…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高一數學下冊月考試卷241考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、下列圖象中表示函數圖象的是（）（A）(B)(C)(D)2、為終邊上一點，則（）.A.B.C.D.3、已知最小時x的值是()A.-3B.3C.-1D.14、【題文】對于空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，有＝x＋y＋z(x；y、z∈R)；

則x＋y＋z＝1是P；A、B、C四點共面的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件。

C.充要條件D.既不充分也不必要條件5、【題文】如圖，下列物體的正視圖和俯視圖中有錯誤的一項是()

6、四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，其他四個側面是側棱長為3的等腰三角形，則二面角的余弦值的大小為()A.B.C.D.7、若向量=（3，m），=（2，﹣1），=0，則實數m的值為（）A.-B.C.2D.68、設f（x）為定義于（﹣∞，+∞）上的偶函數，且f（x）在[0，+∞）上為增函數，則f（﹣2）、f（﹣π）、f（3）的大小順序是（）A.f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）B.f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）C.f（﹣π）＜f（3）＜f（﹣2）D.f（﹣π）＜f（﹣2）＜f（3）9、若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD

中；其中AB=2BC=1

則質點落在以AB

為直徑的半圓內的概率是(

)

A.婁脨2

B.婁脨4

C.婁脨6

D.婁脨8

評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)10、方程ln（3?=0的解為____．11、將函數圖像向左平移（）個單位后所對應的函數是偶函數，則的最小值是.12、函數y=cosx（-≤x＜）的值域是（區間）____．13、圓心在軸上，且過兩點A(1，4)，B(3，2)的圓的方程為____.14、【題文】已知圓C:x2+y2+2x+ay-3=0(a為實數)上任意一點關于直線x-y+2=0的對稱點都在圓C上，則a=____.15、已知點O是銳角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=．若=x+y則6x+9y=____16、sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于____．17、sin960°的值為____________．18、若直線l上存在不同的三個點A，B，C，使得關于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（點O不在直線l上），則此方程的解集為______．評卷人得分三、證明題(共7題，共14分)19、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．20、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．21、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點；弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．22、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．23、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．24、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．25、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．評卷人得分四、解答題(共4題，共40分)26、某專賣店經銷某種電器，進價為每臺1500元，當銷售價定為1500元～2200元時，銷售量（臺）P與銷售價q（元）滿足P=

（1）當定價為每臺1800元時；該專賣店的銷售利潤為多少？

（2）若規定銷售價q為100的整數倍；當銷售價q的定價為多少時，專賣店的利潤最高？

27、一個袋中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4.（1）從袋中隨機抽取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；（2）先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求的概率.28、【題文】如圖，四邊形與均為菱形，且

（1）求證：

（2）求證：

（3）求二面角的余弦值．29、在平面直角坐標平面內；已知A(0,5)B(鈭?1,3)C(3,t)

．

(1)

若t=1

求證：鈻?ABC

為直角三角形；

(2)

求實數t

的值，使|AB鈫?+AC鈫?|

最小；

(3)

若存在實數婁脣

使AB鈫?=婁脣鈰?AC鈫?

求實數婁脣t

的值．評卷人得分五、綜合題(共4題，共28分)30、如圖1，點C將線段AB分成兩部分，如果，那么稱點C為線段AB的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果；那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在△ABC中；若點D為AB邊上的黃金分割點（如圖2），則直線CD是△ABC的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？

（2）研究小組在進一步探究中發現：過點C任作一條直線交AB于點E，再過點D作直線DF∥CE，交AC于點F，連接EF（如圖3），則直線EF也是△ABC的黃金分割線．請你說明理由．31、已知函數f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是實數，設關于x的方程f（x）=0的兩根為x1，x2；f（x）=x的兩實根為α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b滿足的關系式；

（2）若a、b均為負整數；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）試比較（x1+1）（x2+1）與7的大小．32、已知二次函數圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸．一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于A，B兩點（A在B的左側）；且A點坐標為（-4，4）．平行于x軸的直線l過（0，-1）點．

（1）求一次函數與二次函數的解析式；

（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系；并給出證明；

（3）把二次函數的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位（t＞0），二次函數的圖象與x軸交于M，N兩點，一次函數圖象交y軸于F點．當t為何值時，過F，M，N三點的圓的面積最小？最小面積是多少？33、如圖；Rt△ABC的兩條直角邊AC=3，BC=4，點P是邊BC上的一動點（P不與B重合），以P為圓心作⊙P與BA相切于點M．設CP=x，⊙P的半徑為y．

