拔高點突破04新情景、新定義下的立體幾何問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................2

題型一：曲率問題...............................................................2

題型二：斜坐標系與定義新運算...................................................3

題型三：定義新概念.............................................................4

題型四：空間平面方程與直線方程.................................................5

題型五：三面角問題.............................................................6

題型六：數學文化...............................................................8

03過關測試....................................................................10

亡法牯自與.柒年

//\\

面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結合。明確

解題目標后，靈活運用基本定理和性質，如平行、垂直的判定與性質，以及空間角、距離的計算公式。在

解題過程中，合理構造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關系，簡化問題。對于復雜問題，可嘗試建立空間

直角坐標系，利用向量法進行計算和證明。同時，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉化

求解對象。最后，解題后要進行驗證和反思，確保結論的正確性，并總結所使用的方法和技巧，以便在未

來遇到類似問題時能夠迅速應對。

題型一：曲率問題

【典例1-1]（2024?黑龍江大慶?模擬預測）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，

在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多

面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率

等于該多面體各項點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是所以正四面體

7r

在每個頂點的曲率為如-3x§=7t,故其總曲率為4兀.已知多面體的頂點數匕棱數E,面數尸滿足

【典例1-2】閱讀數學材料：“設尸為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點尸處的離散曲率為

1一尸Q+NQPQ+NQ尸2+aP。），其中2。=1，2，，k,左23）為多面體/

的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q/Q,平面QP2，…，平面。1尸以和平面&尸。為多面體〃的所

有以尸為公共點的面已知在直四棱柱ABC。-ABG2中，底面A3。為菱形(角的運算均采

用弧度制)

(1)若AC=%>,求四棱柱ABCD-4瓦￡2在頂點A處的離散曲率；

(2)若四棱柱ABC。-A4G2在頂點A處的離散曲率為:，求BC］與平面ACQ的夾角的正弦值；

、.7

⑶截取四面體4-A3。，若該四面體在點4處的離散曲率為五，AG與平面4友)交于點G,證明：

AG_1

而I

【變式1-1】設尸為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點尸處的離散曲率為

l-^-(ZQlPQ^+ZQ2PQ3++ZQklPQk+ZQkPQl),其中。，(z=l,2,k,k>3)為多面體M的所

271

有與點尸相鄰的頂點，且平面。|尸。2,平面。2尸。3，…，平面以T尸以和平面以尸。為多面體M的所有以尸

為公共點的面.已知在直四棱柱ABC。-ABG2中，底面ABCD為菱形，且A4,=AB=1.

(1)求直四棱柱ABC。-AACR在各個頂點的離散曲率之和；

(2)若直四棱柱ABC。-4汨2在點A處的離散曲率為無，直四棱柱ABCD-AB^D,體積為,求函數

y=〃”的解析式及單調區間.

題型二：斜坐標系與定義新運算

【典例2-1］(多選題)設。尤,Oy,Oz是空間中兩兩夾角均為的三條數軸，與e；,e；分別是與

x，y，z軸正方向同向的單位向量，若。尸=彳4+”;2+zq(x,y,zeR),則把有序數對(x,y,z)@叫作向量0尸在

坐標系。孫z中的坐標，則下列結論正確的是()

A.若向量4=(—1,3,—7%,向量4=(3,—2,4%,則￡+1=(2,1,3%

B.若向量0=(2,6,-3%,向量6=(3,-1,0%,貝|］心6=0

22

TT

c.若向量a=(x,y,O)〃向量b=(l,2,0%,則當且僅當x：>=1：2時，0=-

o

D.若向量°A=(1，°，°)E，向量°3=(°，1，%,向量℃=(°，°，%,則二面角O-AB-C的余弦值為:

3333

【典例2-2】(2024?高三?上海徐匯?期末)已知。=(%,%,4),5=(x2,y?,z2),c=(x3,y3,z3),定義一

種運算：(。、6>。=無[乃23+尤2%Z1+X3ylz2-XJ3Z2-尤2ylz3-尤3%Z1,已知四棱錐尸一ABCD中，底面ABCD

是一個平行四邊形，AB=(2,-1,4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,1)

(1)試計算(ABxAD).AP的絕對值的值，并求證PA_L面ABC。；

(2)求四棱錐P-ABCD的體積，說明(ABxADAAP的絕對值的值與四棱錐尸-ABCD體積的關系，并由

此猜想向量這一運算(ABxADYAP的絕對值的幾何意義.

