特殊的平行四邊形

A級夯實基礎A.20cmB.20v2cm

1.2023?邢臺三中摸底如圖，在四邊形ABCD中，給

C.20vz3cmD.20V6cm

出部分數(shù)據(jù)，若添加一個數(shù)據(jù)后，四邊形ABCD是矩

形，則添加的數(shù)據(jù)是（）

A.CD=4B.CD=2

C.0D=2D.0D=4

5.易錯2023?張家口二模菱形ABCD的面積是2

VT，邊AB=2.下列關于其對角線BD的描述正確

的是（）

2.2023?深圳如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4,A.BDVT

BC=6,將線段AB水平向右平移a個單位長度得到線

B.BD=2

段EF（EF在CD左側），若四邊形ECDF為菱形時，

C.2WBDW2A/^

則a的值為（）

D.BD=2或BD=2\行

A.1B.2C.3D.4

3.重點2023?石家莊四區(qū)聯(lián)考二如圖，在平行四邊6.2023?衡水二模如圖，點P是正方形ABCD的邊

形ABCD中，對角線AC,BD交于點0,E,F分別是BC上一點，點M是對角線BD上一點，連接PM并

OB,0D的中點，依次連接點A,E,C,F,A,當四邊延長交BA的延長線于點Q,交AD于點G,取PQ的

形AECF是矩形時，與線段BE相等的線段有中點N,連接AN.若AQ=PC,有下面兩個結論:①DM=DG,

（）②AN_LBD,則這兩個結論中正確的是（）

A.①對B.②對

C.①②都對D.①②都不對

7.難點人八下P68,T13拓展如圖，在四邊形ABCD

中，ZA=ZB=90°,AD=8cm,BC=6cm,點P從點D

（第3題圖）

出發(fā)，以1cm/s的速度向點A運動，點M從點B同

A.4條B.5條

時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當其中一個動點

C.6條D.7條

到達端點時，兩個動點同時停止運動.設點P的運動

4.2023,唐山路北區(qū)模擬小明用四根長度相同的木

時間為t（單位：s）,下列結論正確的是（）

條首尾相接制作了能夠活動的學具，他先活動學具成

A.當t=3s時，四邊形ABMP為矩形

為圖1所示，并測得NABC=60°,接著活動學具成為

B.當t=4s時，四邊形CDPM為平行四邊形

圖2所示，并測得/ABC=90°,若圖2對角線

C.當CD=PM時，t=3s

BD=40cm,則圖1對角線BD的長為（）

D.當CD=PM時，t=3s或5s（1）求證：四邊形AECF是菱形;

(2)若NABC=60°,AABE的面積等于4^^,求

平行線AB與DC間的距離.

8.2023?福建如圖，在菱形ABCD中，AB=10,BEC

（第11題圖）

ZB=60°,貝IAC的長為.

B級能力提高

12.2023?廊坊廣陽區(qū)二模一個四邊形順次添加下列

條件中的三個條件便得到正方形：a.兩組對邊分別相

等；b.一組對邊平行且相等；c.一組鄰邊相等；d.一

（第8題圖）（第9題圖）個角是直角；順次添加的條件：①a-c-d,②b-d-

9.2023?邯鄲育華中學四模如圖，在矩形ABCD中，c,③afb—c,則正確的是（）

AB=12,AD=6,點E,F均在邊CD上，且DF=CE,EF

=6,則tan/AED的值為.

10.2023?北京如圖，在荀ABCD中，點E,F分別

在BC,AD上，BE=DF,AC=EF.

（1）求證：四邊形AECF是矩形；

（第12題圖）（第13題圖）

（2）若AE=BE,AB=2,tanZACB=y,求BC的長.

13.2023?廊坊模擬問題：如圖，正方形ABCD中,

邊長AB等于10,點P為對角線AC上一點（不與A,

C重合）.當4BCP為等腰三角形時，求AP的值.嘉

嘉：當點P為AC中點時，4BCP為等腰三角形，AP=

（第10題圖）；淇淇：當CP=BC=10時,Z\BCP是等腰三角

形，AP=IOVTTO.則（）

A.嘉嘉的結論正確

B.淇淇的結論正確

C.嘉嘉、淇淇的結論合起來正確

11.2023?云南如圖，平行四邊形ABCD中，AE,CF

D.嘉嘉、淇淇的結論合起來也不正確，還有一種情

分另U是ZBAD,ZBCD的平分線，且E,F分別在

況

邊BC,AD上，AE=AF.