（1）求證：△BPM∽△BAC；

（2）求y與x的函數關系式；并確定當x在什么范圍內取值時，⊙P與AC所在直線相離；

（3）當點P從點C向點B移動時；是否存在這樣的⊙P，使得它與△ABC的外接圓相內切？若存在，求出x；y的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、C【分析】【解析】試題分析：根據函數的定義；對任意的一個x都存在唯一的y與之對應可求【解析】

根據函數的定義，對任意的一個x都存在唯一的y與之對應,而A、B、D都是一對多，只有C是多對一．故選C考點：函數定義【解析】【答案】C2、A【分析】因為點到原點的距離為5，所以【解析】【答案】A3、B【分析】試題分析：由題目已知可得：然后利用二次函數知識求解即可.考點：(1)向量的坐標運算；（2）二次函數.【解析】【答案】B4、C【分析】【解析】

試題分析：證充分條件：因為x＋y＋z＝1，所以＝x＋y＋z=x＋y＋所以即根據平面向量基本定理可知，三向量共面，因為有公共點C所以P、A、B、C四點共面。證必要條件：因為P、A、B、C四點共面，所以由平面向量定理可知有且只有一對實數對使由向量減法法則可將上式變形為整理的所以故C正確。

考點：平面向量基本定理，空間向量基本定理，向量的加減法法則【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】畫三視圖時不可見輪廓線一定要畫成虛線，選項D中的俯視圖缺少兩條不可見輪廓線.【解析】【答案】D6、B【分析】【解答】如圖，取中點過作底面的垂線，垂足為連接根據題意可知，的大小就是二面角的大小，因為所以選B.

7、D【分析】【解答】解：=6﹣m=0；

∴m=6．

故選D

【分析】根據兩個向量的數量積為零，寫出坐標形式的公式，得到關于變量的方程，解方程可得．8、A【分析】【解答】解：f（x）為定義在（﹣∞；+∞）上的偶函數，且f（x）在[0，+∞）上為增函數；

知f（x）在（﹣∞；0）上是減函數，此類函數的特征是自變量的絕對值越大，函數值越大；

∵2＜3＜π

∴f（2）＜f（3）＜f（π）

即f（﹣2）＜f（3）＜f（﹣π）

故選A．

【分析】由題設條件，f（x）為定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數，且f（x）在[0，+∞）上為增函數，知f（x）在（﹣∞，0）上是減函數，此類函數的特征是自變量的絕對值越大，函數值越大，由此特征即可比較出三數f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小順序．9、B【分析】解：隆脽AB=2BC=1

隆脿

長方體的ABCD

的面積S=1隆脕2=2

圓的半徑r=1

半圓的面積S=婁脨2

則由幾何槪型的概率公式可得質點落在以AB

為直徑的半圓內的概率是婁脨22=婁脨4

故選：B

．

利用幾何槪型的概率公式；求出對應的圖形的面積，利用面積比即可得到結論．

本題主要考查幾何槪型的概率的計算，求出對應的圖形的面積是解決本題的關鍵，比較基礎．【解析】B

二、填空題(共9題，共18分)10、略

【分析】

由ln（3?=0，得：3?2x-2=1；

所以，3?2x=3，2x=1；解得x=0．

故答案為x=0．

【解析】【答案】題目給出的是對數方程，根據“1的對數式0”得3?2x-2=1；整理后即可解得x的值．

11、略

【分析】試題分析：對于三角函數，形如為奇函數，形如為偶函數.將函數圖像向左平移（）個單位后得到要使函數平移后為偶函數，則有所以當時有最小值．考點：三角函數的圖像和性質.【解析】【答案】12、略

【分析】

∵y=cosx在區間[0，）是減區間。

∴當x=0時，ymax=cos0=1

當x=時，ymin=cos=-

∵y=cosx在區間[-0]是增區間。

∴當x=0時，ymax=cos0=1

當x=-時，ymin=cos（-）=-

∴函數y=cosx（-≤x＜）的值域是（-1]

故答案為：（-1]

【解析】【答案】首先求出函數的單調性y=cosx在區間[0，）是減區間，在區間[-0]是增區間，然后根據特殊角的三角函數值求出結果．

13、略

【分析】【解析】試題分析：因為圓心在軸上，所以設圓心坐標為（m，0），半徑為r，則圓的方程為（x-m）2+y2=r2，因為圓經過兩點A（1，4）、B（3，2），所以解得：m=-1，r2=20，所以圓的方程為（x+1）2+y2=20。考點：圓的方程的求法。【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】解：由已知；直線x-y+2=0經過了圓心(-1，-a/2)，所以-1+a/2+2=0，從而有a=-2．

