第02講兩條直線的位置關系

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：兩直線位置關系的判定...................................................2

題型二：兩直線的交點與距離問題.................................................2

題型三：有關距離的最值問題.....................................................3

題型四：點關于點對稱...........................................................3

題型五：點關于線對稱...........................................................4

題型六：線關于點對稱...........................................................4

題型七：線關于線對稱...........................................................4

題型八：直線系方程.............................................................4

02重難創新練..................................................................5

03真題實戰練..................................................................8

題型一：兩直線位置關系的判定

1.（2024?陜西榆林?模擬預測）已知直線4：2x+ay+l=0,l2：bx+y-2=0（a,》eR,?Z?w0）,若“a=%”

是*中2”的充要條件,則?=C）

A.-1B.-2C.1D.2

2.已知直線&:（a_2）x+5y—3=0,4：（o—2）x+◎一5=0,貝廣////?”是“a=2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?湖北黃岡?二模）已知角a,角6的頂點均為坐標原點，始邊均與x軸的非負半軸重合，終邊

分別過A（l,3）,8（—3,1）,則tan等=（）

A.——B.2—C.—D.—2

222

4.（2024?河南?三模）已知直線At+5y+C=0與直線y=2x—3垂直，則（）

A.A=-2B^0B.A=2B^0

C.B=-2A^0D.B=2A^0

題型二：兩直線的交點與距離問題

5.已知點9（不，九）在直線3尤-4丫-10=0上，則斤Q7的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

6.已知點尸（。,2）、4（-2,-3）、5（1,1）,且網=閥,則.

7.若直線小依+2y-6=。與直線/2：彳+（。-1）y一。—1=0平行，則直線4與4的距離為.

8.若點A（a,0）到直線/：彳-丫-1=0的距離為應，則實數4=.

題型三：有關距離的最值問題

9.著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休.”事實上，有很多代數問題可以轉化為

幾何問題加以解決，如：+（y-bp可以轉化為點（％y）到點可⑼的距離,貝］行1+//一4%+8的

最小值為（）.

A.3B.26.+1C.2后D.V13

10.（2024?貴州?校聯考模擬預測）已知x,yeR+,滿足2x+y=2,則尤+后了了的最小值為（）

A.-B.-C.1D.

553

11.在平面直角坐標系xOy中，已知點4（0,-2）,點3（l,0）,P為直線2x-4y+3=0上一動點，貝“網+|冏

的最小值是（）

A.75B.4C.5D.6

12.（多選題）已知點N（2,l）,且點P在直線/：x+y+2=0上，則（）

A.存在點P,使得PMLPNB.存在點P,使得21PMl=|PN|

c.|尸閭+歸明的最小值為回D.歸閭一戶訓最大值為3

13.已知x+y=0,貝［"尤2+9一2x—2y+2+—2）2+9的最小值為（）

A.75B.2也C.MD.2非

14.已知x,y為實數，代數式J+（4一2）2+,4+（2-+舊+/的最小值是.

題型四：點關于點對稱

15.在VA3C中，已知A（5,-2）,3（7,3）,且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在無軸上，則頂點

C的坐標為.

16.設點A在x軸上，點8在y軸上，A8的中點是尸則A與2坐標分別為,\AB\=.

17.過點（3,2）的直線/,被直線小2尤-5y+9=0,4：2x-57=0所截得的線段A3的中點恰好在直線

x-4y-l=0±,則直線/的方程為.

題型五：點關于線對稱

18.點尸(2,3)關于直線工+丁+2=0的對稱點的坐標為()

A.(-3,-2)B.(—2,-3)C.(—5,—4)D.(-4,一5)

19.點P(2,0)關于直線無+y+l=O對稱點。的坐標為()

A.(-1-3)B.(3,3)C.(-1,3)D.(4,-2)

20.已知點A與點8(2,1)關于直線x+y+2=0對稱，則點A的坐標為()

A.(-1,4)B.(4,5)

C.(-3T)D.(-4.-3)

21.已知光線從點AQ,5)入射，經過直線/3=尤+1反射，反射光線經過點8(-2,10),則入射光線所在的直線

方程為

題型六：線關于點對稱

22.直線尤+2y—3=0與直線ax+4y+6=0關于點4(1,0)對稱，則b=.

23.直線/:2x-3y+1=0關于點A(-l,-2)對稱的直線I'的方程為.

