4.5相似三角形

一、與相似三角形有關(guān)的證明與計(jì)算

1.(2020安徽中考第8題)如圖，RtAABC中，ZC=90°，點(diǎn)。在AC上，4DBC=4A.^AC=4,cosA=

則BD的長(zhǎng)度為()

2.(2021安徽中考第23題)如圖1,在四邊形ABC。中，乙4BC=ABCD,點(diǎn)E在邊8c上，S.AE//CD,

DE//AB,作CF//4D交線段AE于點(diǎn)R連接8足

(1)求證：AABF=AEAD；

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,乙ECF=4AED,求BE的長(zhǎng)；

(3)如圖3,若的延長(zhǎng)線經(jīng)過的中點(diǎn)求整的值.

3.(2019安徽中考真第23題)如圖,RtHABC中,0ACB=9O",AC=BC,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

ZAPB=ZBPC=135°

(1)求證：APABsaPBC

(2)求證：PA=2PC

(3)若點(diǎn)P到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為hi,h2,h3,求證hi2=h)h3

p

4.（2015安徽?中考第23題）如圖1,在四邊形ABC。中，點(diǎn)￡、尸分別是48、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作A3

的垂線，過點(diǎn)/作CO的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG、BG、CG、DG,且/AG￡>=N8GC,

(1)求證：AD=BC；

(2)求證：AAGDS^EGF；

An

(3)如圖2,若A。、BC所在直線互相垂直，求義的值.

EF

G

D

EB

圖2

圖1

5.（2017安徽中考第23題）已知正方形點(diǎn)M為邊A8的中點(diǎn).

⑴如圖1,點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且NAG2=90°,延長(zhǎng)AG,BG分別與邊BC,CD交于點(diǎn)E,F.

①求證:BE=C/;

②求證:BE2=BCCE.

（2）如圖2,在邊BC上取一點(diǎn)瓦滿足BE2=BCCE,連接AE交CM于點(diǎn)G,連接BG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)尸,

求tanNCBP的值.

6.（2024安徽中考第22題）如圖1,YABCD的對(duì)角線AC與3。交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC

上，且AM=C7V.點(diǎn)E,尸分別是與⑷V,CM的交點(diǎn).

（1）求證：OE=OF；

（2）連接交AC于點(diǎn)X,連接HE,HF.

(i)如圖2,若HE〃AB，求證：HF//AD;

AT

（ii）如圖3,若YABCD為菱形，且MD=2A",ZEHF=60°,求一的值.

BD

7.（2023安徽中考第22題）在RtaABC中，〃是斜邊A3的中點(diǎn)，將線段M4繞點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn)至ME?位置，點(diǎn)

。在直線A3外，連接A￡>,8￡>.

圖1圖2圖3

（D如圖1,求NADB的大小;

（2）已知點(diǎn)。和邊AC上的點(diǎn)E滿足被，AO,〃AS.

（i）如圖2,連接8,求證：BD=CD；

(ii)如圖3,連接BE,若AC=8,8C=6,求tan/ABE的值.

參考答案與解析

一、與相似三角形有關(guān)證明計(jì)算

1.（2020安徽中考第8題）如圖，RtAABC中，ZC=90°，點(diǎn)。在AC上，4DBC=4A.^AC=4,cosA=

則BD的長(zhǎng)度為（）

9121S

A.￡B.-C.D.4

【答案】C

【詳解】VZC=90°,.\cosX-—,

AB

4

VAC=4,cosA=???AB=5,

根據(jù)勾股定理可得BC=VXB2-"2=3,

4

Z-DBC=z>l,cosZDBC=cosA=-,

?/____BC4pr-t34.___15

?.cosNDBC=—=—,即—=—,?.BD=一,

BD5BD54

故選：c.

2.(2021安徽中考第23題)如圖1,在四邊形ABC。中，4ABC=4BCD,點(diǎn)E在邊BC上，5.AE//CD,

DE"AB,作CF〃2D交線段AE于點(diǎn)R連接8足

(1)求證：4ABF^^EAD；

(2)如圖2,若4B=9,CD=5,Z.ECF=^AED,求BE的長(zhǎng)；

⑶如圖3,若BF的延長(zhǎng)線經(jīng)過A。的中點(diǎn)“求整的值.

EC

AAA

Ax;

注

BECBECBEC

圖1圖2S]3

【答案】(1)見解析；(2)6；(3)1+V2

【詳解】(1)證明：???AE//CD,/-AEB=ZDCF；

DE//AB(ABE=Z.DEC,=乙2,

vZ.ABC=乙BCD,???Z-ABE=Z-AEB,乙DCE=Z-DEC,，AB—AE,DE=DC,

vAF//CD,ZD//CF,???四邊形AFCO是平行四邊形

：?AF=CD,AF=DE

AB=EA

在△ZBF與中,Z1=Z2,

AF=ED

??.△ABF=△EAD(SAS)

(2)???4ABF三AEAD,ABF=AD,

在口4"0中，=CF,???BF=CF,???Z-FBC=Z-FCB,

又「Z-FCB=z2,z.2=z.1,???乙FBC=z.1,

f乙EBF=Z1

在△EBF與△EZB中,

IzBEF=^AEB

LCLLACEBEF

???△EBFEAB,—=—；

EAEB

??,AB=9,???AE=9；CD=5,AAF=5；

4

???ELFL=4A,E—B

9EB‘

???BE=6或一6(舍)；

(3)延長(zhǎng)3M、ED交于點(diǎn)G.