故選a=-2．【解析】【答案】-215、5【分析】【解答】如圖所示；

過點O分別作OD⊥AB；OE⊥AC，垂足分別為D，E．

則D；E分別為AB，AC的中點；

∴

∵A=．

∴．

∵

∴

化為32=64x+48y；72=48x+144y；

聯立解得

∴6x+9y=5．

故答案為：5．

【分析】如圖所示，過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．可得D，E分別為AB，AC的中點．可得．由A=可得．對兩邊分別與作數量積即可得出.16、【分析】【解答】解：由題意sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°=

故答案為：．

【分析】本題可用兩角和的正弦函數對sin14°cos16°+cos14°sin16°，再利用特殊角的三角函數求值17、略

【分析】解：由題意，sin960°=sin(720°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=-

故答案為：【解析】18、略

【分析】解：∵直線l上存在不同的三個點A；B，C；

∴存在實數λ使得

∴

又關于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（點O不在直線l上）；

∴-x2-x=0；

解得x=-1；（x≠0）．

∴此方程的解集為{-1}．

故答案為：{-1}．

直線l上存在不同的三個點A，B，C，可得存在實數λ使得即又關于x的方程x2+x+=（x∈R）有解（點O不在直線l上），可得-x2-x=0；解出即可．

本題考查了向量共線定理、平面向量基本定理、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．【解析】{-1}三、證明題(共7題，共14分)19、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結論；

（2）根據三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．20、略

【分析】【分析】首先作CD關于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．21、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據角平分線性質推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據等腰三角形性質求出AF=CF，根據三角函數的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據銳角三角函數的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發現∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．23、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點共圓即可；

（2）根據已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據三角形的外角性質推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．24、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．25、略

【分析】【分析】構造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．四、解答題(共4題，共40分)26、略

【分析】

（1）當q=1800時，P=500-=500-360=140；∴銷售利潤為（1800-1500）×140=42000元；

（2）設q=100n（n∈Z）；則。

當1500≤q＜2000，即15≤n＜20時，銷售利潤為（100n-1500）×（500-20n）=-2000（n-20）2+50000

∴y＜50000；

當2000≤q≤2200，即20≤n≤22時，銷售利潤為（100n-1500）×（1100-50n）=-2000（n-）2+61250

∴n=20，即q=2000時，ymax=50000；

答：（1）當定價為每臺1800元時；該專賣店的銷售利潤為42000元；（2）銷售價q的定價為2000時，專賣店的利潤最高．

【解析】【答案】（1）求出銷售量；每臺的利潤，即可求專賣店的銷售利潤；

（2）根據分段函數；分別求出銷售利潤，利用配方法，即可求得結論．

27、略

【分析】試題分析：本小題主要考察古典概型、對立事件的概率計算，考察學生分析問題、解決問題的能力；先列舉出所有可能的結果，再找出滿足條件的有幾種，兩者相比即可.試題解析：（1）從袋子中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6個；從袋中隨機取出的球的編號之和不大于4的事件共有1和2,1和3兩個；因此所求事件的概率為1/3.（2）先從袋中隨機取一個球，記下編號為m，放回后，在從袋中隨機取一個球，記下編號為n，其一切可能的結果（m,n）有：（1,1）(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2),(3,3)(3,4),(4,1)（4,2），（4,3）（4,4），共16個有滿足條件的事件為（1,3）（1,4）（2,4），共3個所以滿足條件的事件的概率為故滿足條件的事件的概率為考點：古典概型、對立事件的概率.【解析】【答案】（1）取出的球的編號之和不大于4的概率為（2）的概率為．28、略

【分析】【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：設AC與BD相交于點O；連結FO.

因為四邊形ABCD為菱形，所以且O為AC中點.

又FA=FC，所以2分。

因為

所以3分。

（Ⅱ）證明：因為四邊形與均為菱形；

所以

因為

所以

又

所以平面

又

所以6分。

（Ⅲ）解：因為四邊形BDEF為菱形，且所以為等邊三角形．

因為為中點，所以由（Ⅰ）知故。

由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系

設AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，則BD=2，所以OB=1，

所以8分。

所以

設平面BFC的法向量為則有所以

取得12分。

易知平面的法向量為

由二面角A-FC-B是銳角；得。

所以二面角A-FC-B的余弦值為14分。

考點：本題主要考查立體幾何中的平行關系；垂直關系；角的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離的計算。證明過程中，往往需要將立體幾何問題轉化成平面幾何問題加以解答。本題解答，通過建立適當的空間直角坐標系，利用向量的坐標運算，簡化了繁瑣的證明過程，實現了“以算代證”，對計算能力要求較高。【解析】【答案】（Ⅰ）連結FO.由四邊形ABCD為菱形，得且O為AC中點.

