進(jìn)入后無利可圖，所以選擇不進(jìn)入。市場(chǎng)價(jià)格為6。10.甲、乙兩企業(yè)分屬兩個(gè)國(guó)家，在開發(fā)某種新產(chǎn)品方面有如下收益矩陣表示的博弈關(guān)系。試求出該博弈的納什均衡。如果乙企業(yè)所在國(guó)政府想保護(hù)本國(guó)企業(yè)利益，可以采取什么措施？解：用劃線法找出問題的純策略納什均衡點(diǎn)。所以可知該問題有兩個(gè)純策略納什均衡點(diǎn)(開發(fā),不開發(fā))和(不開發(fā),開發(fā))。該博弈還有一個(gè)混合的納什均衡((),())。如果乙企業(yè)所在國(guó)政府對(duì)企業(yè)開發(fā)新產(chǎn)品補(bǔ)貼a個(gè)單位,則收益矩陣變?yōu)椋?要使(不開發(fā),開發(fā))成為該博弈的唯一納什均衡點(diǎn),只需a>10。此時(shí)乙企業(yè)的收益為100+a。11.假設(shè)有一博弈G=[N,S,P]，其中N={1,2},S1=[10,20],S2=[0,15],，。試求出最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)，并求出均衡點(diǎn)。解：令,，得最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：由此進(jìn)一步可求得，它們?cè)陬}設(shè)要求的可行域內(nèi),所以均衡點(diǎn)為（330/23,80/23）。12.證明教材中定理2.4.6。證明:設(shè)矩陣博弈G1的納什均衡為(X*,Y*),其中X*=(x1,x2,…,xm),Y*=(y1,y2,…,yn),由納什均衡的定義,有,即。由于d是常數(shù),因此有。顯然不等式是成立的,此即為。所以(X*,Y*)是矩陣博弈G2的納什均衡點(diǎn),并且※第三章納什均衡的擴(kuò)展與精煉1.什么是完全信息和不完全信息？什么是完美信息和不完美信息？在海薩尼轉(zhuǎn)換中，自然對(duì)局中人類型的確定都是有限的嗎？舉例說明。(見教材)2.什么是重復(fù)博弈中的策略?什么是一個(gè)重復(fù)博弈中的子博弈?什么是一個(gè)子博弈完美納什均衡?(見教材)3.以下（虛線框中的）子博弈的劃分是否正確?答：兩個(gè)擴(kuò)展式中的子博弈劃分均不正確，圖1中的劃分對(duì)同一信息集產(chǎn)生了分割，圖2中的子博弈不是開始于單節(jié)信息集的決策結(jié)點(diǎn)。4.在雙寡頭古諾模型中,設(shè)逆需求函數(shù)為p=a-Q,其中Q=q1+q2為市場(chǎng)總需求,但a有aH和aL兩種可能的情況,并且企業(yè)1知道a究竟是aH還是aL,而企業(yè)2只知道a=aH和a=aL的概率分別是θ和1-θ,該信息是雙方都知道的。雙方的總成本函數(shù)分別是cq1和cq2。如果兩企業(yè)同時(shí)選擇產(chǎn)量,雙方的策略空間是什么？試計(jì)算出貝葉斯納什均衡。假設(shè)企業(yè)2的產(chǎn)量為q2，企業(yè)1將選擇q1最大化利潤(rùn)函數(shù)（這里a取aH或aL）由此得：企業(yè)2將選擇q2最大化它的期望利潤(rùn)由此得：在均衡時(shí)，q1，q2應(yīng)滿足由此得：企業(yè)1的策略為：企業(yè)2的策略為：因此博弈的貝葉斯納什均衡是：當(dāng)a=aH時(shí)，企業(yè)1生產(chǎn)；當(dāng)a=aL時(shí)，企業(yè)1生產(chǎn)，企業(yè)2生產(chǎn)。5.在下面的靜態(tài)貝葉斯博弈中,求出所有的純策略貝葉斯納什均衡。(1)自然決定收益情況是由博弈1給出，還是由博弈2給出，選擇每一博弈的概率相等；(2)局中人1了解到自然選擇了博弈1，還是選擇了博弈2，但局中人2不知道；(3)局中人1選擇行動(dòng)T或B，同時(shí)局中人2選擇行動(dòng)L或R；(4)根據(jù)自然選擇的博弈，兩局中人得到相應(yīng)的收益。博弈1博弈2自然選擇了博弈1時(shí)，局中人1選擇T，自然選擇了博弈2時(shí)，局中人1選擇B。局中人2的策略是根據(jù)期望收益最大的原則確定。局中人2的選擇策略L的期望收益為0.5×1+0.5×0=0.5，選擇策略R的期望收益為0.5×0+0.5×2=1，因此局中人2會(huì)選擇策略R。