專題01幾何選擇題--重慶中考壓軸題

壓軸題密押

通用的解題思路：

通常考查的形式：求解角的度數、求解線段長度

通常用到的輔助線及知識點：倍長中線、旋轉（手拉手）半角模型、三垂直等,

推導角的關系：四點共圓（對角互補、8字形、平行、內角和）

經典例題

1.如圖，在正方形ABC。中，點、E,P分別在BC,CD上,連接AE,AF,EF,ZEAF^45°若NBAE

=a,則/PEC一定等于（）

A.2aB.90°-2aC.45°-aD.90°-a

【解答】解：在正方形ABCD中，AD=AB,ZBAD=ZABC=ZADC=90°,

將△A。/繞點A順時針旋轉90°,得△ABG,G、B、E三點共線，如圖所示：

則AP=AG,ZDAF=ZBAG,

VZEAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

：.ZGAE=ZFAE=45°,

在AGAE和△胡E中，

，AF=AG

<ZFAE=ZGAE)

AE=AE

AAGAEVAME(SAS),

ZAEF=ZAEG,

ZBAE=a,

AZA￡B=90°-a,

，/AEF=ZAEB=90°-a,

.*.ZF￡C=180°-ZAEF-ZAEB=180°-2X(90°-a)=2a,

故選：A.

2.如圖，在正方形ABC。中，。為對角線AC的中點，E為正方形內一點，連接BE,BE=BA,連接CE

并延長，與/ABE的平分線交于點F,連接。尸，若A8=2,則OP的長度為（）

【解答】解：如圖，連接

:四邊形ABCO是正方形，

：.AB=BE=BC,NABC=90。，AC=^AB=2近,

：.ZBEC=ZBCE,

/.ZEBC=180°-2ZBEC,

：.ZABE=ZABC-/EBC=2/BEC-90°,

平分/ABE,

ZABF=/EBF=L/ABE=ZBEC-45°,

2

：.NBFE=NBEC-/EBF=45°,

在ABAF與ABE尸中,

'AB=EB

<NABF=NEBF,

BF=BF

.?.△BAF沿4BEF(SAS),

：.ZBFE=ZBFA=45°,

；./AFC=NBFA+/BFE=90°,

為對角線AC的中點，

OF=AAC=V2,

2

故選：D.

壓軸題預測

1.如圖，在矩形ABC。中，點E為邊AB上一點，連接。E,點尸為對角線AC的中點，連接ER若DE

則/ZM歹的度數可以表示為（）

A.45aB.45°+aC.45°-aD.45。-/a

【解答】解：過點尸作尸GLA8,如圖,

設A￡)=2x,則AB=4x,

,矩形ABC。,

ZB=ZADC=ZDAB=90°,AB=DC=4x,BC=AD=2x,

'：DE±AC,

???ZACD+ZCDE=ZADE+ZCDE=90°,

JZADE=ZACD,

tanZADE=tanZACD,

???A—E=A—D，aonpA—E=2—x,

ADBC2x4x

解得AE=x,

EG=x,

???/是AC的中點，FG±AB,

.?.尸G=』BC=尤，

2

：.EG=FG,

:./GEF=/GFE=45°,

：.ZEAF+Z.AFE=45°,

：.ZEAF^45°-a,

：.ZDAF=90°-(45°-a)=45°+a.

故選：B.

2.如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E是邊AB上的點，且BE=2AE,過點E作DE的垂線交正方

形外角/CBG的平分線于點R交邊BC于點連接。/交邊BC于點N,則MN的長為()

【解答】解：作WL8G交于點X,作相，2C于點K,如圖,

平分/CBG,ZKBH=9Q°,

四邊形BHFK是正方形，

'JDELEF,ZEHF=90°,

?.ZDEA+ZFEH=90°,ZEFH+ZFEH=90°,

：./DEA=ZEFH,

VZA=ZEHF=90°，

:.△DAEsAEHF,

???AD=---AE,

HEHF

正方形ABCD的邊長為3,BE=2AE,

；.AE=1,BE=2,

設FH=a,則BH=a,

??3=—1,

2+aa

解得。=1；

*：FK±CB,DCLCB,

:.ADCNS^FKN,

??D?-C二CN,

FKKN

VBC=3,BK=1,

:?CK=2,

設CN=b,貝ljNK=2-b,

???—3=---b-,

12-b

解得b=—,

2

即CN=3,

2

VZA=ZEBM,NAED=NBME,

：.AADE^/XBEM,

???-A-D=-A-E-,

BEBM

.31

??萬,

解得

3

:.MN=BC-CN-BM=3-3-2=5

236

故選：B.

