2025年中考數學考前突破復習：壓軸題精選匯編

溫馨提示：

1.本卷共48題，題目均選自2024年廣東省各地市二模真題。

2.本卷解答題留有足夠答題空間，試題部分可直接打印出來練習。

3,本卷難度較大，適合基礎較好的同學。

第一部分代數函數

1.（2024.廣東省中山市.二模）若y與久的函數y=（m-l）x2+（m+l）x-zn的圖象與坐標軸只有兩個交點,

則滿足條件的根的值有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2024?廣東省佛山市?二模）若實數6,c滿足c-b+2=0,則關于x的方程/+匕刀+c=0根的情況是（）

A.有兩個相等實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D,無法確定

3.（2024?廣東省廣州市番禺區?二模）如圖，在平面直角坐標系中，點4、B在函數y=g（k〉0,尤>0）的圖象

上，分別以AB為圓心，1為半徑作圓，當。4與y軸相切、OB與x軸相切時，連接AB,AB=3^2,貝果的

值為（）

A.3B.3<2C.4D.6

4.（2024.廣東省廣州市.二模）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標系，并標

出相關數據（單位：機）,有下列結論：

①4B=24m；

②池底所在拋物線的解析式為y=-5；

③池塘最深處到水面CD的距離為1.8小；

④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的

4

其中結論正確的個數有（）

5.（2024.廣東省深圳市.二模）如圖，直線y=-x+a與反比例函數y=|（x>0）只有唯一的公共點4,與反比

例函數y=>0）交于點C,與久軸交于點B,如果AB=2BC,則k的值為.

6.（2024?廣東省東莞市?二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形CMBC的頂點4在第一象限，頂點C在第

二象限，頂點8在拋物線丫=（1久2（￡1>0）的圖象上,若正方形。45（7的邊長為2，1,0C與軸的正半軸的夾角為

15。，貝b的值為.

7.（2024?廣東省惠州市二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，AAOB的邊0B在y軸上，邊力B與無軸交于點C,

且BC=24C,反比例函數y=g（kK0）的圖象經過點4,若SMBC=8,貝必=.

8.(2024.廣東省中山市.二模汝口圖，反比例函數y=:(久〉0)的圖象與矩形力BCO的邊4B交于點G,與邊BC交

orr\

于點。，過點4,。作。交直線y=kx(k<0)于點E,F,若。E=OF,BG=卻4則器的值為;

四邊形2DEF的面積為.

9.(2024?廣東省汕頭市?二模)如圖，在平面直角坐標系中，4(6,0),B(2,2),反比例函數y=(。>0)的

圖象經過點B.

(1)求反比例函數的表達式.

(2)將AO/IB繞點B逆時針旋轉得到AON'B,點。'恰好落在。4上，請求出圖中陰影部分的面積.

10.(2024?廣東省佛山市.二模)如圖，拋物線y^x2+bx+c與直線y=kx+m相交于點4(0,-4),8(5,6),

直線AB與x軸相交于點C.

(1)求拋物線與直線的表達式；

(2)點。是拋物線在直線下方部分的一個動點，過點。作DE〃x軸交4B于點E,過點。作DF〃y軸交4B于

點F,求DF—DE的最大值.

11.(2024?廣東省廣州市?二模)已知拋物線y=x2-(m+l)x+m(m<0).

(1)當m=0時，求拋物線與x軸的交點坐標；

(2)若拋物線與x軸有兩個不同的交點力、B(點2在點B的左側)，與y軸交于點C,過點C作直線〃/久軸，點E是

直線I上的一動點，點尸是y軸上的一動點，且EF=2，W

①當點E落在拋物線上(不與點C重合)，且力E=E9時，求小的值；

②取EF的中點M,是否存在力M的最小值為苧？若存在，求出此時小的值，若不存在，請說明理由.

12.(2024?廣東省廣州市.二模)在平面直角坐標系中，設直線I的解析式為:y=kx+為常數且k豐0),

當直線/與一條曲線有且只有一個公共點時，我們稱直線/與這條曲線“相切”，這個公共點叫做“切點”.

(1)求直線Ay=—久+6與雙曲線y=：的切點坐標；

(2)已知一次函數yi=2久，二次函數為=/+1，是否存在二次函數%=a/+6%+c,其圖象經過點

4(一3,2),使得直線%=2x與%=，+1,%=a/+匕久+c都相切于同一點？若存在，求出的解析式;

若不存在，請說明理由；

(3)在(2)的條件下，拋物線內的頂點坐標為B，點P為y軸上一點在平面內存在點M,使NAMB=2乙4PB,

且這樣的點P有且只有一個，則點P的坐標為

13.(2024?廣東省汕頭市.二模)如圖在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2(a豐0)與無軸交于點

4(-4,0)和點8(點4在點8的左側)，與y軸交于點C,經過點4的直線與拋物線交于點。(-1,3),與y軸交于點

E.

