統(tǒng)計(jì)與概率

知識(shí)梳理

1.科學(xué)計(jì)數(shù)法

一個(gè)大于10的數(shù)可以表示成AX10X的形式，其中1WA<1O,N是正整數(shù).

2.扇形統(tǒng)計(jì)圖

(1)用圓表示總體，圓中的各個(gè)扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大

小，這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫作扇形統(tǒng)計(jì)圖.

⑵扇形統(tǒng)計(jì)圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)與360。的比.

3.各種統(tǒng)計(jì)圖的優(yōu)勢(shì)

(1)條形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目.

(2)折線統(tǒng)計(jì)圖能清楚地反映事物的變化情況.

⑶扇形統(tǒng)計(jì)圖能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比.

4.近似數(shù)字和有效數(shù)字

(1)測(cè)量的結(jié)果都是近似的.

(2)利用四舍五入法取一個(gè)數(shù)的近似數(shù)時(shí)，四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.

(3)對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是。的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字都叫作這個(gè)數(shù)的有效

數(shù)字.

5.平均數(shù)

X]+X?+…+X.、

對(duì)于N個(gè)數(shù)Xi,X2，…,XN我們把不"的結(jié)果叫作這N個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為X.

6.加權(quán)平均數(shù)

一組數(shù)據(jù)里各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)往往給每個(gè)數(shù)據(jù)加一個(gè)權(quán)，這就

是加權(quán)平均數(shù).

7.中位數(shù)與眾數(shù)

(DN個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫作這組數(shù)據(jù)的中位

數(shù).

(2)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫作這個(gè)組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

⑶優(yōu)劣：①平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受

極端值影響；②中位數(shù)：計(jì)算簡(jiǎn)單，受極端值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；③眾數(shù)：各個(gè)數(shù)據(jù)如果

重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒有特別的意義.

8.調(diào)查

(1)為了一定的目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對(duì)象的全體稱為總體，而組成總

體的每一個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體.

⑵從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的一部分個(gè)體叫作總體的一

個(gè)樣本.

(3)抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個(gè)體，因此它的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時(shí)間、人力、物力和財(cái)力，但

其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時(shí)要注意樣本的代表性和廣泛性.

9.頻數(shù)與頻率

(1)每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率.

(2)當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連續(xù)取值時(shí)，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖.

10.可能性

⑴有些事情我們能確定它一定會(huì)發(fā)生，這些事情被稱為必然事件；有些事情我們能肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這

些事情被稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的.

(2)有很多事情我們無法肯定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這些事情被稱為不確定事件.

(3)一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的.

11.概率

(1)人們通常用1(或100%)來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性.

⑵游戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同.

(3)必然事件發(fā)生的概率為1,記作P(必然事件)=1；不可能事件發(fā)生的概率為0,記作P(不可能事件)=0；如果

A為不確定事件，那么0<P(A)<l.

典型例題

例1

在平行四邊形ABCD中，AC,BD是兩條對(duì)角線，現(xiàn)從以下四個(gè)關(guān)系式①AB=BC；②AC=BD;③ACLBD;④

ABXBC中，任取一個(gè)作為條件，即可推出平行四邊形ABCD是菱形的概率為—.

解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，

?AB=BC時(shí)，則有平行四邊形的四邊都相等，即為菱形.

②4C=時(shí)，則是平行四邊形的對(duì)角線相等，即為矩形.

@AC1時(shí)，則有平行四邊形的對(duì)角線垂直，即為菱形.

@AB1BC時(shí)，則有四邊形的鄰邊垂直，即為矩形.

從上面可以得到，只有①③可以判斷平行四邊形ABCD為菱形，所以可以推出的概率為

例2

如圖所示，將3枚相同的硬幣一次放入一個(gè)4X4的正方形格子中(每個(gè)正方形格子只能放一枚硬幣),求所放

的3枚硬幣中，任意兩個(gè)都不同行且不同列的概率.

解析3枚硬幣如果沒有要求任意放，則第一枚硬幣總共可以有16種放法，第二枚硬幣則就有15種放法了，

同理，第三枚硬幣就有14種放法.總共的放法數(shù)就有16x15x14.

若按照要求放硬幣即任意兩個(gè)都不同行且不同列，則第一枚硬幣可以任意放總共有16種放法，第二枚硬幣為

了和第一枚硬幣不在同一行同一列，在第一枚硬幣放置的位置所在的行和所在的列都不可以放置，再加上第一枚

硬幣放置的位置總共就是7個(gè)位置不可以放置，剩下的9個(gè)位置可以放置.同樣的道理，第三枚硬幣可以放置的位

置就有4個(gè)，則總共的放法數(shù)為16x9x4.

