第09講二次函數的概念與y=ax2(a≠0)的圖象和性質（10種題型）【知識梳理】一、二次函數的定義1.二次函數的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．2.二次函數的取值范圍：一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．要點詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那么y叫做x的二次函數．這里，當a=0時就不是二次函數了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a的絕對值越大，拋物線的開口越小.二、二次函數y=ax2(a≠0)的圖象用描點法畫出二次函數y=ax2（a≠0）的圖象，如圖，它是一條關于y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.因為拋物線y=x2關于y軸對稱，所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線y=x2的頂點是圖象的最低點。因為拋物線y=x2有最低點，所以函數y=x2有最小值，它的最小值就是最低點的縱坐標.三、二次函數y=ax2(a≠0)的圖象的畫法在平面直角坐標系xOy中，按照下列步驟畫二次函數的圖像．（1）列表：取自變量x的一些值，計算相應的函數值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1圖1圖2（2）描點：分別以所取的x的值和相應的函數值y作為點的橫坐標和縱坐標，描出這些坐標所對應的各點，如圖1所示．（3）連線：用光滑的曲線把所描出的這些點順次聯結起來，得到函數的圖像，如圖2所示．要點詮釋：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象．用描點法畫二次函數y=ax2(a≠0)的圖象，該圖象是軸對稱圖形，對稱軸是y軸．y=ax2(a≠0)是最簡單的二次函數，把y=ax2(a≠0)的圖象左右、上下平行移動可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象．畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.四：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象的性質二次函數y=ax2（a≠0）的圖象的性質，見下表：函數圖象開口方向頂點坐標對稱軸函數變化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而增大；x<0時，y隨x增大而減小.當x=0時，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而減小；x<0時，y隨x增大而增大.當x=0時，y最大=0要點詮釋：

頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.│a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近x軸.【考點剖析】題型一．二次函數例1.下列函數是二次函數的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2【變式】如果函數y＝（m+1）x+2是二次函數，那么m＝．【變式2】是關于x的二次函數需要滿足的條件是_____________．【變式3】二次函數的二次項系數為a，一次項系數為b，常數項為c，則_____．【變式4】已知二次函數．（1）當時，求函數值；（2）當取何值時，函數值為0？【變式5】下列函數中（x，t為自變量），哪些是二次函數？如果是二次函數，請指出二次項、一次項系數及常數項．（1）； （2）；（3）； （4）．【變式6】已知函數．（1）當m為何值時，這個函數是二次函數？（2）當m為何值時，這個函數是一次函數？【變式7】．如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為8厘米和6厘米，現在長寬上分別剪去寬為x厘米（）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積y關于x的函數關系式為____________．【變式8】某公司4月份的營收為80萬元，設每個月營收的增長率相同，且為x()，6月份的營收為y萬元，寫出y關于x的函數解析．【變式9】用長為15米的籬笆，一面靠墻（墻的長度超過15米），圍成一個矩形花圃．設花圃的寬為x米，面積為y平方米，求y與x的函數解析式及函數的定義域．【變式10】三角形的兩邊長的和為10厘米，它們的夾角為30°，設其中一條邊長為x厘米，三角形的面積為y平方厘米，試寫出y與x之間的函數解析式及定義域．