14.2023?保定一模如圖，在平行四邊形ABCD中,

AD=2AB=2,ZABC=60°,E,F是對角線BD上的動點，并與射線AD交于點H,且/APH=30°,點A的對應

且BE=DF,M,N分別是邊AD,BC上的動點.下列四點為A',設AH=t.

種說法：①存在無數(shù)個平行四邊形MENF；②存在無數(shù)(1)如圖1,當點A，落在CD上時，求/A，HD的

個矩形MENF；③存在無數(shù)個菱形MENF；大小及t的值；

④存在無數(shù)個正方形MENF.(2)如圖2,若折疊后重合部分為四邊形，AzH,A/

其中正確的個數(shù)是()P分別與邊CD相交于點E,F,試用含有t的式子

A.1B.2C.3D.4表示A，E的長，并直接寫出t的取值范圍；

(3)隨著t的變化，折疊后重合部分的面

積能否在某個t值段保持不變，若能，直

接寫出這個值段的長；若不能，請說明

理由.

(第14題圖)

15.2023?陜西點E是菱形ABCD的對稱中心，Z

B=56°,連接AE,則/BAE的度數(shù)為.

16.易錯2023?河南矩形ABCD中，M為對角線BD

圖1圖2

的中點，點N在邊AD上，且AN=AB=1.當以點D,

(第18題圖)

M,N為頂點的三角形是直角三角形時，AD的長為

C級核心素養(yǎng)探究

19.推理能力2023?廊坊廣陽區(qū)二模探索與發(fā)現(xiàn)：

17.重點2023?邢臺三中摸底已知，如圖，在4ABC

小張同學在用作圖軟件探索圖形性質的數(shù)學活動中，

中，ZABC=90°,BD是4ABC的中線，F(xiàn)是BD的中

進行如下操作：如圖，在邊長為6的正方形ABCD的

點，連接CF并延長到點E,使FE=CF,連接BE,AE.

AB邊上取定點E,使AE=2,在AD邊上設置動點P,

(1)求證：△CDF0ZiEBF；

連接PE,以PE為邊在AB的上方作正方形PEFG,

(2)求證：四邊形AEBD是菱形；

連接AF,BF.

(3)若BC=8,BE=5,求BG的長.

(1)小張同學通過觀察發(fā)現(xiàn)圖中NAPE=/FEB,請給

出證明；

(2)探索過程中發(fā)現(xiàn)，在點P的運動過程中，△AFB

的面積是個定值，請證明并求出這個定值；

(3)進一步探索后發(fā)現(xiàn)，隨著點P的運動，4AFB的

18.2023?張家口橋西區(qū)三模如圖，矩形紙片ABCD

周長會隨著點P位置的變化而變化，但存在一個最小

中，AB=6,BC=3,點P在邊AB上(點P不與點A,

值，請你求出4AFB周長的最小值.

B重合)，折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點P,

/.BD=20B=20cm.

5.D提示：如圖，當BD為較長邊時，連接AC,

交BD于點0,過點A作APLBC于點P,V四邊形

ABCD是菱形,AAC±BD,AO=C0,BO=D0,

AB=BC=2,?/菱形的面積為2\，亨，

（第19題圖）

ABC?AP=2A/3-,

???AP-VT，?,?BP-VAB2-AF=b

.\PC=1,；.BP=PC,

特殊的平行四邊形又VAP±BC,；.AB=AC=2=BC,

A級夯實基礎.二△ABC是等邊三角形，.,.ZBAC=60°=ZABC,

1.D2,B/.ZAB0=30",.\A0=l,B0=VT,

3.B提示：:四邊形ABCD是平行四

.?.BD=2Vy＞當BD為較短邊時，同理可得BD=2.

