幾何-曲線型幾何-扇形-5星題

課程目標(biāo)

知識點考試要求具體要求考察頻率

扇形B1.了解扇形的特征和有關(guān)概念少考

2.能夠通過圓的面積和周長公式推

導(dǎo)出扇形的面積和弧長公式

3.能夠運用公式計算扇形的弧長、

面積和周長

知識提要

扇形

?概念

圓上兩點之間的部分叫做弧。

扇形是指一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

其中，圓的半徑也稱為扇形的半徑，而兩條半徑所形成的夾角稱為扇形的圓心角。

?公式

扇形的弧長=￡x2nr

360

扇形的面積;公冗/

360

其中，n表示圓心角的度數(shù)

注意：扇形的弧長不是周長，扇形的周長還需要加上兩條半徑。

精選例題

扇形

1.先做一個邊長為2czn的等邊三角形，再以三個頂點為圓心，2cm為半徑作弧，形成曲邊三

角形（如下圖）.再準(zhǔn)備兩個這樣的圖形，把一個固定住（下圖中的陰影），另一個圍繞著它

滾動，如下圖那樣，從頂點相接的狀態(tài)下開始滾動.請問此圖形滾動時經(jīng)過的面積是多少平方

厘米？（TT?3.14）

【答案】25.12cm2

【分析】在處理圖形的運動問題時，描繪出物體的運動軌跡是解決問題的第一步，只有大的

方向確定了，才能實施具體的計算.

D'

圖3

在數(shù)學(xué)中，本題所作出的這個曲邊三角形叫“萊洛三角形”，“萊洛三角形”有一個重要的性質(zhì)就

是它在所有方向上的寬度都相同.

為了求出“萊洛三角形”滾動時經(jīng)過的面積，可以分2步來思考：

第1步：如圖⑵所示，當(dāng)“萊洛三角形”從頂點4的上方滾動到頂點4的左邊時，這時陰影“萊

洛三角形”滾動的這部分面積是以4為圓心、2cm為半徑、圓心角為60。的扇形.在頂點4B、

C處各有這樣的一個扇形；

第2步：如圖⑶所示，當(dāng)“萊洛三角形”在邊48上滾動時，這時可以把陰影“萊洛三角形”看作

是以圖⑶中。點為圓心的圓的一部分，這個圓在以C點為圓心的弧48上滾動，可知此時圓心

O運動的軌跡是圖⑶中的弧。。'，所以此時陰影“萊洛三角形”滾動的這部分面積是以C為圓心、

4cm為半徑、圓心角為60°的扇形減去半徑為2cm的60°的扇形；

綜上所述，去掉圖⑷中陰影“萊洛三角形”后所形成的組合圖形就是要求的面積.

滾動時經(jīng)過的面積是：

/60\/60

3xhrx27ZX--+3XTTX472X—--TTX292X

\360/\360

=8TT

=25.12(cm2).

2.如圖，直角三角形中，為直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，則在將△4BC繞

C點順時針旋轉(zhuǎn)120。的過程中，48邊掃過圖形的面積是多少？(兀=3.14)

B

【答案】12.56平方厘米

【分析】如右上圖所示，假設(shè)△ABC旋轉(zhuǎn)120。到達(dá)△ABC的位置.陰影部分為4B邊掃

過的圖形.

從圖中可以看出，陰影部分面積等于整個圖形的總面積減去空白部分面積，而整個圖形總面積

等于扇形ACA，的面積與△ABC的面積之和，空白部分面積等于扇形BC夕的面積與&ABC

的面積，由于△ABC的面積與445C的面積相等，所以陰影部分的面積等于扇形4a4'與扇

形BCB'的面積之差，為理X7TX42-辿x兀X22=4TT=12.56（平方厘米）.

3.如右圖，正方形的邊長為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】7.125

【分析】觀察可知陰影部分是被以4。為半徑的扇形、以為直徑的半圓形和對角線8。

分割出來的，分頭求各小塊陰影部分面積明顯不是很方便，如果能求出左下邊空白部分的面積,

就很容易求出陰影部分的面積了，再觀察可以發(fā)現(xiàn)左下邊空白部分的面積就等于三角形4B0

的面積減去扇形4DE的面積，那么思路就很清楚了.

因為4ADB=45°,

所以扇形ADE的面積為：哈;x兀xAZ"=券X3.14x52=9.8125（平方厘米），

那么左下邊空白的面積為：|x5x5-9.8125=2.6875（平方厘米），

又因為半圓面積為：，X7TX（I）?=9.8125（平方厘米），

所以陰影部分面積為：9.8125-2.6875=7.125（平方厘米）.

4.一只狗被拴在底座為邊長3m的等邊三角形建筑物的墻角上（如圖），繩長是4m,求狗所

能到的地方的總面積.（圓周率按3.14計算）

【答案】43.96m2

【分析】如圖所示，狗活動的范圍是一個半徑4m,圓心角300。的扇形與兩個半徑1m,圓

心角120。的扇形之和.所以答案是43.96m2.

