壓軸題05新定義類壓軸題

高分必搶

?題型01函數中的新定義壓軸題

新定義問題解題思路：

所有新定義的問題，首先都是要理解新定義所具有的性質；因為題目中第1問都會直接考察學生對定義的

理解，直白的理解，直白的應用新定義的性質就好；

其次要看新定義所結合的考點，找出新定義的性質同結合考點的性質間的異同點，遷移應用；

最后再將新定義與所結合的考點聯合，合并應用。

1.（2023?諸暨市模擬）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較大值，稱為

點A的“長距”，當點尸的“長距”等于點。的“長距”時，稱P,。兩點為“等距點”，若尸（-1,

4）,Q（4+3,4左-3）兩點為“等距點”，則左的值為.

2.（2023?紹興）在平面直角坐標系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內部（包括邊界），

這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關聯矩形.例如：如圖，函數y=（x-2）2（0WxW3）的圖象

（拋物線中的實線部分），它的關聯矩形為矩形OA8C.若二次函數y-^xZ+bx+c（0<x<3）圖象的

關聯矩形恰好也是矩形OABC,則b=.

3.（2023?婺城區一模）定義：在平面直角坐標系中，直線x=:"與某函數圖象交點記為點尸，作該函數圖

象中，點P及點P右側部分關于直線的軸對稱圖形，與原函數圖象上的點尸及點P右側部分共同

構成一個新函數的圖象，稱這個新函數為原函數關于直線尤=%的“迭代函數例如：圖1是函數y

x+1的圖象，則它關于直線x=0的“迭代函數”的圖象如圖2所示，可以得出它的“迭代函數”的解

析式為尸

-x+1(x＜0)

(1)寫出函數y=x+l關于直線x=l的“迭代函數”的解析式為.

(2)若函數y=-f+4x+3關于直線x=機的“迭代函數”圖象經過(-1,0),則m=.

(3)已知正方形A5CD的頂點分別為：

A(4,〃)，B(〃，-。)，C(-4,-Q),。(-〃，4),其中。＞0.

①若函數＞=2關于直線x=-2的“迭代函數”的圖象與正方形A8C。有3個公共點，則。=；

X

②若。=6,函數＞=且關于直線x=w的”迭代函數”的圖象與正方形A8CL)有4個公共點，則〃的取值

?題型02四邊形中的新定義壓軸題

1.(2023?寧波)定義：有兩個相鄰的內角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四邊形，相等

兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,對角線BD平分NADC.求證：四邊形ABC。

為鄰等四邊形.

(2)如圖2,在6X5的方格紙中，A,B,C三點均在格點上，若四邊形ABC。是鄰等四邊形，請畫出

所有符合條件的格點D

(3)如圖3,四邊形ABCD是鄰等四邊形，ZDAB=ZABC^90°,NBC。為鄰等角，連結AC,過2

作BE〃AC交D4的延長線于點E.若AC=8,DE=1O,求四邊形E8CD的周長.

2.(2024?浙江模擬)定義：我們把對角線相等的四邊形叫作偽矩形，對角線的交點稱作偽矩形的中心.

(1)①寫出一種你學過的偽矩形：.

②順次連接偽矩形各邊中點所得的四邊形是.

A.正方形

B.矩形

C.菱形

D.無法確定

(2)如圖1,在偽矩形A8CD中，ZBCD=90°,AC=3,CD=2,求的長.

(3)如圖2,在偽矩形A8C。中，ZABC=90a,ZBAC=60°,AB=2,AC=CD,求這個偽矩形的面

積.

3.(2024?昆山市一模)我們定義：有一組鄰邊相等且有一組對角互補的凸四邊形叫做等補四邊形.

(1)如圖1,ZkABC是等邊三角形，在8c上任取一點。(8、C除外),連接AD,我們把繞點

A逆時針旋轉60°,則A8與AC重合，點。的對應點E.請根據給出的定義判斷，四邊形AOCE(選

擇是或不是)等補四邊形.

(2)如圖2,等補四邊形ABC。中，AB^BC,ZABC^ZADC^90°,若5四邊形ABCD=8,求的長.

(3)如圖3,四邊形ABC。中，AB=BC,ZA+ZC=180°,BD=4,求四邊形ABC。面積的最大值.

?題型03圓中的新定義壓軸題

1.(2023?秀洲區校級二模)婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數學家，他在三角形、四邊形、零和

負數的運算規則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內接四邊形，我們把這類

對角線互相垂直的圓內接四邊形稱為“婆氏四邊形”；

(1)若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形"，則四邊形A8C。是.(填序號)

①矩形②菱形③正方形

(2)如圖1,Rt^ABC中，ZBAC=90°,以AB為弦的。。交AC于。，交BC于E,連接。￡、AE.

BD,AB=6,sinC=旦，若四邊形48即是“婆氏四邊形”，求的長；

5

(3)如圖2,四邊形A2CZ)為。。的內接四邊形，連接AC,BD,OA,OB,OC,0D,已知N30C+/

AOZ)=180°,

①求證：四邊形A8CD是“婆氏四邊形”；

②當4O+BC=4時，求O。半徑的最小值.

圖1圖2

2.(2024?寧波一模)定義，若四邊形的一條對角線平分這個四邊形的面積，則稱這個四邊形為倍分四邊

形，這條對角線稱為這個四邊形的倍分線.如圖①，在四邊形ABCD中，若SMBC=S^ADC,則四邊形

A3。為倍分四邊形，AC為四邊形A8C。的倍分線.

(1)判斷：若是真命題請在括號內打J,若是假命題請在括號內打X.

①平行四邊形是倍分四邊形.

②梯形是倍分四邊形.