邊形，對角線AC,BD交于點0,/.0B=0D,

VE,F分別是OB,0D的中點，

.?.0E=BE=^~0B,0F=DF=y0D,

.-.0E=0F=DF=BE,:四邊形AECF是矩形，

.?.0A=0C=^-AC,0E=0F=；-EF,AC=EF,

6.B提示：如圖，延長AN交BD于點H,在AB上

.?.0A=0C=0E=0F=DF=BE,取點K,使AK=AQ,連接PK,四邊形ABCD是正

???與線段BE相等的線段有5條.方形，；.AB=BC,ZCBA=90°,ZDBA=45°,VAQ=PC,

4.D提示：：AB=BC=CD=DA,AK=AQ,.\PC=AK,.\AB-AK=BC-PC,即BK=PB,

四邊形ABCD是菱形，當NABC=90°時，四邊形AABPK是等腰直角三角形，；.NBKP=45°,

ABCD是正方形，題圖2中，ZA=90°,VN是PQ中點，AQ=AK,/.AN是△QPK的中位線，

.?.AB2+AD2=BD2,/.AB=AD=BD=20cm,；.AN〃PK,ZNAK=ZPKB=45°,

ZAHB=180°-ZNAK-ZDBA=180°-45°-45°=90°,

在題圖1中，連接AC,交BD于點0,

AANIBD,故②正確；VZDGM=ZAGQ=90°-ZQ,

VZABC=60°,四邊形ABCD是菱形，

ZDMG=90°-ZHNM=90°-ZANQ,而NQ與/ANQ不一

.\AC±BD,0B=0D,0A=0C,

定相等，ZDGM與/DMG不一定相等，

ZAB0=30°,.,.0A=yAB=10V2-cm,

ADM與DG不一定相等，故①錯誤.

0B=V/3-0A=10VK-cm,

10.解：（1）證明：：四邊形ABCD是平行四邊形,

/.AD=BC,AD/7BC,VBE=DF,/.AD-DF=BC-BE,

即AF=EC,四邊形AECF是平行四邊形，

：AC=EF,.?.平行四邊形AECF是矩形；

7.D提示：根據(jù)題意，可得DP=tcm,

（2）V四邊形AECF是矩形，；./AEC=NAEB=90°,

BM=tcm,'/AD=8cm,BC=6cm,

VAE=BE,AB=2,.,.△ABE是等腰直角三角形，

/.AP=(8-t)cm,CM=(6-t)cm,

...AE=BE=V2AB=VT，VtanZACB=41-=^-,

VZA+ZB=180",；.AD〃BC,2EC2

當四邊形ABMP為矩形時，AP=BM,即8-t=t,.\EC=2AE=2VT，

解得t=4,故A選項不符合題意；/.BC=BE+EC=\/2-+2V2-,

當四邊形CDPM為平行四邊形時，即BC的長為3VT.