5.如圖，是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米.現(xiàn)在以。點為圓心，把三角

形順時針轉(zhuǎn)90度，那么，4B邊在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積是平方米.（兀=3.14）

【答案】0.6775

【分析】如圖，順時針旋轉(zhuǎn)后，A點沿弧A4'轉(zhuǎn)到4'點，B點沿弧轉(zhuǎn)到B，點，。點沿

弧DZT轉(zhuǎn)到ZT點.因為是C點到48的最短線段，所以48掃過的面積就是圖中的弧

4ZB與BOO2,之間的陰影圖形.

S陰影=$半圓一S空白

S&ABC=S^BDC+S&AD，c=]X1X1=5（平方米）,

sAABC=S正方形4DCb=CD?=2（平方米），

所以，

JI7rlTT

s扇形（平方米），

我們推知

712

S陰影=2*8。—S扇形DCD,一（S^BDC+^/\ACD）

71711

=2~8~2

_3TC1

~~8~2

=0.6775

A68)

6.如圖，邊長為3的兩個正方形BQKE、正方形DCFK并排放置，以BC為邊向內(nèi)側(cè)作等邊三

角形，分別以8、C為圓心，BK、CK為半徑畫弧.求陰影部分面積.（n=3.14）

【答案】8.58

【分析】根據(jù)題意可知扇形的半徑r恰是正方形的對角線，所以

r2=32x2=18,

如上圖將左邊的陰影翻轉(zhuǎn)右邊陰影下部，

S陰影=S扇形一S柳葉

60x2/I

=--x181T—2（x18TC—3x3

360\4

=18-3K

=8.58.

7.面上有7個大小相同的圓，位置如圖所示.如果每個圓的面積都是10,那么陰影部分的面

積是多少？（兀取3.14）

【答案】20

【分析】陰影包括中間的一個圓和周圍六個花瓣狀的小小圖形.這個圖形可以割補成一個頂

角為60。的扇形，如下圖所示，因此六個這樣的圖形面積和正好是一個圓：陰影部分的面積等

于兩個圓的面積，為20.

8.如圖所示，ABC。是一邊長為4cm的正方形，E是AD的中點，而尸是BC的中點.以C為

圓心、半徑為4cm的四分之一圓的圓弧交EF于G,以F為圓心、半徑為2cm的四分之一圓

的圓弧交EF于H點，若圖中Si和￡兩塊面積之差為根兀一"cm?）（其中租、n為正整數(shù)），

請問m+n之值為何？

3

【答案】11

【分析】（法1）SQFCDE=2x4=8cm2,S扇形8°D=[義兀x4?=4兀（cm?），

S扇形BFH=]x71X22=兀（cm2）,而

Si_§2=S扇形BCD-S扇形BFH-SDFCDE=4兀一兀-8=3兀-8（cm2）,

所以m=3,n=8,m+n=3+8=ll.

（法2）如右上圖，S+Sj_=SBFEA—S扇形BFH=2X4—2x2x?r+4=8—7r（cm^）,

2

S+S2=SABCD-S扇形BCD=4X4-4X4X7T4-4=16-4TT（cm）,

所以，S]—S2—（8—兀）一（16—4兀）=37r—8（cm?）,故TH+M=3+8=11.

9.如圖所示，直角三角形4BC的斜邊4B長為10厘米，^ABC=60",此時BC長5厘米.以

點B為中心，將△4BC順時針旋轉(zhuǎn)120。，點4C分別到達(dá)點E、。的位置.求4c邊掃過的

圖形即圖中陰影部分的面積.（兀取3）

【答案】75平方厘米

如圖所示，將圖形（1）移補到圖形（2）的位置,

因為乙EBD=60°,那么乙ABE=120°,

則陰影部分為一圓環(huán)的:.

所以陰影部分面積為gxTTXG4B2—BC2）=75（平方厘米）.

10.如圖，4BC0是一個長為4,寬為3,對角線長為5的正方形，它繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)

90。，分別求出四邊掃過圖形的面積.

D

【答案】B*

DC\4n

AB'An

9IT

AD:——

4

【分析】容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的%如圖:

因此DC邊掃過圖形的面積為4n,BC邊掃過圖形的面積為v.

研究邊的情況.

在整個4B邊上，距離C點最近的點是B點，最遠(yuǎn)的點是A點，因此整條線段所掃過部分應(yīng)

該介于這兩個點所掃過弧線之間，見如圖中陰影部分：

A

DCB,

下面來求這部分的面積.

觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，所求陰影部分的面積實際上是：

扇形ACA，面積+三角形A'B'C面積一三角形ABC面積一扇形BC夕面積=扇形ACA，面積一

扇形BCB，面積=空-卓=4m

研究邊掃過的圖形.

由于在整條線段上距離C點最遠(yuǎn)的點是A,最近的點是￡>,所以我們可以畫出