【變式2-1］已知a=a，M，zJ,b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定義一種運算：

(ax6).c=X1%Z3+%為4+x3yxz2-xxy3z2-x2ytz3-x3y2z},在平行六面體ABCD-AqGR中，AB=(1,1,0),

AZ)=(0,2,2),知=(1,-1,1).

(1)證明：平行六面體ABCD-A與GR是直四棱柱；

(2)計算|(ABXAD)-AA|,并求該平行六面體的體積，說明|(ABXAO).AA|的值與平行六面體

ABCD-ASGR體積的關系.

題型三：定義新概念

【典例3-1](2024?全國?模擬預測)若干個能確定一個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本

量”.已知長方體A8CZ)-A瓦GQ,下列四組量中，一定能成為該長方體的“基本量”的是()

A.AB】,AC,Aj的長度

B.AC,B.D,的長度

C.gC,\D,BR的長度

D.AC,,BD,CG的長度

【典例3-2】(2024?河南?二模)等腰四面體是一種特殊的三棱錐，它的三組對棱分別相等.已知一個長方

體的體積為12,則用長方體其中的四個頂點構成的等腰四面體的體積為（）

A.3B.4C.6D.8

【變式3-1]（2024?青海?模擬預測）如圖，在正方體ABC。-A4Goi中，￡,F,M,N,G,"分

別為棱AB,BC,AD,CD,A耳，GA的中點，。為?！钡闹悬c，連接E”,FG.對于空間任意兩點

I,J,若線段〃上不存在也在線段石〃，萬G上的點，則稱/,J兩點“可視”，則與點與“可視”的點為

C.MD.N

【變式3-2]（2024?安徽合肥?三模）幾何中常用表示圖的測度，當乙為曲線、平面圖形和空間幾何體時,

|4分別對應其長度、面積和體積.在VABC中,AS=3,BC=4,AC=5,0為VA5C內部一動點（含邊

界），在空間中，到點尸的距離為1的點的軌跡為L,則國等于（)

c22乃,C.爭+12立各12

A.6萬+12B.-----+6

3

題型四：空間平面方程與直線方程

【典例4-1】（1）在空間直角坐標系中，已知平面&的法向量&=（。,及c）（必cwO）,且平面a經過點

用（%,%,z。）,設點P（尤,y,z）是平面內a任意一點.求證：a（x-/）+b（y-y0）+c（z-z0）=0.

（2）我們稱（1）中結論a（x-x（））+）（y-%）+c（z-Zo）=。為平面a的點法式方程，若平面a過點

（2,-1,4）,M2（-l,3,-2）,M3（0,2,3）,求平面a的點法式方程.

【典例4-2】空間直角坐標系。-孫z中，經過點P（%,%,Zo）,且法向量為加=（A,3,C）的平面方程為

A（x-xo）+fi（_y-yo）+C（z-zo）=O,經過點尸（%,為?）且一個方向向量為〃=（〃,。,0）（〃口070）的直線/

的方程為三七=匕應=三為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現給出平面a的方程為

piVCO

3x-5y+z-7=0,經過（0,0,0）的直線/的方程為g,則直線/與平面。所成角的正弦值為（）

AVioRViorVionV5

A.-------B.-------C.-------U.

103557

【變式4-1］三個“臭皮匠”在閱讀一本材料時發現原來空間直線與平面也有方程.即過點P（%,%,z°）且一

個法向量為〃=（。力,c）的平面”的方程為a（x-Xo）+Ny-%）+c（z-Zo）=。，過點P（為,為/。）且方向向量為

尸（加祖）（相加NO）的直線/的方程為三”三個“臭皮匠”利用這一結論編了一道題：“已

知平面a的方程為x-y+z+l=0,直線/是兩個平面x-y+2=0與2x-z+l=0的交線，則直線/與平面a所

成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了.誰知“諸葛亮”很快就算出了答案.請問答案

是—.