【變式11】設，與成反比例，與成正比例，則y與x的函數關系是（）A．正比例函數 B．反比例函數 C．二次函數 D．一次函數【變式12】已知正方形的周長是C厘米，面積是S平方厘米．（1）求S關于C的函數關系式；（2）當S=1平方厘米，求正方形的邊長．例2.已知二次函數的圖像經過點Q（-1，-2），求a的值，并寫出它的解析式．在平面直角坐標系中，畫出它的圖像．【變式】二次函數的圖像是______，它的對稱軸是______，頂點坐標是______，開口方向是______．題型三：利用二次函數y=ax2(a≠0)的圖象和性質求字母參數的值例3.拋物線與的形狀相同，則a的值為______．【變式1】已知關于的二次函數，當為何值時，它的圖像開口向上？當為何值時，它的圖像開口向下？【變式2】已知二次函數的圖像開口向下，求m的值．題型四：利用二次函數y=ax2(a≠0)的圖象和性質判斷拋物線的開口方向和大小例4.（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數、的圖像；（2）函數、的圖像與函數的圖像，有何異同？【變式】（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數、、的圖 像；（2）函數、、的圖像與函數、、的圖像有何異同？題型五：一題多解法——比較函數值的大小例5.函數y＝x2的圖象對稱軸左側上有兩點A(a，15)，B(b，)，則a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”號)．題型六：求二次函數y=ax2(a≠0)的表達式例6.如圖，有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時寬20米，水位上升3米到達警戒線CD，這時水面寬度10米．（1）在如圖所示的坐標系中，求拋物線解析式；（2）若洪水到來時，水位以0.2米/時的速度上升，從警戒線開始，再持續多少時間才能達到拱橋頂？xxyABCDO【變式】已知一個二次函數的的頂點為原點，其拋物線開口方向與拋物線的開口方向相反，而拋物線形狀與它相同，求這個二次函數的解析式．題型七：雙圖像問題例7.函數與的圖像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．題型八：二次函數y=ax2(a≠0)與一次函數綜合問題例8.已知直線上有兩個點A、B，它們的橫坐標分別是3和-2，若拋物線也經過點A，試求該拋物線的表達式．該拋物線也經過點B嗎？請說出你的理由．【變式】.物線與直線交于點（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求拋物線的解析式，并求頂點坐標和對稱軸；（3）當x取何值時，二次函數的y值隨x的增大而增大．題型九：二次函數y=ax2(a≠0)與幾何變換例9.若把拋物線（）沿著頂點旋轉180°，所得拋物線的表達式是__________；若把拋物線（）沿著x軸翻折，所得的拋物線的表達式是__________；由這樣的旋轉與翻折分別得到的兩條拋物線______重合的（選填“是”或“不是”）．題型十：二次函數y=ax2(a≠0)中的分類討論例10.如圖，在平面直角坐標系內，已知拋物線（）上有兩個點A、B，它們的橫坐標分別為-1，2．若為直角三角形，求a的值．AABOxy【過關檢測】一、單選題1．（2021·上海九年級一模）下列關于x的函數中，一定是二次函數的是（）A． B．C． D．2．（2020·上海九年級月考）下列函數中，關于的二次函數是（）A． B．C． D．3．（2020·上海九年級一模）下列函數中，是二次函數的是（）A． B．C． D．4．（2021·上海九年級一模）下列函數中，是二次函數的是（）A． B． C． D．5．（2021·上海九年級一模）下列函數中，屬于二次函數的是（）A． B． C． D．6．（2021·上海九年級一模）下列各點在拋物線上的是（）A． B． C． D．7．（2020·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）下列關于拋物線和的關系的說法中，錯誤的是（）A．它們有共同的頂點和對稱軸B．它們都是關于y軸對稱C．它們的形狀相同，開口方向相反D．點A（-2，4）在這拋物線上，也在拋物線的圖像上．8．（2020·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）函數y=ax2（a≠0）的圖象與a的符號有關的是（