24.直線2x-y+3=0關于點A(5,3)的對稱直線方程是.

25.與直線/：2x-3y+1=0關于點(4,5)對稱的直線的方程為.

題型七：線關于線對稱

26.直線乙：3x-y-3=0關于直線/2:x+y-l=0的對稱直線方程為.

27.已知直線/：2尤-y+l=0,它關于直線(：x-y+l=。對稱的直線方程為.

28.直線x+3y-1=0關于直線x-y+1=0對稱的直線方程是.

題型八：直線系方程

29.過兩直線小尤一3y+4=0和/2：2x+y+5=0的交點和原點的直線方程為（）

A.3x-19y=0B.19尤-3y=0

C.19x+3j=0D.3x+19y=0

30.經過點尸(L0)和兩直線4"+2y-2=O；，2：3x-2y+2=0交點的直線方程為.

31.經過直線3x—2y+1=0和直線x+3y+4=0的交點，且平行于直線無一y+4=0的直線方程為

1.（2024?高三?陜西西安?期末）己知a>0,b>0,直線4：x+（a-2）y+l=0,/2：bx+y-2=0,

且4則下列選項中錯誤的一項是（）

b2

A.0<ab^lB.+C.a2+b2<2D.—F—>3

2.(2024?四川綿陽?二模)在平面直角坐標系xOy中，角d分的終邊與單位圓的交點分別于A,3兩點,

且直線A8的斜率為-；，則tan(a+￡)=()

A.-B.-C.--D.--

3434

3.(2024?山東濰坊?模擬預測)已知直線冽：?x+y+3=0與直線〃:3x+(26-l)y-l=0,(a,Z?>0)，且,

則士2+；1的最小值為()

A.12B.8+4相C.15D.10+2石

4.在平面直角坐標系中，集合A={(x,y)氏-y+4=0},集合3={(x,y)|y=Ax-l},已知點MeA,點、NsB,

記d表示線段MN長度的最小值，則d的最大值為()

B.6D.V2

5.(2024?重慶沙坪壩?模擬預測)設直線l:x+y-l=0,一束光線從原點。出發沿射線y=kx(x^0)

向直線/射出，經/反射后與x軸交于點M,再次經x軸反射后與J軸交于點N.若

則k的值為(

6.(2024?黑龍江牡丹江?一模)已知i為虛數單位，復數z=o+歷，a,6eR且滿足|z-i|=0,求點Z(a,b)

到直線y=x+3距離的最大值為（）

A.0B.2忘-2C.V2D.20

7.（2024?山東濟南?模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知A（2,0）,B（0,6）,動點p滿足而=4耐+〃礪，

且|刈+|〃|=1,則下列說法正確的是（）

A.點尸的軌跡為圓B.點P到原點最短距離為2

C.點P的軌跡是一個正方形D.點P的軌跡所圍成的圖形面積為24

8.（2024?陜西西安?一模）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬

傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數學問題一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，

