專題23圓的有關位置關系（36題）

一、單選題

1.（2024?福建?中考真題）如圖，已知點A8在。上，ZAOB=72°,直線初V與。相切，切點為C,

且C為的中點，則NACW等于（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

【答案】A

【分析】本題考查了切線的性質，三角形內角和以及等腰三角形的性質，根據C為嘉的中點，三角形內

角和可求出/。。4=3、（180。-36。）=72。，再根據切線的性質即可求解.

【詳解】?:ZAOB=7安,C為A8的中點，

?*.ZAOC=36°

OA=OC

ZOCA=|x（180°-36°）=72°

,直線MN與-O相切，

ZOCM=9Q°,

：.ZACM=ZOCM-ZOCA=18°

故選：A.

2.（2024.上海.中考真題）在一ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,點P在ABC內，分別以A、B、尸為

圓心畫，圓A半徑為1,圓B半徑為2,圓尸半徑為3,圓A與圓尸內切，圓尸與圓8的關系是（）

A.內含B.相交C.外切D.相離

【答案】B

【分析】本題考查圓的位置關系，涉及勾股定理，根據題意，作出圖形，數形結合，即可得到答案，熟記

圓的位置關系是解決問題的關鍵.

【詳解】解：；圓A半徑為1,圓p半徑為3,圓A與圓P內切，

.?■圓A含在圓P內，即PA=3-1=2,

.?.P在以A為圓心、2為半徑的圓與二ABC邊相交形成的弧上運動，如圖所示:

當到P'位置時,圓尸與圓B圓心距離尸3最大，為+不=拒，

717<3+2=5,

.■.圓P與圓8相交,

故選：B.

3.（2024河南.中考真題）如圖，。是邊長為4—的等邊三角形ABC的外接圓，點。是8c的中點，連

接50,CD.以點。為圓心，BD的長為半徑在。內畫弧，則陰影部分的面積為（）

A

D

A.—B.4TIC.史烏D.16兀

33

【答案】C

【分析】過。作于E,利用圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質求出/8DC=120。，利用弧、

弦的關系證明3D=CD,利用三線合一性質求出2E=LgC=26,ABDE=-ZBDC=60°,在RgBDE

22

中，利用正弦定義求出8￡>,最后利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】解：過。作。EJL3C于E,

A

D

V。是邊長為4代的等邊三角形ABC的外接圓,

BC=4A/3-ZA=60°,ZSDC+ZA=180°,

ZSDC=120°,

:點D是BC的中點，

；?BD=CD，

：.BD=CD,

:.BE=LBC=2框,ZBDE=-ABDC=6Q°,

22

：.BD=-BE-=^L=4,

sinNBDEsin60°

.01207rd167r

陰影=F-二亍’

故選：c.

【點睛】本題考查了圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，扇形面積公式，解直

角三角形等知識，靈活應用以上知識是解題的關鍵.

4.(2024.四川瀘州?中考真題)如圖,EA,ED是：O的切線，切點為A,D,點、B,C在二。上，若

ZBAE+ZBCD=236°,則/E=()

◎

A.56°B.60°C.68°D.70°

【答案】c

【分析】本題考查了圓的內接四邊形的性質,切線長定理，等腰三角形的性質等知識點，正確作輔助線是

解題關鍵.

根據圓的內接四邊形的性質得NBAD+ZBCD=180°,由/BAE+/3CD=236。得/E4D=56。，由切線長

定理得E4=￡D,即可求得結果.

【詳解】解：如圖，連接AD,

&

'D

:四邊形A5CD是O的內接四邊形，

ZBAT>+ZBCD=180°,

,?ZBAE+ZBCD^236°,

：.Z.BAE+/BCD-(/BAD+NBCD)=236°-180°,

ZBAE-ZBAD=56°,

/E4D=56°,

EA,即是<O的切線，根據切線長定理得，

/.EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA=56°,

；.NE=180°-ZEAD-ZEDA=180°—56。一56°=68°.

故選：C.

二、填空題

5.（2024?浙江?中考真題）如圖，A8是O的直徑，47與，。相切,A為切點，連接BC.己知NACB=50°,

則NB的度數為

【答案】40。/40度

【分析】本題考查切線的性質，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是解題的關鍵.

【詳解】解：：AC與，：。相切，

?*.ABAC=90°,

又：ZACB=50°,

：.NB=90°-ZC=90°-50。=40°,

故答案為：40°.

6.（2024.內蒙古包頭.中考真題）如圖，四邊形ABC。是CO的內接四邊形，點。在四邊形ABC。內部，過

點C作：。的切線交AB的延長線于點尸，連接OAOB.若NAO3=140。，4c尸=35。,則-4DC的度數

為.