(1)求拋物線的表達式和頂點P的坐標；

(2)點尸是久軸下方拋物線上的一個動點，使ATIDF的面積為:，求點F的坐標.

(3)點M是線段上一動點，點N是線段4E上一動點，且AM=EN,請直接寫出EM+ON的最小值為.

備用圖

14.(2024?廣東省深圳市.二模)綜合與應用

如果將運動員的身體看作一點，則他在跳水過程中運動的軌跡可以看作為拋物線的一部分.建立如圖2所示的

平面直角坐標系久。y,運動員從點4(0,10)起跳，從起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度y(m)與水平距

離》(小)滿足二次函數的關系.

(1)在平時的訓練完成一次跳水動作時，運動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如表：

水平距離雙山)011.5

豎直高度y(m)10106.25

根據上述數據，求出y關于久的關系式；

(2)在(1)的這次訓練中，求運動員甲從起點4到入水點的水平距離。。的長；

(3)信息1：記運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度為做小)，從到達到最高點B開始計時，則他到水面

的距離h(m)與時間t(s)之間滿足h=-5t2+k.

信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要1.6s的時間才能完成極具難度的270c動作.

問題解決：

①請通過計算說明，在(1)的這次訓練中，運動員甲能否成功完成此動作？

②運動員甲進行第二次跳水訓練,此時他的豎直高度y(m)與水平距離光(爪)的關系為y=ax2-ax+10(a<

0),若選手在達到最高點后要順利完成270c動作，則a的取值范圍是.

圖1圖2

15.（2024.廣東省惠州市.二模）根據以下素材，探索完成任務.

如何制作簡易風箏？

素圖1是簡易“箏形”風箏的結構圖，現以兩條線段4C,8。作為骨架，4C1

k

材垂直平分BD且力C>BD,并按A。：OC=3：5的比例固定骨架，骨架

14c與BD共消耗竹條60cm,四邊形4BCD的面積為400cW.

\

考慮到實際需要，蒙面（風箏面）邊緣離骨架的端點要留出一定距離.如

素圖2,現BD以上部分的蒙面設計為拋物線形狀，過距離4B,D三點、

材分別為5cm,2cm,2czn的E,F,G三點繪制拋物線（建立如圖的直角(■?

2坐標系）.BD以下部分的蒙面設計為AFGH,點H在。C延長線上且FH/口R1

/BC.

E

V

素/.

從一張長方形紙片中裁剪無拼接的風箏蒙面（包括8。以上拋物線部分

材

及BD以下三角形部分），長方形各邊均與骨架平行（或垂直）.

3

'H

R2

問題解決

任

務確定骨架長度求骨架AC和8。的長度.

1

任

務確定蒙面形狀求拋物線的函數表達式.

2

任

至少選擇面積為多少的長

務選擇紙張大小

方形紙片？

3

16.(2024?廣東省廣州市.二模)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+<:與乂軸交于4(一1,0)、B(A在B

的左邊)，與y軸交于C,且。B=404.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線y=x交拋物線于D、E兩點，點F在拋物線上，且在直線。E下方，若以尸為圓心作OF,當OF

與直線DE相切時，求O尸最大半徑r及此時F坐標；

(3)如圖2,M是拋物線上一點，連接交y軸于G,作4M關于久軸對稱的直線交拋物線于N,連接4V、MN,

點K是MN的中點，若G、K的縱坐標分別是t、九求t,n的數量關系.

圖2

圖1

17.(2024?廣東省東莞市二模)如圖，拋物線的：y=-x2-2x+3與％軸相交于4,B兩點(點力在點B的左側),

與y軸相交于點C,連接4c.

(1)直接寫出直線AC的解析式；

(2)如圖1,。在第二象限內拋物線G上，BD交AC于點E,連接BC.若寰|=2，求點。的坐標；

(3)如圖2,將拋物線C向右平移2個單位長度，得到拋物線。2，過拋物線。2的頂點M作MN1%軸，垂足為點

N,過線段MN上的點H的直線與拋物線交于K，L兩點，直線MK,ML分別交x軸交于P,Q兩點，若NP-NQ=

16,求點”的坐標.

圖1圖2

18.(2024?廣東省中山市?二模)如圖，拋物線y=/+法+c與無軸分別交于4B兩點(點力在點B的左側)，與

y軸交于點C,且。B=OC=304.

