微專題27正方形

考點精講

構建知識體系

rdZ)

「邊

d平行四邊形殊化［正方形卜干電困——黑純

----------------K'J/flSXi

I對稱性

［四邊形卜

「邊

「概念［判定)——角

L中點四邊形一

I形狀I對角線

4?^

考點梳理

1.正方形的性質與判定(6年8考)

(1)定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形

(2)正方形的性質

邊四條邊都相等，對邊平行

角四個角都是直角

對角線相等且互相①_______;二

對角線

每一條對角線平分一組對角

Aa.D

既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有4條對稱軸，對

對稱性

稱中心是兩條②_______的交點

(3)正方形的判定

有一組鄰邊相等，并且有一個角是③_______的平行四邊形是正方形(定

邊義)；

有一組鄰邊④_______的矩形是正方形

角有一個角是⑤_______的菱形是正方形

對角線⑥_______的矩形是正方形；

對角線

對角線⑦_______的菱形是正方形；

對角線互相⑧_________的四邊形是正方形

2.正方形面積

面積計算公式：S="=于（Q表示邊長，/表示對角線長）

3.平行四邊形與四邊形、特殊四邊形之間的關系

4.中點四邊形

概念依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形

任意四對角線相等的對角線垂直的對角線垂直且

原圖形矩形菱形正方形

邊形四邊形四邊形相等的四邊形

中點四平行四

菱形矩形正方形菱形矩形正方形

邊形形狀邊形

【溫馨提示】連接任意四邊形各邊中點得到的四邊形面積是原圖形面積的一半

練考點

1.如圖，在正方形A5CZ）中，對角線AC與5。交于點0,且4vLE是

對角線4C上一點，連接5E.

第1題圖

（l）ZACB的度數為

(2)40的長為；

(3)正方形A5CZ)的周長為,面積為；

(4)若NA5E=15°,則5E的長為.

2.下列說法中，正確的是()

A.有一個角是直角的平行四邊形是正方形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

D.一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形

3.如圖，E,F,G,”分別是四邊形A5CD四條邊的中點，則四邊形及G”

定是.(填“平行四邊形”“矩形”“菱形”或“正方形”)

第3題圖

高頻考點

考點1與正方形有關的證明及計算(6年8考)

例1已知四邊形ABC。為正方形，邊長為4,點又為5。上一點，連接AM.

⑴如圖①，過點M分別作455C的垂線，垂足分別為E,F,求證：四邊形

5EM尸是正方形；

例1題圖①

(2)如圖②，若BM=3DM,求AM的長;

AD

BC

例1題圖②

(3)如圖③，連接AC交5。于點0,若AM平分NZMC,延長交。于點N,

例1題圖③

(4)如圖④，過點5作于點E,分別延長5EAM交A。于點下，交CD

于點N,連接。E,若N是CD的中點，求NDEN的度數.

例1題圖④

考點2中點四邊形

例2如圖，在四邊形45CD中，E,F,G,”分別是邊45,BC,CD,D4的

中點.請你添加一個條件，使四邊形MG”為菱形，應添加的條件是()

HD

A

G

例2題圖

A.AB=CDB.AC±BDC.CD^BCD.AC=BD

變式1（2024山西）在四邊形A5C。中，點石，F,G,4分別是邊A5,BC,CD,

DA的中點，EG,FH交于點O.若四邊形的對角線相等，則線段EG與尸”

一定滿足的關系為（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

真題及變式

命題點與正方形性質有關的計算（6年8考）

1.（2024廣東7題3分）完全相同的4個正方形面積之和是100,則正方形的邊長

是（）

A.2B.5C.10D.20

2.（2019廣東10題3分）如圖，正方形45。的邊長為4,延長。5至點石使也

=2,以防為邊在上方作正方形MG5,延長尸G交。。于點連接AM,AF,

”為4。的中點，連接下”分別與A5,AM交于點N,K.則下列結論：

①△ANHZ/kGNB②/AFN=/HFG；③FN=2NK；?S^AFN：S^ADM=1：4.

其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

第2題圖

變式

2.1變條件——增加線段DF

如圖，正方形A5CZ）的邊長為4,延長C5至點E使團=2,以防為邊在上方

作正方形及‘G5,連接。尸，”是。尸的中點，連接5“，則5”的長為.

3.（2023廣東15題3分）邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的

底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為.

變式

3.1變條件一一增加線段改變陰影區域的位置

如圖，邊長分別為5,3,2的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上,

圖中陰影部分的面積分別為Si，S2,則令的值為.

新考法

4.［數學文化］（人教八下習題改編）2002年8月在北京召開的國際數學家大會會徽

取材于我國古代數學家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正

方形拼成的大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13,小正方形的面積為

1,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,那么（a+6）2的值為（）

第4題圖

A.13B.19C.25D.169

考點精講

①垂直平分②對角線③直角(90°)④相等

⑤直角(90。)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等

練考點

1.(1)45°；(2)272；(3)16,16；(4)竽

2.C

3.平行四邊形

高頻考點

例1(1)證明：???四邊形A5CD是正方形，

AZABC=90°,ZABD=ZCBD=45°.

