§3-5等直圓軸扭轉時的變形?剛度條件Ⅰ、扭轉時的變形——兩個橫截面的相對扭轉角j扭轉角沿桿長的變化率相距dx的微段兩端截面間相對扭轉角為gMe

Me

jdjgD'TTO1O2ababdxDA等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me

作用時稱為等直圓桿的扭轉剛度相距l的兩橫截面間相對扭轉角為gMe

Me

j(單位：rad)例3-4圖示鋼制實心圓截面軸，已知：M1=1592N?m,M2=955N?m，M3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對于B的扭轉角jCB。解：1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC2、各段兩端相對扭轉角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC3、橫截面C相對于B的扭轉角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC例3-5圖示空心圓桿

AB，A端固定，底板B為剛性桿，在其中心處焊一直徑為d2的實心圓桿CB。空心桿的內、外徑分別為D1和

d1，外力偶矩Me、兩桿的長度l1、l2及材料的切變模量G

均為已知。試求：1、兩桿橫截面上的切應力分布圖；2、實心桿C端的絕對扭轉角jC。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板解：1、分析兩軸的受力如圖，求出其扭矩分別為ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板MeMeABMeBCMe2、求橫截面上的切應力空心圓軸實心圓軸空心圓軸實心圓軸t2,maxt1,maxt1,minT1T23、計算絕對扭轉角jCABCMeMeMeBCABMeMeACjCjBAjCBⅡ、剛度條件等直圓桿在扭轉時的剛度條件：對于精密機器的軸對于一般的傳動軸常用單位：

/m例3-6由45號鋼制成的某空心圓截面軸，內、外直徑之比a

=0.5。已知材料的許用切應力[t

]=40MPa，切變模量G=80GPa。軸的橫截面上最大扭矩為Tmax=9.56kN?m，軸的許可單位長度扭轉角[j']=0.3

/m。試選擇軸的直徑。解：1、按強度條件確定外直徑D2、由剛度條件確定所需外直徑D3、確定內外直徑§3-6等直圓桿扭轉時的應變能等直圓桿僅在兩端受外力偶矩Me

作用且時或gMe

Me

jjMe

Me

j當等直圓桿各段橫截面上的扭矩不同時或jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC純剪切應力狀態下的應變能密度(

)xyzabOcdxddydztt'tt'Otgtpg扭矩T為常量時，長為l的等直圓桿的應變能為等直圓桿的扭轉應變能與應變能密度的關系gMe

Me

j例3-7試用能量法求圖示桿系截面C處的扭轉角。圖中Me，l1，l2，D1，d1，d2及桿材的切變模量G均為已知。解：ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板已求得兩軸的扭矩其轉向與Me

相同。ABCMe桿系扭轉應變能為而例3-8圓柱螺旋彈簧如圖(簧桿斜度a<5°)受軸向壓力(拉力)F

作用。已知：簧圈平均半徑R，簧桿直徑d，彈簧的有效圈數

n，簧桿材料的切變模量G

，且簧圈平均直徑D>>d

。試推導彈簧的應力和變形計算公式。解：1、求簧桿橫截面上的內力分離體的平衡2、求簧桿橫截面上的應力a)略去與剪力相應的切應力b)D>>d

時略去簧圈的曲率影響3、求彈簧的變形近似認為簧桿長度l=2pRn彈簧在線彈性范圍內工作時稱為彈簧的剛度系數（N/m)§3-7等直非圓桿自由扭轉時的應力和變形Ⅰ、等直非圓形截面桿扭轉時的變形特點橫向線變成曲線橫截面發生翹曲不再保持為平面平面假設不再成立，可能產生附加正應力非圓桿兩種類型的扭轉——自由扭轉(純扭轉)此時相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，無附加正應力產生此時相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，橫截面上有附加正應力產生1、等直桿兩端受外力偶作用，端面可自由翹曲時2、非等直桿扭轉、扭矩沿桿長變化、或端面有約束不能自由翹曲時——約束扭轉Ⅱ、矩形截面桿自由扭轉時的應力和變形一般矩形截面等直桿t≤tp時1、tmax發生在橫截面的長邊中點處；2、橫截面周邊各點的切應力必定與周邊相切，沿周邊形成與扭矩同向的順流；3、四個角點處t=0。思考：存在第二、第三條規律的原因是什么？矩形截面等直桿自由扭轉時應力和變形的計算公式最大切應力（長邊中點處）短邊中點處的切應力單位長度扭轉角：相當極慣性矩扭轉截面系數其中a、b、n

——與相關的因數狹長矩形截面桿自由扭轉特點：1、沿長邊各點的切應力值除靠角點附近外，均接近相等；2、離短邊稍遠處，可認為切應力沿厚度d按直線規律變化。例3-9矩形截面的等直鋼桿，h=100mm,b=50mm,l=2m,m=4000N.m。=100Mpa，=1o/m,G=80Gpa。試校核此桿的強度和剛度。

解：由截面法求得T=m=4000N.m。為計算Wt和It，先算得m=h/b=100/50=2，查表得β=0.493和α=0.457。于是分別求得

例3-10有兩根尺寸、材料均相同的薄壁鋼管，設將其中一根沿縱向開一細縫，在兩桿的兩端各施加相同的扭轉力偶矩Me。已知鋼管的平均半徑r0=10d

，且兩桿均在線彈性范圍內工作。試比較兩桿的最大切應力及單位長度扭轉角。r0dr0d解：1、有縱向細縫的桿(開口薄壁截面桿)橫截面上切應力沿厚度的變化情況可將其展開為狹長矩形截面來處理。r0dT2、無縱向切縫的薄壁圓筒橫截面上切應力變化情況r0dT3、分析比較可見：薄壁圓筒有縱向細縫時，其扭轉強度及剛度均大幅下降。r0dTr0dT9、春去春又回，新桃換舊符。在那桃花盛開的地方，在這醉人芬芳的季節，愿你生活像春天一樣陽光，心情像桃花一樣美麗，日子像桃子一樣甜蜜。2月-252月-25Friday,February7,202510、人的志向通常和他們的能力成正比例。00:48:2500:48:2500:482/7/202512:48:25AM11、夫學須志也，才須學也，非學無以廣才，非志無以成學。2月-2500:48:2500:48Feb-2507-Feb-2512、越是無能的人，越喜歡挑剔別人的錯兒。00:48:2500:48:2500:48Friday,February7,202513、志不立，天下無可成之事。2月-252月-2500:48:2500:48:25February7,202514、ThankyouverymuchfortakingmewithyouonthatsplendidoutingtoLondon.ItwasthefirsttimethatIhadseentheToweroranyoftheotherfamoussights.IfI'dgonealone,Icouldn'thaveseennearlyasmuch,becauseIwouldn'thaveknownmywayabout.。07二月202512:48:25上午00:48:252月-2515、會當凌絕頂，一覽眾山小。二月2512:48上午