【變式4-2］在空間直角坐標系中，定義：平面a的一般方程為

品+為+。2+。=0（4,8,。,￡>€民42+32+。270）,點p（M，yo，Zo）到平面a的距離

I+By+Cz°+D\

d」/,n,,，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心。到側面的距離等于—.

VA2+B2+C2

題型五：三面角問題

【典例5-1】類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1,由射線E4,PB,

PC構成的三面角「一ABC,ZAPC=a,NBPC=/3,ZAPB=y,二面角A-PC—3的大小為夕，貝ij

cosy=cosacos￡+sinasin/3cos0.

（1）當a、/時，證明以上三面角余弦定理;

（2）如圖2,平行六面體ABCO-ABC2中，平面44CCL平面A5C。，幺47=60。，4c=45。,

①求NAAB的余弦值；

②在直線CG上是否存在點P，使3尸〃平面D4tG?若存在，求出點P的位置；若不存在，說明理由.

【典例5-21類比思想在數學中極為重要，例如類比于二維平面內的余弦定理，有三維空間中的三面角余

弦定理：如圖1,由射線上4,PB,尸C構成的三面角P-ABC,記/APC=a,^BPC=p,NAPB=y,

二面角A—PC—3的大小為e,則cos/=cosacos￡+sinesin尸cos。.如圖2,四棱柱ABC￡>-44Cq中,

ABCD為菱形，ZR4D=60°,AA±=2V3,AB=2,且A點在底面ABC。內的射影為AC的中點。.

⑴求cos/AAB的值；

TT7T

(2)直線AA與平面ABC。內任意一條直線夾角為。，證明：

(3)過點8作平面〃，使平面〃〃平面AG。，且與直線CG相交于點P,若C』=4GC,求幾值.

【變式5-1](2024?高三?河北?期末)由空間一點。出發不共面的三條射線。4,OB,OC及相鄰兩射

線所在平面構成的幾何圖形叫三面角，記為O-ABC.其中0叫做三面角的頂點，面AO3,BOC,COA

叫做三面角的面，ZAOB,ZBOC,NAOC叫做三面角的三個面角，分別記為夕，Y,二面角

A-OB-C,B-OA-C,A-OC-3叫做三面角的二面角，設二面角A-OC-3的平面角大小為x,則一

定成立的是()

COS6T-COS^COS/cosa+COS尸cos/

A.cosx=----------------------B.cosx二--------------

sin6sin/sin/?siny

sin6z-sin^sinysin6z+sin/?sin/

C.cosx=--------------------D.cosx=--------------------

cos尸cos/cos/?cos/

題型六：數學文化

【典例6-1】我國南北朝時期的著名數學家祖瞄原提出了祖眶原理：“幕勢既同，則積不容異.”意思是，夾

在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這

兩個幾何體的體積相等.運用祖晅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，

與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底

面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個

1117

截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即萬％=7R2.R-］萬氏5/=§》&.現將橢圓

22

土+匕=1繞y軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運用祖啪原理可求得其體積

49

圖1圖2圖3

A.32兀B.24萬C.18〃D.16%

【典例6-2】胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國作家約翰?泰勒孫/”,1781-1846）在其

《大金字塔》一書中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時利用黃金比例［上］5“L618,泰勒還引用了古

希臘歷史學家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個側面的面積都等于金字塔高的平方.如圖，若/=改,

則由勾股定理，as^s2-a2,ipf-T---l=O,因此可求得士為黃金數，已知四棱錐底面是邊長約為856

\nJaa

英尺的正方形（2。=856）,頂點P的投影在底面中心0,H為3C中點，根據以上信息，P”的長度（單位:

英尺）約為（）.