則問題中所求的概率為林為=2

loXIbX14DD

例3

2

從3,0,-1,-2,-3這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，作為函數(shù)y=(5-爪?)久和關(guān)于x的方程(m+l)x+mx

+1=0中m的值，恰好使所得函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、三象限，目方程有實(shí)數(shù)根的概率為—.

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=(5-m是正比例函數(shù)，要使得它的圖像經(jīng)過第一、三象限，

所以5—m2>0,即m2<5,

所以3,0,-1,-2,-3中,3和-3不符合題意.

現(xiàn)將0,-1,-2代入方程中，一次驗(yàn)證二次函數(shù)根的情況.

①m=0時(shí)，代入二次函數(shù)得%2+1=0,顯然無實(shí)數(shù)解.

②m=-l時(shí)，代入二次函數(shù)得-x+l=0,為一次函數(shù)，有實(shí)數(shù)解.

③m=-2時(shí)，代入二次函數(shù)得x2+2x-l=0,A=4+4=8>0,有實(shí)數(shù)解.

,|因此方程有實(shí)數(shù)解的概率為.

例4

一個(gè)口袋中有4個(gè)白球和1個(gè)紅球，5個(gè)人依次在口袋中摸出1個(gè)球；

(1)若每人摸出后放回，則第3個(gè)人摸到紅球的概率是多少？

(2)若摸出白球不放回，則第3個(gè)人摸到紅球的概率是多少？

⑶若每個(gè)人摸出的球不放回，且摸到紅球即停止摸球，則第3個(gè)人去摸球時(shí)摸到紅球的概率是多少？

解析⑴每人摸出后放回，因此第3個(gè)人摸到紅球的概率是

(2)若摸到白球不放回，第3個(gè)人是要摸紅球，則可以知道前面2個(gè)人摸到的是白球，因此第3個(gè)摸到紅球的

概率為

(3)若每個(gè)人摸出的球不放回，且摸到紅球即停止摸球，因此前面3個(gè)人摸球的所有可能的種數(shù)為：5x4x3；而

第3個(gè)人摸到紅球，則前面2個(gè)人需要先摸到白球,那樣第3個(gè)人才能摸到紅球，因此可能的種數(shù)為：4x3x1.因

此，第3個(gè)人摸球時(shí)摸到紅球的概率為：條=去

5x4x35

雙基訓(xùn)練

1.為了了解我市今年初二期末數(shù)學(xué)學(xué)科各分?jǐn)?shù)段成績(jī)分布情況，從其中抽取120個(gè)學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)分析.在這個(gè)問題中，樣本是指（）,

A.150B.被抽取的150名學(xué)生

C.被抽取的150名考生的期末數(shù)學(xué)成績(jī)D.我市今年初二數(shù)學(xué)學(xué)科成績(jī)

2.下列調(diào)查方式中，你認(rèn)為不合適的個(gè)數(shù)是（）.

⑴旅客上飛機(jī)前的安檢，采用抽樣調(diào)查方式；

（2）了解杭州市人民生活水平，采用全面調(diào)查方式；

（3）了解每天杭州市的流動(dòng)人口量，采用抽樣調(diào)查方式；

（4）日光燈廠要檢測(cè)一批燈管的使用壽命，采用全面調(diào)查的方式.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.為了了解某學(xué)校初三700名學(xué)生的視力情況，從中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，在此次調(diào)查中，樣本容

量為（）.

A.700B.50C.700名學(xué)生的視力D.50名學(xué)生的視力

4.下列調(diào)查中，適宜采用全面調(diào)查（普查）方式的是（）.

A.調(diào)查市場(chǎng)上老酸奶的質(zhì)量情況

B.調(diào)查某品牌圓珠筆芯使用壽命

C.調(diào)查乘坐飛機(jī)的旅客是否攜帶違禁物品

D.調(diào)查我市市民對(duì)倫敦奧運(yùn)會(huì)吉祥物的知曉率

5.在條形統(tǒng)計(jì)圖中，下列說法正確的是（）.

A.橫、縱軸都必須從0開始

B.橫、縱軸都不必從0開始

C.縱軸必須從。開始，橫軸不必受這個(gè)限制

D.橫軸必須從。開始，縱軸不必受這個(gè)限制

6.小林家今年1~5月份的用電量情況如圖所示，由圖可知，相鄰的兩個(gè)月中，用電量變化最大的是（）.

