專題02分式

考點分析

了解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；能進(jìn)行簡單的分

式加、減、乘、除運算。

【高效復(fù)習(xí)法】

1.分式有、無意義和分式的值為零是常見考點，也經(jīng)常和函數(shù)有意義的條件相關(guān)聯(lián).

2.分式化簡時，分子、分母可以因式分解的一定要先因式分解，再約分，化為最簡分式

或整式；

3.當(dāng)整式與分式進(jìn)行加減運算時,要將整式看作分母為1的式子，然后進(jìn)行通分.

考點解讀

考點1：分式的有關(guān)概念

A

（1）分式：形如萬（A,8是整式，且3中含有字母,2加）的式子.

A

⑵無意義的條件：當(dāng)8=0時,分式一無意義；

B

A

⑶有意義的條件：當(dāng)班0時,分式一有意義；

B

A

⑷值為零的條件：當(dāng)A三0,成0時，分式萬=0.

考點2：分式的基本性質(zhì)

4ACA4-C

（1）基本性質(zhì)：一(*).

BB+C

(2)由基本性質(zhì)可推理出變號法則為：

A_-A_-(-A)A_-A_A

B~-B~B；B~B~-B

考點3：分式的運算

（1）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式.

nrnH

（2）約分（可化簡分式）：把分式的分子和分母中的公因式約去，即一=-；

bmb

（3）通分（可化為同分母）：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把異分母的分式化為同分母的分式，即

ac=acbd

b5dbe5be

（4）最簡公分母的定義：

通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次累的積作公分母，這樣的公分母叫做最

簡公分母.

一般方法：

①如果各分母都是單項式,那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù),相同字母的最高次幕,

所有不同字母都寫在積里.

②如果各分母都是多項式，就可以將各個分母因式分解，取各分母數(shù)字系數(shù)的最小公倍數(shù)，

凡出現(xiàn)的字母（或含字母的整式）為底數(shù)的幕的因式都要取最高次幕.

（5）分式的加減

⑴同分母：分母不變，分子相加減.即整=產(chǎn)；

⑵異分母：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p?即鈣=絲箸.

（6）分式的乘除

⑴乘法：耨=繇⑵除法:（3）乘方：⑶"=1（〃為正整數(shù)）.

。“煞bdbc_yb）b

考點4：分式的化簡求值

（1）僅含有乘除運算：首先觀察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后約分.

（2）含有括號的運算：注意運算順序和運算律的合理應(yīng)用.一般先算乘方，再算乘除，最后

算加減，若有括號，先算括號里面的.

失分點警示：分式化簡求值問題，要先將分式化簡到最簡分式或整式的形式,再代入求值.

代入數(shù)值時注意要使原分式有意義.有時也需運用到整體代入.

考點突破

1.在式子上，電，一J,2也，一J中，分式的個數(shù)為（）

a3a-b兀2_2

及￥J

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.若分式有意義，則x的取值范圍是（)

l-2x

A.x^OB.C.x>D.X<

b2l1

3.若分式上L的值為零，則X的值等于（

2x+2

A.-1B.0C.2D.1

2x-14xy-2y的值

4.已知!」=3,則代數(shù)式()

xyx-2xy-y

A.4B.9C.-4D.-8

5.若包上，則下列變形錯誤的是（

b3

Aab~--B.3上C.3a=2Z?D.2。=3Z?

23ba

21

6.化簡匚L正確的是（

x-l

J-](x-l)21

A.

X-lX-lX-l

x2-l(x-l)2

B.x-1

x-lx-l

x?-1(x+1)(x-l)

C.=x+l

X-lX-1

J-](x+1)(x-l)1

D.

X-lX-1x+1

7.將分式號.與分式J+1通分后,a+1的分母變?yōu)?1+a)(1-a)2,則」_

1-aa-2a+la2-2a+l1-a2

的分子變?yōu)椋?

A.1-aB.1+aC.-1-aD.-1+a

8.下列各分式中,是最簡分式的是（)

2x2+2x+l

A.LB.