3.如圖，在正方形ABC。中,點、E,B分別在A。，AB±,滿足。E=A尸，連接CE,DF,點p,。分別是

：.AD=CD,ZA=ZCDE=90°,

\'AF^DE,

：.AAZ)F^ADC￡(SAS),

:.DF=CE,/ADF=/DCE=a,

;點P，。分別是。F,CE的中點,

：.PD=^DF=DQ=-^CE,

22

:./DPQ=/DQP,/CDQ=a,

：.ZPDQ=90°-2a,ZDQE=2a,

：.NPQD=180°-(90°-2a)=45°+a,

2

/.ZPQ￡=45°+a-2a=45°-a,

故選：B.

4.如圖，在正方形ABC。中，E為BC邊上靠近點8的三等分點，將線段48繞點A逆時針旋轉得到線段

AF,使得/BAE=/FAE,連接EF和CF,令/BAE=cc,則NFCD為（）

A.120°-3aB.90°-3aC.2a+30°D.a+45°

2

【解答】解：延長EF交CD于點H,連接AH,

設正方形ABCD的邊長為a,

在正方形ABC。中，AB=BC=Cr)=Ar)=a,NB=NBCD=90°,

由旋轉可知，AB=AF^AD^a,

'：ZBAE=ZFAE=a,AF=AF,

：.AABE^AAFE(SAS),

;-BE=EF=4BC-|a>ZAF￡=ZB=90°,

oo

/.ZAFH=180°-ZAFE=90°=ZD,

'JAF^AD,AH=AH,

：.RtAAHF^RtAHD(HL),

：.DH=FH,

設FH=DH=m,

在RtzXCEH中，。序+。//2=￡82,

即得a)(a-m)2=(■|-+m)2，

解得

.11

??FH=DH=ya=^-CD'

，點”是CD的中點，

：.CH=DH=FH=^a,

2

,//BEF=360°-ZB-ZAFE-ZBAF=180°-2a,

.*.ZCEF=180°-ZBEF=2a,

；.NCHE=90°-2a,

?"-ZFCD=ZHFC-j-(180°-NCHE)=a+45。-

故選：D.

5.如圖，在正方形A8CD中，點E是AC上一點，過點E作跖，ED交A2于點R連接BE,DF,若/

ADF=a,則的度數是()

A.2aB.45°+aC.90°-2aD.3a

【解答】解：過點E作EM_LA8于M,ENLAD于N,

:四邊形ABCO是正方形，

：.ZBAD=90°,AB=AD,

.??四邊形AMEN是矩形，ZBA￡=ZDA￡=45°,

：.EM=EN,四邊形AMEN是正方形，

：./MEN=90°,

"：ZDEF=90°,

/MEF=NNED=90°-ZFEN,

在AEMF和△ENO中,

，ZEMF=ZEND

<EM=EN，

ZMEF=ZNED

:.叢EMFQ4END(ASA),

：.EF=ED,

：.ZEFD=ZEDF=45°,

ZADF=a,

：.ZAF￡>=90°-a,

.\ZBFE=180°-(ZAFD+EFD)=180°-(90°-a+45°)=45°+a,

在△ABE和△AOE中，

ZAB=AD

-ZBAE=ZDAE)

AE=AE

AABE^AADE(SAS),

；.BE=DE,

：.BE=EF,

；./BFE=/EBF=45°+a,

.\ZBEF=180°-CZBFE+ZEBF)=180°-2(45°+a)=90°-2a.

故選：C.