【答案】105。/105度

【分析】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，圓內接四邊形的性質等知識，連接0C,利用等邊

對等角得出NQ4B=NC?A=20。，NOCB=NOBC,利用切線的性質可求出NOBC=NOCB=55。，然后利

用圓內接四邊形的性質求解即可.

【詳解】解：連接。C,

,：OA=OB=OC,=140°,

/.ZOAB=ZOBA=1（180°-ZAOB）=20°,ZOCB=ZOBC,

：CP是切線，

ZOCP=90°,即Z.OCB+ZBCP=90°,

,/ZBCP=35°,

ZOBC=ZOCB=55°,

：.ZABC=ZABO+ZOBC=75°,

?..四邊形A5CZ）是的內接四邊形，

ZADC=180°-ZABC=105°,

故答案為：105。.

7.（2024.天津.中考真題）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A,F,G均在格點上.

(1)線段AG的長為；

(2)點￡■在水平網格線上，過點A,E,尸作圓，經過圓與水平網格線的交點作切線，分別與AT的

延長線相交于點3,C,ABC中，點M在邊3C上，點N在邊上，點尸在邊AC上.請用無刻度的直

尺，在如圖所示的網格中，畫出點M,N,P,使&1的？的周長最短，并簡要說明點M,N,尸的位置

是如何找到的(不要求證明).

【答案】&圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質等知識，根據題意正確作圖是解題的關鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點M關于A3、AC的對稱點M|、M2,連接MM】、MtM2,分別與A3、AC相交于點E、P,

△肱VP的周長等于的長，等腰三角形的腰長為AM,當AM的值最小時，的值最小，

此時M是切點，由此作圖即可.

【詳解】(1)由勾股定理可知，46=爐方=血，

故答案為：A/2

(2)如圖，根據題意，切點為M；連接ME并延長，與網格線相交于點Mi；取圓與網格線的交點。和格

點、H,連接DH并延長，與網格線相交于點“2；連接加1加2,分別與A3,AC相交于點N,P,則點

8.(2024?江蘇揚州?中考真題)如圖，已知兩條平行線4、3點A是4上的定點，于點8,點C、

。分別是4、4上的動點，且滿足AC=3D,連接8交線段AB于點E,BHLCD于點、H,則當Na4H最

大時，sinZfi4H的值為

【分析】證明一ACE紂班氏(ASA),得出==根據3HLCZ),得出4HE=90。，說明點X

在以旗為直徑的圓上運動，取線段3E的中點0,以點。為圓心，。3為半徑畫圓，則點H在」。上運動，

說明當AH與，。相切時N54H最大，得出根據AO=A￡+OE=3OE,利用

sinZBAH=|,即可求出結果.

AO3OE3

【詳解】解：：兩條平行線4、4,點A是4上的定點，AB，/?于點2,

點B為定點，AB的長度為定值，

：.ZACE=NBDE,NCAE=NDBE,

"?AC=BD,

.ACE^BDE(ASA),

：.BE=AE^-AB,

2

,：BHLCD,

：.NBHE=90°,

...點H在以BE為直徑的圓上運動，

如圖，取線段BE的中點。，以點。為圓心，。3為半徑畫圓，

,當與I。相切時N54H最大,

OHLAH,

"：AE=OB=2OE,

AO=AE+OE=3OE,

'：OH=OE,

.?.sin4A//="=絲」,

AO3OE3

故答案為：g

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，全等三角形的性質和判定，平行線的性質，切線的性質，解直角三

角形等知識點，解題的關鍵是確定點H的運動軌跡.

9.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，M的圓心為M（4,0）,半徑為2,尸是直線y=x+4上的一個動點,

過點P作的切線，切點為。，則PQ的最小值為

【答案】2幣

【分析】記直線^=尤+4與x,y軸分別交于點A,K,連接PM,KM;由直線解析式可求得點A、K

的坐標，從而得△OAK,△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ^^PM2-QM2,由

QM=2,則當PM最小時，PQ最小，點尸與點K重合，此時最小值為KM,由勾股定理求得的

最小值，從而求得結果.

【詳解】解：記直線＞=x+4與尤，y軸分別交于點A,K,連接PM,KM,

解得：％=-4,

即K(0,4),A(T,0)；

而M(4,0),

：.OA=OK=OM=4,

「?△OAK,△OKM均是等腰直角三角形,

：.ZAKO=ZMKO=45°,

：.ZAKM=90°,

???QP與V相切，

ZPQM=90°,

??PQ=yjPM2-QM2,

?：QM=2f

當pQ最小時即PM最小，

.,.當PM_LAK時，取得最小值，

即點P與點K重合，此時最小值為KM,

在Rt中，由勾股定理得：KM=yJoM2+OK2=472-

PQ=J32-4=2>/7,

；.PQ最小值為24.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加

輔助線是解題的關鍵.