p

A.611.6B.481.4C.692.5D.512.4

【變式6-1］球面三角學是球面幾何學的一部分，主要研究球面多邊形（特別是三角形）的角、邊、面積等問題,

其在航海、航空、衛星定位等方面都有廣泛的應用.定義：球的直徑的兩個端點稱為球的一對對徑點；過球心

的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點A,B,C,過任意兩點的大圓

上的劣弧A3，BC，C4所組成的圖形稱為球面VA5C,記其面積為%面9BC.易知：球的任意兩個大圓均

可交于一對對徑點，如圖1的A和A；若球面上A,B,C的對徑點分別為A,e，C,則球面AB'C

與球面VABC全等.如圖2,己知球。的半徑為R,圓弧和AC所在平面交成的銳二面角3-AO-C的大

小為a,圓弧BA和BC所在平面、圓弧CA和所在平面交成的銳二面角的大小分別為夕，7.記

7171

(1)請寫出S(i),S,S的值，并猜測函數5（a）的表達式;

(2)求S球面a.(用a,p,y,R表示).

【變式6-2】球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖，球。的半徑為R.A、B、C

為球面上三點，劣弧BC的弧長記為。，設表示以。為圓心，且過3、C的圓，同理，圓。3,2的劣弧

AC、AB的弧長分別記為6,c,曲面48c（陰影部分）叫做球面三角形.若設二面角

C-OA-B,A-OB-C,B-OC-A^\^ja,p,y,則球面三角形的面積為S球面.弱0=（/+,+7一冷尺？.

（1）若平面。48、平面。AC、平面03c兩兩垂直，求球面三角形A8C的面積；

（2）若平面三角形A8C為直角三角形，AC±BC,設NAOC=%NBOC=a，/AOB=%.貝I：

①求證：COS0J+COS02-COS03=1；

②延長AO與球。交于點。，若直線ZM,DC與平面ABC所成的角分別為:5，BE=2BD,2e（O,l],S

為AC中點，T為BC中點，設平面OBC與平面EST的夾角為仇求sin8的最小值，及此時平面AEC截球

。的面積.

0

過關測試

1.設4、P八…、匕為平面a內的〃個點，在平面。內的所有點中，若點尸到片、P2...匕點的距離

之和最小，則稱點尸為片、2.........2點的一個“中位點”，有下列命題：①A、B、C三個點共線，C在

線段A3上，則C是A、B、C的中位點；②直角三角形斜邊的中點是該直線三角形三個頂點的中位點；

③若四個點A、8、C、。共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的

唯一中位點；其中的真命題是（）

A.②④B.①②C.①④D.①③④

2.（多選題）（2024?江西?三模）球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科.如圖，球。

的半徑為R,A,B,C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為。，設Q表示以。為圓心，且過8,C的圓，

同理，圓0”。0的劣弧AC,48的弧長分別記為瓦c,曲面ABC（陰影部分）叫做曲面三角形，a=b=c,

則稱其為曲面等邊三角形，線段OB,OC與曲面VABC圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球

面。―ABC.設Z8OC=cr,NAOC=",NAaB=7,則下列結論正確的是（）

A.若平面VABC是面積為且火2的等邊三角形，則，=〃=。=K

4

B.a2+b2=c2,貝!J/+尸2=,2

C.若a=b=c=3R,則球面O—ABC的體積v＞正R3

312

JT

D.若平面VABC為直角三角形，MZACB=p則/+加=/

3.（多選題）設尸為多面體/的一個頂點，定義多面體/在點尸處的離散曲率為

1一;（NQPQ2+NQ，P03++NQJ尸以+NQ/Q），其中Q,（i=l，2,一.,左次23）為多面體〃的所有與點

271

尸相鄰的頂點，且平面QZ2,平面&尸0，，平面以一,2和平面以尸2為多面體/的所有以尸為公共

點的面.已知在直四棱柱ABC。-A4CB中，四邊形ABC。為菱形，AAl=AB,則下列說法正確的是（）

A.四棱柱ABCD-AACR在其各頂點處的離散曲率都相等

B.若AC=3D,則四棱柱在頂點A處的離散曲率為:

