第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：等比數(shù)列的有關(guān)概念....................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列的有關(guān)公式....................................................4

知識(shí)點(diǎn)3:等比數(shù)列的性質(zhì)........................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算.....................................................6

題型二：等比數(shù)列的判定與證明...................................................7

題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用...................................................9

題型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)................................................10

題型五：奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論..................................................10

題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用..........................................12

題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問(wèn)題..............................................13

題型八：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用....................................................14

題型九：公共項(xiàng)與插項(xiàng)問(wèn)題......................................................15

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................36

05課本典例?高考素材............................................................17

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................18

易錯(cuò)點(diǎn)：不能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)............................................18

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

（1）等比數(shù)列的有關(guān)概高考對(duì)等比數(shù)列的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)

念2023年甲卷（理）第5題，5分容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)是（1）

（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公2023年H卷第8題，5分選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計(jì)算；（2）

式與求和公式2023年乙卷（理）第15題，5分解答題多與等差數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實(shí)際問(wèn)題

（3）等比數(shù)列的性質(zhì)或其他知識(shí)考查.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

（1）理解等比數(shù)列的概念.

（2）掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

考點(diǎn)突確.題理輝寶

知識(shí)固本

知識(shí)點(diǎn)1:等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)

數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母0表示，定義的表達(dá)式為冬紅.

a”

(2)等比中項(xiàng)：如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與3的等比中項(xiàng).

即G是a與｝的等比中項(xiàng)Qa,G,b成等比數(shù)列今G2=".

【診斷自測(cè)】某景點(diǎn)上山共有999級(jí)臺(tái)階，寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步上一個(gè)臺(tái)階，也可以一步

上兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為1每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為2;，為了簡(jiǎn)便描述問(wèn)題，我們約

定，甲從0級(jí)臺(tái)階開(kāi)始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記1分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登上第W個(gè)臺(tái)階的

概率為月，其中weN*,且〃V998.證明：數(shù)列仍,.-4｝是等比數(shù)列.

知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)為％,公比為q(qwO),則它的通項(xiàng)公式a=a1q"-'=c-q'\c=—)(?[,q^=0)-

q

nm

推廣形式：an=am-q-

(2)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

na1(q=1)

等比數(shù)列｛4｝的公比為q(00),其前"項(xiàng)和為S“=，[(l-q")_q-a,/

Ii-qi-q

注①等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比g是否為1,

再由q的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比。是否為1時(shí)，要分q=l與《片1兩種情況討論求解.

②已知(項(xiàng)數(shù))，則利用s=%(1一＞)求解;己知生,%，4(qNl),則利用s“=幺二強(qiáng)求

1-q1-q

解.

③S,=皿二￡2=二二.4，，+，」=的”_左（左/0,4片1）,S“為關(guān)于4〃的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)

1_q-q-q

互為相反數(shù).

【診斷自測(cè)】若數(shù)列｛%｝是公比為。的等比數(shù)列，且Iog2%+log2%3=3,4％。=4,則q的值為（）

A.2B.4C.+2D.+4

知識(shí)點(diǎn)3：等比數(shù)列的性質(zhì)

（1）等比中項(xiàng)的推廣.

若加+〃=p+q時(shí),則冊(cè)4=4%,特別地，當(dāng)根+〃=2p時(shí)，aman=ap.

（2）①設(shè)｛4｝為等比數(shù)列,則｛44｝（4為非零常數(shù)），｛㈤｝,｛成｝仍為等比數(shù)列.

②設(shè)｛凡｝與｛b“｝為等比數(shù)列，則｛qb“｝也為等比數(shù)列.

（3）等比數(shù)列｛%｝的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項(xiàng).與公比《決定）.

當(dāng)「fa>>10或［fao,<<"0i時(shí),&｝為遞增數(shù)列;

\a.>0<0

當(dāng)或時(shí)，&｝為遞減數(shù)列?

（4）其他衍生等比數(shù)列.