第6題圖

A.1月至2月B.2月至3月C.3月至4月D.4月至5月

7.已知某天某市連續(xù)七天的空氣質(zhì)量指數(shù)分別為:120,100,99,67,88,105,70,則這七天空氣質(zhì)量的平均數(shù)是（）.

A.120B.67C.92.7D.88

8.下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）.

⑴一組數(shù)據(jù)345,5,6,7,8的眾數(shù)和中位數(shù)都是5;

（2）“拋一枚硬幣反面向上的概率是會(huì)表示每拋硬幣2次就有一次反面向上；

（3）“打開電視機(jī)，正在播新聞”是必然事件；

⑷調(diào)查某品牌圓珠筆芯的使用壽命適合用抽樣調(diào)查.

A.lB.2C.3D.4

9.某校七年級(jí)1班20名男生的身高如下（單位:cm）:153,156,152,158,156,160,163,145,152,153,162,153,165,150,15

7,153,158,157,158,157.則在139.5?149.5的頻率為（）.

A.-B.-C.-D.一

5102030

10.在一塊麥田里抽取1000個(gè)小麥穗，考察它的長(zhǎng)度,數(shù)據(jù)落在5.75~6.05之間數(shù)據(jù)的頻率是0.36,則長(zhǎng)度在5.

75-6.05之間的麥穗的個(gè)數(shù)是（）.

A.640B.350C.360D.630

11.A箱子中裝有40個(gè)白球和10紅球，B箱子中裝有60個(gè)白球、40個(gè)紅球和50個(gè)黑球，除了顏色外大小、

形狀沒有區(qū)別，把A,B兩個(gè)箱子中的球攪勻了，從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，下列正確說法的個(gè)數(shù)有（）.

（1）從A箱子中摸到紅球的概率大；

⑵從B箱子中摸到白球的概率較大；

（3）從兩個(gè)箱子中摸到紅球的概率相等；

⑷無法比較兩個(gè)箱子中摸到紅球的概率

A.lB.2C.3D.4

12.袋中有同樣大小的4個(gè)小球，其中3個(gè)紅色，1個(gè)白色，從袋中任意地同時(shí)摸出兩個(gè)球，這兩個(gè)球顏色相

同的概率為（）.

A.-B.-c.-D.i

3324

13.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方形，其六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,其展開圖如圖所示，隨機(jī)拋擲此正方形，力

面朝上的概率是（）.

建muz

第13題圖

14.為了估計(jì)池塘中有多少魚，先從池塘中捕捉50條魚，做了標(biāo)記以后又放回到池塘中，經(jīng)過一段時(shí)間以后,

等做好記號(hào)的魚完全混于魚群中之后，再捕捉200條，統(tǒng)計(jì)有10條魚做了記號(hào)，則估計(jì)池塘約有（）條魚.

A.400B.500C.800D.1000

15.某校報(bào)名參加甲、乙、丙、丁四個(gè)興趣小組的學(xué)生人數(shù)如圖所示，那么報(bào)名參加甲組和丙組的人數(shù)之和占

所有報(bào)名人數(shù)的百分比為—.

第15邈圖

16.某燈泡廠在一次質(zhì)量檢查中，從5000個(gè)燈泡中隨機(jī)抽查了100個(gè)，查得合格率為96%，估計(jì)這5000個(gè)燈

泡中有一個(gè)燈泡不合格.

17.一張圓桌旁有4個(gè)座位，A先坐在如圖所示的位置，B,C,D三個(gè)人隨機(jī)坐到其他3個(gè)座位，則A與B

不相鄰而坐的概率為

第17題圖

18.把標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10個(gè)乒乓球放在一個(gè)箱子中，從中任意取一個(gè)號(hào)碼為小于7的奇數(shù)的概

率是一.

19.為了了解某中學(xué)畢業(yè)班500名學(xué)生的中考數(shù)學(xué)成績(jī)，從中抽取了100名學(xué)生的中考數(shù)學(xué)試卷進(jìn)行分析，在

這次分析過程中，總體是樣本是—，個(gè)體是______樣本容量是—.