10.（2024.山東煙臺.中考真題）如圖，在YABC。中，NC=120。，AB=8,BC=10.E為邊CD的中點，

尸為邊AD上的一動點，將。砂沿E尸翻折得.D'E/，連接AD'，BD',則△ABD面積的最小值為.

【答案】20若-16/-16+206

【分析】根據平行四邊形的性質得到CD=AS=8,AB//CD,ZABC=60°,由折疊性質得到=。￡=4,

進而得到點"在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作石交A8延長線于M,交圓E

于此時0c到邊的距離最短，最小值為的長，即此時△ABD面積的最小，過C作CN_LAB于

M根據平行線間的距離處處相等得到EM=CV,故只需利用銳角三角函數求得CN=54即可求解.

【詳解】解:「在YABCD中，ZSCZ）=120°,AB=8,

CD=AB=8,AB//CD,則^/15。=180。一/300=60。，

為邊CD的中點，

DE=CE=-CD=4,

2

DEF沿E尸翻折得.D,EF，

/.ED'=DE=4,

...點以在以E為圓心，4為半徑的圓上運動，如圖，過E作交A3延長線于交圓E于次,

此時到邊A8的距離最短，最小值為LW的長，即△鉆。面積的最小，

過C作CN_LAB于N,

AB//CD,

：.EM=CN,

在RtBCN中,3C=10,ZCBN=60°,

：.CN=BC.sin60°=10x3=5若，

2

/.DM=ME-ED=56-4,

???△相〃面積的最小值為3><8*（5百-4）=20石-16,

故答案為：2073-16.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質、折疊性質、圓的有關性質以及直線與圓的位置關系、銳角三角函數

等知識，綜合性強的填空壓軸題，得到點。，的運動路線是解答的關鍵.

三、解答題

11.（2024?廣東?中考真題）如圖，在ABC中，ZC=90°.

（1）實踐與操作：用尺規作圖法作一A的平分線AD交3c于點。；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

⑵應用與證明：在（1）的條件下，以點。為圓心，DC長為半徑作，D.求證：與相切.

【答案】（1）見解析

（2）證明見解析

【分析】本題考查了尺規作角平分線，角平分線的性質定理，切線的判定等知識.熟練上述知識是解題的

關鍵.

（1）利用尺規作角平分線的方法解答即可；

（2）如圖2,作QE1工"于E,由角平分線的性質定理可得DE=DC,由。E是半徑，DEJ.AB,可證

與：。相切.

【詳解】（1）解：如圖1,AD即為所作；

圖2

：是/C4D的平分線，DC±AC,DEJ.AB,

：.DE^DC,

「DE是半徑，DEJ.AB,

A3與D相切.

12.（2024.內蒙古赤峰.中考真題）如圖，ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。經過8,C兩點，與斜

邊A3交于點E,連接CO并延長交A3于點交O于點。，過點E作EF〃8,交AC于點R

⑴求證：斯是的切線;

(2)若BM=4近，tanZBCD=1,求ON的長.

【答案】(1)見解析

⑵OM=也

【分析】(1)連接OE，延長E。，交CO于點。連接PD,BD,根據直徑所對的圓周角是直角求出ZDBE=45。,

得ZDPE=45。，/DOE=90。，由跖〃CD可得NFED=NOOE=90。，從而可證明所是。的切線;

(2)由tanZBCD=L得或=!，即竺=［，證明DBM^ACM，得型~=DMDB1廠

ACMAC5,由3=4五

2BC2AC2AM

得3=80，故可得筋=12應，由勾股定理求出AC=3C=12,得。3=6,由勾股定理求出C。=60,

CO=DO=3也,根據”■=!求出。M=2A/L進一步求出。A/=O。一DM=36一2遙=6

CM2

【詳解】(1)證明：連接0E,延長E。，交一。于點尸，連接P2&Z如圖，

?：AB=BC,ZACB=90°,

???ABC是等腰直角三角形，

ZABC=45°,

?「CD是。的直徑，

??.ZCBD=90°,

ZDBE=ZCBD-ZABC=90°-45°=45°,

.?.NEPD=/DBE=45。,

：./DOE=2ZDPE=2x45°=90°,

?.?EF//CD,

：.ZFEO=ZDOE=90°,即OE_LEF,

?；0E是O的半徑，

E尸是。的切線；

(2)解：VZDBC=90°,tanZBCD=-

2

.DB

*'BC-2"

,/BC=AC,

.DB_1

"AC"2'

,/NDMB=ZCMA,ZA=ZDBM,

，.DBMS-ACM,

.BMDMDB_1

AM-CM-AC_2'

BM=4近，

:.AM=2BM=80

?*-AB=AM+BM=8夜+4忘=12忘，

在等腰直角三角形ABC中，AC2+8C2=AB2,

?*.AC2+AC2=AB2=（12可，

解得，AC—12,

：.AC=BC=n,

：.DB=-BC=6,

2

在戊BDC中，CD=《BC。+DB。=J12、+6?=6石,

?*.CO=DO=3非,

又也」，

XCM2

/.CM=2DM,

：.2DM+DM=CD=66

/.DM=2A/5

/.OM=OD-DM=3s/5-2y[5=45

【點睛】本題主要考查平行線的性質，等腰直角三角形的判定與性質，切線的判定，圓周角定理，勾股定

理以及相似三角形的判定與性質，正確作出輔助線構造圓周角是解答本題的關鍵.