2xx+1

C.再D.X-1

21

Xx-1

富一與;一的最簡公分母是

9.)

a-aba+ab

A.a(〃+Z?)B.a(a-b)

C.a(a+b)(〃-b)D.a(4+/?)(a-Z?)

10.計算（烏）3乂（生）2+（3）2的結(jié)果是（）

b2aa

A.B._8a3C.16/D._16a2

b6

ii.下列有理式亙竺，主2,會私，三竺，23，x+/i中，分式有..個?

3x兀a+bn

12.在分式.乙到"1_中,當(dāng)冗=時，分式無意義.

2-x

2

13.當(dāng)％=時，分式三Q:2的值為0.

3-x

14.已知x為整數(shù),且分式號的值為整數(shù),則x可取的所有值為一

X-1

15.己知：工工工,則x-y+3z=.

432x

16.已知x=-4時，分式上且無意義，尤=2時，此分式的值為零，求分式史上的值.

2x+aa-3b

17.我們知道：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點，如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的

基本性質(zhì)，等等.小學(xué)里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分?jǐn)?shù).類似的，我們把分子的次

數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式.對于任何一個假分式都可以

化成整式與真分式的和的形式.如：211=三上在_=左1+，_=1+2.

x-1x-lx-lx-lx-l

（1）請寫出分式的基本性質(zhì)；

（2）下列分式中，屬于真分式的是；

A.-^-B.2L^C.-—^―O.x：+]

x-lx+12x-l

2q

（3）將假分式生出，化成整式和真分式的形式.

m+1

18.自學(xué)下面材料后，解答問題

分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式，如：三2>o；空3<o等.那么如何求

x+1X-l

出它們的解集呢？

根據(jù)我們學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù).其字母表達(dá)式

為:

(1)若〃>0,b>3則包>0；若〃<0,/?<0,則包>0

bb

(2)若〃>0,Z?<0,則包VO；若〃V0,Z?>0,則包VO

bb

反之：⑴若包>0,則]a>°或卜<0

b[b>0[b<0

(2)若包<0,則或.

b

根據(jù)上述規(guī)律

(1)求不等式主2<o的解集.

x+l

(2)直接寫出一個解集為尤>3或x<l的最簡分式不等式.

19.計算：

(1)[(3x+l)(x+3)-3(6x+l)匕尤；

(2)(2)4.(--3b2s2+_2_.

’4a，a5b6

20.⑴計算：|-4|-(-1)2--./3xtan30°+^(-2)2-

22

(2)化簡：x+4x+4+2x.

J-42x-x2

參考答案

1.【解答］解：］，JX這3個式子分母中含有字母,因此是分式.

2

aa-bx2_y

其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式.

故選：B.

【點撥】本題主要考查分式的概念，分式與整式的區(qū)別主要在于：分母中是否含有未知

數(shù).

2.【解答】解：由題意得：1-2_#0,

解得：x^—,

2

故選：B.

【點撥】此題主要考查了分式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等

于零.

3.【解答】解：：尤-1=0,2x+2#0,

??x=1.

故選：D.

【點撥】本題考查了分式的值為零的條件，掌握分式的值為零的條件：分子等于0且分

母不等于0是解題的關(guān)鍵.

4?【解答】解：?.?工」=3，

Xy

?y-x

,,----二3，

xy

Ax-y=-3孫，

?2(x-y)-14xy2X(-3xy)-14xy-20xyd

(x-y)-2xy-3xy-2xy-5xy

故選：A.

【點撥】此題考查的是分式的值，對已知等式進(jìn)行正確變行是解決此題關(guān)鍵.

5?【解答】解：?.?包=2,

b3

3a=2b,

A.:包=電，

23

：.3a=2b,故本選項不符合題意；

B.?.?旦=2,

ba

：.3a=2b,故本選項不符合題意；

C.3a=2b,故本選項不符合題意；

D.2a=3b,故本選項符合題意；

故選：D.