先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為

A（-3,0）,若將軍從山腳下的點處出發，河岸線所在直線方程為無+y=l,貝I」“將軍飲馬”的最短總路

程為（）

A.亞B.3C.V13D.5

9.（多選題）（2024?江西?模擬預測）已知集合A={（x,y）|x+ay+2a=0},B=\^x,y）\ax+ay-l=6\,

則下列結論正確的是（）

A.VaeR,B.當a=—1時，AnB=

C.當Ap|3=0時，a=lD.3aeR,使得A=3

10.（多選題）（2024?云南昆明?模擬預測）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽

火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某

處出發，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流加，n,其方

程分別為2x-y=o,y=。，將軍的出發點是點A（3,l）,軍營所在位置為B（6,3）,則下列說法錯誤的是（）

A.若將軍先去河流機飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為（1,2）

B.將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是行

C.將軍先去河流機飲馬，再去河流”飲馬，最后返回軍營的最短路程是庖

D.將軍先去河流〃飲馬，再去河流機飲馬，最后返回軍營的最短路程是2行

11.（多選題）（2024?甘肅定西?一模）下列命題為真命題的是（）

A.^x2-4X-8A/^X+4+1-1|的最小值是2

B.y/x2-4x-8\Px+4+的最小值是逐

C.6-4x-8Q+4+&-2*-4口+2的最小值是0

D.y/x1—4x—8\/—x+4+y/x2—2x—4y/—x+2的最小值是班

12.（多選題）（2024?遼寧?一模）對平面直角坐標系xOy中的兩組點，如果存在一條直線辦+勿+c=。

使這兩組點分別位于該直線的兩側，則稱該直線為“分類直線”.對于一條分類直線/,記所有的點到/的距

離的最小值為4,約定：4越大，分類直線/的分類效果越好.某學校高三（2）班的7位同學在2020年期

間網購文具的費用》（單位：百元）和網購圖書的費用》（單位：百元）的情況如圖所示，現將耳，，月和巴

為第/組點將和以歸為第〃點.在上述約定下，可得這兩組點的分類效果最好的分類直線，記為L.給

出下列四個結論：

，夕（百元）

4一一丁下瓦;一廠一］

一丁丁甘丁廠一,

IIIII

&--J—一一一L—一一.

一司下薩丁;@

P2：1月；口

2一效用儂中7：

1----1■->--?--/<-*,—,>

?：?：?I21?：?:

。|「345疝元）

①直線x=2.5比直線3x-y-5=0的分類效果好；

②分類直線L的斜率為2；

③該班另一位同學小明的網購文具與網購圖書的費用均為300元，則小明的這兩項網購花銷的費用所對應

的點與第〃組點位于L的同側；

④如果從第/組點中去掉點勺，第〃組點保持不變，則分類效果最好的分類直線不是L.

其中所有正確結論的序號是（）

A.①B.②C.③D.④

13.（2024?山東?二模）過直線無+>+1=0和3x-y-3=O的交點，傾斜角為45。的直線方程為.

14.（2024?湖北武漢?模擬預測）已知0<x<a,0<y<a,若有且只有一組數對（x;y）滿足不等式

7%2+/+yl（x-a）2+y2+7%2+（y-?）2+/x-a）2+（y-a）2<2近,則實數。的取值集合為.

15.（2024?河南?模擬預測）一直線族的包絡線是這樣定義的曲線：該曲線不包含于直線族中，但過該

曲線上的每一點，都有直線族中的一條直線與它在這一點處相切.若曲線。是直線族

（r2-l）x-2ry+2r+2=0（/eR）的包絡線，貝|C上的點到直線x+y=4的最小距離為.

16.（2024?四川南充?三模）如圖，/1/〃2〃/3，且4與。的距離為1，4與4的距離為2.若A3在4上，C,D

分別在4，4上，CD=2CB,ABCD=nQ°,3C/MD.則四邊形ABC。的面積為.

BA.

h

D

匐3

1.（2002年普通高等學校招生考試數學（文）試題（北京卷））若直線/:>=區-若與直線2x+3y-6=0

的交點位于第一象限，則直線/的傾斜角的取值范圍是（）

2.（2007年普通高等學校招生考試數學（理）試題（四川卷））如圖，卜公4是同一平面內的三條平行

直線，4與4間的距離是1,4與4間的距離是2,正三角形A3C的三頂點分別在乙、小4上，則VA3c的

邊長是（）

A.25AB.犯?C.D.邁^

343

3.（2003年普通高等學校招生考試數學（文）試題（全國卷））已知長方形的四個頂點4（0,0）、3（2,0）、

C（2,l）、0（0,1），一質點從AB的中點用沿與AB的夾角9的方向射到8c上的點片后，依次反射到CD、DA

和A3上的點8、△和a（入射角等于反射角）.若《與八重合，貝han9=（）

121

A.—B.—C.—D.1

352

4.（2003年普通高等學校招生考試數學（文）試題（全國卷））直線>=2%關于x軸對稱的直線方程為（）

A.y=-^xB.y=g兀C.y=~'2xD.y=2x

5.（2007年普通高等學校招生全國統一考試理科數學卷（浙江））直線兄-2y+l=0關于直線兄=1對稱的

直線方程是（）

A.x+2y-l=0B.2x+y-l=0

C.2%+y-3=0D.x+2y-3=0

4

6.(2019年江蘇省高考數學試卷)在平面直角坐標系中，尸是曲線y=%+—(%>0)上的一個動點，則

x

點P到直線x+y=0的距離的最小值是.