13.（2024.四川內江?中考真題）如圖，A3是。的直徑，C是BZ）的中點，過點C作AO的垂線，垂足為

點E.

(1)求證：ACEs,ABC；

⑵求證：CE是。的切線；

(3)若AD=2CE,OA=42,求陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)g無T

【分析】+(1)分別證明ZACB=ZA￡C,ZBAC=/EAC,從而可得結論；

(2)連接。C,證明/E4C=ZACO,可得OC〃AE,再進一步可得結論；

(3)連接、0￡),證明四邊形DECF是矩形,可得DF=EC,再證明AD=￡?,可得ZDAB=ZDBA=45°,

可得Z.DOA=2NDBA=90°,利用S陰影部分=S扇形水加—5AA。口可得答案.

【詳解】(1)證明：:AB是，；。的直徑

，NACB=90°,

又：CE_LAD,

AZAEC=90°,

ZACB=ZAEC,

：C是的中點，

BC=DC，

：.ZBAC=ZEAC,

?LACEsABC；

(2)證明：連接0c

*:OA=OC9

：.ZCAO=ZACO,

*：ZBAC=ZEAC,

：.ZEAC=ZACO,

：.OC//AEf

VCE1AD,

???CE±OC,

???0C是。的半徑，

；.CE是。的切線；

(3)解：連接05、0D

TAB是O的直徑，

??.ZADB=90°,

ZAEC=ZECO=90°,

J四邊形。反下是矩形，

DF=EC,

??,0C是半徑，C是50的中點，

：.DF=FB,OCLDB,

即DB=2DF=2EC,

AD=2CE,

:?AD=DB,

ZDAB^ZDBA^45°,

：.ZDOA=2NDBA=90°,

...90°7TX(72)2II

..S陰影部分=S扇形AOD_sAOD=盤。—XA/2XA/2=—7t-l

【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定及扇形的面積公式，熟練地掌握相似三角形的判定和切

線的判定是解決本題的關鍵。

14.(2024?江蘇鹽城?中考真題)如圖，點C在以A8為直徑的。上，過點C作；。的切線/，過點A作,

垂足為。，連接AC、BC.

⑴求證：△ABCS/\ACD；

(2)若AC=5,CD=4,求。的半徑.

【答案】(1)見解析

【分析】題目主要考查切線的性質，相似三角形的判定和性質及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運

用這些知識點是解題關鍵.

(1)連接。C,根據題意得，OCD=，OC4+NACD=90。，ZACB=ZACO+ZOCB=90°,利用等量

代換確定ZACD=NABC,再由相似三角形的判定即可證明；

(2)先由勾股定理確定AD=3,然后利用相似三角形的性質求解即可.

【詳解】(1)證明：連接OC,如圖所示：

??,CO是。的切線，點。在以為直徑的：。上，

AZOCD=ZOCA+ZACD=9G°,ZACB=ZACO+ZOCB=90°,

：?NACD=NOCB,

OC=OB,

：?NOBC=NOCB,

：.ZACD=ZABC,

VAD1Z,

：.ZADC=90°,

：.ZADC=ZACB,

：.AABC^AACD；

(2)VAC=5,8=4,

???4/)=152-42=3,

由(1)得△ABCs/XACD,

,ABACAB5

..---=----即Rn----=—,

ACAD53

。的半徑為二:2=▼.

15.(2024.四川涼山?中考真題)如圖，AB是。的直徑，點C在O上，AD平分/54C交(O于點D,

過點。的直線DE1AC,交AC的延長線于點E,交48的延長線于點尸.

N

⑴求證：EF是［。的切線；

(2)連接E。并延長，分別交。于兩點，交AD于點G,若。的半徑為2,一尸=30,求G/VTGN的

值.

【答案】(1)見詳解

72

(2)—

25

【分析】(1)連接OD,根據等腰三角形的性質及角平分線得到OD//AC,根據平行線的性質得ZODF=90°,

即可證明；

(2)連接A?,⑷V,先解RtAODP,求得。尸=4,￡>/=2括，貝UA尸=6,AE=3,可證明4。=￡>尸=2百，

由DGOsAGE,得段=空=巳i^DG=-AD,AG=-AD,證明△MG〃AAGN,即可得到

AGAE355

72

GMGN=GDGA=—.

