新高考新題型第19題新定義壓軸題匯編

目錄

01集合新定義

02函數與導數新定義

03立體幾何新定義

04三角函數新定義

05平面向量與解三角形新定義

06數列新定義

07圓錐曲線新定義

08概率與統計新定義

09高等數學背景下新定義

01集合新定義

題目工（2024.北京.高三北師大實驗中學校考階段練習）已知N元正整數集合人={的?2,…,aN}（N>2）滿

足：ai<ajy，且對任意i,jC{1,2,??、N）,i</,都有-----GZ

CLj一包

（1）若Q1=2,寫出所有滿足條件的集合4；

（2）若QN恰有N個正約數,求證：aN—a”1+1；

（3）求證:對任意的i,/e{1,2,…,N—l},i</,都有&Wj

氏2

???

(2。24?北京?高三北京交通大學附屬中學校考階段練習)設集合S={5?2,…,aj(九23),其中次C

N*,i=l,2,-一,n.若集合S滿足對于任意的兩個非空集合ABUS,都有集合人的所有元素之和與集合B

的元素之和不相等，則稱集合S具有性質P.

(1)判斷集合{1,2,3,5,9},{1,3,5,11}是否具有性質P,并說明理由；

(2)若集合S={a1,。2,…,4}(nEN*)具有性質P,求證：V電+Q2H----------24—1,kEN*；

(3)若集合S={QIQ,…,Q2023}具有性質P,求工+—H--------1--一的最大值.

Q10-2<2-2023

題目⑶(2024?北京門頭溝?統考一模)已知集合”={土1,±2,±3,…，土九}例>3).若對于集合”的任意k元

子集A,A中必有4個元素的和為-1,則稱這樣的正整數k為“好數”，所有“好數”的最小值記作g(M).

⑴當丁=3,即集合"'={—3,—2,—1,1,2,3}.

⑴寫出M的一個子集且B中存在4個元素的和為一1；

(弦)寫出”的一個5元子集C,使得C中任意4個元素的和大于-1；

(2)證明：g(M)>?1+2；

(3)證明：g(M)=九+3.

2

02函數與導數新定義

題目?（2024.上海黃浦.高三格致中學校考開學考試）對于函數沙=/（為的導函數沙心/儂）,若在其定義域

內存在實數g和力，使得/（g+t）=（t+1）"'（g）成立，則稱沙=/（乃是“躍點”函數，并稱尬是函數沙=

/（,）的＞躍點

（1）若函數y=sine—m（cceR）是看躍點”函數，求實數?n的取值范圍；

（2）若函數9=/—aa+1是定義在（-1,3）上的“1躍點”函數，且在定義域內存在兩個不同的“1躍點”，求

實數a的取值范圍；

（3）若函數9=4+片（±GR）是"1躍點”函數，且在定義域內恰存在一個“1躍點”，求實數b的取值范圍.

蜃目回（2024.江西宜春.高三江西省豐城中學校考開學考試）俄國數學家切比雪夫（IT.JI.

He6MineB,1821—1894）是研究直線逼近函數理論的先驅.對定義在非空集合/上的函數/（①），以及

函數9（乃=如+”/；;,6€五）,切比雪夫將函數沙=|73）—9（城，；1；€/的最大值稱為函數/（；1；）與9（R）的

“偏差”.

（1）若/（劣）=/2（力6[0,1]）,g（x）=—/一1,求函數/（劣）與g（劣）的“偏差”；

（2）若/（劣）e[—1,1]）,g（力）=力+6,求實數b,使得函數/（%）與g（%）的“偏差”取得最小值，并求出

“偏差”的最小值.

3

題目回(2024?上海楊浦?復旦附中校考模擬預測)設夕=/(0是定義域為R的函數，如果對任意的?、rc2e

R(xi#=x2),\f(x1)—/(x2)|<\xr—x2\均成立，則稱沙=/(%)是“平緩函數”.

⑴若力㈤=F^，/2(，)=sin,,試判斷夕=力㈤和夕=扭力是否為“平緩函數”？并說明理由；(參考

6+1

公式:力>0時，sin力〈力恒成立)

(2)若函數沙=/(劣)是“平緩函數"，且g=/(⑼是以1為周期的周期函數，證明:對任意的色、gGR，均

有1/(電)一/(電)|<^-；

(3)設v=gQ)為定義在R上函數，且存在正常數人>1使得函數夕=A-gQ)為“平緩函數”.現定義數

列｛以｝滿足:2i=0,&=9(為_1)(n=2,3,4,…)，試證明：對任意的正整數n,g(x")<.