若已知等比數(shù)列｛%｝,公比為q,前”項(xiàng)和為邑,則:

①等間距抽取

%，ap+t，"p+2”…"p+5-i"，…為等比數(shù)列，公比為

②等長(zhǎng)度截取

黑，邑”-黑，53“-邑”，…為等比數(shù)列，公比為〃（當(dāng)4=-1時(shí)，%不為偶數(shù)）.

【診斷自測(cè)】在正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，％,即是3/-6x+l=O的兩個(gè)根，則一+—+—=

解題方法總結(jié)

(1)右m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kRN"),則'4?一—"4.

（2）若｛%｝,｛么｝（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則｛加1”｝（；1*0）,｛」｝,｛“；｝,｛4也｝,｛"｝仍是等

anb?

比數(shù)列.

（3）在等比數(shù)列｛%｝中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即%,an+k,an+2k,4+3%…為

等比數(shù)列，公比為十.

（4）公比不為一1的等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則S/S2?-S?,邑“-工，仍成等比數(shù)列，其公

比為q".

（5）｛q｝為等比數(shù)列，若則？；，曳，…成等比數(shù)列.

T"

（6）當(dāng)qwO,qwl時(shí)，S=左一左q"（左大0）是｛4,｝成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)左=’!一.

i-q

（7）有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等.特別地，若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，還等于中間

項(xiàng)的平方.

（8）若｛%｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，貝|｛1。&%｝9>0,［；工1）為等差數(shù)列.

（9）若｛%｝為等差數(shù)列，則｛L｝（c>O,c*l）為等比數(shù)列.

（10）若｛a,｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列o｛??）是非零常數(shù)列.

題型洞察

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算

【典例1-1】（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列｛4｝公比為前”項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足4=84，則

下列說(shuō)法正確的是（）

2$61

A.S3-S9=S6B.—=-

D3V

c.4=；D.Sn=2an-at

【典例1-2］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前三項(xiàng)和為28且%=4,則線=

（）

A.-B.-C.—D.—

24816

【方法技巧】

等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略

（1）等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，等比數(shù)列中有五個(gè)量4,n,q,an,

一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程（組）便可迎刃而解.

（2）等比數(shù)列的前”項(xiàng)和公式涉及對(duì)公比q的分類(lèi)討論：

當(dāng)4=1時(shí)，Sn=na,;當(dāng)4片1時(shí)，.=4（1-?"）=%一%4

1—q1一“

【變式1-1］（2024.山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且3q+9%=2,

94=axa5，貝|（）

【變式1-2］（2024?高三?廣西?開(kāi)學(xué)考試）已知等比數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)和為13,%-6%+9%=0,則4=

（）

A.81B.243C.27D.729

【變式1?3】（2024.陜西安康.模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列⑷中，%%=16,且/J。弓成等差數(shù)列，

則/+%+%=（）

A.157B.156C.74D.73

【變式1-4］（2024?陜西渭南?二模）己知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“,q+%=30,'=120,則其公比4=

（）

A.1B.2C.3D.-3

題型二：等比數(shù)列的判定與證明

【典例2-1】（2024.河南.三模）己知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均不為0,其前,項(xiàng)和為S,,,4為不等于0的常數(shù)，且

S,=qS.T+q（〃22）.

（1）證明：｛%｝是等比數(shù)列；

⑵若S5，S“,S8成等差數(shù)列，則對(duì)于任意的正整數(shù)乙4+5，4+U，4+8是否成等差數(shù)列？若成等差數(shù)列，請(qǐng)

予以證明；若不成等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1（2|

【典例2-2］（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝中，4=；,4+i=LJ（〃eN*）.證明：｛--1｝是等

32-%an

比數(shù)列;

【方法技巧】

等比數(shù)列的判定方法

若也=q（Q為非零常數(shù)，〃eN*或反刃（Q為非零常數(shù)且此2,）,則

aa

定義法n?-l

｛%｝是等比數(shù)列

中項(xiàng)公式法若數(shù)列｛”,｝中，°,尸。且％包2=%.%+2（〃€%*）,則｛%｝是等比數(shù)列

若數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式可寫(xiě)成q=cq"T（Gq均為非零常數(shù)，〃eN*）,則｛%｝是等

通項(xiàng)公式法

比數(shù)列

前幾項(xiàng)和公式法若數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和S“=k4”-（女為非零常數(shù)，qw0,l）,則｛%｝是等比數(shù)列

an-3,〃為奇數(shù),

【變式2-1］（2024?河北石家莊?二模）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=7,%M

2an,及為偶數(shù).