7

c.若四面體AA5O在點4處的離散曲率為F，則AG，平面A3。

D.若四棱柱4BCD-A瓦G2在頂點A處的離散曲率為g,則直線BG與平面ACC1所成的角的正弦值

為叵

4

4.（多選題）所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫作擬柱體，擬柱體的側面是三角形、梯形或平行四

邊形，其體積是將上下底面面積、中截面（與上下底面距離相等的截面）面積的4倍都相加再乘以高（上下底

面的距離）的），在擬柱體A4G2-482G中，平面4與GR〃平面A,B2C2,E,F,G,H分別是

0

44,3也,。6，〃4的中點，。為四邊形EFGHr內一點，設四邊形A8CR的面積Sr.482G的面積為§2,面

EFGH截得擬柱體的截面積為S,平面481GA與平面482a的距離為/?,下列說法中正確的有（）

A.直線4A與巴瓦是異面直線

B.四邊形4GB2G的面積是一員FG的面積的4倍

C.挖去四棱錐。-A用G2與三棱錐。-4約，2后，擬柱體剩余部分的體積為;2

D.擬柱體4耳C2-4B2c2的體積為:〃6+S2+S）

yvj

5.（多選題）如果一個凸〃面體共有機個面是直角三角形，那么我們稱這個凸〃面體的直度為一，則

n

（）

A.三棱錐的直度的最大值為1

B.直度為一的三棱錐只有一種

4

C.四棱錐的直度的最大值為1

4

D.四棱錐的直度的最大值為方

6.（多選題）（2024?安徽滁州?模擬預測）閱讀數學材料：“設尸為多面體M的一個頂點，定義多面體

M在點P處的離散曲率為1一二（/。1尸。2十/。2尸。3+…+/2/以+/4P。1），其中21=1,2,…兒上23）

為多面體M的所有與點尸相鄰的頂點，且平面平面2尸。3，…，平面Qi尸以和平面2尸2為多

面體”的所有以尸為公共點的面?”解答問題：已知在直四棱柱ABCD-中，底面ABC。為菱形，

AA=AB,則下列說法正確的是（）

A.四棱柱AG在其各頂點處的離散曲率都相等

B.若AC=3D,則四棱柱AG在頂點A處的離散曲率為:

C.若四面體AABD在點兒處的離散曲率為A，則平面45。

D.若四棱柱AG在頂點A處的離散曲率為則BG與平面ACG的夾角為1

7.（多選題）（2024?全國?模擬預測）設尸為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率

為i--J-（ze,pa+ZQ2PQ3+…+NQk-FQk+/QkPQj，其中Q（i=L2,…/發23）為多面體”的所有與點

P相鄰的頂點，且平面Q/2,平面&P03,…，平面尸以和平面QjQl為多面體M的所有以P為公共

點的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，AAI=AB,則下列結論正確的是（

A.直四棱柱A5CD-A瓦GR在其各頂點處的離散曲率都相等

B.若AC=9，則直四棱柱ABCD-A與G2在頂點A處的離散曲率為l

2

C.若AB=BD,則直四棱柱ABC。-A耳GR在頂點A處的離散曲率為：

7

D.若四面體AABD在點A處的離散曲率為石，則AG，平面48。

8.將（2〃+D（〃eN*）個棱長為1的正方體如圖放置，其中上層正方體下底面的頂點與下層正方體上底面棱

的中點重合.設最下方正方體的下底面A3CD的中心為0,過。的直線/與平面ABC。垂直，以0為頂點，/

為對稱軸的拋物線y=tu2(OVy?〃+l)可以被完全放入立體圖形中.若”=1,則。的最小值為；若。

有解，則〃的最大值為.

9.設P為多面體M的一個頂點，定義多面體〃在點尸處的離散曲率為:

1一4(/。尸3+/。,尸。3++NQk.FQk+NQkPQ)，其中2(i=i，2,…，k,k>3)為多面體〃的所

171

有與點p相鄰的頂點，且平面9尸&,平面。2尸。3,…，平面以-PQ*和平面以尸。1遍歷多面體/的所有

以尸為公共點的面.