巍目⑦(2024.上海浦東新.高三上海市建平中學校考階段練習)若定義域為。的函數夕=/(,)滿足夕=/'

(，)是定義域為。的嚴格增函數，則稱/(立)是一個“7函數”.

(1)分別判斷力(。)=e",力(2)=/是否為T函數，并說明理由；

(2)已知常數a>0,若定義在(0,+8)上的函數沙=g(c)是T函數，判斷g(a+1)+g(a+2)和g(a)+

g(a+3)的大小關系，并證明；

(3)已知T函數9=F(c)的定義域為R,不等式F(0〈。的解集為(—8,0).證明：F(rc)在R上嚴格增.

03立體幾何新定義

題目⑼(2024.江蘇.高三專題練習)如圖1所示為一種魔豆吊燈，圖2為該吊燈的框架結構圖，由正六棱錐Q

-4BCDEF和。2-488￡下構成，兩個棱錐的側棱長均相等，且棱錐底面外接圓的直徑為1600mm,底面

中心為通過連接線及吸盤固定在天花板上，使棱錐的底面呈水平狀態，下頂點。2與天花板的距離為

1300mm,所有的連接線都用特殊的金屬條制成，設金屬條的總長為外

?-----------------1-

。2

1600mm

（圖2）

(1)設ZOMO=0(rad),將V表示成9的函數關系式，并寫出。的范圍;

(2)請你設計仇當角個正弦值的大小是多少時，金屬條總長g最小.

題目包（2024?遼寧沈陽?東北育才學校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示.蜂房結構

是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐H-ABC,J-CDE,K-EFA,再分別以AC,CE,EA為軸將

分別向上翻轉180°,使H,三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開

口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂

點的曲率之和，而每一頂點的曲率規定等于2兀減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多

面體的面的內角，用弧度制表示）.例如:正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是看，所以正四面體在

各頂點的曲率為2兀—3乂手=兀.

O

圖1圖2

⑴求蜂房曲頂空間的彎曲度；

（2）若正六棱柱底面邊長為1,側棱長為2,設/

（i）用，表示峰房（圖2右側多面體）的表面積SQ）；

（弦）當蜂房表面積最小時，求其頂點S的曲率的余弦值.

題目叵（2024?北京?高三統考期末）用光線照射物體,在某個平面上得到的影子叫做物體的投影，照射光線

叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.由平行光線形成的投影叫做平行投影，由點光源發出的光線形成

的投影叫做中心投影.投影線垂直于投影面產生的平行投影叫做正投影，投影線不垂直于投影而產生的平

行投影叫做斜投影.物體投影的形狀大小與它相對于投影面的位置和角度有關.如圖所示，已知平行四邊

（1）若平行四邊形ABCD平行于投影面（如圖1）,求證:四邊形AffC'Dr是平行四邊形；

（2）在圖2中作出平面ABCD與平面&的交線（保留作圖痕跡,不需要寫出過程）；

⑶如圖3,已知四邊形nB'C'D和平行四邊形ABCD的面積分別為S^S?，平面AB。。與平面&的交線是

直線z,且這個平行投影是正投影.設二面角人一％—n的平面角為為銳角）,猜想并寫出角e的余弦值

（用S1,52表示），再給出證明.

7

4ZHXH

題目叵(2024?山東濟南?高三統考期末)射影幾何學中，中心投影是指光從一點向四周散射而形成的投影,

如圖，。為透視中心,平面內四個點E,F,G,H經過中心投影之后的投影點分別為AB,。,D.對于四個有

CA

序點42。,。,定義比值7=貴叫做這四個有序點的交比，記作(4BCD).

~DB

⑴證明：(EFGH)=(ABCD)；

⑵已知gG印制,點B為線段的的中點“40=608=3,俏*=去求8s4

04三角函數新定義

題目叵如果對于三個數a、b、c能構成三角形的三邊，則稱這三個數為“三角形數”，對于“三角形數”a、6、

c,如果函數沙=/(為使得三個數/(a)、于⑹、/(c)仍為“三角形數”,則稱y=/(,)為“保三角形函數”.