（1）寫(xiě)出%，%，%；

⑵證明:數(shù)列K-J-6）為等比數(shù)列；

【變式2-2］（2024?青海海南?一模）記等差數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和為S",｛〃,｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，且

%=4=2,Si。=11%，4-萬(wàn)2=〃2.

⑴求｛4｝和｛〃｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明是等比數(shù)列.

【變式2-3］已知數(shù)列何｝和也｝滿(mǎn)足4=1,仿=。，而―,46用=36,-%-4.證明:｛an+bn｝

是等比數(shù)列，｛4-2｝是等差數(shù)列.

【變式2-4】已知點(diǎn)4(1,2),4(2,3),設(shè)凡(見(jiàn),婦(“eN*),當(dāng)*3時(shí)，線段4.2%的中點(diǎn)為紇，紇關(guān)

于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4.例如，鳥(niǎo)為線段44的中點(diǎn)，則用4、，，.設(shè)1=%+|+2+「。“-4,

證明：｛&｝是等比數(shù)列.

【變式2-5](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛。〃｝滿(mǎn)足4=l,a“+a“M=8-3"T.

證明：32GR,使得數(shù)歹U｛%+〃3"｝成等比數(shù)列；

題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用

【典例3-1】(2024?浙江金華.模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛?｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝是等比數(shù)列，若

a2+a4+a6=5n,b2b4b6=3A/3,則3j.

【典例3-2】(2024.高三?內(nèi)蒙古錫林郭勒盟?開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)列｛。.｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，若

11111,

/+/+4+=2，1----1---1---1---=l1oO,貝！J.

【方法技巧】

(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意挖掘隱含條件、利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若

m+n=p+q=2k,則圖-g=與?4=。/.”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度.

(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.止匕外，解題時(shí)

注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用.

【變式3-1］在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛。,,｝中，％&=8,則log2a4+1嗎%=.

【變式3-2］若等比數(shù)列｛?｝滿(mǎn)足。4?a6+2a5?%+4?%=36,貝"%+%等于___.

【變式3-3］已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a4a6+4%=18,則%=,

log3ax+log3%+log3a3H—+log3a9=.

【變式3-4］（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：4>0,4>0,%。3%%。9=32,貝！］%+%的最小值

為.

題型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

【典例4-1】記S,,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若$4=-5,臬=21邑，貝!］$=—.

【典例4-2】設(shè)等比數(shù)歹（］｛4｝的前”項(xiàng)和是S”.已知S3=30,S6=120,貝|率=.

>3

【方法技巧】

（1）等比數(shù)列｛4｝中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和％與所有偶數(shù)項(xiàng)之和s1s具有的性質(zhì)，設(shè)公比為好

①若共有2九項(xiàng)，貝="②若共有2〃+1項(xiàng)，/立=7

s奇“

（2）等比數(shù)列｛4｝中,S*表示它的前人項(xiàng)和.當(dāng)#-1時(shí),有a，S“一SiS3*—S?……也成等比數(shù)歹！J，

公比為

【變式4-1］已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝共有2〃項(xiàng)，它的所有項(xiàng)的和是奇數(shù)項(xiàng)的和的3倍，則公比4=—.

【變式4-2］已知等比數(shù)歹!］｛%｝的前〃項(xiàng)和S“=ax3"-2,貝lja=—.

S1S

【變式4-3］（2024.高三.江蘇蘇州.期末）設(shè)S”是等比數(shù)列0｝的前幾項(xiàng)和，若J=則。，=—.