該博弈的純策略貝葉斯納什均衡為：自然選擇博弈1時(shí)，局中人1選擇T，自然選擇博弈2時(shí)，局中人1選擇B；局中人2會(huì)選擇策略R。6.在一個(gè)由三寡頭操縱的壟斷市場(chǎng)中，逆需求函數(shù)為p=a-q1-q2-q3，這里qi是企業(yè)i的產(chǎn)量。每一企業(yè)生產(chǎn)的單位成本為常數(shù)c。三企業(yè)決定各自產(chǎn)量的順序如下：(1)企業(yè)1首先選擇q1≥0；(2)企業(yè)2和企業(yè)3觀察到q1，然后同時(shí)分別選擇q2和q3。試解出該博弈的子博弈完美納什均衡。答：該博弈分為兩個(gè)階段，第一階段企業(yè)1選擇產(chǎn)量q1，第二階段企業(yè)2和3觀測(cè)到q1后，他們之間作一完全信息的靜態(tài)博弈。我們按照逆向遞歸法對(duì)博弈進(jìn)行求解。（1）假設(shè)企業(yè)1已選定產(chǎn)量q1，先進(jìn)行第二階段的計(jì)算。設(shè)企業(yè)2，3的利潤(rùn)函數(shù)分別為：由于兩企業(yè)均要追求利潤(rùn)最大，故對(duì)以上兩式分別求一階條件：（1）（2）求解（1）、（2）組成的方程組有：（3）（2）現(xiàn)進(jìn)行第一階段的博弈分析：對(duì)與企業(yè)1，其利潤(rùn)函數(shù)為；將（3）代入可得：（4）式（4）對(duì)q1求導(dǎo)：解得：（5）此時(shí)，（3）將式（5）代回（3）和（4）有該博弈的子博弈完美納什均衡：,7.如果將如下的囚徒困境博弈重復(fù)進(jìn)行無窮次，懲罰機(jī)制為觸發(fā)策略，貼現(xiàn)因子為δ。試問δ應(yīng)滿足什么條件，才存在子博弈完美納什均衡？由劃線法求得該博弈的純策略納什均衡點(diǎn)為(不坦白,不坦白)，均衡結(jié)果為(1,1)，采用觸發(fā)策略，局中人i的策略組合s的最好反應(yīng)支付=5,Pi(s*)=4，Pi(sc)=1。若存在子博弈完美納什均衡，必須滿足：，即只有當(dāng)貼現(xiàn)因子>1/4時(shí)，才存在子博弈完美納什均衡。8.假設(shè)有一博弈G=[N,S,P],其中N={1,2},S1=[0,50],S2=[0,50],，,i=1,2。(1)求納什均衡點(diǎn);(2)在納什均衡下的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù);(3)若該博弈重復(fù)無限次,是否存在觸發(fā)策略構(gòu)成的子博弈完美納什均衡,其條件是什么？解：局中人1,2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)分別為:s1=5+1/2s2s2=20/3+1/3s1由此得唯一的純策略納什均衡點(diǎn):sc=(10,10).相應(yīng)的有P(sc)=(1000,1500).容易求得s*=(35,30),相應(yīng)的有P(s*)=(1750,3000),.當(dāng)時(shí)，存在觸發(fā)策略構(gòu)成的子博弈完美納什均衡(s*,sc)9.求如圖所示完全信息動(dòng)態(tài)博弈的子博弈完美納什均衡（圖中數(shù)字(a,b,c)分別表示局中人1、2、3的收益）。答：局中人1采取A2行動(dòng)，局中人2采取行動(dòng)B1時(shí)，局中人3必然采取C2行動(dòng)（因?yàn)?<6），因而該博弈的頂點(diǎn)只能是(7,6,6)。同樣對(duì)于局中人3右邊一個(gè)子博弈，必然采取C1行動(dòng)（9>2），因而該博弈的頂點(diǎn)只能是(2,1,9)。進(jìn)而原博弈簡(jiǎn)化為：這時(shí),假設(shè)局中人1采取行動(dòng)A1，對(duì)于左邊一個(gè)子博弈，局中人3必定采取行動(dòng)C2(3<8),因而在該子博弈頂點(diǎn)的結(jié)果只會(huì)是(1,7,8).同樣,若局中人1采取行動(dòng)A2,此時(shí)局中人2必然采取行動(dòng)B1(6>1),因而在該子博弈頂點(diǎn)的結(jié)果只會(huì)是(7,6,6).進(jìn)而,該博弈又簡(jiǎn)化為：這時(shí)，局中人1必然選擇行動(dòng)A2(1<7)。由于局中人1選擇A2時(shí)，局中人2選擇B1，進(jìn)而局中人3選擇C2。