第三章離散傅里葉變換及其快速算法習題答案參考3.1圖P3.1所示的序列是周期為4的周期性序列。請確定其傅里葉級數的系數。解：（1）設為實周期序列，證明的傅里葉級數是共軛對稱的，即。

（2）證明當為實偶函數時，也是實偶函數。證明：（1）（2）因為實函數，故由（1）知有：或又因為偶函數，即，所以有3.3圖P3.3所示的是一個實數周期信號。利用DFS的特性及3.2題的結果，不直接計算其傅里葉級數的系數，確定以下式子是否正確。（1），對于所有的k；（2），對于所有的k；（3）；（4），對所有的k是實函數。解：（1）正確。因為一個周期為N＝10的周期序列，故也是一個周期為N＝10的周期序列。（2）不正確。因為一個實數周期序列，由例3.2中的（1）知，是共軛對稱的，即應有，這里不一定是實數序列。（3）正確。因為在一個周期內正取樣值的個數與負取樣值的個數相等，所以有（4）不正確。根據周期序列的移位性質，＝對應與周期序列，如圖P3.3_1所示，它不是實偶序列。由題3.2中的（2）知道，不是實偶序列。設，，求，并作圖表示和。解：和的圖形如圖3.4_1所示：3.5在圖P3.5中表示了兩個周期序列和，兩者的周期都為6，計算這兩個序列的周期卷積，并圖表示。解：圖P3.5_1所示的是計算這兩個序列的周期卷積的過程，可以看出，是延時1的結果，即。計算下列序列的N點DFT：(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）（3）（4）3.7圖P3.7表示的是一個有限長序列,畫出和的圖形。（1）（2）解：和的圖形如圖P3.7_1所示：3.8圖P3.8表示一個4點序列。（1）繪出與的線性卷積結果的圖形。（2）繪出與的4點循環卷積結果的圖形。（3）繪出與的8點循環卷積結果的圖形，并將結果與（1）比較，說明線性卷積與循環卷積之間的關系。解：（1）圖P3.8_1（1）所示的是與的線性卷積結果的圖形。（2）圖P3.8_1（2）所示的與的4點循環卷積結果的圖形。（3）圖P3.8_1（3）所示的與的8點循環卷積結果的圖形。可以看出，與的8點循環卷積結果的圖形與（1）中與的線性卷積結果的圖形相同。3.9是一個長度為N的序列，試證明。證明：因為是由周期性重復得到的周期序列，故可表示為

取r＝1，上式即為。3.10已知序列。現在對其Z變換在單位圓上進行N等分取樣，取值為，求有限長序列的IDFT。解：在z平面的單位圓上的N個等角點上，對z變換進行取樣，將導致相應時間序列的周期延拓，延拓周期為N，即所求有限長序列的IDFT為3.11若長為N的有限長序列是矩陣序列。（1）求，并畫出及其-零點分布圖。（2）求頻譜，并畫出幅度的函數曲線。（3）求的DFT的閉式表示，并與對照。解：（1）極點：；零點：圖P3.11_1(1)是極-零點分布圖。（2）；圖P3.11_1(2)所示的是頻譜幅度的函數曲線。（3）可見，等于在N個等隔頻率點上的取樣值。3.12在圖P3.12中畫出了有限長序列，試畫出序列的略圖。解：3.13有限長序列的離散傅里葉變換相當與其Z變換在單位圓上的取樣。例如10點序列的離散傅里葉變換相當與在單位圓10個等分點上的取樣，如圖P3.13（a）所示。為求出圖P3.13（b）所示圓周上的等間隔取樣，即在各點上的取樣，試指出如何修改，才能得到序列，使其傅里葉變換相當于上述Z變換的取樣。解：由上式得到3.14如果一臺通用計算機計算一次復數乘法需要100，計算一次復數加法需要20，現在用它來計算N＝1024點的DFT，問直接計算DFT和用FFT計算DFT各需要多少時間？解：直接計算DFT：復數乘法：復數加法：總計需要時間：用FFT計算DFT：復數乘法：復數加法：總計需要時間：3.15仿照本教材中的圖3.15，畫出通過計算兩個8點DFT的辦法來完成一個16點DFT計算的流程圖。解：圖P3.15_1所示的是用兩個8點DFT來計算一個16點DFT的流程圖。3.16設，現對進行頻譜分析。畫出FFT的流程圖，FFT算法任選。并計算出每級蝶形運算的結果。解：圖P3.16_1所示的為時間軸選8點FFT的流程圖和每級蝶形運算的結果。3.17根據本教材中圖3.27所示的流程圖，研究基2頻率抽選FFT算法。設N為2的任意整數冪，但不等于8。為了給數據全部加上標號，假設數組中的數據被存在依次排列的復數寄存器中，這些寄存器的編號從0到N－1，而數組的編號為0到。具有最初數據的數組是第0列，蝶形的第一級輸出是第1列，依次類推。下列問題均與第m列的計算有關，這里1≤m≤，答案應通過m和N表示。（1）要計算多少個蝶形?每個蝶形有多少次復數乘法和復數加法運算？整個流程圖需要多少次復數加法和復數乘法運算？（2）由第（m－1）列到m列，包含的的冪是什么？（3）蝶形的兩個復數輸入點的地址之間的間隔是多少？（4）利用同樣系數的各蝶形的數據地址間隔是什么？注意這種算法的蝶形計算的系數相乘是置于蝶形的輸出端的。解：（1）級，每級個蝶形，共個蝶形。每個蝶形有1次復數乘法和2次復數加法運算，故整個流程圖需要次復數加法和次復數乘法運算；（2）由第m-1列到m列，包含的的冪是；（3）蝶形的兩個復數輸入點的地址之間的間隔是；（4）利用同樣系數的各蝶形的數據地址間隔是。3.18使用FFT對一模擬信號作譜分析，已知：①頻率分辨率F≤5Hz；②信號最高頻率。試確定下列參數：（1）最小記錄長度；（2）取樣點的最大時間間隔T；（3）一個記錄長度中的最少點數。解：（1），最小記錄長度；（2），取樣點的最大時間間隔為；（3）一個記錄長度中的最少點數為。3.19已知信號和FIR數字濾波器的單位取樣響應分別為：（1）使用基2FFT算法計算與的線性卷積，寫出計算步驟。（2）用C語言編寫程序，并上機計算。解：（1）計算步驟：①在序列尾部補零將延長成為16點的序列；②用基－2FFT算法分別計算和的16點DFT，得到和；③計算序列的乘積；④用基－2FFT算法計算的16點IDFT，便得到和的線性卷積。（2）3.20已知兩個實序列和的離散傅里葉變換分別為和。設復序列為其離散傅里葉變換為。令分別表示的實部的奇數部分，實數的偶數部分，虛數的奇數部分和虛數的偶數部分。試用來表示和。解：因，故類似有因此可以用表示①另一方面，由于，故有②但因和都是實序列，故和的實部都是偶對稱序列，虛部都是奇對稱序列，因此應將①式整理成下列形式③對照式②和式③，便可得到和3.21線性調頻Z變換算法的一個用途是使頻譜的諧振峰變尖。一般說來，如果在z平面內靠近極點的一條圓周線上計算序列的Z變換，則可以觀察到諧振。在應用線性調頻Z變換算法或計算離散傅里葉變換時，被分析的序列必須是有限長的，否則必須先將序列截斷。截斷序列的變換只能有零點（除z=0或z=∞外），而原始序列的變換卻有極點。本題的目的是要證明，在有限長序列的變換中仍可以看到諧振型響應。（1）令，畫出它的Z變換的極－零點略圖。（2）令即等于從N點以后截斷