,10J^20十^10

【變式4-4］數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列也｝是等比數(shù)列，公比為q,數(shù)列｛。“｝中，c,=anbn,臬是數(shù)列

出,｝的前"項(xiàng)和.若鼠=11,S2m=l,S3m=-201（相為正偶數(shù)），貝US,,,,的值為一.

題型五：奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論

【典例5-1】（2024?高三?四川成都?期中）數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足：al=a2=l,a2n+l-a2?_l=2,^=2,數(shù)列｛%｝的

a2fl

前〃項(xiàng)和記為S〃，則$23=

【典例5-2】(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足用"寸是偶數(shù)‘，S"是數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和,

4+2,a“是奇數(shù)，

若已知%=64,那么$2。的值為()

A.322B.295C.293D.270

【方法技巧】

求解等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和S",要準(zhǔn)確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項(xiàng)數(shù)月的值;

對(duì)于奇偶項(xiàng)通項(xiàng)不統(tǒng)一問(wèn)題要注意分類(lèi)討論.主要是從〃為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行分類(lèi).

【變式5-1]已知數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足%包=[2""；"彳喘，若3＜佝＜15,則%的取值范圍是()

[%+1,〃為偶數(shù)

31「3一

A.[-1,0]B.--,0C.0,—D.[0,1]

44

【變式5-2](2024?高三.河北唐山?期末)記S”為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，當(dāng)“22時(shí),

+1,"為奇數(shù)

且$3=1.

2%T，W為偶數(shù).

(1)求生,利；

(2)(i)當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，求｛叫的通項(xiàng)公式;

(ii)求S20M.

為奇數(shù)

【變式5-3](2024?福建廈門(mén)?模擬預(yù)測(cè))已知S“為等差數(shù)列｛a.｝的前〃項(xiàng)和,L匕〃為偶數(shù)

d=32,S5=20.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)記7；為數(shù)列也｝的前八項(xiàng)和，若2&-S2“＞0,求w的最小值.

[22〃,幾為奇數(shù)

【變式5-4]已知數(shù)列也“｝滿(mǎn)足6=1,a,用=](2+1”“,"為偶數(shù)''為參數(shù)且

(1)求4、的的值(用幾表示)，并探究是否存在4使得數(shù)列｛。“｝成等比數(shù)列，若存在，求幾的值，無(wú)需證

明.

(2)當(dāng)4=2時(shí)，求｛叫的前2〃項(xiàng)和邑“；試給出何｝前〃項(xiàng)和S,表達(dá)式.

題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

【典例6-1】(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛?｝是公差不為0的等差數(shù)列，q=1,且滿(mǎn)足電,。3，七

成等比數(shù)列，則數(shù)列｛%｝前6項(xiàng)的和為.

【典例6-2】(2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛為｝為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，其前”項(xiàng)和為S“，且

3%,2%,%成等差數(shù)列，則邑=.

〃4

【方法技巧】

(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過(guò)指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列，正項(xiàng)等比數(shù)列

通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.

(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)

列.

【變式6-1](2024.湖北荊州.三模)若實(shí)數(shù)0,尤,％6成等差數(shù)列，一/八仁一:成等比數(shù)列，則三三=—.

28b

【變式6-2](2024.浙江杭州.三模)已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，｛〃,｝是等比數(shù)列，

且52=-2他+如2,S6=6(bl+b2)(b5+b6),則⑸｝的最小項(xiàng)是第一項(xiàng).

【變式6-3】記S“為公差不為0的等差數(shù)列｛。"｝的前”項(xiàng)和，已知邑=-30,且%,%，的成等比數(shù)列，

則S”的最小值為.

