2025年中考數學高頻考點突破一一圓的切線的證明

1.已知四邊形A8C。內接于。O,連接AC,BD,若是。。的直徑，AC平分

過A作NBAE=ZBDA,AE與CB的延長線交于點E.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)若5c=0,AC=l+2&，求圖中陰影部分的面積(結果保留萬).

2.如圖，是：。的直徑，CD與:。相切于點C,ZABC=2ND.

⑴求證：AC=CD；

(2)若3。=3cm,求。的半徑.

3.如圖，已知AB是。。的直徑，點。在A3的延長線上，CD為O的切線，過。作

與AC的延長線相交于E,BD=1,DE=45.

F

(1)求證：CD=DE-

(2)求,。的半徑；

(3)若NAC3的平分線與,：。交于點尸，尸為VABC的內心，求Pb的長.

4.如圖，AB是：。的直徑，AC與。交于/，弦A。平分DEJ.AC,垂足為E.

(1)判斷直線DE與。的位置關系，并說明理由.

⑵若。的半徑為3,若NC4B=60。，求線段EF.

5.如圖，已知A3是，。的直徑，AB=BE,連接AE交：。于點O,尸D切:。于點。,

交54的延長線于點P,交于點C.

(1)求證：BE±PC；

3

(2)連結OC,如果OC="T,tanZP=-,求(。的半徑.

6.如圖，43為。。的直徑，弦0)，48于5，E為延長線上一點，CE交。0于點,F,

連接AD,DB,BF,DF,BC.

(1)求證：BF平分NDFE.

(2)若EF=DF,BE=8,。。的半徑為5,求Aa的長.

c

E

7.如圖，已知在VABC中，AB=AC,以AC為直徑的O分別交AB,BC于D,E兩點,

BFLCF于點、F,且BF=BD.

⑴求證：FC是:。的切線.

3

(2)若BF=1,CE.,求：。的半徑.

8.如圖，四邊形A3C。內接于《。，BC=CD，點E在A3的延長線上，NECB=NDAC.

⑴求證：EC是，。的切線；

⑵若4)=5,ZE=30°,求。的半徑.

9.如圖，AB是，。的直徑，點C,。在。上，AC=CD,AQ與2C相交于點E,點尸在

BC的延長線上，且=

F

A

(1)求證：AF是；。的切線；

4

⑵若AC=4,cosZABC=j,求cosABAD的值.

10.如圖，4B是C。的直徑，點C是。上的一點(點C不與點A,8重合)，連接AC、BC,

點。是48上的點，AC=AD,BE交CD的延長線于點E,且5E=5C.

⑴求證：BE■是的切線；

(2)若。的半徑為5,tan￡=1,則BE的長為.

11.如圖，在AACE中，以AC為直徑的。。交CE于點。，連接A。，S.ZDAE=ZACE,

連接OD并延長交AE的延長線于點P,PB與。。相切于點2.

(1)求證：AP是。。的切線；

⑵連接交OP于點尸，求證：△MDsADAE；

1AE

(3)若tan/Q4/=g,求蕓的值.

12.如圖，。是△ABD的外接圓，是C。的直徑，C是A3延長線上一點，△現出在O

上，連接DC,若/DEB=NCDB.

D

￡

(1)求證：CD為。的切線;

⑵若AB=20,BD=DE=4A/5,求8E的長.

13.如圖，在VABC中，AB=AC,3。為VABC外接圓。的直徑，點E為胡延長線上一

點，連接DE,且NE=NC.

⑴求證：DE是:。的切線：

(2)若AE=1,AB=4,求CB的長.

14.如圖，A3為圓。的直徑，C為圓。上一點，。為弦BC的中點，過點C的切線與。。的

延長線相交于點E,連接3E.

⑴求證：BE是圓。的切線；

⑵當AB=10,AC=8時，求線段BE的長.

15.如圖，VABC內接于C。，且A3為:：。的直徑，ZAC3的平分線交〈。于點D,過點

。在左側作ZADP=/BCD交CA的延長線于點P,過點A作AECD于點E.

⑴求證：DP//AB；

⑵求證：尸。是＜。的切線；

(3)若AC=6,BC=8,求線段尸￡＞的長.