6.如圖，在正方形A8CQ中，E為CD的中點，EFLAC于點孔連接BE并延長，與AE的延長線交于點

G,則NAGB的度數為（）

A.42.5°B.45°C.47.5°D.50°

【解答】解：連接。F,

AD

VEF±AC,四邊形ABC。是正方形，

AZADE=ZAFE=90°,

???A、D、E、尸四點共圓，

???ZEDF=NEAF,

,:CD=CB,ZFCD=ZFCB=45°,CF=CF,

:?△FCDQdFCB(SAS),

???ZEDF=NCBF,

:?/EAF=/CBF,

???ZAFG=/BFC,

：.ZAGB=ZACB=45°,

故選：B.

7.如圖，在正方形ABC。中，。為對角線BD的中點，連接。。,后為邊”上一點，6，。片于點尸,若04泥,

A.273B.V34-2C.3un.-3--憫------

5

【解答】解：過點。作OMLOF,如圖,

'：CB=CD,。為中點，

：.CO±CD,ZOCD=1ZBCD=45°,

2

...△C。。為等腰直角三角形，OD=OC,

:./MOC=NDOC-NDOM=90°-ADOM,

"：ZFOD^ZFOM-ZDOM^900-ZDOM,

：.ZMOC=ZFOD,

在RtZVJFC中，ZFCD+ZFDC^90°,ZADC^ZADE+ZFDC^90°,

ZFCD=/ADE,

?:NMCO=/OCD-/FCD=45°-NFCD,ZFDO=ZADB-ZADE=450-ZADE,

J.ZMCO^ZFDO,

：.AMCO^AFDO(ASA),

：.OM=OF=42,為等腰直角三角形，

:.FM=?OF=?X迎=2,

：.MC=CF-FM=5-2=3,

:.MC=FD=3,

在中，22

RtAFOCCD=^FD2+FC2=I/3+5=V34.

：.AD=CD=43l,

'：ZCFD=ZDAE^9Q°,

:.叢FCDs叢ADE,

.FCFD53

??-二,岡anJI--------,

ADAEV34AE

-4F_32/34

??/1￡S,

5

故選：D.

8.如圖，RtZ\A8C中，ZA=90°,ZABC=a,將RtZXABC繞點C逆時針旋轉得到Rtz\EDC,點A的對

應點E正好落在BC上，連接8。，則的度數是（)

A.45。QB.90°-aC.45°+aD.gg°i-Q

【解答】解：?.?NA=90°,ZABC=a,

：.ZCAB=90°-a,

??,將RtZXABC繞點。逆時針旋轉得到RtAEDC,

：.CD=BC,ZCAB=ZBCD=90°-a,

*"-ZCBD=ZCDB^-(180°-/BCD)4X(180°-90°+a)=45°+ya>

故選：A.

9.如圖，矩形ABC。對角線AC、5。相交于點O,OE平分NADC交AB于點E,過點A作AF,DE交。正

于尸點，若DF=ZM，CD=6,則尸。的長為()

A.AB.1C.旦D.2

22

【解答】解：：四邊形ABC。為矩形，CD=6,

：.AB=CD^6,ZADC^ZBAD=90°,OD=OB,

：?！昶椒忠?。(7,

AZADE=ZCDE=-^ZADC=45°,

2

.?.△ADE為等腰直角三角形，AD^AE,

'：AF±DE,

:.DF=EF,ZAFD^90°,

尸為等腰直角三角形，

：.AD=42DF=4,

：.AE=AD=4,

：.BE=AB-AE=6-4=2,

,:DF=EF,OD=OB,即點R。分別為。E、的中點，

；.。尸為△BOE的中位線，

/.OF——BE——x9—1-

22

故選：B.

10.如圖，矩形ABC。中，AB=12,點E是AO上的一點，AE=6,BE的垂直平分線交8c的延長線于點

F,連接所交C。于點G,若G是C。的中點，則BC的長是（）

A.12.5B.12C.10D.10.5

【解答】解：：矩形A8CO中，G是CD的中點，48=12,

；.CG=OG=』X12=6,

2

在△QEG和△CFG中，

，ZD=ZDCF

<DG=CG，

ZDGE=ZCGF

二.△DEG咨ACPG(ASA),

:.DE=CF,EG=FG,

設DE=x,

貝IBF=BC+CF=AD+CF=6+x+x=6+2x,

在RtADEG中，EG=VDE2+DG2=Vx2+36，

?'?￡F=27X2+36，

「切垂直平分BE,

；?BF=EF,

A6+2X=27X2+36,

解得了=4.5,

：.AD=AE+DE=6+4.5=10.5,

ABC=AZ)=10,5.