【變式6-4](2024?陜西安康?三模)已知方程(爐-皿+27)卜2一m+27)=。的四個(gè)根組成以1為首項(xiàng)的等

比數(shù)列，則()

A.8B.12C.16D.20

題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問(wèn)題

【典例7-1］（多選題）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9,其前"項(xiàng)和為s"，前”項(xiàng)積為r“，若4>1,0<q<l,

且（%）23一1）?他024一1）<0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.$2024-$2023>°B.02023“2025<1

C.數(shù)列｛1｝中的最大值是7M23D.數(shù)列｛7；｝無(wú)最大值

【典例7-2］（多選題）（2024?湖北?二模）無(wú)窮等比數(shù)列｛4,｝的首項(xiàng)為％公比為4,下列條件能使｛4｝既有

最大值，又有最小值的有（）

A.q〉0,0<qvlB.4〉。，-IvqvO

C.%<0,q=-1D.%<0,q<—1

【方法技巧】

等比數(shù)列的范圍與最值問(wèn)題是數(shù)列研究中的重要內(nèi)容。在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先需要明確等比數(shù)列的

定義和性質(zhì)，包括通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等。對(duì)于范圍問(wèn)題，通常通過(guò)不等式求解，利用等比數(shù)列的性

質(zhì)確定數(shù)列項(xiàng)的取值范圍。對(duì)于最值問(wèn)題，則需分析數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)，求出數(shù)列的最大

項(xiàng)或最小項(xiàng)。

【變式7-11（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列也“｝的前〃項(xiàng)的積為，，且公比4*1,若

對(duì)于任意正整數(shù)〃，Tn>T2023,則（）

A.0<?1<1B.0<<?<1c.%023=lD.看04721

【變式7-21（多選題）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,其前"項(xiàng)和為S"，前”項(xiàng)積為且滿(mǎn)足條件4>1,

a2022a2023>1，（4022一。（%）23-1）<°，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.0<4<1B.52022>$2023—1

C.^2023是數(shù)列｛1｝中的最大項(xiàng)D.豈叫<1

【變式7-3］（多選題）已知等比數(shù)列｛。〃｝滿(mǎn)足4>0,公比4>1,且…。2021<1，4的…。2022>1，貝I

（）

A.a2022>1B.當(dāng)〃=2021時(shí)，〃最小

C.當(dāng)〃=1011時(shí)，”最小D.存在〃<1011,使得4A+1=%+2

【變式7-4］（多選題）設(shè)等比數(shù)列｛g｝的公比為其前〃項(xiàng)和為臬，前"項(xiàng)積為且4>1,a6a7>1，

幺二1<0,則下列結(jié)論正確的是（）

出一1

A.0<^<1B.0<a7a8<1

c.s”的最大值為S7D.，的最大值為”

【變式7-5]（多選題）（2024?福建三明.三模）設(shè)等比數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為S“，前〃項(xiàng)積為】，若滿(mǎn)足

0<?1<1,%。040>1，（。2023一1）（%024-1）<°，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.｛?｝為遞減數(shù)列B.$2023+1<$2024

C.當(dāng)〃=2023時(shí)，，最小D.當(dāng)7；>1時(shí)，〃的最小值為4047

題型八：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

【典例8-1】（2024?安徽合肥?三模）某銀行大額存款的年利率為3%,小張于2024年初存入大額存款10萬(wàn)

元，按照復(fù)利計(jì)算8年后他能得到的本利和約為（）（單位：萬(wàn)元，結(jié)果保留一位小數(shù)）

A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9

【典例8-2]（2024?天津紅橋?二模）某同學(xué)于2019年元旦在銀行存款1萬(wàn)元，定期儲(chǔ)蓄年利率為1.75%,

以后按約定自動(dòng)轉(zhuǎn)存，那么該同學(xué)在2025年元旦可以得到本利和為（）

A.10000xl.01756B.10000xl.01757

C10000（1-1.75%6）口10000（1-1.75%7）

1-1.75%-1-1.75%

【方法技巧】

等比數(shù)列在實(shí)際應(yīng)用中廣泛存在，其獨(dú)特的性質(zhì)使得它在金融、物理、生物學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域都有重要的