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)如圖1,點。是該拋物線的頂點，點P(m,n)是第二象限內拋物線上的一個點，分別連接BD、BC、BP,

當NPB4=24CB。時，求m的值；

(3)如圖2,NB4C的角平分線交y軸于點M,過M點的直線/與射線力B,4C分別于E,F,已知當直線I繞點M旋

19.(2024?廣東省揭陽市.二模)綜合與探究：

如圖1,拋物線y=a/與久軸相交于a?,0),B4,0)兩點，與y軸交于點C,連接BC,拋物線頂點

4LL

為點M.

(1)求拋物線解析式及點M的坐標；

(2)平移直線BC得直線y=mx+n.

①如圖2,若直線y久+n過點M,交x軸于點D,在無軸上取點0),連接EM,求ZDME的度數.

②把拋物線y=ax2+bx+:在x軸下方圖象沿x軸翻折得到新圖象(如圖3中的“小”形曲線).當直線y=

mx+n與新圖象有兩個公共點時，請直接寫出ri的取值范圍.

第二部分幾何函數

20.（2024?廣東省中山市.二模）如圖，在正方形2BCD中，2B=2，而，。是中點，點E是正方形內一動點,

OE=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉90。得DF,連接2E,CF,則線段OF長的最小值為（）

A.8B.2710-2C,2710+2D./10+2

21.（2024?廣東省廣州市.二模）如圖，點P是邊長為6的等邊△4BC內部■動點,連接8P,CP,HP,滿足Nl=Z2,

。為4P的中點，過點P作PEL4C,垂足為E,連接DE,則DE長的最小值為（）

A.2B.|73C.3D./3

22.（2024?廣東省深圳市?二模）如圖，在四邊形力CD8中，AB//CD,AC=AD,P是線段北上一點（不與點4、

。重合），ZC=/.PDB=60°,連接BP,交4。于點Q,則DQ：BP的最小值是（）

A.2AA3B.AA3C.苧D.苧

23.（2024?廣東省深圳市?二模）如圖，在菱形ABC。中，NABC=60。,E是對角線4C上一點，連接BE,作NBEF=

120°,交CD邊于點尸,若喘=最則警的值為（）

D

竽45

B<130

A.3-4-

24.（2024?廠東省廣州市?二模）如圖，在△ABC中，AB=AC,^BAC=90°,直角NEPF的頂點P是BC的中點,

兩邊PE、P尸分另（］交AB、居于點E、F,當NEPF在△ABC內繞點P旋轉時，下列結論錯誤的是（）

A.AE=CFB.^EPF為等腰直角三角形

C.EP=APD-2s四邊形AEPF=S^ABC

25.（2024?廣東省東莞市.二模）如圖，在正方形ABCD中，點G是上一點，且襄=：,連接DG交對角線4C于

D（JZ

F點，過。點作DE1DG交C4的延長線于點E,若4E=3,則DF的長為（）

E

A,272B.竽D昔

26.（2024?廣東省廣州市.二模）如圖，在正方形4BCD中，E是邊8C上一點，F是CD延長線上一點，連接EF交

對角線BD于點G,連接4G,若BE=DF,4CEF=a,貝IJNAGB=()

C.a+15°D.135°-a

27.（2024?廣東省廣州市番禺區?二模）如圖，在RtAZBC中,ZC=90°,BC<AC點D,E分別在邊⑷?,BC上,

連接。E,將ABOE沿。E折疊，點B的對應點為點次，若點B'剛好落在邊4C上，NCB'E=30。，CE=3,貝加。

的長為.

28.（2024?廣東省廣州市.二模）如圖，正方形4BCD邊長為3,點E在邊4B上，以E為旋轉中心，將EC逆時針旋

1

轉90。得到EF,力。與FE交于P點，若tan/BCE=/貝的值為.

29.（2024?廣東省汕頭市?二模）如圖，aABC是等邊三角形，。是AC邊的中點，延長BC至點E,使CE=CD.連

接DE.小夏在該圖上的作法如下：①在DB和DE上分別截取DM,DN.使DM=DN；②分別以點M、N為圓心，

以大于的長為半徑畫弧，兩弧在48DE內交于點P；③作射線DP.則NCDP的度數為.

30.（2024?廣東省汕頭市.二模）如圖，在菱形ABCD中，過點4作4G1CD于點G,過點G作8c的平行線EF,連

接力E、DF,EF=AB,四邊形4EFD的面積為48,若4G=6,貝UCG的長為.