25

【詳解】(1)解：連接QD,

*：OA=OD,

：.N2=N3,

??,平分/B4C,

???N1=N2,

JZ1=Z3,

:.OD//AC,

：.ZODF=ZAED

■:DEO

：.ZAED=90°,

：.ZODF=90°,

即OD上EF,

TO□是。的半徑

E尸是。的切線；

(2)解：連接MD,AN,

9：NF=30。，

???在RtZkOD尸中，。產=28=4,

由勾股定理得：DF=J。方2=2百

???AF=2+4=6,

???在Rt_AEb中，ZF=30°,

AE=—AF=3,

2

VZF=30°,0D1EF

：.ZDOF=60°=Z2+Z3,而/2=/3,

JN2=30。，

AZ2=ZF,

JAD=DF=2石，

■:OD//AE,

DGOsAGE,

.DGOP2

**AG-AE-3'

23

???DG=-AD,AG=-AD,

，：AM=AM9

:.ZANG=ZMDG,

ZMGD=ZAGN,

???△MGDS/\AGN,

.MG_GD

-，

**AGGAF

DaZT2D

：.GMGN=GDGA=-AD-AD=—AD2=—x（2y/3\=—.

552525\’25

【點睛】本題考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定與性質，勾股定理，30。的直角三角形的性質，

等腰三角形的性質，正確添加輔助線是解題的關鍵.

16.（2024?山東煙臺?中考真題）如圖，AB是。的直徑，ABC內接于一。，點/為ABC的內心，連接C/

并延長交。于點。，E是BC上任意一點，連接AD，BD,BE,CE.

⑴若/ABC=25。，求NCEB的度數；

(2)找出圖中所有與D/相等的線段，并證明；

⑶若C7=2a,￡)/=；&,求ABC的周長.

【答案】(1)115。

(2)DI=AD=BD,證明見解析

(3)30

【分析】(1)利用圓周角定理得到NACB=90。，再根據三角形的內角和定理求NCAB=65。，然后利用圓

內接四邊形的對角互補求解即可；

(2)連接加，由三角形的內心性質得到內心，NCAI=/BAI,ZACI=NBCI,然后利用圓周角定理得

至|JNDAB=NDCB=N4C/,AD=BD,禾!!用三角形的外角性質證得NZM/=NDM,然后利用等角對等邊

可得結論；

(3)過/分別作LAB,IF1AC,IPLBC,垂足分別為。、F、P,根據內切圓的性質和和切線長定

理得到AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,利用解直角三角形求得CF=2=CP,AB=13,進而可求解.

【詳解】(1)解：：A5是。的直徑，

ZADB=ZACB=90°,又NABC=25°,

ZCAB=90°-25°=65°,

:四邊形ABEC是O內接四邊形，

ZCEB+ZC4B=180°,

/.Z.CEB=180°-Z.CAB=115°；

(2)解：DI=AD=BD,

證明：連接卸,

:點/為“1BC的內心，

/.ACAI=ABAI,ZAC/=NBCI=-ZACB=45°,

2

?**AD=BD，

AZDAB=ZDCB=ZACI,AD=BD,

ZDAI=ZDAB+Z.BAI,ZDIA=ZACI+NCAI,

ZDAI=ZDIA,

***DI=AD=BD；

(3)解：過/分別作/。，AB,IFLAC,IPIBC,垂足分別為。、F、P,

■:點I為AfiC的內心，即為ABC的內切圓的圓心.

二。、F、P分別為該內切圓與，ABC三邊的切點，

AAQ=AF,CF=CP,BQ=BP,

VCI=2^2,ZZFC=90°,ZACI=45°,

：.CF=C7-cos45°=2=CP,

1Q

VDI=AD=BD,DI=—y/2,ZADB=9Q0,

2

：.AB=y/AD2+BD2=A/2x—A/2=13,

2

???ABC的周長為AB+AC+5C

=AB+AF+CF+CP+BP

=AB+AQ+BQ+2CF

=2AB-^-2CF

=2x13+2x2

=30.

【點睛】本題考查圓周角定理、圓內接四邊形的性質、三角形的內角和定理、三角形的內心性質、三角形

的外角性質、等腰三角形的判定、切線長定理以及解直角三角形，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答

的關鍵.

17.（2024.甘肅?中考真題）如圖，AB是；。的直徑，BC=5Z），點E在AD的延長線上，且=

⑴求證：仍是。的切線；

⑵當。的半徑為2,3C=3時，求tan/AE3的值.