故選：D.

11.如圖，點E在正方形ABC。的邊AB上，點尸在5。延長線上，且AE=C尸，點M是■的中點，連接

A.60°-aB.45。C.30。――D.45°-a

【解答】解：在3。上截取。尸=CR連接PE,

??,點M是所的中點，CP=CF,

；?CM是APEF的中位線，

J.CM//PE,

:./PEF=NCMF,

???四邊形ABC。是正方形，

：.AB=BC,ZABC=90°,

*：AE=CF=CP,

；?BP=BE,

???叢BPE是等腰直角三角形,

：?/BEP=/BPE=45°

:./PEF=/BPE-/F=45°-a,

：.ZCMF=ZPEF=45°-a,

故選：D.

12.如圖，在正方形ABCD中，AC,8。交于點。，OE平分/CZJB交AC于點交BC于點、E,過點M

作MF_LOE交AB于點RBE=2,則AF的長為（）

A.V2B.苴區.1C.1D.2V2-1

2

【解答】解：如圖，過點加作環7，。。于點6,

：.OD=OB=OA=OC,AC.LBD,ZACD=ZCBD=ZBAC=45°,

???DE平分/CDB,OMLBD,MGLCD,

：.OM=MG,

由MGLC。，ZACD=45°,得△CGM為等腰直角三角形，

:.CM=42MG,

設OM=MG=〃(〃>0,則CM=A/^Q,OC—OA—a+^[2a,AC—2(〃+V^4)，

BD=AC=2AM=a+\l~2a+a=2a+\[2a,

?：FM_LDE,

：.ZAMF+ZAMD=90°,

VZBDE+ZAMD=90°,

Z.ZAMF=NBDE,

又；MAF=/DBE=45°,

：.￡\AMFs叢BDE,

?AFAMpnAF_2a+V^a

??-=，P>IJ,----------------------------------------------，

BEBD22（a+v2a）

解得：AF=42.

故選：A.

13.如圖，四邊形ABC。中，AC、BD交于點E,AB=AD=45,BD=2,ZBCD=90°,=A,則AC

3

【解答】解：過點A作AfUB。于尸，過點C作CG_L8。于G,如圖,

?.?DF^1-BD^1-X2=V

在RtZkA￡）尸中，由勾股定理，得AFWAM-DF2=4（而）2-12=2,

'JAFLBD,CG±BD,

J.AF//CG,

：.△AFEs^CGE,

?AFEFAEPn2EF3

CGEGCECGEG1

CG=|-EF=3EG,

設￡G=無，則EP=3x,DG=1-4x,

'：ZCGD=ZBCD=90°,ZCDG=ZBDC,

:.△CGDsgCD,

???-C-D-=-D--G

BDCD

：.CD2=BDDG=2(1-4x),

02

在RtzXCDG中,由勾股定理,^CD2=CG2+DG2=(―)+(1-4X)2,

塔)+(l-4x)2=2(l-4x),

解得：叵，x0=-^■(舍去)，

112212

，EG*

在Rt^CGE中，由勾股定理得，

V69_

CE=7CG2+EG2==

??CE1

?---S9

AE3

?,-AC=AE<E=4CE=4X^-=^p-

o

故選：B.

14.如圖，延長矩形ABC。的邊C2至點E,使匹=AC,連接DE,若NBAC=a,則NE的度數是（）

【解答】解：連接3。交AC于點0,

?..四邊形A8CD是矩形，

/.ZABC=90°,0A=0C=LC,0B=0D=LBD,AC=BD,

22

：.OA=OB,

N08A=NBAC=a,

AZCBD=90°-a,

；BE=AC=BD,

：.ZBDE=ZE,

：.ZCBD=ZBDE+ZE=2ZE,

：.2ZE=90°-a,

；.NE=45°-

2

故選：B.