(1)任取正四面體的一個頂點，在該點處的離散曲率為—；

(2)已知長方體ABCR-ABCD,AB=BC=1,44]=走，點P為底面A4GR內的一個動點，則四

2

棱錐尸一ABC。在點P處的離散曲率的最小值為.

10.(2024?高三?云南保山?期末)刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，在數學上用曲率刻畫空

間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲率等于27r與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內角叫做多

面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的

曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是三，所以正四面體在每個頂點的曲率為

27T-3x|=7I,故其總曲率為47r.根據曲率的定義，正方體在每個頂點的曲率為,四棱錐的總曲率

為.

11.18世紀英國數學家辛卜森運用定積分，推導出了現在中學數學教材中柱、錐、球、臺等幾何體Q的統

一體積公式卜=J〃(L+4M+N)(其中分別為。的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積)，

我們也稱為“萬能求積公式”.例如，已知球的半徑為R,可得該球的體積為

23

V=-x2/?(0+4x7t/?+0)=-7r7?;已知正四棱錐的底面邊長為。，高為/z,可得該正四棱錐的體積為

2

V=^xh0+4x^jj+a類似地，運用該公式求解下列問題:如圖，已知球。的表面積為36Tlem之，

若用距離球心。都為1cm的兩個平行平面去截球0,則夾在這兩個平行平面之間的幾何體。的體積為

12.設尸為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點尸處的離散曲率為

1（NQPQ?+ZQ2PQ3+ZQklPQk+N&PQJ,其中Q（i=1,2,?，左，左23,左eN）為多面體M的所有

與點尸相鄰的頂點，且平面2/Q，平面QPQ”…，平面Qi尸以和平面以尸。為多面體M的所有以「

為公共點的面.已知在直四棱柱4BCD-A再G2中，底面ABC。為菱形，AAi=AB.

①直四棱柱ABC。-在其各頂點處的離散曲率都相等；

②若AC=BD,則直四棱柱ABCD-在頂點A處的離散曲率為:；

③若AB=BD,則直四棱柱ABCD-A耳G2在頂點A處的離散曲率為1;

④若四面體\ABD在點A處的離散曲率為點，貝IJAG1平面\BD.

上述說法正確的有—（填寫序號）

13.（2024?江西南昌?三模）球面幾何學是幾何學的一個重要分支，在航海、航空、衛星定位等面都有

廣泛的應用，如圖，A,B,C是球面上不同的大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點，經過

這三個點中任意兩點的大圓的劣弧分別為由這三條劣弧圍成的圖形稱為球面VABC.已知地

球半徑為R,北極為點N,P,。是地球表面上的兩點若P,。在赤道上，且|尸。=同，則球面△NPQ的

面積為—；若NP=PQ=QN=^R,則球面△NPQ的面積為一.

14.北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內

容.用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多面體的

面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該

多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是:，所以正四面體在各頂

7T

點的曲率為271-3x1=71,故其總曲率為4兀，則四棱錐的總曲率為

15.（2024?山東日照?一模）若點M在平面。外，過點M作面a的垂線，則稱垂足N為點M在平面。

內的正投影，記為N=L（M）.如圖，在棱長為1的正方體A2CD-A5G2中，記平面ABC。為夕，平面

ABCD為7,點P是棱CG上一動點（與C,C不重合）弓=力［力（尸）］,2=力［力（尸）］.給出下列三個

結論：

①線段尸。2長度的取值范圍是

②存在點p使得PQ//平面/;

③存在點尸使得尸QJP02；

其中正確結論的序號是—.

16.（2024?高三?浙江?開學考試）己知。是棱長為血的正四面體ABCD,設。的四個頂點到平面a的

距離所構成的集合為若河中元素的個數為％,則稱a為。的上階等距平面，M為。的左階等距集.