???△ABE^t^DCE均為等腰三角形，^ABC=乙DCE,

ADAE_BE

?,△ABEfDCE,A—

DCDE-CE'

設(shè)CE=1,BE=x,DC=DE=a,

則=AE=ax,AF=CD=a,EF=a(%—1),

AB//DG,z3=zG；

△3=NG

在△M/B與^MOG中，z4=z5,

MA=MD

/.△MAB三△M0G(44S)；

DG=AB=ax,???EG=a(%+1)；

???AB//EG..??△FAB八FEG,

FA_AB.a_ax

??尸E—EG'??a(x-l)-a(%+l)'

:.x(x—1)=X+1,

???x2—2%—1=0,

(%—l)2=2,.,-%=1+V2,

???xr=1—V2(舍)，x2=1+V2,

BE.nz

?*?—=1+v2.

EC

3.(2019安徽中考真第23題)如圖，Rt團(tuán)ABC中，0ACB=9O°,AC=BC,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

ZAPB=ZBPC=135°

(1)求證：△PAB^APBC

(2)求證：PA=2PC

(3)若點(diǎn)P到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為hi,h2,h3,求證h/=h2-h3

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【詳解】解：⑴VZACB=90o,AC=BC,

ZABC=45°=ZPBA+ZPBC

又NAPB=135。，

.-.ZPAB+ZPBA=45°,

/.ZPBC=ZPAB,

又；NAPB=/BPC=135。，

/?△PAB^APBC；

（2）VAPAB^APBC,

?,PB-PC-BC，

在R3ABC中，AC=BC,

BC，

.,.PB=V2PC,PA=V2PB

.\PA=2PC；

（3）

過點(diǎn)P作PDLBC,PELAC交BC、AC于點(diǎn)D,E,

?/ZCPB+ZAPB=135°+135°=27O°,

ZAPC=90°,AZEAP+ZACP=90°,

又；ZACB=ZACP+ZPCD=90°

；.NEAP=/PCD,

.,.RtAAEP^RtACDP,

==2,

''?DPPC即，=2，.*.h3=2h2

VAPAB^APBC,

???獸="=魚，h1=V2h2

02BC

22

BPh1=2h2=2h2,h2=h2h3.

4.(2015安徽?中考第23題)如圖1,在四邊形A3C。中，點(diǎn)E、尸分別是AB、C。的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作A3

的垂線，過點(diǎn)/作的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G,連接AG、BG、CG、DG,且/AGO=N8GC,

(1)求證：AD=BC；

(2)求證：AAGDsAEGF；

4D

(3)如圖2,若A。、BC所在直線互相垂直，求不二的值.

圖1

【答案】⑴見解析；⑵見解析；(3)￡=&.

EF

【詳解】(1)證明：E為AB的中點(diǎn)，

GA=GB.

同理，GD=GC.

,*,Z.AGD=Z-BGC9

?,?易證△AGDBGC,

:.AD=BC.

(2)證明：???/-AGD=乙BGC,

Z.AGB=Z.DGC.

vGA=GB,G0=GC,點(diǎn)點(diǎn)尸分別是A3、8的中點(diǎn),

11

???Z.AGE=-/LAGB,乙DGF=~DGC,Z.GAE=乙GDF.

22

???Z-AGE=Z-DGF.

?,?易證△AGEDGF,

,易證△4G。?AEGF.

（3）方法1：如圖所示，延長(zhǎng)AZ）和BC,相交于點(diǎn)與2G相交于點(diǎn)M.

■AD,BC所在的直線互相垂直，AH1BH.

**?Z-DAG=Z-CBG.

???乙4MG=Z-BMH.

???乙AGM=乙BHM=90°.

在等腰直角三角形GAB中，/.AGE=45°.

由（2）的結(jié)論：AAGD-AEGF,可得竺=竺=a.

EFEG

方法2：如圖所示，連接對(duì)角線AC,取AC的中點(diǎn)X,連接￡8,FH.

”、H、E分別是CO,AC,AB中點(diǎn)，

.,?/田是AaDC的中位線，E8是△ABC的中位線,

11

C.HFUAD,HF=-ADHE//BC,HE=-BC.

22f

-AD.BC所在的直線互相垂直，

/.乙FHE=90°.

???AD=BC,

???HE=HF,

在等腰直角三角形"E尸中，警=夸，

EF2

方法3如圖所示，過點(diǎn)4作4知///巾，使AM=OC,連接MB,MC,過點(diǎn)E作EN//AM,交BM于點(diǎn)、N,連

接NC,則四邊形AMCD為平行四邊形.

：.AD//MC,AD=MC,ENIIAM!ICD.