⑴對于“三角形數"a、2a、5+a,其中等<&<5,若/㈤=tan,,判斷函數夕=/(乃是否是“保三角形

4o4

函數”，并說明理由；

⑵對于“三角形數"a、a+等、a+等，其中？VaV獸，若g(0=sin①判斷函數g=g㈤是否是“保三角

63612

形函數”，并說明理由.

???

^■310數學家發現：sine=c—4+冬—冬+…，其中川=1x2x3X…X利用該公式可以得至U：當,

3!5!7!

E^0,—jtry,smx<6;sin力>力一—;smrc<x——+—;???.

⑴證明:當①e（o,馬時，巫>J；

（2）設/（aOumsinx,當/（⑼的定義域為［a,b］時，值域也為一向，則稱［a,b］為于（x）的“和諧區間”.當m

=—2時，/（,）是否存在“和諧區間”？若存在，求出/Q）的所有“和諧區間”，若不存在，請說明理由.

已知函數？/=/（，），若存在實數小、％（小片。），使得對于定義域內的任意實數”，均有山?/（，）=/（2

+%）+/3—%）成立，則稱函數/（⑶為“可平衡”函數;有序數對（機,勸稱為函數汽⑼的“平衡”數對.

（1）若f（±）=x2，求函數代⑼的“平衡”數對；

（2）若館=1,判斷/（2）=sinc是否為“可平衡”函數，并說明理由；

⑶若皿、TT^eR,且（62,1）均為函數/（c）=cos2a?（0<a;<^-）的"平衡”數對，求那+成的取

值范圍.

05平面向量與解三角形新定義

題百|方古希臘數學家托勒密對凸四邊形（凸四邊形是指沒有角度大于180。的四邊形）進行研究,終于有重

大發現:任意一凸四邊形，兩組對邊的乘積之和不小于兩條對角線的乘積，當且僅當四點共圓時等號成立.

且若給定凸四邊形的四條邊長，四點共圓時四邊形的面積最大.根據上述材料，解決以下問題：

如圖，在凸四邊形ABCD中，

（1）若AB==1,/ACD=^,AC=CD（圖1）,求線段BD長度的最大值：

（2）若AB=2,BC=6,AD=CD=4（圖2）,求四邊形ABCD面積取得最大值時角A的大小，并求出四邊

形ABCD面積的最大值.

10

題目:可在平面直角坐標系中，。為坐標原點，對任意兩個向量由=(%％),元=(多2,沙2),作：OM=rh,ON

=立當由，方不共線時，記以OM,ON為鄰邊的平行四邊形的面積為S(滋狗=E統一項;」；當力，亢共線

時，規定S(m,n)=0.

(I)分別根據下列已知條件求S(力拓)：

①rh=(2,1),亢=(—1,2)；@m=(1,2),n—(2,4)；

(II)若向量可=Am+fin(A,}ie0),

求證：S(p,m)+S(p,n)=+|//|)S(m,n)；

(III)若4B,。是以。為圓心的單位圓上不同的點，記瓦5=4,OB=b,OC=c.

(i)當日上書時，求S(K,4)+S(K而的最大值；

(ii)寫出S0,4)+S(b,c)+S?4)的最大值.(只需寫出結果)

題目叵(2024?全國?模擬預測)定義:一個幾何體的表面積與體積之比稱為幾何體的相對表面積.

⑴若一個直三棱柱高為力,底面三角形的內切圓半徑為7,相對表面積為S。,求證：$0=2(<+!)；

'拉r7

(2)如圖，一塊直三棱柱形狀的蛋糕，底面三邊長分別為3,4,5,若蛋糕的最外層包裹著薄薄的一層巧克力

(厚度忽略不計),用刀垂直于底面將蛋糕切開，使之成為兩塊直棱柱狀的小蛋糕，要求兩塊小蛋糕的相對表

面積相等,且包裹的巧克力面積相等,有幾種切法.

06數列新定義

題目逗(2024.上海徐匯?統考三模)對于數列｛冊｝,記V(n)=|a2-O1|+l^-^l+…

+|an-an_i|(n>l,nGN*).

(1)若數列｛冊｝通項公式為：飆=1+7廠(nCN*),求V(5)；

(2)若數列｛Q/滿足：ai=a,飆=6，且。>仇求證：V(n)=a—b的充分必要條件是用14應

(i=l,2,—,n-l)；

(3)已知V(2022)=2022,若yt=｝(的+Q2HHaJ,t=l,2,???,2022.求|統一gj+|明一統IHH“22—2/20211

的最大值.