（1）若a為。的1階等距平面且1階等距集為{a},求。的所有可能值以及相應的a的個數；

（2）已知￡為。的4階等距平面，且點A與點民C。分別位于p的兩側.若。的4階等距集為也2b,3bAb},

其中點A到夕的距離為匕,求平面BCD與。夾角的余弦值.

17.（2024?安徽合肥?模擬預測）已知頂點為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經過頂點S的平面a相

交，記交線為C,圓錐S的軸線/與平面a所成角。是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角。的一半,

為探究曲線C的形狀，我們構建球T,使球T與圓錐S和平面a都相切，記球T與平面a的切點為F，直

線/與平面a交點為A,直線與圓錐S交點為。，圓錐S的母線OS與球T的切點為“卜a,

\MS\=b.

（1）求證：平面S04_L平面a,并指出a,b,。關系式;

⑵求證：曲線C是拋物線.

18.（2024?全國?模擬預測）峰房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結構是由正六棱柱截

去三個相等的三棱錐ABC,J-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,必為軸將AAC〃，ACE7,

AE4K分別向上翻轉180。，使H,J,K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所

示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和,

而每一頂點的曲率規定等于2萬減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內

角，用弧度制表示）.

圖1

（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱的側面積一定，當蜂房表面積最小時，求其頂點S的曲率的余弦值.

19.設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為

1一工-（/。田。,+/。,尸。3++/0"巧2+/。"。|）,其中Qi（i=l,2,k,校3）為多面體M的所有

與點P相鄰的頂點，且平面QPQ,平面Q2P0,…，平面Qk」PQk和平面QkPQi遍歷多面體M的所有以

產為公共點的面.

圖2

(1)如圖1,已知長方體ABC。，AB=BC=\,AA.=^-,點尸為底面A/B/GG內的一個動

12

點，則求四棱錐P-ABC。在點尸處的離散曲率的最小值；

(2)圖2為對某個女孩面部識別過程中的三角剖分結果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點，

然后用短小的直線段連接相鄰三個采樣點形成三角形網格.區域a和區域￡中點的離散曲率的平均值更大

的是哪個區域？(確定“區域a”還是“區域￡”)

20.(1)如圖，對于任一給定的四面體A&A3A4，找出依次排列的四個相互平行的平面%,%,%,&4,

使得Aea,(z=l,2,3,4),且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；

(2)給定依次排列的四個相互平行的平面%,%,%,?4,其中每相鄰兩個平面間的距離為1,若一個

正四面體A&A3A4的四個頂點滿足：4eq(i=l,2,3,4),求該正四面體AAAA,的體積.

21.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標.設尸為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離

散曲率為①，=](/QPQ,+NQ,PQ+??2。1尸2+/。*尸。3其中2。=1，2,…,仁％23)為多面體M的

2兀

所有與點尸相鄰的頂點，且平面QZQ,平面Q/Q，…，平面以一/2和平面為多面體加的所有

以尸為公共點的面.

(1)求三棱錐p-ABC在各個頂點處的離散曲率的和；

(2)如圖，已知在三棱錐P-A5C中，R4,平面ABC,ACLBC,AC=BC,三棱錐尸-ABC在頂點C處

的離散曲率為;.

P

B

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；

②若點。在棱PB上運動，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值.

22.離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標.設尸為多面體：T的一個頂點，定義多面體「在點尸處的離散

曲率為0戶=1一1(/0/02+/。22。3++/&-/a+NQ/Q)，其中2G=1,2,?以女23)為多面體r的

Z71

所有與點尸相鄰的頂點，且平面&尸2,平面&P03,…，平面以一丁以和平面以尸。為多面體：r的所有以

尸為公共點的面.

(1)求四棱錐S-ABCD在各個頂點處的離散曲率的和；

(2)如圖，現已知四棱錐S-ABCD的底面A2CD是邊長為2的菱形，且AC=2,頂點S在底面的射影。為

AC的中點.