參考答案:

1.（1）見解析

99

(2)-71一一

84

【詳解】（1）連接Q4,如圖,

AC平分N8CQ,

.\ZDCA=ZBCA,

:.AD=AB^

..AD=AB,

D5是直徑，

.\ZZMB=90°,

/.DAB是等腰直角三角形，

.\AO.LBD,

.\ZABD=ZADB,

AD=AD>

.\ZDCA=ZDBA,

ZBAE=ZBDA9

:.ZBAE=^DBA,

:.AE//DB,

AO±BD,

:.OA±AE

A是。上的點，則。4為半徑,

.?.AE是：。的切線

(2)如圖，過點3作3/1AC,

c

AOD是等腰直角三角形

:.ZADO=45°

AB=AB

:.ZACB=ZADB=45°

：.BCF是等腰直角三角形

BC=y/2CF

BC=0

：.BF=CF=I

AF=AC-CF=I+2V2-1=2V2

在RtABR中，AB=y/BF2+AF2=JI2+（2>/2）2=3

BD=y/2AB=3A/2

.,OA=^

2

一s陰影部分一S扇形3?！猄AAOD

99

——71------

84

2.⑴見解析

(2)3cm

【詳解】(1)證明：連接OC,

/.ZACB=90°,OC-LCDf

：.ZACB=ZOCD=90°,

ZOCB+ZACO=ZOCB+/BCD,

:.ZACO=NBCD,

ZABC=2ZD,

:./BCD+/D=2/D,

../BCD=ND,

OA=OC,

ZACO=AA,

:.ZA=AD,

AC=CD；

(2)解：由(1)得：ZD=ZBCD=ZA=ZACOf

BC=BD=3cm,

ZBOC=ZA+ZACO,ZABC=ND+NBCD,

丁./BOC=ZABC,

OC=BC,

OB=OC,

OC-BC=OB,

BC=OB=BD=3cm,

.?。的半徑為3cm.

3.(1)證明見解析；(2)2；(3)2A/2.

【詳解】證明：(1)如圖，連接OC,

OA=OC,

.\ZOAC=ZOCA,

CD是。的切線，

OC±CD,BPZOCD=90%

ZOCA-^-ZDCE=90°,

EDLAD,

.-.ZtMC+ZE=90°,

.?"DCE=NE,

CD=DE；

(2)設O的半徑為r，則05=0。=〃，

BD=1,

:.OD=OB+BD=r+\,

由(1)已證：CD=DE,

CD=^5,

在RfCOD中,OC1+CD1=OD2,即產+(君門=(r+1)?,

解得r-2>

即。的半徑為2；

(3)如圖，連接AEBRPB,

AB是的直徑，

ZACB=ZAFB=9Q°,

CF平分ZACB,

ZACF=Z4=-ZACB=45°,

2

由圓周角定理得：/I=NACF=45。=N4,

;.凡ABF是等腰直角三角形，AF=BF,

AB=y/AF2+BF2=J2BF

由(2)已得：AB=2OB=4,

y/2BF=4，解得8F=2夜，

P為VABC的內心，

Z2=Z3,

:.NFPB=Z3+Z4=Z2+Z1=NFBP,

:.PF=BF=272.

4.(1)直線DE與(0相切，見解析

【詳解】（1）解：直線￡>￡與（。相切，理由如下:

連接OO,

AD平分/BAC,

:.ZOAD=ZCAD,

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

:.ZODA=ZCAD,

:.OD//AC,

DEI.AC,即ZA￡D=90°,

/ODE=90°,即OE人OD,

OD是半徑，

:.DE是。的切線；

（2）解：過。作OGLA尸于G,

QZR4C=60°,OA=3,

13

AG=-OA=-

229

.\AF=3,

;.AF=OD,

???四邊形Aor4是菱形，

:.DF//OA,DF=OA=3,

.\ZEFD=ZBAC=60°f則N￡?尸=30。，

13

:.EF=-DF=-.

22

5.(1)見解析；(2)5

【詳解】解：⑴證明：連接0。，

AB=BE,

：.ZEAB=ZE,

9：OD=OA,

：.ZEAB=ZADO.

：.ZE=ZADO,

：.ODHBE,

??,尸。切。于點O,

ZPDO=90°,

AZPCB=90°,

即3E_LPC.

3OD3

(2)VtanZP=-,BR—=-

4PD4

???設OD=3左，PD=4k,

?,?由勾股定理得，OP=5k,

?：ODIIBE,

.CDBO

??=,

PDPO

：.CD=^k,

在Rt^CDO中，CD1+OD-=OC2,

/.(y>t)2+(3^)2=(^)2

解得左=*,

3

0D=5

圓。的半徑等于5.