應(yīng)用。例如，在金融領(lǐng)域，等比數(shù)列可以用于計(jì)算復(fù)利、貸款分期償還等問(wèn)題；在物理學(xué)中，等比數(shù)列可

以用來(lái)描述某些放射性物質(zhì)的衰變過(guò)程；在生物學(xué)中，它也可以用于描述種群數(shù)量的增長(zhǎng)等。因此，掌握

等比數(shù)列的應(yīng)用具有實(shí)際意義。

7T

【變式8-1】在等腰直角三角形ABC中，B=~,AB=a,以A8為斜邊作等腰直角三角形ABd，再以

4片為斜邊作等腰直角三角形4與與，依次類(lèi)推，記AASC的面積為，，依次所得三角形的面積分別為色,

院……若工+S?+…+Sg=25W5，則。=（）

A.2B.20C.3D.4

【變式8-2】如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中

間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三

角形（圖①）的邊長(zhǎng)為1,把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長(zhǎng)依次記為C-C2,J,C4,則C,=

?②③④

【變式8-3］（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開(kāi)放，已知池塘內(nèi)某

種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個(gè)花蕾，第一天有10個(gè)花蕾開(kāi)花，之后每

天花蕾開(kāi)放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開(kāi)放荷花的數(shù)量達(dá)到最大（）

A.6B.7C.8D.9

【變式8-4］（2024.云南昆明.一模）第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)（ICNE7）的會(huì)徽?qǐng)D案是由若干三角形組成的.如

圖所示，作RtZXAOB,OA=1,N4O5=30。，再依次作相似三角形ABOC,△COD,△DOE,……，直至

最后一個(gè)三角形的斜邊O河與。4第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（）

題型九：公共項(xiàng)與插項(xiàng)問(wèn)題

【典例9-1］將數(shù)列｛2"｝與｛3〃-2｝的公共項(xiàng)由小到大排列得到數(shù)列｛?｝,則數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)的和為.

【典例9-21已知數(shù)列｛叫滿(mǎn)足q=2”,在凡和4+1之間插入”個(gè)1,構(gòu)成數(shù)列｛〃,｝：%」,生」」,外,1,1」,

則數(shù)列也｝的前20項(xiàng)的和為.

【方法技巧】

公共項(xiàng)與插項(xiàng)問(wèn)題是數(shù)列研究中的重要內(nèi)容，具有廣泛的應(yīng)用背景。

公共項(xiàng)問(wèn)題涉及兩個(gè)或多個(gè)數(shù)列中共同存在的項(xiàng)。這些項(xiàng)可能具有特定的數(shù)值和序號(hào)關(guān)系，需要利用

數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)進(jìn)行求解。例如，兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)可以組成一個(gè)新的等差數(shù)列，其公差是兩

原數(shù)列公差的最小公倍數(shù)。

插項(xiàng)問(wèn)題則是在數(shù)列的特定位置插入新的項(xiàng)，以改變數(shù)列的原始結(jié)構(gòu)。這類(lèi)問(wèn)題通常要求分析插入項(xiàng)

對(duì)數(shù)列性質(zhì)的影響，如數(shù)列的單調(diào)性、最值等。在實(shí)際應(yīng)用中，插項(xiàng)問(wèn)題可用于數(shù)列的擴(kuò)展、數(shù)列模型的

修正等方面。

綜上所述，公共項(xiàng)與插項(xiàng)問(wèn)題是數(shù)列研究中的基礎(chǔ)而重要的問(wèn)題，對(duì)于深入理解數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用具

有重要意義。

【變式9-1]已知數(shù)列｛。“｝滿(mǎn)足。,=2”，在。“和之間插入”個(gè)1,構(gòu)成新的數(shù)列也｝,則數(shù)列｛〃｝的前

20項(xiàng)的和為.

【變式9-2]已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝中，卬=1且滿(mǎn)足氏+；一片=24,+2〃用，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為

S",滿(mǎn)足2s“+1=36,.