31.（2024?廣東省惠州市.二模）如圖，正方形48CD的邊長為4,點E在邊BC上，且BE=1,尸為對角線BD上

一動點，連接CF,EF,貝UCF+EF的最小值為.

32.（2024?廣東省廣州市.二模）學習新知：如圖1、圖2,P是矩形2BCD所在平面內任意一點，則有以下重要

結論：力P2+CP2=BP2+DP2.該結論的證明不難，同學們通過勾股定理即可證明.

應用新知：如圖3,在A4BC中，CA=4,CB=6,。是A4BC內一點，且CD=2,AADB=90°,則4B的

最小值為.

33.（2024?廣東省東莞市?二模）如圖，矩形48CD中，48=6,AD=8,點P在對角線上，過點P作MN1BD,

交邊4D,BC于點M,N,過點M作ME12。交BD于點E,連接EN,BM,DN.下列結論：

①EM=EN;

②四邊形MBN。的面積不變；

③當AMMD=1：2時，SAMPE=1|；

@BM+MN+ND的最小值是20.

其中所有正確結論的序號是.

34.（2024?廣東省揭陽市.二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E,F分別在邊8C,CD上，4E平分NH4C,

連接BF,分別交4E,AC于點G,H,且力E=BF.有下列四個結論：①4E垂直平分BH；②若點P是邊上

的一個動點，貝UP”+PC的最小值為40；③GH2=AG-EG；④S-BH=6，！,其中正確的有.

35.（2024?廣東省廣州市二模）如圖，。。是△力BC的外接圓，AB=AC,CD14B于點D,B。的延長線交CD

于點E.

(I)ZOCBNDBE(填“>,(或=”)；

(2)若BC=4^，BE=4,貝!JOE=

36.(2024?廣東省深圳市.二模)如圖，力B是O。的直徑，弦CD12B于點E,點P在上，NPBC=".

(1)求證：CB”PD；

(2)若BC=12,BE=8,求。。的半徑.

37.(2024?廣東省中山市?二模)如圖，在△力BC中，AB=BC,2B為。。的直徑，2C與。。相交于點D,過點

。作DE1BC于點E,CB延長線交。。于點用

(1)求證：DE為。。的切線;

(2)若BE=LBF=2,求力。的長.

n

'E

A

O

38.(2024廣東省梅州市.二模)綜合與實踐

不借助科學計算器，如何求tcm22.5。的值？小明進行了如下的實踐操作：

如圖，已知正方形紙片4BCD.

第一步：將正方形紙片4BCD沿4c折疊，展開后得到折痕力C.

第二步：將48折疊到2F,使點B的對應點尸恰好落在2C上，展開后得到折痕4E,點E在線段BC上，連接EF.

問題解決：

(1)求證：乙BAE=22.5°；

(2)請利用小明的實踐操作過程，求tcm22.5。的值.

39.(2024?廣東省廣州市?二模)如圖1,在RtA4CB中，乙ACB=90°,AB=10,BC=6,點。、F分別是邊力C、

BC上的動點，過點。作力B的垂線，垂足為E,連接FD,FE.設C、。兩點之間的距離為x,C、F兩點之間的

距離為外

(2)如圖2,以FD,FE為鄰邊作口FDGE,當％=3時，是否存在y,使得口FDGE的頂點G恰好落在△ABC的邊

±?若存在，請求出y的值，若不存在，請說明理由.

40.(2024?廣東省廣州市.二模)如圖1,已知正方形4BCD的邊長為1,點P是4。邊上的一個動點，點4關于直

線BP的對稱點是點Q,連接PQ、DQ、CQ、BQ,設4P=久.

(1)8Q+DQ的最小值是；此時光的值是.

(2)如圖2,若PQ的延長線交CD邊于點E,并且NCQD=90。.

①求證：點E是CD的中點；②求x的值.

(3)如圖2,若PQ的延長線交CD邊于點E,求線段PE的最小值.

41.(2024?廣東省中山市.二模)如圖①，直線PQ同側有兩點M,N,點T在直線PQ上，若乙MTP=LNTQ,則

稱點T為M,N在直線PQ上的投射點.

(1)如圖②，在中，ZB=60°,。為斜邊4B的中點，E為4c的中點.求證：點。為C,E在直線48上

的投射點；

(2)如圖③，在正方形網格中，已知點4B,C三點均在格點上，請僅用沒有刻度的直尺在AC上畫出點P,

在BC上畫出點Q,使4,P在BC上的投射點Q滿足CQ=2BQ；

(3)如圖④，在ABC中，ZC=90°,AC=BC,在28,BC邊上是否分別存在點。，E,使點。為E,C在

48上的投射點，點E為4。在BC上的投射點？若存在，求出段的值；若不存在，請說明理由.