第02講兩條直線的位置關系

目錄

01模擬基礎練..................................................................2

題型一：兩直線位置關系的判定...................................................2

題型二：兩直線的交點與距離問題.................................................2

題型三：有關距離的最值問題.....................................................3

題型四：點關于點對稱...........................................................3

題型五：點關于線對稱...........................................................4

題型六：線關于點對稱...........................................................4

題型七：線關于線對稱...........................................................4

題型八：直線系方程.............................................................4

02重難創新練..................................................................5

03真題實戰練..................................................................8

題型一：兩直線位置關系的判定

1.（2024?陜西榆林?模擬預測）已知直線4：2x+ay+l=0,l2：bx+y-2=0（a,》eR,?Z?w0）,若“a=%”

是*中2”的充要條件,則仁C）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【解析】由題意可知若。=%，則2b+a=2b+%=（2+r）b=0,

又因為"片0即/w0,故/+2=0,即/=—2.

故選：B.

2.已知直線4:—2）x+5y—3=0,4：（。―2）%+金—5=。，則“///4"是"a=2"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若〃〃2則。（4一2）-5（。—2）=0,且3.-25片0,所以。=5,或。=2,

所以“/他”是=2”的必要不充分條件.

故選：B.

3.（2024?湖北黃岡?二模）已知角a,角月的頂點均為坐標原點，始邊均與x軸的非負半軸重合，終邊

分別過A（L3）,3（-3,1）,則tang￡=（）

A.—2或一B.2或—C.—D.—2

222

【答案】A

【解析】記。為坐標原點，因為4（1,3）,3（-3,1）,所以|0旬=|0同=亞，

所以點A（l,3）,B（-3,1）,均在以原點。為圓心M為半徑的圓上.

連接A3,取A3的中點連接OM,則

不妨設夕,尸?0,2兀），則/無0M=tz+2二4=4±2,

故選：D.

4.（2024?河南?三模）已知直線Ar+3y+C=0與直線y=2x—3垂直，貝U（）

A.A=-2B^0B.A=2B^0

C.B=-2A^0D.B=2A^0

【答案】A

【解析】直線V=2x-3的斜率為2,又兩直線互相垂直，所以直線樂+為+。=0的斜率為-；,

A1

即——=——且4/0,3wO,所以3=2Aw0.

B2

故選：D.

題型二：兩直線的交點與距離問題

5.已知點P（x。,幾）在直線緘-分-10=0上，則而不的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】Jr；+y；就是P（毛,幾）到原點距離,

P伍，幾）到原點距離的最小值為〃=（=2

則Jx；+為2的最小值為2,

故選：B.

6.已知點尸（。,2）、4（-2,-3）、5（1,1）,且J網=|P即,則。=.

【答案】《Q

【解析】已知點尸（。,2）、A（-2,-3）、5（1,1）,且|網=|冏,

則Jg+2)2+(2+3)2="以+但一仔,解得”

Q

故答案為：

7.若直線4：ax+2y-6=。與直線/2：%+,-1))一。一1=。平行，則直線4與4的距離為.

【答案】述/■!行

55

【解析】由于4與4平行，貝1)=2,即°2_"2=0,解得。=—1或。=2,

當。=2時，兩直線方程分別為2x+2y-6=0,x+y-3=0,此時兩直線重合，不符合題意；

當。=-1時，兩直線方程分別為x-2y+6=0,x-2y=0,此時兩直線平行，符合題意；

綜上所述：?=-1,兩直線方程分別為*-2>+6=0,無一2y=0,

,,|-6|6也

所以直線4與12的距離為d=/??3.

川+(-2)25

故答案為：述.

5

8.若點A(a,0)到直線/：工一廣1=0的距離為&,則實數。=.

【答案】3或T.

【解析】點A(a,0)到直線/：x-V-l=0的距離為應，

解得。=3或-1.

故答案為：3或-1.

題型三：有關距離的最值問題

9.著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休.”事實上，有很多代數問題可以轉化為

幾何問題加以解決，如：J(x-4+(y-b)2可以轉化為點(x,y)到點(。力)的距離,貝]J7W+、/X2_4X+8的

最小值為().

A.3B.25/2+1C.2百D.V13

【答案】A

【解析】&+1+，尤2一以+8=^(x-O)2+(O-l)2+2[+(0—2)2,

可以看作點P(x,0)到點4(0,1),3(2,2)的距離之和，

作點A關于x軸的對稱點A（O,-l）,顯然當尻P,A三點共線時，取到最小值,

最小值為B,4間的距離萬百=V13.

故選：D.

10.（2024?貴州?校聯考模擬預測）已知x,yeR+,滿足2x+y=2,則無+￥+產的最小值為（）

D.匹

ABC.1

-I-I3

【答案】A

如圖，過點。作點。關于線段2x+y=2的對稱點C,則1Poi=|PC|.