⑴求數(shù)列｛%｝,凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)若在4與%之間依次插入數(shù)列也,｝中的％項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列｛(:”｝：”,%,b2,a2,a3,b3,%,外,a6,

“，……，求數(shù)列｛q,｝中前50項(xiàng)的和q.

【變式9-3](2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成

新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱(chēng)為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列1,2,3經(jīng)過(guò)第一次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)

列1,3,2,5,3；第二次，和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1,4,3,527,5,8,3.設(shè)數(shù)列a,b,c經(jīng)過(guò)”次"和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列的

項(xiàng)數(shù)為2,所有項(xiàng)的和為s”.

⑴若a=2,b=3,c=4,求鳥(niǎo)同；

⑵求不等式522024的解集；

⑶是否存在數(shù)列〃，瓦"CER),使得數(shù)列｛，｝為等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式外4](2024.黑龍江哈爾濱.模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)積為＜=3T，數(shù)列｛以｝滿(mǎn)足4=1，

A.14B.12C.6D.3

4.（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）記S“為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若S?=4,S4=6,貝”6=

（）

A.7B.8C.9D.10

5.（2024年上海秋季高考數(shù)學(xué)真題）無(wú)窮等比數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足首項(xiàng)q記

A.=卜-y|無(wú)，>e[q,g]口[為,%+1]｝,若對(duì)任意正整數(shù)n集合/,是閉區(qū)間，則9的取值范圍是

㈤5

ii_告"

（、33g

1.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)4=不，且滿(mǎn)足。“+1=二片

:”為等比數(shù)列.

（1）求證：數(shù)列

1111…

（2）若一+—+—+???+—<1。。，求滿(mǎn)足條件的最大整數(shù)a.

2.已知｛%｝是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，公比為q.

（1）將數(shù)列｛4｝中的前上項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)

與公比分別是多少？

（2）取出數(shù)列｛%｝中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與

公比分別是多少？

（3）在數(shù)列｛4｝中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公

比是多少？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出關(guān)于等比數(shù)列的一個(gè)猜想嗎？

3.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，4=1,%=2e+1,前〃項(xiàng)和為S“，數(shù)列也｝滿(mǎn)足用=§,

求證：

(1)數(shù)列也｝為等差數(shù)列；

(2)數(shù)列｛4｝中的任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列.

4.已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，4=1024,公比q=若/是數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)積，求/的最大值.

㈤6

//易錯(cuò)分析-答題模板\\

易錯(cuò)點(diǎn)：不能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)

易錯(cuò)分析：解題的過(guò)程中要注意把握等比數(shù)列的基本性質(zhì)，以及前n項(xiàng)和的性質(zhì)，正確運(yùn)用學(xué)過(guò)的知

識(shí)，進(jìn)行合理計(jì)算即可.

【易錯(cuò)題1】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛。“｝中，④陽(yáng)=16,則10g2a+bg2%3=.

【易錯(cuò)題2］等比數(shù)列｛%｝中，%=4,&=16,則%=

第03講等比數(shù)列及其前〃項(xiàng)和

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1：等比數(shù)列的有關(guān)概念....................................................4

知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列的有關(guān)公式....................................................4

知識(shí)點(diǎn)3:等比數(shù)列的性質(zhì)........................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................5

題型一：等比數(shù)列的基本運(yùn)算.....................................................6

題型二：等比數(shù)列的判定與證明...................................................7

題型三：等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)應(yīng)用...................................................9

題型四：等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)................................................10

題型五：奇偶項(xiàng)求和問(wèn)題的討論..................................................10

題型六：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用..........................................12

題型七：等比數(shù)列的范圍與最值問(wèn)題..............................................13

題型八：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用....................................................14

題型九：公共項(xiàng)與插項(xiàng)問(wèn)題......................................................15

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)............................................................36

05課本典例高考素材............................................................17

06易錯(cuò)分析?答題模板............................................................18

易錯(cuò)點(diǎn)：不能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)............................................18