因此，策略組合(A2,B1,((A1,C2),(B1,C2),(B2,C1)))構(gòu)成整個(gè)博弈的子博弈完美納什均衡(這里(A1,C2)表示如果局中人1選擇A1,則局中人3選擇C2,對(duì)(B1,C2),(B2,C1)的解釋類似)。10.考慮如下訴訟威脅博弈。如果提起訴訟的話，局中人1為原告，局中人2為被告，博弈順序如下：(1)原告決定是否指控被告，指控的成本是c1；(2)如果決定指控的話，在告上法庭之前，原告提出一個(gè)無協(xié)商余地的賠償金額s以私了；(3)被告決定接受還是拒絕原告的要求；(4)如果被告拒絕原告的要求，原告決定是放棄還是上法庭，自己的成本是c2，給被告帶來的成本是d；(5)如果告上法庭，原告以概率P勝訴而獲得賠償r，否則什么也得不到。試問勝訴概率P滿足什么條件時(shí)，原告的訴訟威脅才是可信的？一)局中人1不指控局中人2時(shí)兩個(gè)人的收益均為0二)局中人1決定指控局中人2，在告上法庭之前，局中人1提出一個(gè)無協(xié)商余地的賠償金額s以私了，(1)當(dāng)局中人2接受要求時(shí)局中人的收益為s-c1;局中人2的收益為-s；(2)當(dāng)局中人2拒絕局中人1的要求，1)局中人1放棄上訴時(shí)，局中人1的收益為-c1,局中人2的收益為0；2)當(dāng)局中人1起訴時(shí)，局中人1的期望收益為Pr-(c1+c2);局中人2的期望收益為-Pr-d因此，當(dāng)局中人1的期望收益Pr-(c1+c2)>max{0,s-c1}，即P>max{(c1+c2)/r,(s+c2)/r}時(shí)原告的訴訟威脅是可信的。11.在伯川德模型中,假定有n個(gè)生產(chǎn)企業(yè),需求函數(shù)為(b>0),其中pi是企業(yè)i的定價(jià),qi是企業(yè)i的需求量。假設(shè)企業(yè)生產(chǎn)沒有固定成本,并且邊際成本為常數(shù)c,c<a.假定博棄重復(fù)無窮多次,每次的價(jià)格都立即被觀察到,企業(yè)使用觸發(fā)策略。求使壟斷價(jià)格可以作為完美均衡結(jié)果出現(xiàn)的最低貼現(xiàn)因子δ,并解釋?duì)呐cn的關(guān)系。<bdsfid="359"p=""></a.假定博棄重復(fù)無窮多次,每次的價(jià)格都立即被觀察到,企業(yè)使用觸發(fā)策略。求使壟斷價(jià)格可以作為完美均衡結(jié)果出現(xiàn)的最低貼現(xiàn)因子δ,并解釋?duì)呐cn的關(guān)系。<>分以下幾個(gè)步驟進(jìn)行。1)計(jì)算納什均衡當(dāng)企業(yè)i選擇價(jià)格pi,其它企業(yè)選擇價(jià)格pj(j=1,2,…,n,j≠i)時(shí),企業(yè)i的利潤(rùn)為:,i=1,2,…,n價(jià)格組合()若是納什均衡,則對(duì)每個(gè)企業(yè)i,應(yīng)是如下最優(yōu)問題的解:求解該問題,得;i=1,2,..,n解該方程組,得:,i=1,2,…,n企業(yè)i的利潤(rùn)為：2)計(jì)算壟斷情況下的價(jià)格若n家企業(yè)合并為一家,即形成壟斷價(jià)格,則n家企業(yè)的價(jià)格相同,即p1=p2=…=pn.可求得總利潤(rùn)最大時(shí)的價(jià)格為:那么每個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)為(這里(n-1)b<1)易證,即在壟斷價(jià)格下,各企業(yè)的利潤(rùn)增加了。3)計(jì)算使壟斷價(jià)格可以作為完美均衡結(jié)果出現(xiàn)的最低貼現(xiàn)因子δ,并解釋?duì)呐cn的關(guān)系。當(dāng)時(shí),觸發(fā)策略(p*,pc)是子博弈完美納什均衡.12.有一在位企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其成本可能低，也可能高。該企業(yè)可以選擇低價(jià)或高價(jià)兩種策略。另一企業(yè)準(zhǔn)備進(jìn)入生產(chǎn)同類產(chǎn)品，但完全不知道在位企業(yè)的生產(chǎn)成本是高還是低，只能觀察到其價(jià)格是低價(jià)還是高價(jià)。其具體收益見下面博弈的擴(kuò)展式表述。