題目叵(2024?上海松江.高三上海市松江二中校考開學考試)若實數數列4：QIQ,…,。式口>2)滿足

\ak+1—ak\=l(k=1,2,…，九一1),則稱數列4為E數列.

(1)請寫出一個5項的E數列4,滿足Q1=Q5=0,且各項和大于零；

(2)如果一個石數列4滿足:存在正整數ii,i2434445(ii<12<13<h<15^九)使得a%,Q￡2，Q%，Q%，Q15組成首項為

1,公比為—2的等比數列,求n的最小值；

(3)已知ag,…為E數列,求證：g,黑，…,等產為E數列且多，黑，…，等為E數列”的充

要條件是％1,Q2,…,Q2M是單調數列”.

,+

12

（2024?北京豐臺?高三統考期末）若有窮數列｛aj（nCN*且n>3）滿足限―七+J<|ai+1-ai+2|（i=1,

2,…,八一2）,則稱｛aj為M數列.

（1）判斷下列數列是否為M數列,并說明理由：

①1,2,4,3.

②4,2,8,1.

（2）已知M數列｛aj中各項互不相同.令bm=\am-am+1\（rn=1,2，…,n—1）,求證:數列｛?｝是等差數列

的充分必要條件是數列｛%｝是常數列；

m—1

（3）已知M數歹U｛aj是€乂且?71>3）個連續正整數1,2,…,772的一個排列.若Q"=館+2,

k=l

求館的所有取值.

題目互（2024.北京石景山.高三統考期末）記實數a,b中的較大者為max｛a,b｝,例如max｛l,2｝=2,

max｛l,l｝=1,對于無窮數列｛Q/,記軟=max｛a2fc-i，a2fc｝（kEN*）,若對于任意的kGN*,均有以+1<伙，則

稱數列｛冊｝為“趨勢遞減數列”.

（1）已知數列｛an｝,｛bn｝的通項公式分別為飆=—2九+1,勾=（―表”,判斷數列｛廝｝,國｝是否為“趨勢遞減

數列”，并說明理由；

（2）已知首項為1公比為q的等比數列｛品｝是“趨勢遞減數列”，求q的取值范圍；

（3）若數列｛虞｝滿足4,d2為正實數,且虞+2=\dn+-dn\，求證：｛虞｝為“趨勢遞減數列”的充要條件為｛虞｝

的項中沒有0.

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題目叵(2024?北京海淀?統考)已知數列｛aJ是由正整數組成的無窮數列，若存在常數kCN*,使得

+a2n="時,對任意的nEN*成立，則稱數列｛Q/具有性質t/rk.

(1)分別判斷下列數列｛冊｝是否具有性質力(2)；(直接寫出結論)①冊=1；②&=2n

(2)若數列｛an｝滿足每+1>每(九=1,2,3…)，求證:“數列｛aj具有性質僅2)”是“數列｛冊｝為常數列的充

分必要條件；

(3)已知數列｛%｝中Qi=1,且冊+i>an(n=1,2,3???)?若數列｛QJ具有性質”(4),求數列｛an｝的通項公

式.

07圓錐曲線新定義

題目區已知點。是圓Q：(rr+4尸+才=72上一動點，點力(4,0),線段AD的垂直平分線交線段DQ于點B.

(1)求動點B的軌跡方程C；

(2)定義:兩個離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關于坐標軸對稱的曲線T與曲線。相似，且焦點在

同一條直線上，曲線T經過點E(—3,0),F(3,0).過曲線。上任一點P作曲線T的切線，切點分別為M,N,

這兩條切線PMPN分別與曲線。交于點G,H(異于點P),證明：7W〃GH

題目叵橢圓曲線加密算法運用于區塊鏈.

橢圓曲線。={(外夕)Iy1—x3+ax+6,4a3+276'2#0}.PG。關于工軸的對稱點記為戶.。在點P[x,y)(y

*0)處的切線是指曲線y=±y/x3+ax+b在點P處的切線.定義“十”運算滿足:①若PCQC且直

線PQ與。有第三個交點R,則「十口二尺；②若PeGQCC,且PQ為C的切線，切點為P,則「十口二

戶;③若PC規定P十9=0*,且P十0*=O>^P=P.