CU

\TZ0ADB

（圖①）（圖②）

_________

/

_B__C

BC

（圖③）(圖

42.(2024?廣東省廣州市二模)如圖，為。。的直徑，。4=3,點M在直線4B的下方且將Q平分，動點P在

。。上且位于直線4B上方，連接。P,作點4關于直線。P的對稱點4,連接OA.

備用圖備用圖

(1)當4與點B重合時，則N40P=

(2)當P414B時，求44'的長度;

(3)aaBM能否等腰三角形？如果能，求出此時44'的長度；如果不能，請說明理由.

43.（2024?廣東省佛山市.二模）綜合探究

已知點E是邊長為2的正方形力BCD內部一個動點,始終保持NAED=90°.

【深入探究】（2）如圖，連接CE并延長交邊4D于點M.當點M是4。的中點時，求器的值;

【延伸探究】（3）如圖，連接BE并延長交邊CD于點G.當DG取得最大值時，求器的值.

44.(2024?廣東省揭陽市.二模)如圖，在口力BCD中，連接BD,以DF為直徑的半圓0,從。尸與共線開始繞

點。逆時針旋轉，直線DF與DC第一次重合時，停止運動，點K是半圓。的中點，連接DK,當DF,DK與線

段48有交點時，設交點分別為點P和點Q,已知4B=DF=8,/BAD=45。，AD=BD.

(1)求NFDK的度數；

(2)當點Q在2B上時，設4Q=比，BP=y,請求出y與x的關系式;

(3)當。尸與。B重合時，求半圓。與DC所圍成的弓形的面積.

45.(2024?廣東省汕頭市潮南區.二模)如圖1,。。的直徑CD垂直弦AB于點E,且CE=8,DE=2.

圖1圖2圖3

(1)求2B的長.

(2)探究拓展：如圖2,連接4C,點G是前上一動點，連接4G,延長CG交2B的延長線于點F.

①當點G是廢的中點時，求證：^GAF=ZF；

②如圖3,連接DF,BG,當△COF為等腰三角形時，請計算BG的長.

46.(2024.廣東省廣州市.二模)【問題提出】

(1)如圖1,在邊長為6的等邊A/IBC中，點。在邊BC上，CD=2,連接AD,則的面積為；

【問題探究】

(2)如圖2,已知在邊長為6的正方形4BCD中，點E在邊BC上，點F在邊CD上，且NE4F=45。，若EF=5,

求AAEF的面積；

【問題解決】

(3)如圖3是我市華南大道的一部分，因自來水搶修，需要在AB=4米，4D=4門米的矩形ABCD區域內開

挖一個△力EF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上(不與點B、C、。重合)，且NE4F=60。，為了減少

對該路段的交通擁堵影響，要求AAEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的AAEF?若存在，請求出△

4EF面積的最小值；若不存在，請說明理由.

47.(2024?廣東省惠州市.二模)綜合探究

【問題情境】幾何探究是培養幾何直觀、推理能力和創新意識的重要途徑.解決幾何綜合探究問題，往往需

要運用從特殊到一般、化靜為動、類比等數學思想方法.

【初步探究】

(1)如圖1,將△ABC繞點4逆時針旋轉90。得到AADE,連接CE,DB,根據條件填空：

①乙4CE的度數為;

②若CE=2,貝UC4的長為；

【類比探究】

(2)如圖2,在正方形4BCD中，點E在邊BC上，點尸在邊CD上，且滿足NE4F=45。，BE=1,DF=2,求

正方形4BCD的邊長；

【拓展延伸】

(3)如圖3,在四邊形4BCD中，CD=CB,4BAD+乙BCD=9?！?AC,8。為對角線，且滿足4C=|c。，

若4。=3,AB=4,請求出的長.

圖1圖2圖3

48.(2024?廣東省東莞市.二模)【教材呈現】

人教版八年級下冊數學教材第68頁第8題如下：如圖1,4BCD是一個正方形花園，E,F是它的兩個門，且

DE=CF,要修建兩條路BE和4F，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關系？為什么？(此問題不需要作答)

九年級數學興趣小組發現探究圖形中互相垂直的線段之間的數量關系是一個常見問題，于是對上面的問題

又進行了拓展探索，內容如下：

【類比分析】

⑴如圖2,在矩形4BCD中，點E是4。上一點，連接BE,過點2作BE的垂線交CD于點凡垂足為點G,若4AB=

3AD,BE=6,求力F的長.

