7.1相交線第七章相交線與平行線第2課時兩條直線垂直逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2垂直與垂線垂線的畫法及性質垂線段及點到直線的距離知1－講感悟新知知識點垂直與垂線11.垂直與垂線感悟新知知1－講特別解讀1.垂直是相交的特殊情況：夾角為90°.2.垂線是直線.3.兩條線段或射線垂直，是指這兩條線段或射線所在的直線垂直.感悟新知2.垂直定義的雙重性垂直的定義既是判定也是性質，如圖7.1-10所示.知1－講

性質知1－練感悟新知[母題教材P8習題T3]如圖7.1-11，直線AB，CD相交于點O，OE⊥AB

于點O，且∠COE=40°，求∠BOD

的度數.例1知1－練感悟新知解：因為OE⊥AB，所以∠AOE=90°.又因為∠AOE=∠AOC+∠COE，∠COE=40°，所以∠AOC=90°－40°=50°.所以∠BOD=∠AOC=50°.解題秘方：利用垂直的定義及對頂角的性質，將要求的角向已知角轉化.知1－練感悟新知1-1.如圖，已知OA⊥OB，∠BOC=40°，OD

平分∠AOC，則∠BOD=_________.25°知1－練感悟新知將一張長方形紙片按如圖7.1-12所示方式折疊，EF，EG

為折痕，判斷EF

與EG

的位置關系.例2

知1－練感悟新知解題秘方：根據折疊特點判斷角的關系，然后通過推斷兩條直線的夾角來判斷位置關系.知1－練感悟新知

鄰補角的平分線互相垂直知1－練感悟新知2-1.如圖，直線AB，CD

相交于點O，∠AOC=45°，∠AOD=3∠DOE.

試猜想OE

與AB的位置關系，并說明理由.解：OE⊥AB.理由：因為∠AOC＝45°，所以∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－45°＝135°.又因為∠AOD＝3∠DOE，所以3∠DOE＝135°，所以∠DOE＝45°.

所以∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝135°－45°＝90°.

所以OE⊥AB.感悟新知知2－講知識點垂線的畫法及性質21.垂線的畫法經過一點（已知直線上或直線外），畫已知直線的垂線，步驟如下：特別說明：當點在直線上時，畫法相同.感悟新知知2－講2.垂線的性質：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.知2－講感悟新知特別提醒1.“有”說明垂線的存在性，“只有”說明垂線的唯一性.2.性質中的唯一性有兩個關鍵條件不能少：一是“同一平面”；二是過一點，這一點可以在直線上，也可以在直線外.感悟新知知2－練[母題教材P5例2]在圖7.1-13中，分別過點P作AB的垂線.例3解題秘方：根據利用三角尺畫垂線的步驟進行操作.知2－練感悟新知解：如圖7.1-13所示.提示：畫線段、射線的垂線，實質是畫它們所在直線的垂線，當垂足不能落在線段或射線上時，可先畫出相應直線后，再畫垂線.知2－練感悟新知3-1.如圖，分別過點P作線段MN

的垂線.解：如圖所示．知3－講感悟新知知識點垂線段及點到直線的距離31.垂線段及點到直線的距離感悟新知知3－講特別解讀1.垂直是兩條直線間的位置關系，垂線是直線，垂線段是線段.2.點到直線的距離是兩點間距離的特殊情況：直線外一點到垂足這兩點間的距離.感悟新知2.垂線段的性質連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.知3－講特別說明與“兩點之間，線段最短”都是說明不等關系的重要依據.知3－練感悟新知如圖7.1-14，AC⊥BC，AC=9cm，BC=12cm，AB=15cm.（1）求點A

到直線BC

的距離和點B

到直線AC

的距離；（2）若點D

在AB

上，連接CD，求線段CD

長的最小值.例4

知3－練感悟新知解：因為AC⊥BC，AC=9cm，BC=12cm，所以點A

到直線BC的距離是線段AC

的長度，為9cm，點

B到直線AC的距離是線段BC的長度，為12cm.（1）求點A

到直線BC

的距離和點B

到直線AC

的距離；知3－練感悟新知

（2）若點D

在AB

上，連接CD，求線段CD

長的最小值.知3－練感悟新知4-1.如圖，一輛汽車在筆直的公路上由A

向B

行駛，M，N

是位于公路AB

兩側的兩所學校，若汽車在公路上行駛時會對學校教學造成影響，試通過畫圖分別確定出汽車行駛時對兩所學校影響最大的位置.解：如圖，C點是汽車對M學校影響最大的位置，D點是汽車對N學校影響最大的位置．兩條直線垂直垂線段點到直線的距離垂線垂線的畫法及性質性質垂直應用利用垂直的定義求角的度數1[新考法分類討論法]已知直線AB

與直線CD相交于點O，OE

平分∠AOC，射線OF⊥CD于點O，且∠BOF=32°，求∠COE的度數.例5思路引導：方法點撥當題目未提供圖形，需要自己畫圖時，要考慮可能出現的所有情況，即分類討論，然后根據不同情況進行解答.各種情況的解題思路一般相同.分類圖形解法兩條直線相交（不垂直）所形成的兩組對頂角，一組為銳角，一組為鈍角；在畫圖時，只需交換一條直線上兩個點的位置即可.