>x(-2)=-l8

xo=7

設則有，"°,解得V:,所以CMl

2X^+A=2

22

設P（x,y）,則歸。=）/+在,+/

又x,yeR+,所以點P到>軸的距離為了,

84

所以，x+Qy2可視為線段2x+y=2上的點P（x,y）到>軸的距離和到C的距離之和.

555

過尸作軸，顯然有1Pq+|PC|2|CD|,當且僅當CP,D三點共線時，和有最小值.

過點C作軸，貝即為最小值，CH與線段的交點片，即為最小值時尸的位置.

因為所以X+&77的最小值為|.

故選：B.

11.在平面直角坐標系xQy中，已知點4（0,-2）,點3（1,0）,尸為直線2x-4y+3=0上一動點，貝“啊+|尸卻

的最小值是（）

A.75B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】設點40,-2）關于直線2x-4y+3=0的對稱點為A'（x,y）,

^^+3=011

2x--4xX=-------

225

則，解得

—12

x2

所以巧，,

所以歸川+|尸邳=|尸4[+|尸3以4同=

當且僅當點尸為線段A3與直線2x-4y+3=0的交點時等號成立,

所以|刃+|尸目的最小值是4,

12.（多選題）已知點M（-M）,N（2,l）,且點尸在直線/：x+y+2=0上，貝I]（）

A.存在點尸，使得PM1.PNB.存在點尸，使得2|PA/|=|PN|

C.|PM|+|PN|的最小值為生D"PM|-|PN||最大值為3

【答案】ACD

【解析】對于A：設尸若a=-l時尸（T-1）,此時的斜率不存在,

2

kpN=§。。與PN不垂直，同理a=2時R0與PN不垂直,

—Q—3_-(2-3

當"一1且"2時kpM=-----k

Q+1%PNQ—2

若PM工PN,則k^M，kpN="：a?=一］,

a-2a+1

去分母整理得2a2+5a+7=0,A=52-4x2x7<0,方程無解，故PM與PN不垂直，故A錯誤;

對于B：設尸?-。一2）,若21pMi=|PN|,則24。+1）2+（-。-3）2=[-2）2+（-〃一3）2,

即2/+10a+9=0,由A=102-4X2X9=28>0,所以方程有解，則存在點P,使得21PM=歸時，故B正

確;

對于C：如圖設M(-1,1)關于直線I的對稱點為M'(m,n)9

m+1\m=—3

則，解得，，即M'(-3,T),

m-1n+1八八\n=-l

-----+——+2=0

I22

所以|PM|+|PN|=+|PN]>\MN\=-3-2)2+(-1-以=屈，

當且僅當、P、N三點共線時取等號(P在線段MN之間)，故C正確;

對于D：如下圖，||PM|TPN||<WW|=3,當且僅當尸在M0的延長線與直線/的交點時取等號，故D正確.

故選：BCD

13.已知x+y=。，貝［"尤2+9一2x—2y+2+—2)2+9的最小值為()

A.75B.2也C.MD.2后

【答案】B

【解析】設點尸(x,y)為直線x+y=。上的動點，

由ylx2+y2-2x-2y+2+^x-2^+y2=7(x-l)2+(y-l)2+{(ij+y?可看作尸(尤,V)與(1,1)的距離和

P(無,y)與(2,0)的距離之和,

設點"(1,1),N(2,0),則點”(一1,一1)為點關于直線x+y=0的對稱點，

H\PM\=\PM'\,且眼制=J(2+l)2+(0+l)2=9,

所以1PM+|PN卜7(x-i)2+(y-i)2+7(^-2)2+y2=|P"|+|PN|>\MN\=Vio,

當且僅當P,M',N三點共線時，取等號，

所以ylx2+y2-2x-2y+2+^x-2)2+y2的最小值為V10.

故選：C

14.已知x,y為實數，代數式Jl+(y-2『+?+(2-域+收+寸的最小值是.