【答案】（1）見解析

（2）tanZAEB=—

3

【分析】（1）連接5。，OC,OD,證明05垂直平分8,得出NAFO=90。，證明CO〃防，得出

ZABE=ZAFD=90°f說明即可證明結論；

（2）根據A5是。的直徑，得出NACB=90。，根據勾股定理求出AC=JAB?一以個=在—學=幣,根

據三角函數定義求出tan/ABC=AC=XZ,證明NAES=NABC,得出tanNAEB=tan/ABC=即可.

BC33

【詳解】（1）證明：連接5。，OC,OD,如圖所示：

?BC=BD，

：.BC=BD,

;OC=OD,

???點0、3在8的垂直平分線上,

???03垂直平分CD,

???NATO=90。，

ZADC=ZAEB,

CD//BE,

：.ZABE=ZAFD=90°,

：.AB.LBE,

?「AB是。的直徑，

BE是,O的切線；

(2)解：???O的半徑為2,

***AB=2x2=4,

TAB是。的直徑，

??.NACB=90。，

BC=3,

??AC=yjAB2—BC2=A/42—32=V7,

tan/.ABC=,

BC3

?AC=ACf

：.ZADC=ZABC,

?；ZAEB=ZADC,

：.ZAEB;ZABC,

**?tanZAEB=tanZABC=.

3

【點睛】本題主要考查了切線的判定，勾股定理，求一個角的正切值，圓周角定理，垂直平分線的判定,

平行線的判定和性質，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的判定和性質.

18.（2024?山東威海?中考真題）如圖，已知是.O的直徑，點C,。在。上，且.點E是線

段AB延長線上一點，連接EC并延長交射線AD于點足NFEG的平分線EH交射線AC于點H,ZH=45。.

（2）若跖=2,CE=4,求AF的長.

【答案】（1）見解析

(2)AF^—

【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，根據角平分線的定義

得到/F=90。是解題的關鍵.

(1)連接OC,根據圓周角定理得到==即可得到OC〃AO,然后根據角平分線

的定義得到NF=ZFEG-ZFAE2ZH=2x45。=90。，然后得到ZOCE=ZF=900即可證明切線；

(2)設。的半徑為廣，OC2+CE2=OE2,可以求出廠，然后根據ECO^EFA,即可得到結果.

【詳解】(1)證明：連接OC,

則ZOAC=ZOCA,

又：BC=CD,

BC=CD，

：.ZDAC=ZCAB=-ZDAB,

2

ZDAC^ZOCA,

：.OC//AD,

：.ZOCE=ZF,

■:EH平濟NFEG,

：.NFEG=2ZHEG,

NF=NFEG-ZFAE=2NHEG-2ZCAB=2(NHEG-ZCAB)=2ZH=2x45°=90°,

：.ZOCE=ZF=90°,

又：0c是半徑，

EF是一。的切線；

(2)解：設.。的半徑為小則OE=OB+3E=r+2,

1.,OC2+CE2=OE-,BPr2+42=(r+2)2,

解得廠=3,

AEA=AB+BE=2r+2=8,0E=5,

XVOCAD,

:.EC*EFA,

.EAAF口門8AF5,日.「24

..——=——，即一=——，解得Ab=——

OEOC535

19.（2024?陜西?中考真題）如圖，直線/與＜。相切于點A,48是的直徑，點C,。在/上，且位于

點A兩側，連接8C,BD,分別與O交于點E,F,連接EF,AF.

⑴求證：ZBAF=NCDB；

⑵若。。的半徑廠=6,AD=9,AC=12,求所的長.

【答案】（1）見解析

(2)跖=岑2

【分析】（1）利用切線和直徑的性質求得NR4D=NBE4=90。，再利用等角的余角相等即可證明

ZBAF=ZCDB；

（2）先求得AB=12=AC,BD=15,證明ABC和jWE是等腰直角三角形，求得AE的長，再證明

BEF^BDC,據此求解即可.

【詳解】（1）證明：??,直線/與。相切于點4

：.ZBAD=9Q°f

：.ZBDA+ZABD=90°,

???AB是O的直徑，

：.ZBFA=90°,

：.ZBAF+ZABD=90。,

：.ZBAF=ZCDB；

（2）解：Vr=6,

..AB=2r=12=AC,pj）—AB2+AD2=J12?+92=15，

??,直線/與。相切于點A,

：.ZBAC=90°,

??ABC是等腰直角三角形,

ZABC=ZACB=45°,

?.*AB是。的直徑，

：.ZBEA=90°,

???一/R石也是等腰直角三角形，

?**AE=BE=ABcos45°=672，

;BF=BF，

ZBEF=ZBAFf

■:/BAF=/CDB,

：.ZBEF=ZBDC,

：.BEFs乙BDC,

.BE_EF日口6及EF

??----=-----，即----=-----，

BDCD1512+9

.s4272

5

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，切線的性質，勾股定理等知

識點的應用，掌握切線的性質定理、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

20.（2024?湖北?中考真題）Rt^ABC中，/ACB=90。，點。在AC上，以OC為半徑的圓交A3于點￡）,

交AC于點E.且出）=3（7.

