配方法

知識梳理

L配方法的概念

把代數式通過湊配等手段，得到完全平方式，再運用完全平方式是非負數這一性質達到增加問題的條件的目

的，這種解題方法叫配方法.

2.二次三項式進行配方的兩種類型

(1)二次項系數是1的類型：x2+px+q;

(2)二次項系數不是1的類型：ax2++c(a力0,a力1).

尤其當針對第⑵種類型配方時，一般需要先提取二次項系數(一元二次方程則通過除以二次項系數將方程化為

二次項系數為⑴的類型)，然后再加上一次項系數一半的平方來配成完全平方，最后不要忘記減掉所增加的項.

3酒己方法的重要性

配方法的作用在于改變代數式的原有結構，是求解變形的一種手段酒己方法的實質在于改變式子的非負性，是

挖掘隱含條件的有力工具，配方法在代數式的化簡求值、解方程、解最值問題、討論不等式等方面有廣泛的應用.

典型例題

例1

將多項式4產+1加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方.則添加單項式的方法共有多少種?請寫

出所有的式子及演示過程.

分析因為整式包括單項式和多項式兩種情況，所以根據4x2是平方項、是乘積二倍項的情況利用完全平方公式

添加，以及完全平方式是單項式的平方的情況添加一個單項式消去其中的一項即可.

解添加的方法有5種，其演示的過程分別是：

添加4x4號4x2+1+4x=(2x+l)2;

添加-4x,得4x2+1—4%=(2x-I)2;

添加4x4彳導4久2+1+4久4=(2x2+l)2;

添加-4%2得4x2+1-4x2=I2;

添加」得4/+1-1=(2久產

例2

對于二次三項式3%2-6%+5,小聰同學做出如下結論：無論x取什么實數，它的值都不會小于2(最小值是

2)，你是否同意他的說法，并說明你的理由.

分析此題涉及二次三項式，它的基本形式是：aY+bx+c.:可以根據配方的方法，把它整理成一個完全平方

加或減一個數字的形式.

解由于原二次三項式的二次項系數不為1,所以化系數為1并配方：

原式=3(/-2x)+5

=3(/-2x+I2)+5-3xI2

=3(%-I)2+2,

所以無論x取何值時，((久-20,所以一6久+5N2.因止匕，小聰的說法是正確的.

例3

若x為任意實數，求好+4x+7的最小值.

分析求/+?+7的最小值，可以先將它化成((x+2)2+3,根據(x+2)2>0,求得它的最小值為3.

解/+4x+7=(x2+4x+4)+3=(x+2)2+3

因為(%+2)2>0,所以(x+2)2+3>3,

因此“%2+4%+7的最小值是3.

例4

已知a2+b2+c2=ab+bc+ac,又知a,b,c為三角形的三條邊，求證：該三角形為等邊三角形.

分析利用配方法解題.先將原式轉化為完全平方公式，再根據非負數的性質計算.

解因為a2+b2+c2—ab—be—ca=0.

所以兩邊都乘以2得:2a2+2b2+2c2-2ab—2bc-2ca=0,

所以(a2-2ab+b2)+(62—2bc+c2)+(c2—2ca+a2)=0,

所以(a—b)?+(b—c)2+(c—a)2=0,

根據非負數的性質得(a-b)2—)2=0,(c-a)2=0,

可知a=b=c,這個三角形是等邊三角形.

雙基訓練

1.用一些硬紙片拼成的圖形面積可以解釋一些代數恒等式.如圖21-1所示，圖27(a)可以用來解釋(a+b)2-

(a-bY=4必那么通過圖21-l(b湎積的計算，驗證了一個恒等式，此等式是().

(a)(b)

圖21-1

A.a2—b2=(a+b)(a—b)B.(a—6)(a+2b)=a2+ab-b2

C.(a—by—a2—2ab+b2D.(a+Z))2=a2+2ab+b2

2.下列二次三項式是完全平方式的是().

A.x2—8x—16B.X2+8X+16C.X2—4x—16D.x2+4x+16

3.計算((x+2)2的結果為X2+DX+4,,則“口”中的數為().

A.-2B.2C.-4D.4

4.多項式4r+1加上一個單項式后，使它能成為一個二項整式的完全平方，則滿足條件的單項式有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.如果二次三項式%2-2(m+l)x+16是一Is?完全平方式，那么m的值是().

A.3或-5B.lC.-3D.無法確定

6.若a,b,c為公ABC的三邊，且關于x的二次三項式x?+2(a+b+c)x+3(ab+bc+ca)為完全平方式廁小ABC是().

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.只有兩邊相等的等腰三角形

7.填上適當的數，使等式成立：XX2—4x+=(x—_)2.

8.當整數k=—時，多項式.x2+kx+4恰好是另一個多項式的平方.

9.若%2-2(fc+l)x+fc2+5是一個完全平方式，則k等于.