(1)當4a3+27/=0時,討論函數拉⑸=x3+ax+b零點的個數；

(2)已知“十”運算滿足交換律、結合律，若PC。,QCC,且PQ為。的切線,切點為P,證明：P十P=。；

(3)已知。(曲,%)GGC,且直線PQ與。有第三個交點，求P十Q的坐標.

參考公式：w?—n?—(m—n)(m2+mn+n2)

??

題目區（2024?全國?高三專題練習）閱讀材料：

（一）極點與極線的代數定義；己知圓錐曲線G：4c2+32+2。2+2叫+F=0,則稱點P（g,%）和直線Z：

Axox+Cyoy+DQ+g）++“。）+尸=0是圓錐曲線G的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程

中，以&工替換d,以2耍替換以另一變量沙也是如此），即可得到點p（&,%）對應的極線方程.特別地，

對于橢圓與+%=L與點P[x0,y。）對應的極線方程為C=1；對于雙曲線日—%=1,與點P

2

（g,%）對應的極線方程為苦—等=1；對于拋物線y=2PM與點P（g,y。）對應的極線方程為yoy=

ab~

p（g+c）.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.

（二）極點與極線的基本性質定理

①當P在圓錐曲線G上時，其極線/是曲線G在點P處的切線：

②當P在G外時,其極線Z是曲線G從點P所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；

③當P在G內時,其極線Z是曲線G過點P的割線兩端點處的切線交點的軌跡.

結合閱讀材料回答下面的問題：

（1）已知橢圓。：4+￥=1色>6>0）經過點_?（4,0）,離心率是空,求橢圓。的方程并寫出與點。對

azb22

應的極線方程；

（2）已知Q是直線Z：g=—5c+4上的一個動點，過點Q向⑴中橢圓。引兩條切線，切點分別為N,是

否存在定點T恒在直線上，若存在,當而？=1討時,求直線MN的方程；若不存在,請說明理由.

題目西（2024.上海虹口?高三統考階段練習）已知橢圓r：4+￥=l（a>6>0）的左、右焦點分別為區、

ab

月，直線2的斜率為卜,在y軸上的截距為m.

⑴設k=l,若T的焦距為2,Z過點后，求，的方程；

（2）設m=0,若P",/）是r上的一點，且即|+|兩=4,Z與「交于不同的兩點4Q為『的上頂

點，求△ABQ面積的最大值；

（3）設元是Z的一個法向量，M是I上一點，對于坐標平面內的定點N,定義dN=史經”.用以6、晨小表

同

2

示dF：心,并利用dF：切與b的大小關系,提出一個關于I與r位置關系的真命題,給出該命題的證明.

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08概率與統計新定義

題目包(2024.北京東城.高三統考期末)已知隨機變量￡的取值為不大于n的非負整數值，它的分布列為:

5012n

PPoPi02Pn

其中加(i=0,1,2,...,n)滿足：PiE[0,1],且%+0+02+....+外=1.定義由5生成的函數/(力)=Po+p巡

+02%...+「滔”，令g(G=/(力).

(/)若由占生成的函數f(x)=]■①+5砂，求P(￡=2)的值；

(II)求證:隨機變量己的數學期望E⑥=g⑴,f的方差。⑸=g'⑴+g⑴—(g⑴產；

n

(。⑥=X(i-七⑥產臉

1=0

(in)現投擲一枚骰子兩次，隨機變量e表示兩次擲出的點數之和,此時由5生成的函數記為則，求42)的

值.

題目區(2024?四川成都?高三成都七中校考開學考試)在三維空間中，立方體的坐標可用三維坐標

(如a2,a3)表示，其中{0,1}(1<iW3,iCN).而在n維空間中(n>2,neN),以單位長度為邊長的“立

方體”的項點坐標可表示為九維坐標(ai.aa,?3>.......,a“)，其中心C{0,l}(l<iWn,iCN).現有如下定義：

在八維空間中兩點間的曼哈頓距離為兩點(aiQQ,……，廝)與(瓦也也,……瓦)坐標差的絕對值之和，即

為|Oi—bi|+血一蚓+包―刈+...+|an—bn|.回答下列問題：

(1)求出八維“立方體”的頂點數；

(2)在八維“立方體”中任取兩個不同頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離

①求出X的分布列與期望；

②證明:在n足夠大時，隨機變量X的方差小于0.25/.