⑴求證：A3是］。的切線.

（2）連接交1O于點若AO=6,AE=1,求弧CP的長.

【答案】（1）見解析

⑵弧CP的長為

【分析】（1）利用SSS證明△03。絲△OBC,推出NOD8=NOCB=90°,據此即可證明結論成立；

（2）設。的半徑為了,在RtAOD中，利用勾股定理列式計算求得x=l,求得ZAC?=60。，再求得

NCO尸=60。，利用弧長公式求解即可.

【詳解】（1）證明：連接OO,

BD=BC

在03。和△03。中，\OB=OB,

OD=OC

：?OBD^_OBC（SSS）,

：.Z.ODB=/OCB=90°,

?：OD為。的半徑，

???A8是。的切線；

（2）解：VZODB=90°f

：.ZODA=90°,

設，。的半徑為x,

在RtAOD中，AO2=OD2+AD2,即（x+l『=一+（若『，

解得x=1,

OD=OC=1,OA=2,cosZ.A.OD=-----=一,

OA2

??.ZAOD=60°,

八OBD沿/XOBC,

ZBOD=ZCOF=1（180°-60°）=60°,

???弧C/的長為里工=1

1803

【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，三角函數的定義，弧長公式.正確引出輔助線解決問題是解

題的關鍵.

21.（2024.貴州?中考真題）如圖，為半圓O的直徑，點尸在半圓上，點P在A3的延長線上，PC與半

圓相切于點C,與的延長線相交于點。，AC與。尸相交于點E,DC=DE.

(1)寫出圖中一個與/DEC相等的角：

⑵求證：OD±AB；

(3)若。4=2OE,DF=2,求P8的長.

【答案】(l)NDCE(答案不唯一)

猾

喈

【分析】(1)利用等邊對等角可得出〃CE=NDEC,即可求解；

(2)連接0C,利用切線的性質可得出/Z)CE+/ACO=90。，利用等邊對等角和對頂角的性質可得出

ZAOE=ZDCE,等量代換得出ZA￡O+NC4O=90。，然后利用三角形內角和定理求出NAOE=90。，即可得

證；

(3)設OE=2,貝I］可求AO=O尸=BO=2x,EF=x,OD=2x+2.,DC=DE=2+x,在RtZ\ODC中，禾!J

用勾股定理得出(2+2X『=(X+2)2+(2X)2,求出x的值，利用tanD=^=若可求出0尸，即可求解.

【詳解】(1)解：：DC=DE,

???NDCE=NDEC,

故答案為：ZDCE(答案不唯一)；

(2)證明：連接0C,

AOCLCD,即NDCE+NACO=90。,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZACO,

VZDCE=ZDEC9ZAEO=/DEC,

：.ZAEO+ZCAO=90°,

???NAOE=90。，

/.ODA.AB-

(3)解：設=貝!JAO=。9=30=2%,

/.EF=OF-OE=x,OD=OF+DF=2x+2,

：.DC=DE=DF+EF=2+x,

在Rt^OOC中，OD2=CD2+OC2,

A(2+2X)2=(X+2)2+(2X)2,

解得西=4,%=0（舍去）

AOD=10,CD=6,OC=8,

?「tan。二”二竺

ODCD

.。1_8

>?=一，

106

解得。尸號40,

BP=OP-OB=—

3

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，切線的性質，勾股定理，解直角三角形的應用等知識，靈活運用

以上知識是解題的關鍵.

22.（2024?青海?中考真題）如圖，直線A3經過點C,且OA=O3,CA=CB.

⑴求證：直線是，。的切線；

（2）若圓的半徑為4,々=30。，求陰影部分的面積.

【答案】（1）詳見解析

⑵S陰影=86一半

【分析】本題考查了切線的判定和性質、直角三角形的性質和勾股定理、扇形面積的計算等知識，解題的

關鍵是掌握切線的判定與性質.

（1）利用等腰三角形的性質證得OC，AB,利用切線的判定定理即可得到答案;

（2）在RtAOCB中，利用直角三角形的性質和勾股定理求得03=8,BC=46再根據

S陰影=SOCB~S扇形,計算即可求解.

【詳解】（1）證明：連接0C,

;在Q4B中，OA=OB,CA=CB,

：.OCLAB,

又；oc是。的半徑，

...直線A3是。的切線；

(2)解：由(1)知NOCB=90。，

,?ZB=30°,

NCOB=90°-30°=60°,

.60萬?428萬

**扇形℃。-360-"T'

在中，ZB=30°,OC=4,

03=8,

BC=yJOB2-OC2=V82-42=4-s/3，

SAOCB=1-BC-OC=-1x4>/3x4=8V3,

S陰影=S.OCB-S扇形OCD=8石—~.