）A．對稱軸 B．頂點坐標 C．開口方向 D．開口大小二、填空題9．（2021·上海九年級一模）一個邊長為2厘米的正方形，如果它的邊長增加厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關于x的函數解析式為____．10．（2020·上海九年級一模）如果函數是二次函數，那么m＝_____．11．（2020·上海九年級月考）如果函數是關于的二次函數，則__________．12．（2021·上海九年級一模）如果拋物線有最高點，那么的取值范圍是________．13．（2021·上海九年級專題練習）拋物線開口向上，則的取值范圍是____________．14．（2020·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）拋物線在y軸的左側部分是________的．（填“上升”或“下降”）15．（2021·上海九年級專題練習）已知拋物線y＝（1+a）x2的開口向上，則a的取值范圍是_____．16．（2020·上海九年級專題練習）如果拋物線y＝（m﹣1）x2有最低點，那么m的取值范圍為_____．17．（2020·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）二次函數，點在函數圖像上，當時，_(填“﹥”或“﹤”)．18．（2020·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）二次函數的圖像開口方向是______，對稱軸是________，頂點坐標是_________．三、解答題19．（2020·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）已知頂點為原點，對稱軸是y軸的拋物線經過點(-3，-6)，求該拋物線的解析式．

第09講二次函數的概念與y=ax2(a≠0)的圖象和性質（10種題型）【知識梳理】一、二次函數的定義1.二次函數的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）也叫做二次函數的一般形式．判斷函數是否是二次函數，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據二次函數的定義作出判斷，要抓住二次項系數不為0這個關鍵條件．2.二次函數的取值范圍：一般情況下，二次函數中自變量的取值范圍是全體實數，對實際問題，自變量的取值范圍還需使實際問題有意義．要點詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數，a≠0)，那么y叫做x的二次函數．這里，當a=0時就不是二次函數了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a的絕對值越大，拋物線的開口越小.二、二次函數y=ax2(a≠0)的圖象用描點法畫出二次函數y=ax2（a≠0）的圖象，如圖，它是一條關于y軸對稱的曲線，這樣的曲線叫做拋物線.因為拋物線y=x2關于y軸對稱，所以y軸是這條拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是拋物線的頂點，從圖上看，拋物線y=x2的頂點是圖象的最低點。因為拋物線y=x2有最低點，所以函數y=x2有最小值，它的最小值就是最低點的縱坐標.三、二次函數y=ax2(a≠0)的圖象的畫法在平面直角坐標系xOy中，按照下列步驟畫二次函數的圖像．（1）列表：取自變量x的一些值，計算相應的函數值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1圖1圖2（2）描點：分別以所取的x的值和相應的函數值y作為點的橫坐標和縱坐標，描出這些坐標所對應的各點，如圖1所示．（3）連線：用光滑的曲線把所描出的這些點順次聯結起來，得到函數的圖像，如圖2所示．要點詮釋：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象．用描點法畫二次函數y=ax2(a≠0)的圖象，該圖象是軸對稱圖形，對稱軸是y軸．y=ax2(a≠0)是最簡單的二次函數，把y=ax2(a≠0)的圖象左右、上下平行移動可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象．畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.四：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象的性質二次函數y=ax2（a≠0）的圖象的性質，見下表：函數圖象開口方向頂點坐標對稱軸函數變化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而增大；x<0時，y隨x增大而減小.當x=0時，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時，y隨x增大而減小；x<0時，y隨x增大而增大.當x=0時，y最大=0要點詮釋：

頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.│a│相同，拋物線的開口大小、形狀相同.│a│越大，開口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開口越大，圖象兩邊越靠近x軸.【考點剖析】題型一．二次函數例1.下列函數是二次函數的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2【分析】根據二次函數的定義判斷即可．【解答】解：A、當a＝0時，該函數不是二次函數，故本選項不符合題意；B、該函數分母含有字母，不是二次函數，故本選項不符合題意；C、該函數是二次函數，故本選項符合題意；D、該函數化簡后沒有二次項，是一次函數，故本選項不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了二次函數定義，解題的關鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．【變式】如果函數y＝（m+1）x+2是二次函數，那么m＝．【分析】直接利用二次函數的定義得出m的值．【解答】解：∵函數y＝（m+1）x+2是二次函數，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案為：2．【點評】此題主要考查了二次函數的定義，正確得出m的方程是解題關鍵．【變式2】是關于x的二次函數需要滿足的條件是_____________．【答案】且．【解析】，解得且．【總結】本題考察二次函數的概念，二次函數需滿足二次項系數不為零．【變式3】二次函數的二次項系數為a，一次項系數為b，常數項為c，則_____．【答案】．【解析】，所以，，，代入得．【總結】本題考察二次項系數、一次項系數、常數項的概念，做題的關鍵是把函數化為 一般式．【變式4】已知二次函數．（1）當時，求函數值；（2）當取何值時，函數值為0？【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）把代入得；（2）把代入得，．【總結】本題一方面考察了函數值求解問題，已知自變量的值代入函數解析式即可，另一方面考察了已知函數值求自變量的值的問題．【變式5】下列函數中（x，t為自變量），哪些是二次函數？如果是二次函數，請指出二次項、一次項系數及常數項．（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）是，二次項是、一次項系數是、常數項是； （2）不是；（3）是，二次項是、一次項系數是、常數項是； （4）不是【解析】形如（）的函數叫做二次函數，其中叫做二次項、叫做一次項系數、是常數項．【總結】本題考察二次函數的概念，二次項系數、一次項系數、常數項的概念．【變式6】已知函數．（1）當m為何值時，這個函數是二次函數？（2）當m為何值時，這個函數是一次函數？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當函數為二次函數時，則時，即．（2）當函數為一次函數時，則，得．【總結】本題考察了二次函數與一次函數的概念．【變式7】．如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為8厘米和6厘米，現在長寬上分別剪去寬為x厘米（）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積y關于x的函數關系式為____________．【答案】．【解析】陰影部分的長方形的的長為，寬為，所以面積．【總結】此題主要利用長方形的面積公式列出函數關系式，其中根據題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵．【變式8】某公司4月份的營收為80萬元，設每個月營收的增長率相同，且為x()，6月份的營收為y萬元，寫出y關于x的函數解析．【答案】【解析】因為4月份的營收為80萬元，5月份起，每月增長率都為，所以5月份的營 收為萬元，12月份的營收為萬元．【總結】本題是平均增長率的問題，可用公式來解題．【變式9】用長為15米的籬笆，一面靠墻（墻的長度超過15米），圍成一個矩形花圃．設花圃的寬為x米，面積為y平方米，求y與x的函數解析式及函數的定義域．【答案】．【解析】設花圃的寬為x米，則長為米，∴面積．【總結】此題主要利用長方形的面積公式列出函數關系式，其中根據題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵．【變式10】三角形的兩邊長的和為10厘米，它們的夾角為30°，設其中一條邊長為x厘米，三角形的面積為y平方厘米，試寫出y與x之間的函數解析式及定義域．【答案】．【解析】如圖，過點A作AH⊥BC于點H．設厘米，則厘米，∵，∴，三角形面積．