【遷移探究】

(2)如圖3,在RtAABC中，ABAC=90°,ABAC,點。是4C上一點，連接BD,作2E1交BC于點E,

「、丁ABBE

求證：詬=出

【拓展應用】

(3)如圖4,在RtAABC中，ZSXC=90°,AB=2,AC=4,作點4關于BC的對稱點D,點E為上一點,

連接CE,過點D作CE的垂線，交力C于F,垂足為G,若E為中點，則DF=

圖1圖2圖3圖4

參考答案

1.【答案】B

【解析】解：當m-l=O,即??i=l.時，函數為y=2%-1,與坐標軸只有兩個交點，

當時，當圖象經過原點時，圖象與坐標軸只有兩個交點，此時爪=0,

故符合題意的小的值有2個.

故選:B.

直接利用函數與x軸交點個數的性質進而分析得出答案.

此題主要考查了二次函數圖象和性質，一次函數圖象和性質，正確把握相關性質是解題關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：???實數b,c滿足c—b+2=0,

■■■c=b—2,

A=b2—4c—b2—4(6—2)

=(b—2)2+4>0,

???方程有兩個不相等的實數根，

故選:B.

根據條件得到c=b-2,根據判別式求根的情況即可判斷.

本題考查了根的判別式，掌握當/>0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當/=0時，方程有兩個相等

的實數根；當/<0時，方程無實數根是解題的關鍵.

3.【答案】C

【解析】解:由題意,得4(l,k),1).

???AB=3AA2,

.?.有兩點距離公式可得：2(k—1)2=18.

(k-=9.

k=-2或4.

又k>0,

???k=4.

故選：C.

依據題意，可得2(1,k),再由力B=從而2(卜一1)2=18,進而得解.

本題考查了反比例函數的圖象與性質的應用，解題時需要熟練掌握并理解.

4.【答案】B

【解析】解：①觀察圖形可知，AB=30m,

故①錯誤；

②設池底所在拋物線的解析式為y=a/一5,

將(15,0)代入，可得a=2，

故拋物線的解析式為y=白/_5；

故②正確；

③5,

.,.當％=12時，y=—1.8,

故池塘最深處到水面CD的距離為5-1.8=3.2(m),

故③錯誤；

④當池塘中水面的寬度減少為原來的一半，即水面寬度為12zn時，

將x=6代入y=^x2-5,得y=-4.2,

可知此時最深處到水面的距離為5-4.2=0.8(m),

即為原來的

故④正確.

故選：B.

根據圖象可以判斷①；設出池底所在拋物線的解析式為y=a/-5,再把(15,0)代入解析式求出a即可判斷

②；把久=12代入解析式求出y=-1.8,再用5-1.8即可判斷③；把x=6代入解析式即可判斷④.

本題考查拋物線的實際應用，體現了數學建模、數學抽象、數學運算素養.

5.【答案】-5

(y=—X+a

【解析】解：聯立方程組得4,整理得/-以+4=0,

,?,只有一個交點，

ZJ=a2-16=0,

a=±4,舍去負值，

a—4.

此時交點2(2,2),

一次函數解析式為y=—％+4,當y=0時，x-4,

.??線段8。的中點。坐標為(3,1)，

BD=BC,

4=苧，々=5,

0=yc=-1，

C(5,-l),

C(5,-1)在反比例函數y=(圖象上，

k——5.

故答案為：-5.

聯立方程組根據只有一個交點求出a值得到交點坐標4(2,2),根據直線解析式求出B點坐標，依據中點坐標

公式分別求出點。和點C坐標，即可得到k值.

本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，求出點C坐標是關鍵.

6.【答案】?

【解析】解：如圖，連接08,作BDly軸于。，貝此C0B=45°,

由題意知，（COD=15°,0A=AB=2<2,

???乙BOD=30°,

由正方形的性質、勾股定理可得。8=OA2+AB2=4,

???乙ODB=90°,

1__________

???BD=aOB=2,OD=yjOB2-BD2=2<3>

5(2,2AA3),

將B(2,2C)代入y=a/得，2c=ax4,

解得，a=苧，

故答案為：苧.

如圖，連接OB,作BD1)/軸于￡?,貝亞。。3=45°,由題意知，NCOD=15°,OA=AB=可得NBOD=30°,

由正方形的性質、勾股定理可得。8=4,由NODB=90°,可得BD=1oB=2,。。=OB2-BD2=20，

即B(2,2，W),將8(2,2，耳)代入y=a/得，2C=ax4,計算求解即可.