20.在一個(gè)不透明的布袋中，紅色、黑色、白色的乒乓球共有20個(gè)，除顏色外、形狀、大小、質(zhì)地等完全相

同，小明通過多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色、黑色球的概率穩(wěn)定在5%和15%,則口袋中白色球的個(gè)數(shù)很可能

是-

能力提升

21.對(duì)某校八年級(jí)學(xué)生隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行體能測(cè)試，成績(jī)記為1分，2分，3分，4分，共4個(gè)等級(jí).將調(diào)

查結(jié)果繪制成如下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，這些學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)是().

成績(jī)頻數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖

A.2.25B.2.5C.2.95D.3

22.一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面分別刻有1至1]6的點(diǎn)數(shù)，將骰子拋擲兩次，擲第一次，將朝上面的數(shù)

字記為A，擲第二次，將朝上面的數(shù)字記為B,則(A,B)落在直線y=-x+6上的概率為().

A.—B.-C.-D.-

36946

23.在對(duì)n個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理時(shí)，把這些數(shù)據(jù)分成7組，則各組的頻數(shù)之和與概率之和為().

A.n和1C.n和7D.1和1

24.某初中要了解七年級(jí)女生的體重,以便掌握她們的身體發(fā)育情況,從七年級(jí)學(xué)生的700名女生中抽取50名

進(jìn)行體重檢測(cè)，在這個(gè)問題中，下列說法正確的是().

A.700名女生是個(gè)體B.700名女生的體重是總體

C.50名是樣本D.50名女生是總體的一個(gè)樣本

25.小芳同學(xué)有兩根長(zhǎng)度為4cm,10cm的木棒，她想釘一個(gè)三角形相框，桌上有五根木棒供她選擇(如圖所

示),從中任選一根，能釘成三角形相框的概率是.

15cm

第25題圖

26.如圖所示，電路圖上有四個(gè)開關(guān)A,B,C,D和一個(gè)燈泡.

⑴任意閉合其中一個(gè)開關(guān)，求燈泡發(fā)光概率.

(2)任意閉合其中兩個(gè)開關(guān)，請(qǐng)用樹狀圖的方法求出小燈泡的發(fā)光概率.

27.如圖所示,口袋中5張完全相同的卡片，分別寫有1cm,2cm,3cm,4cm,5cm.口袋外有2張卡片，分別寫有4cm

和5cm.現(xiàn)隨機(jī)從袋中取出一張卡片，與口袋外兩張卡片放在一起，以卡片上的數(shù)量分別組成三條線段的長(zhǎng)度，回

答下列問題：

(1)求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率.

(2)求這三條線段能構(gòu)成直角三角形的概率.

(3)求這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率.

第27題圖

28.如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤分別被均勻地分成3個(gè)和4個(gè)扇形，每個(gè)扇形上都標(biāo)有一個(gè)實(shí)數(shù)，同時(shí)自由轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)

轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后(若指針指在分格線上，則重轉(zhuǎn))，兩個(gè)指針都落在無理數(shù)上的概率是多少？

第28題圖

拓展資源

29.“國(guó)際無煙日，來臨之際，小冰就某市公眾對(duì)在餐廳中吸煙所持的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制作成如

下圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)圖中的信息回答下列問題：

(1)被調(diào)查者中，不吸煙者贊成在餐廳徹底禁煙的人數(shù)是—.

(2)被調(diào)查者中，希望在餐廳設(shè)立吸煙室的人數(shù)是—.

⑶求被調(diào)查者中贊成在餐廳徹底禁煙的概率.

(4)該市現(xiàn)有人口約370萬，根據(jù)圖中的信息估計(jì)該市現(xiàn)有人口中贊成在餐廳徹底禁煙的人數(shù).

30.為培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成勤儉節(jié)約的習(xí)慣，學(xué)校開展對(duì)廢舊用品的收集活動(dòng)(主要包括舊報(bào)紙、舊書本、飲料瓶),

隨機(jī)抽取三年級(jí)五個(gè)班級(jí)學(xué)生一周收集的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖所示.已知飲料瓶每個(gè)賣01元，解答下

歹D問題：

各班收集飲料瓶的數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

班級(jí)個(gè)數(shù)

一班80

二班120

三班90

四班110

五班100

(1)三年級(jí)五個(gè)班級(jí)一周收集的飲料瓶共賣多少錢？

⑵三年級(jí)五個(gè)班級(jí)一周收集的三種物品總共賣多少薪°題圖五個(gè)班級(jí)收集三種廢品的所賣錢數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖

(3)已知收集的舊書本共賣100元，請(qǐng)補(bǔ)全扇形統(tǒng)