為AB中點(diǎn),

：.N為BM中點(diǎn)、,

EN=-AM=-DC=FC,

22

???四邊形ENCF為平行四邊形,

???EF=CN.

■AD,2C所在的直線互相垂直,

???MC1BC,

CMB是等腰直角三角形,

冷夜，C=V2.

5.(2017安徽中考第23題)已知正方形A8C2點(diǎn)M為邊的中點(diǎn).

⑴如圖1,點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn)，且NAG8=90°,延長(zhǎng)AG,8G分別與邊BC,CD交于點(diǎn)E,F.

?^.Tj￡:BE=CF;

②求證序=BCCE

圖1圖2

(2)如圖2,在邊BC上取一點(diǎn)E,滿足BE2-GCE,連接AE交CM于點(diǎn)G,連接BG并延長(zhǎng)交C。于點(diǎn)R

求tan/CB/的值.

【答案】（1）詳見解析；（2）tanZCBF=

【詳解】（1）①［四邊形A3CO是正方形，

?：AB=BC,NABC=NBCF=90°,

.'.ZABG^ZCBF=90°,

VZAGB=90°,

ZZABG+ZBAG=90°,

???/BAG=/CBF

：9AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

?MABEQbBCF,

?：BE=CF.

②：?NAGB=90°,點(diǎn)”為A3的中點(diǎn)，

.'.MG=MA=MB,

/.ZGAM=ZAGM,

又：VCGE=ZAGM,ZGAM=ZCBG,

?：NCGE=NCBG,

又NECG=/GCB,

?：2CGEsACBG,

=—,gpCG=BC?CE.

CGCB

：*ZCFG=ZGBM=ZBGM=ZCGF,.,.CF=CG,

由①知BE=CF,

.".BE=CG,/.BE2=BCCE.

⑵延長(zhǎng)AE,OC交于點(diǎn)N,

「四邊形ABC。是正方形，

.".AB//CD,.,.ZN=ZEAB,

又'."ZCEN=ZBEA,

；.4CENSABEA,烏=—,BPBECN=ABCE.

BEAB

???AB=BC,BE?=BCCE,?：CN=BE,

CG_CF

7

VAB//DN,.\—AH/f=GM-MB'

TAM=MB,???CF=CN=BE.

不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為l,BE=x,

由班；2=3℃及可得f=1.（1㈤，

解得為二3之刀2=當(dāng)々舍）,BEV5-1

BC2

mil+CFBEV5-1

貝UtanZCBF=—=—=----.

BCBC2

6.（2024安徽中考第22題）如圖1,YABCD的對(duì)角線AC與3￡）交于點(diǎn)。，點(diǎn)M，N分別在邊AD,BC

上，且W=CN.點(diǎn)E,F分別是與AN,CM的交點(diǎn).

(1)求證：OE=OF；

（2）連接交AC于點(diǎn)”，連接HE,HF.

(i)如圖2,若HE〃AB,求證：HF//AD；

AT

(ii)如圖3,若YABCD為菱形，且A4D=2AM,ZEHF=60°,求——的值.

BD

【答案】（1）見詳解（2）（i）見詳解，（ii）2叵

5

【小問1詳解】

證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD//BC,OA=OC,

：.AM//CN,

又?：AM=CN,

...四邊形AMCN是平行四邊形，

：.AN//CM,

VZOAE=ZOCF.

在“。石與一。。「中，

ZOAE=ZOCF

<OA=OC

ZAOE=ZCOF

：..AOEWCOF(ASA).

：.OE=OF.

【小問2詳解】

(i)'：HE//AB

.OHOE

??一，

OAOB

又OB=OD.OE=OF,

,OHOF

??一,

OAOD

,：ZHOF=ZAOD,

：.HOFAOD,

：.ZOHF=ZOAD,

HF//AD

(ii)???ABC。是菱形，

???ACLBD,

又OE=OF,ZEHF=60°,

；?ZEHO=NFHO=30°,

OH=y/3OE，

?/AM//BC.MD=2AM,

.AHAM1

??-----——,

HCBC3

即〃C=3AH,

：.OA+AH=3(OA-OH),

：.OA=2OH,

VBN//AD,MD=2AM，AM=CN,

,BEBN2

"ED~AD~3'

即3BE=2ED,

/.3（OB-OE）=2（OB+OE）

，OB=5OE,

故AC。420H2X60E26

"BD~OB~5OE—5OE—5

7.(2023安徽中考第22題)在Rt^ABC中，〃是斜邊A3的中點(diǎn)，將線段M4繞點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn)至切)位置，點(diǎn)

。在直線A3外，連接仞,網(wǎng)》.

圖1圖3

(1)如圖1,求上4DB的大小；

(2)已知點(diǎn)D和邊AC上的點(diǎn)E滿足被，AD,DE//AB.

(i)如圖2,連接8,求證：BD=CD；

(ii)如圖3,連接BE,若AC=8,BC=6,求tan/ABE的值.

【詳解】（1）解：VMX=MD=MB,C./.MAD=/.MDA.^MBD=乙MDB,

在乙ABD中，Z.MAD+4MDA+乙MBD+ZM￡）B=18O°

.^ADB