【總結】此題主要利用三角形的面積公式列出函數關系式，其中根據題意，找到所求量的等量關系是解決問題的關鍵．【變式11】設，與成反比例，與成正比例，則y與x的函數關系是（）A．正比例函數 B．反比例函數 C．二次函數 D．一次函數【答案】C．【解析】∵與成反比例，∴設，∵與成正比例，∴設，∴，∴y與x的函數關系是二次函數．【總結】本題主要考察反比例、正比例和二次函數的定義，屬于基礎題．【變式12】已知正方形的周長是C厘米，面積是S平方厘米．（1）求S關于C的函數關系式；（2）當S=1平方厘米，求正方形的邊長．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為正方形的周長是C厘米，所以邊長為厘米，所以；（2）當S=1平方厘米，代入得正方形的邊長為厘米．題型二：二次函數y=ax2(a≠0)的圖象例2.已知二次函數的圖像經過點Q（-1，-2），求a的值，并寫出它的解析式．在平面直角坐標系中，畫出它的圖像．【答案】，．圖像如圖所示：【解析】把Q（-1，-2）代入得，解析式為．【總結】本題考查待定系數法確定函數關系式及二次函數圖像畫法．【變式】二次函數的圖像是______，它的對稱軸是______，頂點坐標是______，開口方向是______．【答案】拋物線；軸；；向下．【解析】圖像為拋物線，頂點坐標為；對稱軸為軸；，開口向上，，開口向下【總結】本題考察二次函數的性質．題型三：利用二次函數y=ax2(a≠0)的圖象和性質求字母參數的值例3.拋物線與的形狀相同，則a的值為______．【答案】．【解析】∵拋物線與的形狀相同，∴，得．【總結】本題考察二次函數的性質．【變式1】已知關于的二次函數，當為何值時，它的圖像開口向上？當為何值時，它的圖像開口向下？【答案】時，圖像開口向上；時，圖像開口向下．【解析】當，即，拋物線圖像開口向上；當，即，拋物線圖像開口向下．【總結】本題考察二次函數的開口方向與二次項系數a的關系．【變式2】已知二次函數的圖像開口向下，求m的值．【答案】．【解析】由題意得，得．【總結】本題考察了二次函數的概念和性質．題型四：利用二次函數y=ax2(a≠0)的圖象和性質判斷拋物線的開口方向和大小例4.（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數、的圖像；（2）函數、的圖像與函數的圖像，有何異同？【答案】（1）如圖：（2）相同點：開口方向都向上；頂點都是點；對稱軸都是軸；不同點：開口大小不同．【解析】（1）略；（2）圖像頂點為坐標原點；對稱軸為軸；，開口向上，，開口向下；決定開口大小，越大，開口越小．【總結】本題考察特殊二次函數的圖像畫法及二次函數圖像的性質．【變式】（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數、、的圖 像；（2）函數、、的圖像與函數、、的圖像有何異同？【答案】（1）如圖：（2）相同點：相同的開口大小一樣；頂點都是原點；對稱軸都是軸；不同點：開口方向不同．【解析】（1）略；（2）圖像頂點坐標為；對稱軸為軸；，開口向上，，開口向下；決定開口大小，越大，開口越小．【總結】本題考察特殊二次函數的圖像畫法及二次函數的性質．題型五：一題多解法——比較函數值的大小例5.函數y＝x2的圖象對稱軸左側上有兩點A(a，15)，B(b，)，則a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”號)．【答案】＜.【解析】解法一：將A(a，15)，分別代入y＝x2中得：，∴；，又A、B在拋物線對稱軸左側，∴a＜0，b＜0，即，，∴解法二：畫函數y＝x2的草圖(如圖所示)，可知在y軸左側(x＜0)時，y隨x的增大而減小，又∵，a＜b，即a-b＜0．【總結升華】利用草圖和函數的增減性比較函數值的大小或自變量的大小顯得更簡單、直觀，充分運用了數形結合的思想．題型六：求二次函數y=ax2(a≠0)的表達式例6.如圖，有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位AB時寬20米，水位上升3米到達警戒線CD，這時水面寬度10米．（1）在如圖所示的坐標系中，求拋物線解析式；（2）若洪水到來時，水位以0.2米/時的速度上升，從警戒線開始，再持續多少時間才能達到拱橋頂？xxyABCDO【答案】（1）；（2）5小時．【解析】（1）設拋物線解析式為（），如圖，設，則，把、代入得，解得，∴拋物線的解析式為．（2）由（1）知，∴（小時）【總結】本題考查點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．【變式】已知一個二次函數的的頂點為原點，其拋物線開口方向與拋物線的開口方向相反，而拋物線形狀與它相同，求這個二次函數的解析式．【答案】．【解析】∵為二次函數，∴，解得，， 又∵，∴，可得，∴二次函數為．∵要求的拋物線與開口方向相反，形狀相同，∴要求的這個二次函數的解析式為．