求該博弈的子博弈完美貝葉斯納什均衡。該題的求解與第115頁(yè)例題類似。13.求例3.4.1的子博弈完美貝葉斯納什均衡。※第四章談判與協(xié)調(diào)1.帕累托占優(yōu)均衡和納什均衡的關(guān)系是什么?納什均衡的基本思想是：每一個(gè)局中人選擇一個(gè)策略，由所有局中人的策略構(gòu)成了一個(gè)策略組合；在其它局中人選定策略不變的情況下，若某一個(gè)局中人單獨(dú)地違背自己已選的策略，那么他的收益只會(huì)下降（或收益不會(huì)增加）。這樣的策略組合構(gòu)成一個(gè)均衡局勢(shì)，并命名為納什均衡。納什均衡有純策略的納什均衡和混合策略的納什均衡。一個(gè)博弈中有不止一個(gè)納什均衡時(shí)，就構(gòu)成一個(gè)多重納什均衡問題。在多重納什均衡下給出一些選擇標(biāo)準(zhǔn)就得到一些特定的納什均衡。其中帕累托占有納什均衡是根據(jù)這樣的選擇標(biāo)準(zhǔn)選擇的均衡。在博弈中，若均為G的其納什均衡，若滿足，則稱為博弈G的帕累托占優(yōu)納什均衡。可見帕累托占有納什均衡是納什均衡中收益最大的一種均衡。2.分別找出具有下列性質(zhì)的2人博弈的例子。(1)不存在純策略納什均衡；(2)至少有兩個(gè)納什均衡，并且其中之一是帕累托占優(yōu)均衡。（1）不存在純策略的納什均衡：該博弈不存在純策略的納什均衡（2）該博弈有三個(gè)納什均衡：（戰(zhàn)爭(zhēng)，戰(zhàn)爭(zhēng)）、（和平，和平）和一個(gè)混合策略納什均衡。很顯然，（和平，和平）是一個(gè)帕累托占優(yōu)納什均衡。3.假設(shè)在某一產(chǎn)品市場(chǎng)上有兩個(gè)寡頭壟斷企業(yè)，它們的成本函數(shù)分別為：TC1=0.1q+20q1+100000TC2=0.4q+32q2+20000這兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)一同質(zhì)產(chǎn)品，其市場(chǎng)需求函數(shù)為：Q=4000-10p。試分別基于古諾模型和納什談判模型求解兩企業(yè)的利潤(rùn)。解：由和得所以：求解方程組得將，代入到，中去得到最優(yōu)解4.你能否對(duì)如下的CG-2×2博弈中x的變化設(shè)計(jì)出一些實(shí)驗(yàn)方案，來討論是帕累托占優(yōu)思想還是風(fēng)險(xiǎn)占優(yōu)思想在策略選擇中起主要作用。設(shè)計(jì)試驗(yàn)(1)a<x<=""></x（2）x.>1000這時(shí)是帕累托占優(yōu)思想起主要作用。都會(huì)選擇行動(dòng)2。※第五章合作博弈1.設(shè)三人聯(lián)盟博弈的特征函數(shù)v的值是：v({i})=0,i=1,2,3;v({1,2})=2/3,v({1,3})=7/12,v({2,3})=1/2,v({1,2,3})=1。求出該聯(lián)盟博弈的核心，并用圖形表示出來。2.假設(shè)有一3人合作博弈，其特征函數(shù)為：v({1,2,3})=200,v({1,2})=150,v({1,3})=110,v({2,3})=20,v({1})=100,v({2})=10,v({3})=0。計(jì)算該合作博弈的Shapley值，核心，最小ε-核心，穩(wěn)定集，內(nèi)核和核仁。3.考慮有如下特征函數(shù)v的4人合作博弈：v({1,2,3,4})=2,v({1,2,3})=1,v({1,2,4})=2,v({1,3,4})=0,v({2,3,4})=1,v({1,2})=0,v({1,3})=-1,v({1,4})=1,v({2,3})=0,v({2,4})=1,v({3,4})=0,v({1})=-1,v({2})=0,v({3})=-1,v({4})=0.4.證明下面的10人博弈v不具有穩(wěn)定集。設(shè)N={1,2,…,10}，N上博弈v的特征函數(shù)為:v(N)=5,v({1,3,5,7,9})=4,v({3,5,7,9})=v({1,5,7,9})=v({1,3,7,9})=3,v({1,4,7,9})=v({3,6,7,9})=v({2,5,7,9})=2,v({3,5,7})=v({1,5,7})=v({1,3,7})=2,v({3,5,9})=v({1,3,9})=v({1,