【答案】5

【解析】Jl+(y-2『即J(O-l『+(y-2)2,幾何意義為點P(0,j)與點A(l,2)的距離；

,4+(2-司2即“2-0)2+(2,幾何意義為點8(2,2)與點Q(x,0)的距離；

G+V即J(x_O)，(O-y)2,幾何意義為點P(0,y)與點2(%,0)的距離,

分別作A關于》軸的對稱點A'(-1,2),3關于無軸的對稱點玄(2,-2),

連接A4；A'P,A'B',B'Q,BB',則|網=出尸|,忸0=忸@|,

y/l+(y-2)2+也+(2一幻2+商+y=\PA\+\BQ\+\PQ\

=\AP\+\B'Q\+\PQ\>\AB'\=5,

當且僅當尸，。分別為AE與y軸，無軸的交點時，等號成立，

故答案為：5.

y

題型四：點關于點對稱

15.在VABC中，已知A（5,-2）,B（7,3）,且AC邊的中點M在y軸上，8C邊的中點N在無軸上，則頂點

C的坐標為.

【答案】（-5,-3）

【解析】設則AC邊的中點為叢2C邊的中點為

因為點M在y軸上，所以％宇=。，解得毛=-5.

因為點N在x軸上，所以"^=0,解得%=-3,即C（-5,-3）.

故答案為：（-5,-3）.

16.設點A在無軸上，點B在y軸上，AB的中點是尸⑵-1）,則A與2坐標分別為,\AB\=

【答案】A（4,0）,8（0,-2）26

【解析】設A（x,。），B（0,y）,

因為AB中點尸（2,-1）,

所以「，即x=4,y=-2,

2=-i

[2

所以4(4,0),3(0,-2),

所以|二J(4-Op+(O+2『=2下,

故答案為：4（4,0）,8（0,-2）；2G

17.過點（3,2）的直線/,被直線4：2x-5y+9=O,/2：2》-5y-7=0所截得的線段鉆的中點恰好在直線

X—4y-l=o上，則直線/的方程為.

【答案】x-2y+l=0

【解析】設AB中點為

因為4〃，2，所以加在直線2x-5y+l=0上，

由M在直線尤-4y-1=0上，

「2尤一5)+1=0[尤=-3

聯立可得，，c，解得，，即AB中點為〃(-3,-1),

[x-4y+l=0[y=T

所以直線/的斜率k==所以/的方程為y=5尤-3)+2,即x-2y+l=0.

故答案為：x-2y+l=0.

題型五：點關于線對稱

18.點P(2,3)關于直線x+y+2=0的對稱點的坐標為()

A.(—3,—2)B.(—2,—3)C.(—5,—4)D.(-4,-5)

【答案】B

【解析】由題意，

在直線％+y+2=o中，斜率為—1,

垂直于直線x+y+2=0且過點P(2,3)的直線方程為y-3=lx(x-2),即y=x+l,

設兩直線交點為A,

3

x=——

y=x+l2

由解得：；

%+y+2=0

A31

???A——，

(2——2

.?.點P(2,3)關于直線x+y+2=0的對稱點的坐標為尸'，，2-2,x2-3

即P(-5,-4),

故選：C.

=0對稱點。的坐標為()

A.(-1,-3)B.(3,3)c.(-1,3)D.(4,-2)

【答案】A

【解析】設點42,0)關于直線x+y+l=O的對稱點

〃一2'a=-1

則,解得:

區+%=0b=—3

I22

所以Q(-l,-3).

故選：A.

20.已知點A與點8(2,1)關于直線x+y+2=0對稱，則點A的坐標為()

A.(-1,4)B.(4,5)

C.(-3,-4)D.(-4,-3)

【答案】B

【解析】設A(X,y),因點4與點8關于直線對稱，則48中點在直線x+y+2=0上且直線AB與直線x+y+2=。

垂直,

^2±12=0

++x=-3

則22=

曰=1y=-4

、x-2

即點A坐標為(-3,-4).

故選：C

21.已知光線從點AQ,5)入射，經過直線/：y=x+l反射，反射光線經過點頤-2,10),則入射光線所在的直線

方程為

【答案】3元+分一23=0

【解析直線/：y=X+1的斜率為1,???根據點P(x,y)關于斜率為±1的直線直接求對稱點尸'3,y')的結論:

知x求y,知，求v可得,

當x=—2時代入y=x+l得y=-l；

當y=10時代入…+1得文=9,即得5(—2,10)關于/:y=%+1的對稱點8(9,—1)；

???A(l,5)

.,_5-（-1）_3

二入射光線所在直線方程為：y-5=-4（x-l）；

化簡得：3x+4y-23=0.

故答案為：3x+4y-23=0.