【總結】本題考查二次函數的概念及性質．題型七：雙圖像問題例7.函數與的圖像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．【答案】D．【解析】當時，拋物線開口向下，一次函數一定過第一、三象限，當時，拋物線開口向上，一次函數一定過第二、四象限．【總結】本題考察拋物線和直線的性質，用假設法來解決這種數形結合是一種很好的方法．題型八：二次函數y=ax2(a≠0)與一次函數綜合問題例8.已知直線上有兩個點A、B，它們的橫坐標分別是3和-2，若拋物線也經過點A，試求該拋物線的表達式．該拋物線也經過點B嗎？請說出你的理由．【答案】；拋物線不經過點．【解析】把3和-2分別代入得、，把代入得，∴拋物線的表達式為；把代入得，與B點縱坐標不同，∴拋物線不經過點B．【總結】本題考察利用待定系數法確定函數關系式．【變式】.物線與直線交于點（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求拋物線的解析式，并求頂點坐標和對稱軸；（3）當x取何值時，二次函數的y值隨x的增大而增大．【答案】（1），；（2），頂點坐標為，對稱軸為軸；（3）當時，二次函數的值隨的增大而增大．【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交點坐標為．把代入得，∴；（2）由（1）得拋物線的解析式為，頂點坐標為，對稱軸為軸；（3）∵拋物線開口向下，在對稱軸的左側二次函數的y值隨x的增大而增大，即當時，二次函數的值隨的增大而增大．【總結】本題考察了待定系數法確定函數關系式及二次函數的性質．題型九：二次函數y=ax2(a≠0)與幾何變換例9.若把拋物線（）沿著頂點旋轉180°，所得拋物線的表達式是__________；若把拋物線（）沿著x軸翻折，所得的拋物線的表達式是__________；由這樣的旋轉與翻折分別得到的兩條拋物線______重合的（選填“是”或“不是”）．【答案】；；是．【解析】若把拋物線（）沿著頂點旋轉180°，則新的拋物線頂點和對稱軸不變，方向相反，∴新的拋物線的表達式為；若拋物線（）沿著x軸翻折，則新的拋物線頂點和對稱軸不變，方向相反，∴新的拋物線的表達式為．【總結】本題主要考察了二次函數圖像與幾何變換．題型十：二次函數y=ax2(a≠0)中的分類討論例10.如圖，在平面直角坐標系內，已知拋物線（）上有兩個點A、B，它們的橫坐標分別為-1，2．若為直角三角形，求a的值．AABOxy【答案】，．【解析】把橫坐標-1，2分別代入（）得、，∴，，，當時，，即，解得，（舍）；當時，，即，解得，（舍）；當時，，，此方程無解，綜上，當為直角三角形，a的值為1或．【總結】本題主要考察直角三角形的判定和二次函數的應用，要注意在的直角頂點不確定的情況下，要分類討論，以免漏解．【過關檢測】一、單選題1．（2021·上海九年級一模）下列關于x的函數中，一定是二次函數的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】形如：這樣的函數，則是的二次函數，根據定義逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：，當時，不是的二次函數，故錯誤；，不是的二次函數，故錯誤；，不是的二次函數，故錯誤；，符合是的二次函數的定義，故正確；故選：【點睛】本題考查的是二次函數的定義，掌握二次函數的定義是解題的關鍵．2．（2020·上海九年級月考）下列函數中，關于的二次函數是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】形如：，則是的二次函數，根據定義逐一判斷各選項即可得到答案．【詳解】解：，當時，不是的二次函數，故錯誤；，不是的二次函數，故錯誤；，即，是的二次函數，故正確；，即，不是的二次函數，故錯誤；故選：【點睛】本題考查的是二次函數的定義，掌握二次函數的定義是解題的關鍵．3．（2020·上海九年級一模）下列函數中，是二次函數的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】將函數表達式進行整理，使其右邊含自變量的代數式，左邊為因變量，右邊為整式，且自變量最高次數為2的函數為二次函數，逐個判斷即可.【詳解】解：A、是一次函數，故A選項錯誤；B、右邊不是整式，不是二次函數，故B選項錯誤；C、右邊是整式，自變量最高次數是2，是二次函數，故C選項正確；D、整理為是一次函數，故D選項錯誤.故選：C.【點睛】本題考查了二次函數的定義，是二次函數，注意含自變量的代數式是整式.4．（2021·上海九年級一模）下列函數中，是二次函數的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數解析式中只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的函數是二次函數，根據定義解答．