]

(已知對于正態分布P隨X變化關系可表示為%X，)=e)

09高等數學背景下新定

題目國(2024.吉林長春.東北師大附中模擬預測)概率論中有很多經典的不等式，其中最著名的兩個當屬由

兩位俄國數學家馬爾科夫和切比雪夫分別提出的馬爾科夫｛Markov)不等式和切比雪夫(Chebyshev)不等

式.馬爾科夫不等式的形式如下：

設X為一個非負隨機變量，其數學期望為E(X),則對任意￡>0,均有P(X>￡)<心乎，

馬爾科夫不等式給出了隨機變量取值不小于某正數的概率上界，闡釋了隨機變量尾部取值概率與其數學期

望間的關系.當X為非負離散型隨機變量時，馬爾科夫不等式的證明如下：

設X的分布列為P(X=@)=R,i=1,2,…，九,其中PiE(0,+oo),^G[0,+oo)(i=1,2,…，"),夕"=1,則對任

i=l

意￡>0,P(X>￡)=EPI<=—>2電(《工￡電0尸E(X)，其中符號表示對所有滿足

Xi^Eg>￡￡￡X^E￡2=1￡g>e

e的指標i所對應的4求和.

切比雪夫不等式的形式如下：

設隨機變量X的期望為E(X),方差為D(X)，則對任意￡>0,均有P(|X—E(X)|>e)<絲立

s

(1)根據以上參考資料，證明切比雪夫不等式對離散型隨機變量X成立.

(2)某藥企研制出一種新藥，宣稱對治療某種疾病的有效率為80%.現隨機選擇了100名患者，經過使用該

藥治療后,治愈的人數為60人,請結合切比雪夫不等式通過計算說明藥廠的宣傳內容是否真實可信.

M

題目五(2024?湖北?高三黃岡中學校聯考階段練習)隨機變量的概念是俄國數學家切比雪夫在十九世紀中

葉建立和提倡使用的.切比雪夫在數論概率論函數逼近論積分學等方面均有所建樹，他證明了如下以他

名字命名的離散型切比雪夫不等式：設X為離散型隨機變量，則P(|X—E(X)|>4)&2孕，其中4為任

意大于0的實數.切比雪夫不等式可以使人們在隨機變量X的分布未知的情況下，對事件|X-W4的概

率作出估計.

(1)證明離散型切比雪夫不等式；

(2)應用以上結論，回答下面問題：已知正整數5.在一次抽獎游戲中，有幾個不透明的箱子依次編號為

1,2,…,九,編號為i(lWiWn)的箱子中裝有編號為0,1，…,i的i+1個大小質地均相同的小球.主持人邀請

九位嘉賓從每個箱子中隨機抽取一個球，記從編號為i的箱子中抽取的小球號碼為X”并記x=匯乎.對

i=l2

任意的外,是否總能保證P(XW0.1")>0.01(假設嘉賓和箱子數能任意多)？并證明你的結論.

附:可能用到的公式(數學期望的線性性質):對于離散型隨機變量X,X1,X2,…,X”滿足X=則有E

i=l

n

(X)=2E(X)

i=l

21

題目應(2024?北京西城?統考二模)給定奇數n>3,設A。是九x九的數陣.為表示數陣第i行第j列的數，

與=工3巧且a尸%(i=1,2,…，啕=1,2,….定義變換g為“將數陣中第力行和第t列的數都乘

以一1"，其中tE｛1,2,…,口｝.設T—(加力2,依｛1,2,…,n｝,/=1,2,…,s(sEN*).將4經過口］變換

得到4,4經過血變換得到4,…，A-經過正變換得到4.記數陣4中1的個數為￡)(/).

(01-L、

⑴當h二3時，設4=101,T=(1,3),寫出4,4，并求乙⑴,4。⑵；

、一110>

⑵當n=5,s>2時,對給定的數陣4,證明：入。⑵-4。⑴是4的倍數；

⑶證明：對給定的數陣4,總存在T,使得耳⑸&叱1)“.

題目叵(2024?上海寶山?統考一模)若數列滿足:從第二項起的每一項不小于它的前一項的eR)倍，則

稱該數列具有性質P(4).