10.多項式x2+y2-6x+8y+7的最小值為.

11.已知a=2002,b=2003,c=2004,求a2+b2+c2—ab—ac—6c的值.

12.不管x取什么實數，+2x-3的值一定是個負數，請說明理由.

13.利用配方法證明代數式-10久2+7x_4的值恒小于0.由上述結論，你能否寫出三個二次三項式，其值恒大

于0,且二次項系數分別是1,2,3?

14.已知n為正整數，且4,+4+小998是一個完全平方數，求n的一個值.

15.不管x取什么實數，x2+2x+5的值一定是正數，請說明理由.

16.若x為任意實數，求-2/+4%+7的最大值.

17.求證:a(a+l)(a+2)(a+3)+l是完全平方式.

18.若久2—4久+\3x—y\=-4,求y*的值.

19.某學生在學習公式(a+b=a2+2ab+〃時記得快，忘得也快，應用時始終容易出錯，請幫助他解決

這一難題.

⑴你猜測該學生在應用這個公式時會出現什么錯誤，列舉出來；

(2)如圖21-2所示，請運用圖中所給的圖片，解釋這一公式；

(3)如果a-b=3,ab=2,求a2+△的值.

20.一個正整數a恰好等于另一個正整數b的平方，則稱正整數a為完全平方數.如(64=82,64就是一個完全

平方數.若a=2992?+29922x29932+2993Z,求證：a是一個完全平方數.

能力提升

21.若。2+2接+2〃一b+；=0,則a,b的值分別為().

A,--,-B.-,-C.--,--

22222222

22.設x為正整數，若x+1是完全平方數，則它前面的一個完全平方數是().

A.xB.x-2y[x+1

C.x—2-久+1+1D.x—2、x+1+2

23.如果((x-l)(x+3)(x-4)(x-8)+m是一個完全平方式.則m是().

A.-196B.196C+196D.以上都不對

24.已知a+b+c=3,a2+b2+c2=3,則a2008+b2008+。2。。8的值是().

A.OB.3C.22008D.3x22008

25.若—6x+1=0,則x2+^-1=一.

26.已知|a-6+2|+(a—2b)2=0,求(—2a)2b的值是__；二次三項式x2-kx+9是一個完全

平方式，則k的值是.

27.如果多項式(%+1)(*+2)(%+3)(%+4)+k是一/完全平方式，則常數k=.

28.已知代數式-/+6%-10.

⑴用配方法證明：不論x為何值，代數式的值總為負數.

(2)當x為何值時，代數式的值最大?最大值是多少？

29.用配方法證明，多項式2%4-4/一1的值總大于x4-2/一4的值

30.兩個正整數的和與積的和恰好為2005,并且其中一個是完全平方數.求這兩個數中較大數與較小數的差.

拓展資源

31.一個四位數具有這樣的性質：用它的后兩位數去除這個四位數得到一個完全平方數(如果它的十位數字是

0,就只用個位數字去除)，且這個完全平方數正好是前兩位數加1的平方，則具有上述性質的四位數共有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

32.設a,b,c為實數,4=a2-26+(8=^2—2c+；,C=02—2a+g

⑴判斷A+B+C的符號并說明理由；

(2)證明：A,B,C中至少有一個值大于零.

33若100a+64和201a+64均為四位數，且均為完全平方數,則整數a的值是.

34.試求出所有整數n，使得代數式2n2+n-29的值是某兩個連續自然數的平方和.

35.(1)分解下列因式，將結果直接寫在橫線上：

x2—6x+9=25x2+10x+1=4x2+12x+9=;

(2)觀察上述三個多項式的系數，有((―6)2=4xlx9,102=4x25x1,122=4x4x9于是小明猜測：若多

項式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式，那么系數a,b,c之間一定存在某種關系.請你用數學式子表示小明的猜

想：(說明：如果你沒能猜出結果，就請你再寫出一個與(1)中不同的完全平方式，并寫出這個式中各系數之

間的關系).

(3)若多項式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，利用(2)中的規律求ac的值

1.C2.B3.D4.C5.A6.B7.4,28+49.210.-18

11.因為2(a?+b?+c?—ab—etc—be)=(a—b)?+(a—c)2+(b—c)2

=(2002-2003)2+(2002-2004)2+(2003-2004)2=1+4+1=6,

所以a2+b2+c2—ab—ac—be=3.

12.-x2+2%-3=-(x2-2x+l)+l-3=-(x2-2%+1)+1-3=-(%-I)2-2.

因為-(x-l)2<0,所以-(久-l)2-2<0.所以不管x取什么實數，-K2+2x-3的值一定是個負數

22

13.因為-10/+7x—4=—5)一詈又一[一￡)三°，一詈<°，

所以一10卜一劫2-答<。，即：一10久2+7%-4<0,所以代數式-IO%2+7x-4的值恒小于0.舉例：①/

+2久+2,(2^)2x2-4,x+8,(^)3久2+6x+8

7n72n-819982

14.先分情況討論:(1)4+4+4.98=(27)2+2x2x2+(2)

7n

因為4+4+爐998是一個完全平方數,所以22-8=2/8即2n-8=1998.