【詳解】A、中含有分式，故不是二次函數；B、=2x-1，不符合定義，故不是二次函數；C、符合定義，故是二次函數；D、中a不確定不等于0，故不是二次函數；故選：C．【點睛】此題考查二次函數的定義，熟記定義是解題的關鍵．5．（2021·上海九年級一模）下列函數中，屬于二次函數的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0），a，b，c是常數的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b稱為一次項系數，c為常數項，x為自變量，y為因變量，據此解題．【詳解】A．右邊不是整式，不是二次函數，故A錯誤；B．

右邊是二次根式，不是整式，不是二次函數，故B錯誤；C．是二次函數，故C正確；D．是一次函數，故D錯誤，故選：C．【點睛】本題考查二次函數的定義，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．6．（2021·上海九年級一模）下列各點在拋物線上的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將四個選項中的坐標代入拋物線的解析式中，看兩邊是否相等，即可判斷該點是否在拋物線上．【詳解】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在拋物線上．

B.4≠2×4，故（2，4）不在拋物線上．

C.8=2×4，故（2，8）在拋物線上．D.16≠2×4，故（2，16）不在拋物線上．故選：C．【點睛】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式．7．（2020·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）下列關于拋物線和的關系的說法中，錯誤的是（）A．它們有共同的頂點和對稱軸B．它們都是關于y軸對稱C．它們的形狀相同，開口方向相反D．點A（-2，4）在這拋物線上，也在拋物線的圖像上．【答案】D【分析】根據拋物線的性質直接回答即可．【詳解】解：拋物線和的性質可知，二次項系數的絕對值相等，所以開口方向相反，并且都關于軸對稱，頂點都為原點，但是點A（-2，4）在這拋物線上，但不在拋物線的圖像上，綜上所述，A，B，C選項都正確，只有D錯誤，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的性質，解題的關鍵是了解形如的拋物線的性質．8．（2020·上海市靜安區實驗中學九年級課時練習）函數y=ax2（a≠0）的圖象與a的符號有關的是（

）A．對稱軸 B．頂點坐標 C．開口方向 D．開口大小【答案】C【解析】解：二次函數圖象中a的符號決定了拋物線的開口方向，故選C．二、填空題9．（2021·上海九年級一模）一個邊長為2厘米的正方形，如果它的邊長增加厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關于x的函數解析式為____．【答案】【分析】首先表示出原邊長為2厘米的正方形面積，再表示出邊長增加x厘米后正方形的面積，再根據面積隨之增加y平方厘米可列出方程．【詳解】原邊長為2厘米的正方形面積為：2×2＝4（平方厘米），邊長增加x厘米后邊長變為：x＋2，則面積為：（x＋2）2平方厘米，∴y＝（x＋2）2?4＝x2＋4x．故答案為：y＝x2＋4x．【點睛】此題主要考查了根據實際問題列二次函數關系式，關鍵是正確表示出正方形的面積．10．（2020·上海九年級一模）如果函數是二次函數，那么m＝_____．【答案】2．【分析】直接利用二次函數的定義得出m的值．【詳解】解：∵函數是二次函數，∴m2﹣m＝2，即（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了二次函數的定義，掌握二次函數的定義是解題的關鍵.11．（2020·上海九年級月考）如果函數是關于的二次函數，則__________．【答案】0【分析】根據二次函數的定義得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．【詳解】∵函數是關于的二次函數，

∴且，解方程得：或(舍去)，

∴．

故答案為：0．【點睛】本題考查二次函數的定義，關鍵是掌握二次函數的定義：一般地，形如(是常數，)的函數，叫做二次函數．12．（2021·上海九年級一模）如果拋物線有最高點，那么的取值范圍是________．【答案】【分析】根據二次函數有最高點，得出拋物線開口向下，即k+1＜0，即可得出答案．【詳解】解：∵拋物線有最高點，∴拋物線開口向下，∴k+1＜0，∴，故答案為：．【點睛】此題主要考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