\'ME±AB,MF±BC,

，四邊形5EM尸是矩形.

VZABD=45°,ZMEB=90°,

：.ZEBM=ZEMB=45°,

：.BE=EM,

，四邊形5EM尸是正方形；

(2)解：如解圖①，連接4C交于點O,

?.?四邊形A5CD是正方形，

：.AC=BD,AC±BD,OA=OD.

'：正方形ABCD的邊長為4,

Z.OA=OD=—AD=2V2.

2

9：BM=3DM,

???點〃是0。的中點，

：.OM=V2,

在RtAAOM中，

由勾股定理得OA2+OM2=V10；

例1解圖①

(3)解：如解圖②，過點N作NGL4C于點G,

例1題解圖②

???四邊形A5C。是正方形，

：.ZDAC=45°,

YAM平分ND4C,

：.DN=GN.

設DN=x,則GN=x,CN=4—x.

VZNCG=45°,

△NGC是等腰直角三角形，

：.CN=^2CG,即4—%=缶，解得％=4四一4,

(4)解：如解圖③，過點。作。G_L。石交⑷V的延長線于點G,

'：BF±AN,

：.ZABF+ZAFB=ZDAN+ZAFB=90°,即N45方=NZWV.

X'.'AB=DA,ZBAF=ZADN=90°,

:.bABF”8DAN,

：.AF=DN,ZAFB=ZDNA,

：.ZDFE=ZDNG.

是。。的中點，

11

：.DN=-CD=-AD=AF,

22

，尸為A。的中點，

:.DF=DN.

'：DE±DG,

：.ZEDF+/EDN=ZGDN+ZEDN,即ZEDF=ZGDN,

：.ADEFmADGN,

:.DE=DG,

。石G是等腰直角三角形，

.,.ND硒的度數為45。.

R

例1題解圖③

例2D【解析】應添加的條件是F,G,H分別為AB,BC,

CD,的中點，且AC=BD,：.EH=-BD,FG=-BD,HG=-AC,EF=-AC,

2222

:.EH=HG=GF=EF,則四邊形EFGH為菱形.

變式1A【解析】二?在四邊形A5CD中，點E,F,G,"分別是邊AbBC,

CD,D4的中點，如解圖，連接歷，FG,GH,EH,BD,AC,：.EF=^AC,FG

=涉），GH=^AC,即二舞）.,四邊形A5CZ）的對角線相等，即4。二助，.?.￡：/

=FG=G”=E"，.?.四邊形"弓”為菱形，.'.EG與尸”互相垂直平分.

真題及變式

1.B【解析】由題意得每個正方形的面積為100+4=25,...正方形的邊長為

5.

2.C【解析】?.?四邊形石尸G5是正方形，仍=2,.?.尸G=5E=2,ZFGB=90°,

;四邊形A5C。是正方形，”為4。的中點，：.AD=4,AH=2,ZfiAD=90°,

Z.ZHAN=ZFGN,AH=FG,"：ZANH=ZGNF,:.kANH"△GNF(bAS),

故①正確；:./AHN=/HFG,，：AG=FG=2=AH,：.AF=V2FG=V2AH,

：./AFH于/AHF,'：AD//FG,：.ZAHF=ZHFG,：.ZAFN^ZHFG,故②

錯誤；V△ANH^AGNF,：.AN=-AG=1,\"GM=BC^4,：.—=—=!,

VZHAN=ZAGM=90°,：.AAHN^AGMA,：.ZAHN=ZAMG,ZMAG=

ZHNA,：.AK=NK,\"AD//GM,：.ZHAK=ZAMG,：.ZAHK=ZHAK,：.AK

=HK,：.AK=HK=NK,?:FN=HN,：.FN=2NK；故③正確；易知四邊形4DMG

是矩形，***DM=AG=2.?,:S>AFN=3AN,bG=^X1X2=l,5AADM=~AD-DM=

|X4X2=4,：.S^AFN：S^ADM=1：4,故④正確，.?.選C.

變式2.1V10【解析】如解圖，連接5。，BF,在正方形A5C。和正方形MG5

中，ZABD=ZGBF=45°,：.ZDBF=90°.由題意，得EB=2,BC=4,：.BF

=V2EB=2V2,5D=V2fiC=4V2,在Ra下中，由勾股定理，得DF=

JBF2+BD2=2VIO,又?.?”是。下的中點，:.BH=WDF=再.

AD

變式2.1題解圖

3.15【解析】如解圖，?.,四邊形A5CZ),ECGF,/G”K均為正方形，

AD=1Q,CE=FG=CG=EF=6,ZCEF=ZF=90°,GH=IK=4,：.CH=CG

+GH=W,：.CH=AD,VZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

.*.△ADJ^AHCJ(AAS),：.CJ=DJ=5,：.EJ=1,,：GL//CJ,：.AHGL^AHCJ,

：：：陰影梯形

CJCH5.GL=2,.FL=4,.S=S=1，(E7+F￡)-EF=，-X(1+4)X6

=15.

10D

第3題解圖

變式3.1卷【解析】如解圖，設A"分別交CD,FG,BM于息K,I,L,BM

分別交C。，尸G于點尸，Q,AH=m,