15.如圖，已知正方形ABCD的邊長為3,點尸是對角線2。上的一點，PF_LA。于點E于點E,

連接PC,當PE：PF=1：2時，則PC=()

2

【解答】解：連接AP,

:四邊形A8C。是正方形，

：.AB=AD=3,ZA￡)B=45°,

VPF1AD,PE1AB,ZBAD=90°,

四邊形AEP尸是矩形，

：.PE=AF,ZPFD=90°,

???△PFD是等腰直角三角形，

:.PF=DF,

,:PE：PF=\t2,

：.AF：DF=1：2,

：.AF^1,DF=2=PF,

?'?AP—dAF2+pF2=71+4—yfs，

"：AB=BC,/ABD=NCBD=45°,BP=BP,

：.AABP^ACBP(SAS),

：.AP=PC=y/5,

故選：C.

16.如圖，已知正方形ABC。的邊長為1,點E為邊BC上一點，連接AE,作NZME的平分線交。于點

F,若F為CD的中點，則BE的長為（）

A.2B.亞C.2D.A

3245

【解答】解：過點尸作連接ER

：.DF=CF=^,

2

.四邊形ABC。是正方形,

：.ZD=ZC=90°,

???AF是角平分線，

：.DF=HF=CF,

.".RtAADF^RtAAHF(HL),

.".AD—AH—1,

同理可得RtAEFH^RtAEFC,

：.EH=CH,

設CE=x,則AE=1+尤，BE=1-x,

12+(1-x)2—(1+x)2,

解得X=>1,

4

44

故選：C.

17.如圖，在正方形ABC。中，AB=6,點E、尸分別為A3、8c上一點，連接。E、EF,過點C作CH_L

DE于點、H,過點。作。GLEF于點G,若/ADE=/GDE,匹則線段跖的長為()

CH3

A.273B.2^5C.2^^D.5

3

【解答】解：連接。F,如圖：

:四邊形ABCO是正方形，AB=6,

：.BC=AD=AB=CD=6,ZADC=ZA=90°,

：.ZCDH=900-ZADE=ZDEA,

'：CHIDE,

：.ZCHD=ZA^90°,

二.△CDHSADEA,

?CH=CD

*'ADDE'

>?BC-AD-VTO

,CHCH3'

?.?-31_6，

V10DE

.,.DE=2V10,

AA￡=VDE2-AD2=V(2^10)2-62=2'

：.BE=AB-AE=6-2=4,

VZA=ZDGE=90°,ZADE=ZGDEfDE=DE,

：.AADE^AGDE(A4S),

：.GE=AE=2,AD=DG,

：.CD=DG,

VZDCF=ZDGF=90°,DF=DF,

：.RtADCF^RtADGF(HL),

:?CF=GF,

設則G尸=x-2=CR

：.BF=6-CF=6-(x-2)=8-x,

9：BE1+BF2=EF2,

42+(8-x)2—x2,

解得x=5,

.\￡F=5；

故選：D.

18.在正方形ABC。中，連接BD,E為BC中點，F為BD上一前,連接ERAF,滿足AF=延長A尸

交CD于點、N,連接EN,若/ZMB=a,則NENC用含a的式子表示為（）

AD

bEJ

。

A.4b62B.45°-aC.2aD.90°-2a

【解答】解：過點尸直線于T交8C于K,作直線CD于尸交48于。如圖所示:

?..四邊形ABCD為正方形，

：.AB=BC^CD=AD,4。平分NAOC,AD//BC,ZADC^ZABC^90°,

四邊形。H/中，四邊形8QFK均為正方形，四邊形。0尸尸，四邊形ATF。均為矩形,

:.FT=FP=PD=DT=CK,AT=FQ=FK,TK//CD,

在RtAATF和Rt^FKE中，

(AT=FK

|AF=EF，

；.RtAATF絲RtAFKE(HL),

：.FT=KE,N1AF=/KFE,

：.FT=FP=PD=DT=CK=KE,

設。T=x,則FT=FP=PD=DT=CK=KE=x,

：.CE=2x,

:點E為BC中點，

：.BC=2CE=4x,

：.AB=BC=CD=AD=4x,

，AT=3尤，

'：TK//CD,

■AF=AT=3x=3

??麗TD~，

?EF_o

FN

又..電=至=3,

TFx

?EF=AT

??麗TF，

ZTAF+ZAFT^90°,N7AF=NKFE,

：.ZKFE+ZAFT=90°,

ZAF￡=180°-(/KFE+/AFT)=90°,

:.NEFN=90°,

:.NEFN=NATF=9Q°,

...AATFsAEFN,

；./TAF=/FEN=n,

,：ZTAF+ZAND=9Q°,ZFEN+ZFNE=90°,

ZAND=/FNE=9Q°-a,

：.ZDNE=ZAND+ZFNE=1SO°-2a,

：.ZENC^180°-NZ)N￡=180°-(180°-2a)=2a.

故選：C.

19.如圖，正方形ABC。中，點E為邊BA延長線上一點，點尸在邊BC上，且AE=CR連接。REF.若

ZFDC=a.則乙4￡尸=()

C.45°+aD.a

【解答】解：連接網＞,

在正方形ABC。中，ZADC=ZBAD=ZC=90°,AD=DC,

U：AE=CF,

：.RtAADE^RtACDF(SAS),

:./FDC=/ADE=a,DE=DF,

：.ZCDF+ZADF=ZADE+ZADF=90°,

：.ZEFD=ZFED=45°,

JZAGE=ZFED+ZADE=45°+a,

AZAEF=90°-ZAGE=90°-(45°+a)=45°-a,

故選：B.

20.如圖，正方形ABC。中，點E在。。上，點尸在D4的延長線上，＞AF=CE,連接5REF,BE,若

/DFE=a,則NA8E等于()

A.45°+aB.45°-aC.2aD.90°-a

【解答】解：I?正方形ABC。中，AB=BC,ZC=ZBAF,AF=CE,

：.ABAF^ABCE(5AS),

：.BF=BE,ZEBF=90°,

，/BFE=45°,

NDFE=cc,

???ZABE=90°-ZABF=ZAFB=NDFE+NBFE=a+45

故選：A.

21.如圖，在正方形ABC。中，邊A3、AO上分別有石、/兩點，AE=DF,BP平分NCBF交CD于點P.若

/CPB=a,則NCE8的度數為（）

A.90°-aB.aC.180°-2aD.990_Aa

【解答】解：?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB=BC,ZDAB=ZABC=ZBCD=90°,AD//BC,

*：AE=DF,

：.AD-DF=AB-AE,

即AF=BE,

在△ABF和△BCE中，

rAF=BE

<ZFAB=ZEBC，

AB=BC

???△ABF^ABCE(SAS),

:?/CEB=/BFA,

9：AD//BC,

；?/BFA=/CBF,

：.ZCEB=ZCBF,

?：BP平分/CBF,

：.ZCBF=2ZCBP,

：.ZCEB=2ZCBPf

ZBCD=90°,ZCPB=a,

：.ZCBP=90°-a,

：.ZCEB=2ZCBP=2(90°-a)=180°-2a,

故選：C.

22.如圖，正方形ABC。的邊長為K巧，點E，尸分別在。C,BC上，BF=CE=2衣，連接AE、DF,AE

與。尸相交于點G,連接AF,取AF的中點H,連接HG,則HG的長為（）

A.V5B.2C.2^5D.4

【解答】解：；四邊形ABC。是正方形，

/.ZADE=ZC=90°,AD=DC=BC,

,:BF=CE,

:.CF=DE,

在△AOE和△￡>(7尸中，

'AD=DC

<ZADE=ZC?

DE=CF

AAADE^ADCF(SAS),

:./DAE=NCDF,

'：ZDAE+ZDEA=9Q°,

：.ZCDF+ZDEA=90°,

AZAGF=ZDGE=90°,

:點”是AF的中點，

GH-^AF，

VAB=2V3,BF=2V2,

；?AF=VAB2+B