題型六：線關于點對稱

22.直線無+2y—3=0與直線ox+4y+b=0關于點A（1,O）對稱，貝!Jb=.

【答案】2

【解析】因為直線x+2y-3=0與直線辦+41+3=0關于點4（1,0）對稱，

所以白?解得。=2,

\2+b\2

又〃=7解得6=2,或一6（重合，舍），

2V5V5

所以人=2.

23.直線/：2x-3y+1=0關于點A（-l,-2）對稱的直線I'的方程為

【答案】2-=0

【解析】設尸（x,y）為/'上任意一點，則尸（x,y）關于點A（T—2）的對稱點為尸2--y）,

因為P在直線/上，所以2（—2—x）—3（T—y）+l=0,即直線「的方程為2x-3y-9=0.

故答案為：2—=0

24.直線2%-y+3=0關于點A（5,3）的對稱直線方程是

【答案】2x-y—17=0

【解析】設對稱直線為/'：217+6=0,

|2x5-3+C||5x2-3+3|

則有5+；1）「0百百‘即"GE。

解這個方程得C0=3（舍）或C°=T7.

所以對稱直線/'的方程中2x7-17=0.

故答案為：2x-y-ll=0.

25.與直線/：2x-3y+1=0關于點（4,5）對稱的直線的方程為.

【答案】2x-3j+13=0

【解析】直線，：2x-3y+l=。關于點（4,5）對稱的直線的方程可設為"-3丫+根=0,其中機41

又（4,5）點至I］直線/:2X一3，+1=。與至!］直線2工一3/+〃7=。的距離相等

|8-15+1||8-15+/n|

所以亞二不藜；（3）2，即帆-7|=6,所以機=13或機=1（舍）.

故所求直線方程為：2x-3y+13=0.

故答案為：2x-3y+13=0.

題型七：線關于線對稱

26.直線4：3x-y-3=0關于直線l2:x+y-l=O的對稱直線方程為

【答案】x-3y-l=0

【解析】設直線《關于直線4對稱的直線為4，

由f3x-"y-3==00得??［1x=l。’則點,（L0、）在直線4,上

在直線4上取一點A（0,-3）,設其關于直線/2對稱的點為,

九十31

---=1

“一：.,解得:

則,即A，（4,1）；

m+0n-3八n=l

-------+---------1=0

22

二直線4的方程為：=即%一3>—1=0.

（J-11-4

故答案為：無一3y-1=0.

27.已知直線/：2x-y+l=0,它關于直線4：x-y+l=。對稱的直線方程為.

【答案】犬-2>+2=0

【解析】設對稱的直線方程的點為（x,y）,對稱點為（占,%）,

直線4：x-y+l=0斜率為1,

￡±A_2±Ai

22+=0

則有《2%—%+1=0,消去玉，％得尤-2y+2=0,

ZzA=_i

X—Xx

故答案為：x-2y+2=0

28.直線x+3y-l=0關于直線x-y+l=0對稱的直線方程是

【答案】3尤+y+l=0

1

X=——

尤+3）一1=02

【解析】聯立f+1=。,解得

1

y=—

2

即兩直線的交點為〃

在直線x+3y-l=0上取一點P(LO),

設點尸關于直線x-y+l=O的對稱點為，

m+1

--+1=0

2\m=—l

則，解得c,即。（一1,2）.

\n=2

xl=—1

m—1

--2

所以直線的方程為=———(x+1),

即3%+y+l=0.

故答案為：3元+y+l=0.

題型八：直線系方程

29.過兩直線小尤一3y+4=0和4：2x+y+5=0的交點和原點的直線方程為(

A.3x-19y=0B.19x-3y=0

C.19x+3y=0D.3x+19y=0

【答案】A

【解析】設過兩直線交點的直線系方程為x-3y+4+〃2x+y+5)=。，

4

代入原點坐標，得4+52=0,解得2=-1，

4

故所求直線方程為x—3y+4—y(2x+y+5)=0,即3尤+19y=0.

故選：D.

30.經過點P(l,0)和兩直線4：x+2y-2=0；4：3龍-2y+2=0交點的直線方程為

【答案】x+yT=0

【解析1設所求直線方程為x+2y-2+2(3x-2y+2)=0,

點尸(L0)在直線上，

.-.1-2+2(3+2)=0,

解得2=1,

，所求直線方程為x+2y-2+gx(3x-2y+2)=0,即x+y-l=