根據FA=FC，得到

（Ⅱ）由四邊形與均為菱形；

得到得出

平面

（Ⅲ）二面角A-FC-B的余弦值為29、略

【分析】

(1)

當t=1

時，C(3,1)

求出AB鈫?,BC鈫?

由AB鈫?鈰?BC鈫?=0

能證明鈻?ABC

為直角三角形．

(2)

求出AB鈫?=(鈭?1,鈭?2),AC鈫?=(3,t鈭?5)

從而|AB鈫?+AC鈫?|=4+(t鈭?7)2

由此能求出結果．

(3)

由AB鈫?=婁脣鈰?AC鈫?

列出方程組，能求出實數婁脣t

的值．

本題考查三角形是直角三角形的證明，考查向量的模取最小值時對應的實數值的求法，涉及到平面向量坐標運算法則、向量垂直、向量的模等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是基礎題．【解析】證明：(1)

當t=1

時；C(3,1)

則AB鈫?=(鈭?1,鈭?2),BC鈫?=(4,鈭?2)(2

分)

隆脿AB鈫?鈰?BC鈫?=鈭?1隆脕4+(鈭?2)隆脕(鈭?2)=0

隆脿AB鈫?隆脥BC鈫?

隆脿鈻?ABC

為直角三角形.(4

分)

解：(2)AB鈫?=(鈭?1,鈭?2),AC鈫?=(3,t鈭?5)

隆脿AB鈫?+AC鈫?=(鈭?1,鈭?2)+(3,t鈭?5)=(2,t鈭?7)(6

分)

隆脿|AB鈫?+AC鈫?|=4+(t鈭?7)2

當t=7

時，|AB鈫?+AC鈫?|

的最小值為2.(9

分)

(3)

由AB鈫?=婁脣鈰?AC鈫?

得：

(鈭?1,鈭?2)=婁脣鈰?(3,t鈭?5)?{鈭?2=位(t鈭?5)鈭?1=3位(12

分)

解是{t=11位=鈭?13(14

分)

五、綜合題(共4題，共28分)30、略

【分析】【分析】（1）設△ABC的邊AB上的高為h，由三角形的面積公式即可得出=，=，再由點D為邊AB的黃金分割點可得出=；故可得出結論；

（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等，故S△DEC=S△FCE，設直線EF與CD交于點G，由同底等高的三角形的面積相等可知S△DEG=S△FEG，故可得出S△ADC=S四邊形AFGD+S△FCG=S△AEF，再由S△BDC=S四邊形BEFC，再由=可知=，故直線EF也是△ABC的黃金分割線．【解析】【解答】解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線．理由如下：

設△ABC的邊AB上的高為h．

∵S△ADC=AD?h，S△BDC=BD?h，S△ABC=AB?h；

∴=，=；

又∵點D為邊AB的黃金分割點；

∴=；

∴=；

∴直線CD是△ABC的黃金分割線；

（2）∵DF∥CE；

∴△DEC和△FCE的公共邊CE上的高也相等；

∴S△DEC=S△FCE；

設直線EF與CD交于點G；

∴S△DEG=S△FCG；

∴S△ADC=S四邊形AFGD+S△FCG=S四邊形AFGD+S△DGE=S△AEF；

S△BDC=S四邊形BEFC；．

又∵=；

∴=；

∴直線EF也是△ABC的黃金分割線．31、略

【分析】【分析】（1）根據f（x）=x的兩實根為α、β，可列出方程用a，b表示兩根α，β，根據|α-β|=1，可求出a、b滿足的關系式．

（2）根據（1）求出的結果和a、b均為負整數，且|α-β|=1，可求出a，b；從而求出f（x）解析式．

（3）因為關于x的方程f（x）=0的兩根為x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），討論a，b的關系可比較（x1+1）（x2+1）與7的大小的結論．【解析】【解答】解：（1）∵f（x）=x；

∴ax2+4x+b=x；

α=，β=．

∵|α-β|=1；

∴=|a|；

∴a2+4ab-9=0；

（2）∵a、b均為負整數，a2+4ab-9=0；

∴a（a+4b）=9，解得a=-1，