1Q

6.(1)見解析；(2)AH=y

【詳解】(1)證明：???。、D、B、尸四點共圓,

AZEFB=ZCDB,ZBCD=ZDFB,

VCZ)±OA,

???CH=DH,

：.BC=BD,

；?/BCD=/CDB,

：.ZEFB=ZDFB,

：?BF平分/DFE；

(2)解：???在△ObB和△EbB中，

DF=EF

</DFB=/EFB,

FB=FB

???△DFBmLEFB(SAS),

：.BD=BE,

?：BE=8,

：.BD=Sf

TAB為。0直徑，C0_LAB,

???ZADB=ZDHB=90°,

'：NDBH=NABD,

???ADHBs4ADB,

.BDBH

??法—記‘

設AH=x,

?.?。0的半徑為5,30=8,

.\AB=10,BH=10-X9

.8_10-x

??=，

108

1Q

解得：X=g,

1Q

即AH的長是

7.(1)見解析

⑵：

【詳解】(1)證明：連接8,

F

〈AC為，。的直徑，

???ZADC=ZBDC=90°,

■:BF工CF,

：.ZBFC=90°=ZBDC,

BD=BF,CB=BC,

：?《DB組CFB,

ZDBC=/FBC,

;AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

:./FBC=ZACB,

：.AC//BF,

：.OCLCF,

又OC為。的半徑，

???FC是。的切線；

(2)連接AE,O￡,0E交CD于點H,

???AC為「O的直徑，

AELBC,

,:AB=AC,

：.BE=CE,ZBAE=ZCAEf

DE=CE，

：.OELCD,

：.CH=DH,

JHE是△CD5的中位線，

.??HE=-BD=-BF=-

2229

在RtZkaffi中，CH=ylcE2-EH2=V2，

設。的半徑為〃，貝lj：OC=OE=r,

：.OH=

2

在RtO/fC中,OC2=OH2+CH\即：r2+2,

9

解得：

4

9

???。的半徑為了.

4

8.⑴見解析；

(2)5.

【詳解】(1)證明：如圖，連接C。并延長交。于點M,連接MB.

,:BC=CD，

：.ZCAD=ZCAB.

又?：/CAB=/CMB,ZECB=ZCADf

：.ZECB=ZCMB.

〈CM是：O的直徑，

JNC3M=90。.

???NCMB+NBCM=90。.

；?/ECB+/BCM=90°.

:.OC.LCE.

???EC是。的切線.

(2)如圖，連接并延長交：。于點N,連接AN.

ZECB=ZCAD,

ZADC+ZABC=180°,

ZABC+ZC6E=180°,

???ZADC=ZCBE.

:ASO°-ZCAD-ZADC=1SO°-ZCBE-ZECB.

：.ZDCA=ZE=30°.

?：DN是。的直徑，

???ZDAN=90°.

在Rt^DAN中，

ZDCA=ZDNA=30°f

???DN=2AD=10.

???0的半徑為5.

9⑴見解析

24

(2)cos/BAD=—

【詳解】(1)證明：???AC=CD,

AC=CD^ZCAD=ZCDA,

AZCDA=ZABCf則NC4D=NABC,

???A3是直徑，

???ZACS=90°,

A^ABC+ZBAC=90°,

VAE=AF,則AAEF是等腰三角形，且NACB=90。,

：.ZFAC=ZCADfCE=FC,

：.ZFAC=ZCAD=ZABC,

：.ZFAC+ZCAB=90°,

：.AF±AB,

又,:A5是直徑，

???AF是。的切線.

(2)解：如圖所示，連接3￡),

AC4

cosZ.ABC=cosZ.CAD==—,AC=4,

AE5

：.AE=5,

：.AF=AE=5,CE=y/AE2-AC2=^52-42=3^

：.CE=CF=3,

??丁ACAB

?tanNF=---=-----,

CFAF

-4_A/

3-V

VcosZABC=-=—,

5BF

257

???BE=BF-EF=——(3+3)=-,

33

■:/CAD=/CBD,ZAEC=NBED,

AACEs^BDE,

.AEEC

'~BE~~DE

5_3

1一瓦，

3

732

A0=-+5=—

55

35224

-

cos/BAD=----=2-5-

20一

AB3

10.(1)證明見解析

(2)8

【詳解】(1)證明：AB是：。的直徑,

/.ZACB=90°,

.\ZACD+ZBCD=90°,

AC=ADf

:.ZACD=ZADC,

ZADC=ZBDEf

..ZACD=ZBDE,

BE=BC,

:./BCD=NE,

...NJ3DE+N￡=90。，

ZDBE=180°-(ZBDE+ZE)=90°,

即

AB為(。的直徑，

:.BE是。的切線；

(2)解：tanE=—,tanE=,

2BE

,DB1

??一，

BE2

設。5=無，貝Ij5￡=2x,

/.BC=BE=2x,AD=AB—BD=10—x,

AC=AD,

AC=10—x,

AB是］。的直徑，

:.ZACB=90°9

：.AC2+BC2=AB2,

(10-X)2+(2X)2=102,

解得：x=0(不合題意，舍去)或1=4.