(1)已知數列一1,2—必3—工具有性質P(4),求實數c的取值范圍；

(2)刪除數列3］，3?,…，3。，…中的第3項，第6項，…，第3九項，…，余下的項按原來順序組成一個新數列

｛圖｝，且數列｛圖｝的前幾項和為黑,若數列｛黑｝具有性質P(4),試求實數4的最大值；

n2021

(3)記y^Uj=um-［-um+1-\-um+2-\----\~un(mGN),如果afc>0(fc=1,2,…,2021)，證明：>1”的充要條件

i=mk=l

是“存在數列｛彩｝具有性質p(l),且同時滿足以下三個條件：(I)數列｛彩｝的各項均為正數，且互異；

20212020

(II)存在常數A>0,使得數列｛力/收斂于A；(III)j;n—Tn-1=^akxn+k-WX+12n+式n=1,2,…，這里x0=

k=lk=0

o)\

新高考新題型第19題新定義壓軸題匯編

目錄

01集合新定義

02函數與導數新定義

03立體幾何新定義

04三角函數新定義

05平面向量與解三角形新定義

06數列新定義

07圓錐曲線新定義

08概率與統計新定義

09高等數學背景下新定義

01集合新定義

題目工（2024.北京.高三北師大實驗中學校考階段練習）已知N元正整數集合人=｛的?2,…,aN｝（N>2）滿

足：ai<ajy，且對任意i,jC｛1,2,??、N）,i</,都有GZ

CLj一包

（1）若Q1=2,寫出所有滿足條件的集合4；

（2）若QN恰有N個正約數,求證：aN—a”1+1；

（3）求證:對任意的i,/e｛1,2,…,N—l｝,i</,都有&Wj

di2

【解析】⑴｛2,3｝或｛2,4｝或｛2,3,4｝.

根據題意可知，若口2=3,則々7=36Z,滿足題意；

若a2=4,則/7r=2CZ,滿足題意；

出一2

顯然易知當&2>5時，一^ez,所以4={2,3}或4={2,4};

電一2

當a2=3,口3=4時，又滿足一^—=4CZ,所以可得4={2,3,4}滿足題意；

?3-02

因此可得所有滿足條件的集合人為{2,3}或{2,4}或{2,3,4}.

⑵證明：由題分別令i=N,/=l,2,“?,N—l,

可知，麗ez,

（LN-a】加―a_/v-i

即aN—a1,aN—a2,??,,孫廠QN-L這N—1個小于的數均為QN的正約數.

因為時的正約數的個數恰為N個（其中最大的是QN,最小的是1）,

-aa

而CbN>aN—ax>"N'電〉…〉N~N-i^

所以QN—QNT=1,

可得QN=QN-i+l

（3）證明：由題可知—ez,

dj—0-1dj—。2CLj一出

CLACLACLA

且1<———<———<<——

dj-QiCLj—電%—a%

Qi]GjqGjq

所以一^>2,————^i+1,

CLj—CLidj—奧a,一a%

將最后一個不等式整理得（i+l）a〃即上■《上士工;

又/>i,所以/>i+l,

所以也《上.

at1

題目區（2024.北京.高三北京交通大學附屬中學校考階段練習）設集合S={aiQ,…,廝}⑺>3）,其中a生

N*,i=l,2,…，兒若集合S滿足對于任意的兩個非空集合ABUS,都有集合人的所有元素之和與集合B

的元素之和不相等，則稱集合S具有性質P.

（1）判斷集合{1,2,3,5,9},{1,3,5,11}是否具有性質P,并說明理由；

k

（2）若集合S={aba2>,",??）（?eN*）具有性質P,求證：V%Wn,ai+a2H-----Fa^2—l,kGN*；

（3）若集合S={ai，a.2,,",02023}具有性質P,求工+—H----1--一的最大值.

Q1。2。2023

【解析】⑴對于集合{123,5,9},因為2+3=5,故集合{2,3},{5}的元素和相等，

故{1,2,3,5,9}不具有性質P.

對于{1,3,5,11},其共有15個非空子集：

{1},{3},{5},{11},{1,3},{1,5},{1,11},{3,5},{3,11},{5,11},

{1,3,5},{1,3,11},{1,5,11},{3,5,11},{1,3,5,11）,

各集合的和分別為:1,3,5,11,4,6,12,8,14,16,9,15,17,19,20,它們彼此相異,

故{1,3,5,11}具有性質P.