DP=CM,即t=6-t,解得t=3,11.解：（1）證明：：四邊形ABCD是平行四邊形,

故B選項不符合題意；ZBAD=ZBCD,AD〃BC,

當CD=PM時，分兩種情況：VAE,CF分別是/BAD,ZBCD的平分線,

①四邊形是平行四邊形，

CDPMZBAE=ZDAE=yZBAD,

此時CM=PD,即6-t=t,解得t=3,

ZBCF=ZDCF='-ZBCD,/.ZDAE=ZBCF,

②四邊形CDPM是等腰梯形，

：AD〃BC,ZDAE=ZAEB,

如圖，過點M作MGXAD于點G,過點C作CHXAD

/.ZBCF=ZAEB,；.AE〃FC,

于點H,則NMGP=/CHD=90°,VPM=CD,GM=HC,

/.四邊形AECF是平行四邊形，

.'.RtAMGP^RtACHD(HL),.\GP=HD,

/.四邊形是菱形；

t—(6—t)VAE=AF,AECF

AG=AP+GP=8~t+,

2（2）如圖，連接AC,

又：BM=t,/.8-t+=t,,/四邊形ABCD是平行四邊形，

解得t=5,綜上，當CD=PM時，t=3s或5s,；.AD〃BC,.*.ZDAE=ZAEB,

故C選項不符合題意，D選項符合題意.VAE平分/BAD,ZBAE=ZDAE,

ZBAE=ZAEB,/.AB=EB,

VZABC=60",AABE是等邊三角形，

ZBAE=ZAEB=ZABE=60°,

,/AABE的面積等于4V3",

2

9.彳提不：:四邊形ABCD是矩形，

AABMVT.；.AB=4,

???DC=AB=12,VDF=CE,EF=6,

即AB=AE=EB=4,由（1）知四邊形AECF是菱形，

.?.DF=CE=3,；.DE=9,：.tanZP￡D=-=7T=^--

,

DE93.?.AE=CE=4,..ZEAC=ZECA,

?/ZAEB是AAEC的一個外角，:點E,F是BD上的動點，存在無數(shù)個平行四

AZAEB=ZEAC+ZECA=60°,AZEAC=ZECA=30°,邊形MENF,故①正確；只要MN=EF,0M=0N,

/.ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,即AC±AB,則四邊形MENF就是矩形，

由勾股定理得^=y/BC--AB-=,/點E,F是BD上的動點，存在無數(shù)個矩形

MENF,故②正確；只要MN±EF,0M=0N,

V（4+4）2-42=4T,即平行線AB與DC間的距

則四邊形MENF就是菱形，：點E,F是BD上的動

離是4VT.點，，存在無數(shù)個菱形MENF,故③正確；

只有MN=EF,MN±EF,0M=0N,

四邊形MENF才是正方形，

故符合要求的正方形只有一個，故

④錯誤.

B級能力提高

12.A提示：①添加兩組對邊分別相等得出是平行

四邊形，再添加一組鄰邊相等得出是菱形，最后添加

一個角是直角得出是正方形，說法正確；②添加一組

15.62°

對邊平行且相等得出是平行四邊形，再添加一個角是

16.2或1+\/~2提示：以點D,M,N為頂點的

直角得出是矩形，最后添加一組鄰邊相等得出是正方

三角形是直角三角形時，分兩種情況：

形，說法正確；③添加兩組對邊分別相等得出平行四

①如圖1,當NMND=90°時，貝！|MNXAD,

邊形，添加一組對邊平行且相等還是平行四邊形，添

四邊形ABCD是矩形，

加一組鄰邊相等得出是菱形，說法錯誤.

AZA=90°,；.MN〃AB,

13.C提示：(1)當點P為AC中點時，4BCP為

VM為對角線BD的中點，

等腰三角形，并且/BPC=90°,BP=CP=AP=3AC=：X

AMN為4ABD的中位線，

VTX10=5VT；.\AN=DN,VAN=AB=1,.,.AD=2AN=2；

(2)當CP=BC=10時，ABCP是等腰三角形，

AP=AC-CP=A/2-X10-10=10^/2--10；

(3)當BC=BP=10時，點P與點A重合，與題意矛

盾，故這種情況不成立.

14.C提示：如圖，連接AC,MN,AC與BD相交于如圖2,當/NMD=90°時，貝!]MN±BD,VM為對角線

點0,令MN過點0,則有0M=0N,1."四邊形ABCD是BD的中點，；.BM=DM,；.MN垂直平分BD,連接BN,

平行四邊形，/.0A=0C,0B=0D,；.BN=DN,VZA=90°,AB=AN=1,

VBE=DF,.\0E=0F,四邊形MENF是平行四邊形，.\BN=V2-AB=VF-

???AD=AN+DN=1+VT，(2)如題圖2中，當2ct<3時，重疊部分是四邊

形.VAH=A,H=t,.\DH=3-t,EH=2DH=6-2t,

綜上所述，AD的長為2或1+y/T.

.?.A'E=A'H-EH=t-(6-2t)=3t-6；

(3)能，2'/y-3.提示：如圖1,當點H與點

D重合時，此時t=3,

VZAZ=90°,ZAPH=ZHPG=30°,BA/7DC,

/.ZGDP=ZAPH=ZHPG=30°,ADG=PG.：ZADP=

17.解：(1)證明：是BD的中點,

/A'HP=60°,.../A'DG=30°,又VA,H=3,

，F(xiàn)D=FB,在4CDF和ZiEBF中，

HG=2.SADCP=yXDGXBC=yX

FD=FB,

2VTX3=3"y.

ADFC=ABFE,

FC=FE,

.,.△CDF^AEBF(SAS)；

⑵證明：VACDF^AEBF,.*.CD=EB,ZFCD=ZFEB,

.'.CD/ZEB,VZABC=90°,BD是Z\ABC的中線，

；.AD=CD,；.AD〃EB,AD=EB,四邊形AEBD是平行

四邊形，：BD=：AC=AD,...四邊形AEBD是菱形；如圖2,當點P與點B重合時，

ZAPH=ZA/PH=30°,.,.ZCBG=30°,

(3)VAD=BE=5,.,.AC=2AD=10,

又VBC=3,.*.CG=A/3-,BG=2V^",

VZABC=90°,BC=8,

22VCD/7BC,AZGEP=ZEPA=30°,

???AB'AO—BC2=V10-8=6，

.,.ZGEP=ZGPE=30°,

BE/7AC,ABGEsAAGC,

,"

..E