【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能根據(jù)分式的性質(zhì)求出3〃=2b是解此題的關(guān)鍵.

6.【解答]解：原式=(x+1)(X-1)=/1,

X-1

故選：C.

【點撥】此題考查了約分，約分的關(guān)鍵是找出分式分子分母的公因式.

7?【解答】解：兩分式的最簡公分母為(1+。)(1-〃)2,

?]______1___________1一a_____,

22

1-a(l+a)(l-a)(i+a)(l-a)

則一三的分子變?yōu)?-d

li-a2

故選：A.

【點撥】此題考查了通分，通分的關(guān)鍵是找出各分母的最簡公分母.

8?【解答】解：A.原式=三，不符合題意；

2

B.原式=不符合題意；

x+1

C.原式為最簡分式，符合題意；

D.原式一㈡一不符合題意.

(x+1)(x-1)x+1

故選：C.

【點撥】此題考查了最簡分式，熟練掌握最簡分式的定義是解本題的關(guān)鍵.

9?【解答】解：=1,—j^=1,

2

a-aba(a-b)a+aba(a+b)

兩式的最簡公分母為a(a+6)(a-6).

故選：C.

【點撥】此題考查了最簡公分母，單項式乘多項式，以及平方差公式，熟練掌握公式及

運算法則是解本題的關(guān)鍵.

322n3A2Q3

10?【解答】解：原式=-咚?絲L嗎8a.4b.a=_8a

b,6a2a2bv.6a24Jb-12-bi6

故選：B.

【點撥】解決乘法、除法、乘方的混合運算，容易出現(xiàn)的是符號的錯誤，在計算過程中

要首先確定符號.

11?【解答】解：三2,三空，2二，x+x-1的分母中含有字母，屬于分式，

xa+bn

故答案是：4.

【點撥】本題主要考查分式的定義，需注意的是兀不是字母，而是常數(shù).

12?【解答】解：當(dāng)分母2-尤=0,即尤=2時，分式絲支無意義.

2-x

故答案是：2.

【點撥】本題考查了分式有意義的條件.從以下三個方面透徹理解分式的概念：

（1）分式無意義=分母為零；

（2）分式有意義今分母不為零；

（3）分式值為零0分子為零且分母不為零.

13.【解答］解：由題意得：x2-9=0,且3-存0,

解得：尤=-3,

故答案為：-3.

【點撥】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于

零且分母不等于零.

注意：“分母不為零”這個條件不能少.

14.【解答］解：由題意得，尤1,2,-2

故尤-1=-1,x—0；

x-1—1,尤=2；

x~1=2,x~~3f

x-1=-2,x=-1

V?-1#0,

故答案為：0,2,3.

【點撥】本題考查了分式的值，認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵的字眼,是正確解題的出路,注意存±1.

15.【解答］解：令尤=4丸y=3k,z=2k,代入七色￡=絲史1=工

x44

故答案為：1.

4

【點撥】解決此題的關(guān)鍵是利用了特殊值法，這是解填空題和選擇題常用的方法，省時

又省力.

16?【解答】解：：分式無意義，

.,.2x+tz=0即當(dāng)％=-4時，2x+a=0.

解得4=8

???分式的值為0,

.,.x-b—0,即當(dāng)尤=2時，x-b—0.

解得b=2

?a+b8+2

"a-3b=8-3X2=b-

【點撥】本題考查了分式無意義、值為0的條件及求分式值.根據(jù)分式無意義、值為0

確定6的值是解決本題的關(guān)鍵.

17?【解答】解：(1)分式的分子和分母乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的分式

值不變.

(2)根據(jù)題意得：選項C的分子次數(shù)是0,分母次數(shù)是1,分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)

是真分式.而其他選項是分子的次數(shù)均不小于分母的次數(shù)的分式，故ABD選項是假分式.

故選C.

m2+322

(3)=in-1+4=m-l_l+±

m+1m+1m+1m+1m+1

【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)：分式