（2）因為{SQ,…,a）具有性質P,故對于任意的k,{a1；a2,也具有性質P,

否則{ai,a2,…,@}有兩個非空子集A,B,它們的元素和相等，

而矛盾.

4_8也是{a1,a2,的子集，故{a1,a2,不具有性質P,

注意到{的42,…,a』共有2"—1個非空子集，每個子集的元素和相異，

且子集的和最大為期+電+卜，最小為Qi,故。1+電+卜2"—1.

⑶假設集合S={Qi，Q2,…,為}具有性質P,

不妨設QiVa2<…V冊，

1n-1

,,1..1/I.?.ST.Q2-2.,an-2

n-1n-1

221電。2an)Qi2a22an

卜

設。尸］，則c-c>0,由⑵可得&=QL21T,且D=)0.

2CLii+1i=lk

_10-2_2a―2n1

而------H-------1-----1n1----=5由+。2d2H-----\~cd

Qi2。22n&nn

—C1D1-\-C2(D2—D1)+c3(B3—Z?2)H----Hcn(Z)n—Z?n_1)

(ci—c2)Z)i+(c2—c3)Z)2+—b(c71T—』)Dn_i+cnDn>0,

故-^―+-J------1---W1+《H----1—==2-責

?aa220T

2n1-1

當且僅當Dr—D2—---=Dn=Q時等號成立,

fckk1

即此時任意的正整數阮ai+a2+■■■+ak=2-l即的=1,念=2-2~=2^,

故此時念=21時等號成立，故工+工+…+工的最大值為2-.

n

aia2an2

則當ri=2023時，即對集合S={aiQ,…,a-3}具有性質P,

則J_+J_-----1__1—的最大值為2——需.

。2。2023

題目⑼(2024.北京門頭溝.統考一模)已知集合M={±1,±2,±3,---,±n}(n>3).若對于集合州的任意k元

子集A,A中必有4個元素的和為-1,則稱這樣的正整數k為“好數”，所有“好數”的最小值記作g(M).

⑴當泌=3,即集合{-3,-2,—1,1,2,3}.

⑴寫出”的一個子集B,且B中存在4個元素的和為—1；

(w)寫出河的一個5元子集。，使得。中任意4個元素的和大于—1；

(2)證明：g(M)>n+2；

(3)證明：g(M)=n+3.

【解析】⑴取3={-3,—1,1,2},則一3+(-1)+1+2=-1,滿足條件；

取C—{—2,—1,1,2,3},則一1+1+2+3=5>—1;—2+1+2+3=4>—1;

—2+(—1)+2+3=2>—1;—2+(—1)+1+3=1>—1;—2+(—1)+1+2=0>—1;

滿足條件.

(2)若g(M)=04n+2,Q>4,aEN*,從大到小取Q個元素，

A—{n,n—1,—a+1},Q<?I,或4={n,n—1,1???,?!—a},九<+2,

則A中任意4個元素之和>—1—2+1+2=0,不成立，故g(M)>n+2.

(3)當k=zz+3時，把集合Al的元素按和為一1分組，得：

M—{±1,±2,±3,…，±九}={—n,n—1}U{—n+l,n—2}U{—n+2,九一3}U…U{-2,1}U{—l,n},

易得，人中至少有2個二元子集滿足XQ={a,-a-1},X產{b,-b-l}(~n<a<b<-2).

若把集合州的元素按和為0分組，得：

M—{±1,±2,±3,…,土九}={—n,n}U{—n+l,n—1}U{—n+2,九一2}…U{-1,1}.

易得，4中至少有3個二元子集滿足Y={c,—。},匕={d,—d},K={e,—e}.

而集合匕匕工兩兩互不相交，X.與匕匕匕中每一個至多有一個公共元素，

所以，匕匕匕中必有一個與X。沒有公共元素,不妨設Xan工=0,

貝|XQU工的4個元素就是A的4個互異元素，而這4個元素的和為一1.

又g(M)>n+2,所以g(M)=n+3.

02函數與導數新定義

題目@(2024.上海黃浦.高三格致中學校考開學考試)對于函數9=/(,)的導函數"=/'(⑼,若在其定義域

內存在實數g和t，使得/(3+±)=?+1)丁(茄)成立，則稱y=/(x)是“躍點”函數，并稱g是函數y=

/(,)的>躍點

⑴若函數?/=