/.BE=2x=8.

故答案為：8.

n.(1)證明見解析

⑵證明見解析

⑶2/Izl

2

【詳解】(1)證明：AC為。的直徑,

/.ZAZ>C=90°,

.\ZACE+ZC4r)=90o,

ZDAE=ZACE,

二.NDA石+NCW=90。，即NC4E=90。，

/.ACYAP,

」.AP是。的切線.

(2)證明：AP和B尸都是。。的切線,

...OP垂直平分A5,

:.ZAFD=900=ZADEf

ZDAE+ZCAD=90°,ZDAE+ZAED=90°,

.\ZCAD=ZAEDf

OA=OD,

:.ZCAD=ZADF,

.\ZADF=ZAED,

(ZAFD=ZADE=90°

在△府和‘小中'\ZADF=ZAED

:.^FAD一DAE.

(3)解：OP±AB,tanZOAF=-,

2

■0F.1

??=—，

AF2

設=x{x>0),則AF=21，

.-.OD^OA^s]OF2+AF2=非x，

Ap—,即y3

tanZAOF=——

OAOFV5xx

解得A尸=2&x,

DF=OD-OF=(#-l)x,

AD=VAF2+￡>F2=J10-2島,

由(2)已證：VE4Z):VZME,

ADAF刖，10-2島2x

?.——二——,即----------=

AEAE”0—20

解得AE=(5-石)x,

m.AE(5-V5)x75-1

AP282

12.(1)見解析

⑵16

【詳解】(1)解：證明：如圖1,連接OO.

圖1

AB是。的直徑，

ZADB=90°f

:.ZA^-ZOBD=90°.

OD=OB,

：.ZODB=ZOBD.

ZA=NDEB,/DEB=/CDB,

:.ZA=NCDB,

/.ZODB+ZBDC=90°,

J.ODVCD

??,CD為。的切線.

圖2

BD=DE,

BD=DE，

s.ODLBE,BH=EH=-BE.

2

AB=20,

,\OB=OD=10.

設O”=x,貝iJO”=10—x.

BH2=BEr-DH-，BH2=OB2-OH2,

:.BD2-DH2=OB2-OH2,

(4V5)2-(10-X)2=102-X2,

解得x=6,

:.OH=6,

BH=yjOB2-OH2=8，

:.BE=2BH=16.

13.(1)見解析

【詳解】（1）證明：連接AD,

則=

?/NC=NE,

AZE=ZADB,

；BD為。直徑，

ZBAD=90°,

ZABD+ZADB=90°,

：.ZABD+ZE=90°,

：.Z.BDE=180°-ZABD-ZE=90°,

，BD±DE.

；BD為O直徑.

/.DE是一。的切線.

(2)過A作AN_LBC交于N,

c

?:/BDE=ZADE+ZADB=90。,ZABD-^ZADB=90°f

：.ZABD=ZADE,

丁ZBAD=ZDAE=90°,

.ADE^ABD,

.AEAD

**AD-AB,

:.AD2=AEAB^

VAE=1,AB=AC=4.

AD2=4，

**?AD=2,

在RtAABD中，

BD=^AB2-}-Ab2=275，

u：AB=AC,AN.LBC.

：.ZANC=ZBAD=90°,BC=2CN,

'：/C=ZADB,

：.AANCSABAD,

.ACCN

??茄一茄’

???2&N=8,

：.CN=^y[5f

：.BC=2CN=^y/5.

14.⑴見解析

【詳解】（1）證明：在C。中，為弦BC的中點,

???ODA.BC,

???。石垂直平分5C,

:.CE=BE,

：?/EBC=NECB,

又,：OB=OC,

：.ZOBC=ZOCB,

???CE是。的切線，

ZOCE=90°,

:.NOBE=NEBC+NOBC=NECB+NOCB=NOCE=90。,

又???A3為：。的直徑，

：?BE是。的切線；

(2)解：???為。的直徑，

???ZACB=90°f

VAB=10,AC=8,

,,BC=VAB2—AC2=6，

???BD=-BC=3,