本題考查了正方形的性質，勾股定理，含30。的直角三角形，二次函數解析式等知識.熟練掌握正方形的性

質，勾股定理，含30。的直角三角形，二次函數解析式是解題的關鍵.

7.【答案】-12

【解析】解：如圖，作4D1久軸于點D,

??,4D〃y軸,

ADC^ABOC,

.S>ADC__1

■SkBOC-（前）-1，

???S^OBC=8，

S^ADC=2,

???BC=2AC,

1

^LAOC~2^LB0C~4，

?*,S^ADO=4+2=6

\k\=2s△ADC~12，

???反比例函數圖象上在第二象限，

k=-12.

故答案為：—12.

作4。1x軸于點。，可得三角形相似得到^^=(%2=1求出S-DC=2,利用BC=24C可求出SAAOC=

DAOC/LOL4

3sABOC=4,繼而求出S-QO=4+2=6根據k值幾何意義得到k值即可.

本題考查了反比例函數k值幾何意義，熟練掌握反比例函數k值幾何意義是關鍵.

8.【答案】|15

【解析】解：延長。E交支軸于K,作DH1。2于H,

設G(a,§,則。4=a,AG

3

???BG=9，

9

??.BG=

a

??.DH=AB=AG+BG=—,

a

15nr6a

%,=￡時，和=1r

CO=MBD=BC-CD=a-^=駕

151515

.CD_6a_2

?,麗一布=1

???DE//AF.

:.乙EKO=/.FAO,

在aOEK^W^。凡4中，

ZEKO=4FAO

(EOK=Z.FOA,

OE=OF

OEK^A。凡4(44S),

???OK=OA=a,

??.AK=2a,

1115

,e*S四邊形ADEF=S四邊形4OEO+S^KEO=Sl^ADK=DH=-x2ax-=15.

故答案為：I，15.

延長DE交式軸于K,作DH104于H,證得AOEK也△。凡4,即可證得S四邊形加酊=S四邊形幺加。+S^KEO

S-DK，設G(a,9，用。表示CD和DB可得比值，根據三角形面積公式即可求得?

本題考查了反比例函數和一次函數的交點問題，矩形的性質，三角形面積公式，證得S四邊形AOEF=

S四邊形ZOEO+S^KEO=S—OK是解題的關鍵.

9.【答案】解：(1)???反比例函數y=9%>0)的圖象經過點8(2,2),

2=5，解得々=4,

4

(2)過點B作BC1x軸交久軸于點C,

?.?將△。48繞點B逆時針旋轉得到小O'4'B,點。'恰好落在。4上,

NOB。'=^ABA'=90°,

OB=O'B=V22+22=2<2,

A00'=VOB2+O'B2=4,

???4(6,0),

OA=4,

??.O'A=OA-00'=2,

???S—BO,=-BC=-x2x2=2,

???4(6,0),8(2,2),

??.AB=J(6—2產+(0—2尸=275,

.e_90。兀X(2g2_

“》扇形4B4一旃—3兀，

;陰影部分的面積=SAAB。，+S扇形4B4=2+5兀.

【解析】(1)利用待定系數法求解即可；

(2)過點B作8C1X軸交x軸于點C,首先得到C。=BC=2,然后利用旋轉的性質得到/。80'=^ABA'=90°,

利用勾股定理求出。B=O'B=,22+22=00'=y/OB2+O'B2=4,然后根據陰影部分的面積=

SAAB。，+S扇形人歸兒代數求解即可?

本題考查反比例函數的圖象、待定系數法求反比例函數解析式、旋轉的性質，勾股定理，求扇形面積等知

識，解答本題的關鍵是明確題意，利用反比例函數的性質和數形結合的思想解答.

10.【答案】解：(1)由題意，將力(0,-4),B(5,6)代入y=久2+bx+C得，

(c=-4

(25+5b+c=6'

{b=~l

lc=-4

???拋物線的表達式為y=/一3%-4.

又將4(0,-4),8(5,6)代入丫=依+小得，

Cm=-4

l5fc+m=6'

.Cm=—4

?，Ifc=2，

???直線的表達式為y=2x—4.

(2)由題意，設O為(7n,zn2—3m—4)(0<m<5),

令y=2%—4=m2—3m—4,貝！Jx=-(m2—3m),

22

???E(|m—|m;m—3m—4).

令久=m,則y=2m—4,

???F(m,2m—4).

???DF—DE=2m—4—(m2—3m—4)—[m—(-m2--m)]

=--1m2+-5m

1z5、2,25

=_](『)+"?

???當加=襯，DF-DE取最大值為期.