應用利用垂直的定義判斷兩線的位置關系2如圖7.1-17，直線AB，CD相交于點O，FO⊥CD于點O，且∠FOE=∠DOB.猜想EO與AB

的位置關系，并說明理由.例6解題秘方：通過求兩直線夾角的度數來說明兩直線的位置關系.解：EO與AB

互相垂直.理由如下：因為FO⊥CD，所以∠FOD=90°.所以∠FOE+∠EOD=90°.又因為∠FOE=∠DOB，所以∠DOB+∠EOD=90°，即∠EOB=90°.所以EO

與AB互相垂直.方法提醒利用數量關系判斷位置關系是幾何題目中最常見的方法.熟練掌握各種位置關系對應的數量關系是解題關鍵.應用利用垂線段的性質解決實際問題3如圖7.1-18，AB

是一條河流，要鋪設管道將河水引到C，D

兩個用水點，現有兩種鋪設管道的方案.方案一：分別過點C，D作AB的垂線，垂足分別為E，F，沿CE，DF鋪設管道.方案二：連接CD

交AB

于點P，沿PC，PD鋪設管道.這兩種鋪設管道的方案中，哪一種更節省材料？為什么？例7思路引導：特別警示要準確理解題意，將實際問題轉化為數學問題分析，此題容易盲目根據“兩點之間，線段最短”，誤認為方案二更節省材料.解：按方案一鋪設管道更節省材料.理由如下：因為CE⊥AB，DF⊥AB，所以根據“垂線段最短”，可得CE

＜PC，DF

＜PD.所以CE+DF

＜PC+PD.所以按方案一鋪設管道更節省材料.易錯點沒透徹理解垂線段的性質而致錯點P

為直線m

外一點，點A，B，C

為直線m

上三點，PA=5cm，PB=6cm，PC=3cm，則點P

到直線m的距離（）A.等于5cmB.等于3cmC.小于3cmD.不大于3cm例8錯解：B解：如圖7.1-19，PC

與直線m不一定垂直.所以點P到直線m

的距離不大于3cm.正解：D診誤區：雖然垂線段最短，但是在這幾條線段中最短的線段不一定是垂線段，故只能說有可能PC是垂線段，此題易錯選B.[中考·常州]

[跨學科綜合]如圖7.1-20，推動水桶，以點O

為支點，使其向右傾斜.若在點A

處分別施加推力F1，F2，則F1的力臂OA大于F2

的力臂OB.這一判斷過程體現的數學依據是（）A.垂線段最短B.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直C.兩點確定一條直線D.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行考法垂線段性質的應用1例9試題評析：本題考查垂線段的性質，結合圖形運用垂線段最短的知識即可解釋.特別地，D選項是7.2.1的內容，不影響解答本題.答案：A解：因為過點O有OB⊥AB，所以OA>OB，即F1的力臂OA大于F2的力臂OB.因此其體現的數學依據是垂線段最短.[中考·北京]如圖7.1-21，直線AB

和CD

相交于點O，OE⊥OC.若∠AOC=58°，則∠EOB的大小為（）A.29°B.32°C.45°D.58°考法利用垂直的定義求角的度數2例10試題評析：本題考查垂直的定義，解題的關鍵是能根據兩條直線垂直得到夾角為90°.答案：B解：因為OE⊥OC，所以∠COE=∠DOE=90°.因為∠BOD=∠AOC=58°，所以∠EOB=90°－58°=32°.[中考·金昌]傳統文化如圖7.1-22①，漢代初期的《淮南萬畢術》是中國古代有關物理、化學的重要文獻，書中記載了我國古代學者在科學領域做過的一些探索及成就.其中所記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法，即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上；反射光線和入射光線位于法線的兩側；考法利用垂直的定義解決實際問題3例11反射角等于入射角”.為了探清一口深井的底部情況，運用此原理，如圖7.1-22②，在井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線AB

與地面CD

所成夾角∠ABC=50°時，要使太陽光線經反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡EF

與地面的夾角∠EBC=（）A.60°B.70°C.80°D.85°試題評析：本題考查垂直在實際問題中的應用，解題關鍵是將實際問題轉化為數學問題，然后結合相關知識進行解答.答案：B解：如圖7.1-22.因為BM⊥CD，所以∠CBM=90°.因為∠ABC=50°，所以∠ABE+∠FBM=180°－90°－50°=40°.又因為∠ABE=∠FBM，所以∠ABE=20°，所以∠EBC=∠ABE+∠ABC=20°+50°=70°.1.[期中·南寧興寧區]下列選項中，過點M作直線l的垂線，三角尺放置正確的是（）B2.[中考·雅安]如圖，直線AB，CD交于點O，OE⊥AB于O，若∠1=35°，則∠2的度數是（）A.55°B.45°C.35°D.30°A3.如圖，斑馬線的作用是為了引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現的數學依據是（）A.垂線段最短B.兩點確定一條直線C.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D.兩點之間，線段最短A4.如圖，點A

是直線m外一定點，點B，C

是直線m

上的兩定點，點P是直線m

上一動點，已知AB=6cm，BC=10cm，當動點P移動到點C

處時，PA⊥AB，且此時PA=8cm，則當動點P在直線m

上移動時，線段PA長度的最小值是（）A.4.5cmB.6cmC.4.8cmD.2.4cmC5.[期中·福州鼓樓區]如圖是小九同學在體育課上跳遠后留下的腳印，他的跳遠成績是線段________的長度.BP6.如圖，直線