(2)如圖①，倍分四邊形A8CZ)中，AC是倍分線，若AC_LA8,AB=3,AD=DC=5,求BC；

(3)如圖②，△ABC中54=BC,以BC為直徑的。。分別交A3、AC于點N、M,已知四邊形

是倍分四邊形.

①求sinC；

②連結aW,CN交于點。，取0c中點孔連結板交NC于￡(如圖③)，若OF=3,求。E.

A

A

3.（2024?臺州一模）【概念呈現】在鈍角三角形中，鈍角的度數恰好是其中一個銳角的度數與90度的和,

則稱這個鈍角三角形為和美三角形，這個銳角叫做和美角.

【概念理解】（1）當和美三角形是等腰三角形時，求和美角的度數.

【性質探究】（2）如圖1,△ABC是和美三角形，是鈍角，NA是和美角，求證：tanA=匹

【拓展應用】（3）如圖2,AB是O。的直徑，且AB=13,點C,。是圓上的兩點，弦與A3交于

點、E,連接A。，BD,是和美三角形.

①當3C=5時，求的長.

②當△BCQ是和美三角形時，直接寫出四的值.

ABD

圖1圖2

1.若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形.有下列結論：

①已知△ABC是比例三角形，AB=4,BC=5,那么AC=2遙；

②在△ABC中，點。在AC上，且AO=BC,NABD=NC,那么△ABC是比例三角形；

③如圖，在四邊形ABCZ）中，已知AO〃BC,2。平分/ABC,AB±AC,ADLCD,那么△ABC是比例

三角形；

④已知直線y=J^x+3如與x軸、y軸交于點A、8,點C（3,0）,那么△ABC是比例三角形.

其中，正確的個數是（）

AD

2.已知"行“列的數表A=中，對任意的i=l,2,…，n,j=l,2,n,

nldn2

都有劭=0或L若當4to=0時，總有(小什。2什…+。加+(0?1+如2+…+om)2",則稱數表A為典型表，

此時記表A中所有an的和記為Sn.

,\(1100、

°°口1100

(1)若數表B=100，c=八八，，，其中典型表是；

0011------

111。,I0011.

(2)典型表中S5的最小值為.

3.對于平面內的兩點K、L作出如下定義：若點。是點L繞點K旋轉所得到的點，則稱點。是點L關于

點K的旋轉點；若旋轉角小于90°,則稱點。是點L關于點K的銳角旋轉點.如圖1,點。是點L關

于點K的銳角旋轉點.

(1)已知點A(4,0),在點Qi(0,4),。2(2,蓊),。3(-2,2^3)，。4(272--272)

中，是點A關于點0的銳角旋轉點的是.

(2)已知點2(5,0),點C在直線y=2x+b上，若點C是點2關于點。的銳角旋轉點，求實數b的

取值范圍.

(3)點。是x軸上的動點，。(f,0),E(「3,0),點廠Cm,n)是以。為圓心，3為半徑的圓上

一個動點，且滿足“NO.若直線y=2r+6上存在點尸關于點E的銳角旋轉點，請直接寫出t的取值范圍.

4.對某一個函數給出如下定義：如果函數的自變量x與函數值y滿足：當(X-/7?)(x-n)WO時，(y

-m)(廠〃)WO(m,〃為實數，且加<〃)，我們稱這個函數在他一〃上是“民主函數”.比如：函

數y=-x+1在-If2上是"民主函數".理由：:?由[x-(-1)](x-2)W0,得-1,「冗=1

-y,「?-1Wl-yW2,解得-1二.[y-(-1)](y-2)W0,「?是"民主函數".

(1)反比例函數y：J■是2f3上的“民主函數”嗎？請判斷并說明理由;

(2)若一次函數y=fcv+b在機一〃上是“民主函數”，求此函數的解析式(可用含加，〃的代數式表示)；

(3)若拋物線y=o?+6尤+c(a>0,a+b>0)在1-3上是“民主函數”，且在1WXW3上的最小值為

4a,設拋物線與直線y=3交于A,B點，與y軸相交于C點.若△ABC的內心為G,外心為M,試求

MG的長.

5.在平面直角坐標系中，。為原點，矩形ABCZ)的頂點A(2,1),B(-2,1),D(2,-1),等邊△

EPQ的頂點P(-5,通)，點E是BC的中點.

(I)填空：如圖①，點C的坐標為，點Q的坐標為；

(II)將等邊△EPQ沿水平方向向右平移，得到等邊△￡'P'。'，點E,P,0的對應點分別為E',

P',Q',設EE'=t,等邊P'Q'與矩形ABC。重疊部分面積記為S.

①如圖②，當邊P'與A8相交于點M,邊E'Q'與CD相交于點N,點E'在點(1,0)的左側且

矩形ABCQ與P'Q,重疊部分為五邊形時，試用含有方的式子表示S,并直接寫出f的取值范圍；

②當日<t<6時，求S的取值范圍(直接寫出結果即可).

4

圖①圖②

6.在平面直角坐標系中，對于兩點A(xi,yi)和8(X2,>2),它們橫坐標之差的絕對值與縱坐標之差的

絕對值之和稱為這兩個點之間的曼哈頓距離，表示為：d(A,B)=|xi-X2|+|yi-

(1)如果點A(-3,2),則原點。與點A的曼哈頓距離1(O,A)=；

(2)函數y=-2x+4(0WxW2)的圖象如圖1所示，B是圖象上一點，原點。與點B的曼哈頓距離d

(。，B)=3,則點B的坐標為；

(3)點C,D分別在x軸和y軸的正半軸上，對于線段CZ)上任意一點P,都滿足d(。，P)=3,則

直線CD的函數表達式為；

(4)如圖2,點E(5,3),OE的半徑為2,點M在OE上，則d(0,M)的最小值為.

7.定義：如圖1,是。。的直徑，若弦C￡)〃A