Zo

【解析】(1)依據題意，將/(0,-4),8(5,6)代入y=%2+fox+c得方程組后，進而計算可得拋物線的表達式；

又將4(0,-4),8(5,6)代入丫=/0：+血得，求出匕機可得直線的表達式；

1

(2)依據題意，設。為(m,Hi?_3m—4)(0<m<5),令y=2x—4=m2—3m—4,則久=-(m2—3m—4),

故E(^m2—^m,m2—3m—4),令％=m,則y=2m—4,故F(m,2m—4),從而DF—DE=2m—4—(m2—

3m-4)-[m-(|m2-|m)]=-|)2+y，再由二次函數的性質，進而可以判斷得解.

本題主要考查了二次函數的圖象與性質，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵.

11.【答案】解：(1)當m=0時，則y=/一工，

當y=0時，即％2_x—Q,

解得％1=0,第2=1；

???拋物線與％軸的交點坐標為(0,0),(1,0);

(2)①???拋物線y=%2一(租+1)%+血與％軸有兩個不同的交點/、8(點/在點8的左側)，與y軸交于點C,

.?.0=x2—(m+l)x+m,

角牛—TITf%2=1，

??,7n<0,點/在點B的左側，

/.A(m,0),8(1,0),點C(0,m),點E(?n+l,zn),

過點B作于點”，由點8(1,0),得點”(1,租).

在Rt△中，EH=1—(m+1)=—m,HB=0—m=-m,

??.BE=VEH2+HB2=-/2m，

vAE=EF=2，L

???—\Z_2m=2V-2,

解得7n=-2；

②存在，

理由：由M是EF的中點，連接CM,CA,得CM=2EF=/2,

根據題意，點M在以點C為圓心、口為半徑的圓上,

由點A(TH,0),點C(0,m),得4。=-zn,CO=-m,

.?.在Rt△AC。中，AC=M仕。2+-。2=-72m.

當即mW—1時，滿足條件的點M在線段ac上.

4M的最小值為ac-MC=-y/l,m一丫工=，，解得m

當AC即一1＜機＜0時，滿足條件的點M落在線段C4的延長線上，的最小值為MC—4C=-

(-V-2m)=爭

解得m

二當m的值為—越—決寸，MN的最小值是苧.

【解析】(1)解方程即可得到結論；

(2)①根據題意得到0=比2一(7n+1)K+小，解得％1=租，x2=1，求得a(m,0),8(1,0),點C(0,m),點

F(m+l,m),過點B作BH1/于點“，由點B(l,0),得點在Rt△EBH中，E//=1-(m+1)=-m,

HB=0-m=一m,根據勾股定理得到BE=＜EH2+HB2=-72m,解方程得到m=-2；

②由M是EF的中點，連接CM,CA,得CM=2EF=，之根據題意得到點M在以點C為圓心、方為半徑的

圓上，根據勾股定理得到4C=VXO2+CO2=—Jim.當4c＞/2,即巾＜—1時，滿足條件的點M在線段4C

上.4M的最小值為4(?一聞。=一，芯一調=苧，解得爪=一|；當AC＜0,即一1＜?。?時，滿足條

件的點M落在線段C4的延長線上，AM的最小值為MC-AC=^2-(-72m)=苧，解得爪=一肝是得到

結論.

本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的性質，待定系數法，二次函數圖象上點的坐標特征，勾股定理

等知識，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

12.【答案】(0,2)

【解析】解：(1)聯立兩個函數表達式得-X+6=3

解得：x=3,

則切點坐標為：(3,3)；

(2)存在,理由:

yi=2x與丫2=x2+1相切，

貝吃%=/+1,

解得：x-1,

則切點為：(1,2),

將(1,2)、(—3,2)代入拋物線表達式得：2'

解得：

U=-3a+2

2

則拋物線的表達式為：y3=CLX4-2ax-3a+2,

由題意得，丫3和yi相切，

則a/+2ax—3a+2=2x,

則/=(2a-2)2-4a(-3a+2)=0,

解得：a=

則拋物線的表達式為：y=#+x+5

(3)由(2)知，拋物線的表達式為：y=|x2+x+|,

則點

???在平面內存在點M,使乙4MB=2乙4PB,且這樣的點P有且只有一個,

則點圓M和y軸相切于點P,如下圖：

由點力、B的坐標得，直線4B的表達式為：y--X-1,

則力B的中點為：(-2,1),

則的中垂線得表達式為：y=。+2)+1=x+3,

則點M在4B的中垂線上，故設點M(m,m+3),

則MB=MP,而MP=—(m+3),

即(m+l)2+(m+3)2=(—m-3)2,

解得：m