所以當n=1003時,47+4n+41998是完全平方數；

(2)47+4n+41"8=47+41998+綃=(27)2+2X2,X23988+(2,2,

7n

因為4+4+41998是一個完全平方數,所以23988=2",所以n=3988.

綜上得n=1003或n=3988.

15.x2+2x+5=(x2+2%+1)+4=(x+l)2+4.因為(x+I)2>0,所以(x—l)2+4>。.所以不管x取什么

實數。/+2刀+5的值一定是個正數.

16.-2x2+4x+7=-2(x2-2x)+7=-2(x2-2x+l)+2+7=-2(x-l)2+9,@^-2(x-l)2<0,所以-2(x-l)2+9<9.

因此，2/+4%+7的最大值是9.

17.因為a(a+l)(a+2)(a+3)+1=(a2+3a)[(a2+3a)+2]+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+-1

=(a2+3a+I)2,

所以a(a+l)(a+2)(a+3)+l是完全平方式.

18.因為x2—4x+|3x—y\=-4,所以x2—4x+4+\3x—y\=0,即(x—2)2+|3x—y|=0.

所以K_j：力解得x=2,y=6.所以yx=62=36.

19.⑴可能出現的錯誤有(a+bp=a2+b2,(2x+3y)2=2x2+12xy+3y?等；

(2)如答圖21-1所示.

(3)由a-b=3得((a—b)2=9,即a2—2ab+b2=9又ab=2,所以a2+b2=13.

20.令2992=m,則2993=m+l,于是a=/+/?(m+l)2+(m+l)2

—m4+2m3+3m2+2m+1=m4+2m3+2m2+m2+2m+

=(m2)2+2-m2-(m+1)+(m+I)2

=(m2+m+I)?,所以是a一個完全平方數.

答圖21-1

21.A22.D23.B24.B25.3326.-128,6

27.(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)+k=(x+l)(x+4)[(x+2)(x+3)]+k=(x2+5x+4)(%2+5K+6)+k=(x2+5x)2+10(%2

+5%)+24+k要使上式是一個完全平方式，只要24+k=52即可，解得k=l.

28.(1)原式:=—%2+6%—10=—(%2—6x)—10=—(%2-6%+32—32)—10

=-(%-3)2-1<0;

(2)因為原式=-(%-3)2-1,所以當x=3時，原式取得最大值，最大值為-1.

424242424222

29.據題意得(2x4-4X2-1)-(X-2X-4)=2X-4X-1-X+2X+4=X-2X+3=x-2x+1-1+3=(%-l)+2>

2>0所以多項式2%1-4%2-1的值總大于%4-2Y-4的值

30.設這兩個正整數為a,b,則a+b+ab=2005,即ab+a+b+l=2006,所以(a+l)(b+l)=2006=2><17x59.因為其中一個是

完全平方數,有a+l=2和a+l=17成立.當a+l=2時2=15=1003-1=1002,1)出=100：1;當a+l=17時,a=16,b=118-l=117,b-a=

101.

31.D.設這樣的四位數為100a+b(gW99,lWbW99),由已知有((100a+b)b=(.a+I)2=a2+2a+1,則100a

+b=(a+lYb=a2b+2ab+瓦可得:100=b(a+2),于是b=翳,a+2=詈，而10SaW99,可求得當a=18,23,48,98時,

b=5,4,2,1.故這樣的四位數有四個,分別是:1805,2304,4802,9801.

32.(1)4+B+C=a?-2b+—+(b2-2c+—+(c2-2a+—

=a2+b2+c2-2a—2b—2c+n

=Q2-2a+1+(b?—2b+1)+(c2—2c+1)-3+TT,

=(a—l)2+(6—I)2+(c—I)2+7i—3,

因為((a—I)?>0,(/?—l)2>0,(c—I)2>0,7T—3>0,

所以.A+B+C=(a—I)?+(b—l)2+(c—l)2+7T-3>0

故A+B+OO;

(2)因為A+B+OO,

所以A,B,C中至少有一個值大于零.

33.設100a+64=一①,201a+64="②，則m,n均為正整數，目.32W爪<100,32<n<100.由式②-

①彳導101a—n2-m2—(ji+m)(n-zn),因為101是質數，且0<n--m<101,所以n+m=101,故a=n-m=2n-101.把a=2n-

2

101代入:201a+64=",整理得n-402n+20237=0,,解得n=59,或n=343(舍去).所以a=2n-101=17.

34.設兩個連續自然數是x和x+1,則根據題意知2n2+n-29=x2+(x+I)2,

化簡得2/+2%+3。-2"