春情目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)等比數(shù)列的有關(guān)概高考對(duì)等比數(shù)列的考查相對(duì)穩(wěn)定，考查內(nèi)

2023年甲卷(理)第5題，5分

念容、頻率、題型、難度均變化不大.重點(diǎn)是(1)

2023年II卷第8題，5分

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公選擇題、填空題多單獨(dú)考查基本量的計(jì)算；(2)

2023年乙卷(理)第15題，5

式與求和公式解答題多與等差數(shù)列結(jié)合考查，或結(jié)合實(shí)際問(wèn)題

分

(3)等比數(shù)列的性質(zhì)或其他知識(shí)考查.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)理解等比數(shù)列的概念.

(2)掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

(3)了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

考點(diǎn)突破■題型探究

--------------[HHHJT,

知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1:等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)

數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母《表示，定義的表達(dá)式為

4

(2)等比中項(xiàng)：如果G,b成等比數(shù)列，那么G叫做"與分的等比中項(xiàng).

即G是a與｝的等比中項(xiàng)Qa,G,b成等比數(shù)列今&=環(huán).

【診斷自測(cè)】某景點(diǎn)上山共有999級(jí)臺(tái)階，寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí)，可以一步上一個(gè)臺(tái)階，也可以一步

上兩個(gè)臺(tái)階，若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為耳1，每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為2:，為了簡(jiǎn)便描述問(wèn)題，我們約

定，甲從0級(jí)臺(tái)階開(kāi)始向上走，一步走一個(gè)臺(tái)階記1分，一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分，記甲登上第〃個(gè)臺(tái)階的

概率為2，其中weN*,且"V998.證明：數(shù)列｛月4-舄是等比數(shù)列.

【解析】證明：由題可得6=|+冉=彳,

12

則P〃+2=§2+1+§匕,幾￡N*,

匕+2一匕+1=一((匕+|-匕)，

174

由于《=§，2=§，???￡_《=§工。，

p_p2

故心「尸產(chǎn)。,則營(yíng)寸=一§

；?數(shù)歹U｛r4+1-只、｝是以巳4為首項(xiàng)，-12■為公比的等比數(shù)歹！J.

知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列的有關(guān)公式

(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的首項(xiàng)為名,公比為q(qwO),則它的通項(xiàng)公式a=“"力=cq"(c=幺)@應(yīng)N0).

q

推廣形式4”一“

(2)等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式

nax(q=1)

等比數(shù)列｛%｝的公比為,(4wO),其前〃項(xiàng)和為S"=<〃(l—q〃)a-aq

Ii--q-=n—"q("D

注①等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前"項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比。是否為1,

再由q的情況選擇相應(yīng)的求和公式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時(shí)，要分q=l與gwl兩種情況討論求解.

②已知qM(gwl),”(項(xiàng)數(shù))，則利用§=皿二?求解；已知q,4,冢4H1),則利用S“=幺二強(qiáng)求

1-q1-q

解.

③S“=皿二g=』0"+人=%0_左(左手。，4力1)，S"為關(guān)于力的指數(shù)型函數(shù)，且系數(shù)與常數(shù)互

1—q-qq

為相反數(shù).

【診斷自測(cè)】若數(shù)列｛■是公比為q的等比數(shù)列，且Iog2%+log2%3=3,/4()=4,則夕的值為()

A.2B.4C.+2D.±4

【答案】A

【解析】數(shù)列｛4｝中，由log2a4+log2%3=3,知%>°，則

又log2aM3=3,于是%%3=23=8,而q%=4%()=4,

故選：A

知識(shí)點(diǎn)3：等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)等比中項(xiàng)的推廣.

若m+〃=p+q時(shí),則4“%=%與，特別地，當(dāng)根+〃=2p時(shí)，aman=ap.

(2)①設(shè)｛%｝為等比數(shù)列，則｛4q｝(4為非零常數(shù))，｛同｝,｛嘮｝仍為等比數(shù)歹人

②設(shè)｛4｝與｛b?｝為等比數(shù)