①若OS=&+幣,求該四棱錐在S處的離散曲率0s；

②若該四棱錐在S處的離散曲率0s=g，求直線OS與平面5AB所成角的正弦值.

s

拔高點突破04新情景、新定義下的立體幾何問題

目錄

01方法技巧與總結...............................................................2

02題型歸納與總結...............................................................2

題型一：曲率問題...............................................................2

題型二：斜坐標系與定義新運算...................................................3

題型三：定義新概念.............................................................4

題型四：空間平面方程與直線方程.................................................5

題型五：三面角問題.............................................................6

題型六：數學文化...............................................................8

03過關測試....................................................................10

亡法牯自與.柒年

//\\

面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結合。明確

解題目標后，靈活運用基本定理和性質，如平行、垂直的判定與性質，以及空間角、距離的計算公式。在

解題過程中，合理構造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關系，簡化問題。對于復雜問題，可嘗試建立空間

直角坐標系，利用向量法進行計算和證明。同時，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉化

求解對象。最后，解題后要進行驗證和反思，確保結論的正確性，并總結所使用的方法和技巧，以便在未

來遇到類似問題時能夠迅速應對。

題型一：曲率問題

【典例1-1]（2024?黑龍江大慶?模擬預測）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，

在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多

面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率

等于該多面體各項點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是:，所以正四面體

7T

在每個頂點的曲率為271-3、鼻=兀，故其總曲率為4兀.己知多面體的頂點數V,棱數E,面數尸滿足

【答案】C

【解析】設每個面記為“（左[1]]）邊形,

則所有的面角和為Z(4—2)兀=兀Z4一2兀/二兀?2E-27iF=27i(E-F),

Z=1Z=1

根據定義可得該類多面體的總曲率2兀"2兀(石-尸)=27t(V-E+F)=4兀.

故選：C.

【典例1-2】閱讀數學材料：“設尸為多面體M的一個頂點，定義多面體/在點尸處的離散曲率為

1-(ZQPa+ZQ2PQ3+ZQ3PQ4++ZQk_lPQk+ZQkPQl),其中Q?=l,2,，k,左23)為多面體M

的所有與點p相鄰的頂點，且平面QZQ,平面QP2,…，平面以一/2和平面2尸。為多面體M的所

有以尸為公共點的面己知在直四棱柱ABC。-A與G2中，底面ABCD為菱形.A4,=AB.(角的運算均采

用弧度制)

(1)若AC=3D,求四棱柱ABC。-在頂點A處的離散曲率；

(2)若四棱柱ABCD-A^QD,在頂點A處的離散曲率為g,求BQ與平面ACCt的夾角的正弦值；

⑶截取四面體A-A3。，若該四面體在點4處的離散曲率為，，AC1與平面交于點G,證明：

AG_1

而一§,

【解析】(1)若AC=5。，則菱形ABCD為正方形，即

因為明_L平面ABCD,AB,AOu平面ABC。，所以AA.1AD,

1I7T7T冗、I

所以直四棱柱ABCD-A與G2,在頂點A處的離散曲率為1-丁彳+7+彳=小

(2)因為明，平面A5cD,AB,ADu平面ABC。，所以明LABA^IAD,

直四棱柱ABCD-ABCQi在頂點A處的離散曲率為1-+W+=

2兀122)3

7T

則NDA8=§,即是等邊三角形，

ABCD為菱形AC_L5D,又直四棱柱ABCD-AlBlClDl,

;.CG_L平面ABCD,50匚平面488,；9弓_13。，

又AC,CGu平面ACG,ACr>CCt=C:.BD1平面ACQ,

設ACBD=O,則/BC0即為DC與平面ACC1所成的角，

在iBCQ中，==BQ=^2BC=A/2AB,

sin/BCO=—=2絲=立,所以BC與平面ACC,的夾角的正弦值為叵.

'BQ及AB44

(3)在四面體A-A3。中AA.LAD,=AB=AD,

所以ZA41g=44。=（,AB=AO=及AB,

所以四面體4-48。在點4處的離散曲率為1-1（：+：+/網。

2兀144

所以N%O=g，所以，BAQ為等邊三角形，所以及）=AO=0