專題07解答壓軸題（圓的綜合）

通用的解題思路：

一、切割線定理

當(dāng)出現(xiàn)圓中一條弦和一條切線（或另一條弦）所在直線交于圓外一點時，可利用相似三角形解決線段

相關(guān)問題。

二、解決三角形外接圓的問題

做這類題時可通過連接圓心（外心）和三角形的頂點，或過圓心（外心）作邊的垂線，進(jìn)而應(yīng)用圓周

角定理、垂徑定理及勾股定理解決問題。

三、證切線的方法

1、己知半徑證垂直；

2、已知垂直證半徑。

經(jīng)典例題

1.（2023?安徽?中考真題）已知四邊形A8CD內(nèi)接于O。，對角線是。。的直徑.

⑴如圖1,連接。4,C4,若。4_L3D,求證；C4平分NBCD；

（2）如圖2,E為。。內(nèi)一點，滿足若BD=3百，2E=3,求弦BC的長.

2.（2022?安徽?中考真題）已知AB為。。的直徑，C為。。上一點，。為8A的延長線上一點，連接CD

圖1圖2

(1)如圖1,COLAB,ND=30。，OA=\,求A。的長；

(2)如圖2,若。C與。。相切，E為。4上一點，且NACO=NACE,求證：CELAB.

3.(2021?安徽?中考真題)如圖，圓。中兩條互相垂直的弦AB,CD交于點、E.

(1)M是CD的中點，OM=3,8=12,求圓。的半徑長；

(2)點尸在C￡)上，且CE=EE求證：AF1BD.

壓軸題預(yù)測

1.(2024?安徽六安?一模)如圖，AABC內(nèi)接于。0,4B是。。的直徑，。。14B交。。于點E,交AC于

點F,且DF=DC.

⑴求證：CD是。。的切線；

(2)若。F=V10>BC=6,求DE的長.

2.(2024?安徽?一模)如圖，已知點尸為O。外一點，點A為。。上一點，直線P2與O。的另一個交點為

點B,47是。。的直徑，"AC的平分線2。交于點，連接CD并延長交直線P2于點M,連接。D.

(1)求證：OD||BM；

(2)若tan/ACr>=g,。。的直徑為4,求4B的長度.

3.(2024.安徽合肥?二模)如圖，48為。。的直徑，AC和8。是。。的弦，連接

(1)若點C為4P的中點，且PC=PD,求NB的度數(shù)；

(2)若點C為弧力D的中點，PD=4,PC=2V3,求。。的半徑.

4.(2024?安徽黃山?一模)如圖，在中，^ACB=90°,。為邊AC上的點，以4D為直徑作。0,連

接并延長交O。于點E,連接CE,CE=BC.

B

(1)求證：CE是。。的切線.

(2)若=2,BC=4,求4C的長.

5.(2024?安徽安慶?一模)如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在。。上，平分乙4DC,連接。C,且。C1

BD.

(1)求證：AB=CD

⑵若CD=5,BD=8,求。。的半徑.

6.(2024.陜西西安.二模)如圖，。。是A/IBC的外接圓，乙4c8=60。，弦8。交4C于點E,且4E=OE.

(1)求證：△EBC是等邊二角形；

(2)過點。作。F1AC于點尸，延長FO交8E于點G,若DE=3,EG=2,求4B的長.

7.（2024?安徽合肥?一模）如圖，。。是△4BC的外接圓，AB=AC,CD14B于點。，BO延長線交CD于

點、E.

⑴求證：乙DBE=LDCB；

⑵若BC=40,BE=4,求。E的長.

8.（2024?安徽馬鞍山?一模）如圖1,等腰A/IBC中，AB=AC,以AC為直徑的。。與所在直線、BC分

別交于點。、E,EF14B于點F.

（1）求證：EF為。。的切線;

(2)如圖2,當(dāng)NB4C>90。時,若4F=2,EF=4,求4。的長.

9.（2024?安徽合肥?一模）如圖，O。是△ABC的外接圓，4。是。。的直徑，尸是4。延長線上一點，連接

CD,CF,且CF是。。的切線.

⑴求證：4DCF=4CAD；

（2）若CF=4或,DF=4,求。。的半徑.

10.（2024.安徽合肥?一模）如圖，△力8c內(nèi)接于（O,AC（不是直徑）與。B相交于點。，且=

與O。相切點4.

⑴求證：平分ND4E；

⑵若BZ）=6,AD=12,求2E的長.

11.（2024.安徽合肥.一模）如圖，在AaBC中，NC=90。，點。是4B邊上一點，以BD為直徑的。。與邊

AC相切于點E,與邊8c交于點R過點E作于點X,連接BE.

(1)求證：BC=BH；

(2)若=5,AC=4,求CE的長.

12.（2024?安徽?一模）如圖，在。。中，直徑力B垂直弦CD于點E,連接4C、BD,點G為直徑4B上一點,

且DG=DB,延長DG父力C于點F.

B

(1)求證：DFlAC；

(2)若BE=m,OE=n,求BD的長.(用含犯n的代數(shù)式表示)

13.(2024.安徽合肥?一模)如圖，AB是O。的直徑，AC是一條弦，。是弧AC的中點，DE14B于點E,交

AC于點尸交O。于點DB交AC于點G.

⑴求證：AF=DF-,

-1

(2)若4尸=5,tan^ABD=求。。的半徑.

14.(2024?安徽合肥?一模)已知：如圖，為。。的直徑，點E為。4上一點，過點E作CD1AB,交。。點

C、D.

(1)如圖1,若4E=2,OE=3,求CD的長；

(2)如圖2,點P為詫上一點，連接DP交直徑4B于點F,連接CF,若。C||PB,求證：乙CFP=LB.

15.(2024?安徽蚌埠?一模)如圖，4B是。。的直徑，直線/與。。相切于點C,且“IBC,D為/上一點,

BD=AB,AC,BD交于點E.

(1)求證：AC=BC；

⑵求乙4BD的度數(shù)；

(3)若CD=1,求友?的長.

16.(2024?安徽合肥?一模)如圖，AB是半圓。的直徑，C是半圓上不同于4B的一點，/是AABC的內(nèi)心,

4/的延長線交半圓。于點D,連結(jié)BI,BD」O.

⑴求證：DI=DB；

(2)若求4/的長.

17.(2024.安徽合肥?一模)如圖，四邊形力BCD內(nèi)接于。。，^BAD=90°,BC=CD,過點C作CE,使得

CD=CE,交4。的延長線于點E.

C

⑴求證：AB=AE.

(2)若小＞=￡)￡■=2,求CD的長.

18.（2024.安徽宿州?一模）如圖，。。中的兩條弦431。。于凡點尸在0。上，BD=BF.連接前交CD

于G,交BC于H.

(1)若4E=2,BE=4,BC=8,求的長;

(2)分別連接DF,EH,求證:DF||EH.

19.（2023?安徽?模擬預(yù)測）如圖，在△4BC中，"BC=90。,。為4:邊上一點，O。與4B邊相切于點

交BC,AC于點瓦F,連接CD.

⑴求證：4BCD=