23.（2024?天津.中考真題）已知“103中，ZABO=30°,AB^。的弦，直線MN與1。相切于點C.

(1)如圖①，若AB//MN,直徑CE與AB相交于點D,求/AOB和/BCE的大小；

(2)如圖②，若OB〃MN,CGLAB,垂足為G,CG與。8相交于點不。4=3,求線段OF的長.

【答案】(1)/403=120°；NBCE=30。

⑵白

【分析】本題考查等腰三角形的性質，切線的性質，解直角三角形，靈活運用相關性質定理是解答本題的

關鍵.

(1)根據等邊對等角得到NA=NABO,然后利用三角形的內角和得到NAO8=180-2NABO=120。，然

后利用平行線的性質結合圓周角定理解題即可；

(2)連接。C,求出/CR9=/3FG=60。，再在RtACO尸中運用三角函數解題即可.

【詳解】(1)鉆為I。的弦，

得NA=NABO.

中，ZA+ZAS<9+ZAOB=180°,

又ZA8O=30°,

ZAOB=180°—2ZABO=120°.

直線MN與。相切于點CCE為。的直徑,

:.CE±MN.BPZECM=90°.

又AB〃MN,

:.NCDB=/ECM=90°.

在Rfor?中，ZBOE=90°-ZABO=60°.

ZBCE=-ZBOE,

2

../SCE=30°.

（2）如圖，連接OC.

,/直線MN與CO相切于點C,

JZOCM=90°

?.,OCMN

：.ZOCM=ZCOB=90°.

CG1AB,得NFGB=90。.

??在吊尸G5中，由NABO=30。，

得ZBFG=90°-ZABO=60°.

:./CFO=/BFG=6。。.

oc

在RtACOb中，tan，CFO=—,OC=OA=3,

OF

OF=——3=\/3.

tan/CFOtan60

24.（2024.四川樂山.中考真題）如圖，。是ABC的外接圓，為直徑，過點。作:O的切線8交84

延長線于點。，點E為CB上一點，且AC=CE.

⑴求證：DC//AE-

⑵若E尸垂直平分。B,DA=3,求陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析

（2）3TT--

4

【分析】（1）如圖1,連接OC.則NOCD=90。，即“G4+NOG4=90°.由A3為直徑，可得NACB=90。,

即/1+NOC4=90。.則=由OC=O3,可得Zl=N2.由AC=CE，可得，2=，3.貝U

ZDCA=Z3.進而可證￡>C〃AE.

(2)如圖2,連接OE、BE.由所垂直平分。3,可得OE=BE.則。￡3為等邊三角形.ZBOE=60°,

ZAOE=120°.由=可得NCME=NOE4=30。.由OC〃AE,可得/D=/(ME=30°.ZDOC=60。.證

明3Aoe為等邊三角形.則NOC4=60。，OA=OC=AC./DC4=30。.貝U

123

ZD=ZDCA.DA=AC=OA=OC=OE=3.EF=OEsm60°.S^OAE=^AO-EF.S^OAE=^",

再根據s陰影=S扇形Q4E-'△OAE，計算求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖b連接OC.

???ZOCD=90°,即ZDCA+ZOCA=90°.

又???川為直徑，

???ZACB=90°,即N1+NOC4=90。.

：.ZDCA=Z1.

,:OC=OB,

AZ1=Z2.

,**AC=CE，

：.N2=N3.

：.ZDCA=Z3.

:.DC//AE.

：.OE=BE.

又?：OE=OB,

???OEB為等邊三角形.

/.ZBOE=60°,ZAOE=120°.

*：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA=30°.

DC//AE,

：.ZD=ZOAE=30°.

又丁NOCD=90。,

.\ZDOC=60°.

9：OA=OC,

???為等邊三角形.

AZOCA=60°,OA=OC=AC.

：.ZDCA=30°.

：.ZD=ZDCA.

：.DA=AC=OA=OC=OE=3.

3J3

AEF=OEsin60o=—.

2

?QJm?_9A/3

,?S^OAE=2A。EF=?

V..120Kx32

乂?3扇形—=36o=3兀,

.Q9』

**J陰影—）扇形0AE-—^兀廠,

陰影部分的面積為3兀-蛀.

4

【點睛】本題考查了切線的性質，直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等，平行線的判

定與性質，等邊三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，正弦，扇形面積等知識.熟練掌握相關圖形的

性質定理、正確添加輔助線是解題的關鍵.

25.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，.ABC中，A8=40，。為AB中點，ABAC=ZBCD,cosZADC=—,

⑴求BC的長;

⑵