2024年高考數學模擬測試卷

一、單項選擇題

1.已知集合A={x|x?+;/=1},3={丁|丁=尤2},則AB=()

A.[0,1]B.[0,+oo)C.{-1,1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】

集合A={x|V+y2=i}是x的取值范圍，5={丁|丁=尤2}是函數的值域，分別求出再求交集.

【詳解】解：y2=l-x2>0,-1<x<l,5={y|y=/}=[0,+oo)

AB==[-l,l]f[0,+oo)=[0,1]

故選：A

【點睛】考查求等式中變量的范圍以及集合的交集運算；基礎題.

2.已知復數(2+5)(3+。在復平面內對應的點在直線y=x上，則實數。=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

化簡復數，求出對應點，代入直線方程求解即可.

【詳解】因為(2+az')(3+z)=6—a+(2+3tz)z,

所以對應的點為(6—a,2+3a),

代入直線V=x可得6-a=2+3。，

解得4=1,

故選：C

【點睛】本題考查了復數的運算法則、幾何意義，直線的方程，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎題.

3.若loga〃<0(a>0且awl),2/外>1，則()

A.a>l,b>lB.Q<a<\,b>l

C.a>\,0<Z?<lD.0<Q<1,0<Z?<l

【答案】B

【解析】

【分析】

先由2/4>1得，b2-b>Q>又由匕>0,可得Z?〉l,而loga6<0,可得0<。<1

【詳解】解：因為2戶4>1，所以人>0，

因為b>0,所以Z?〉l,

因為log°Z?<0,b>l,

所以0<。<1,

故選：B

【點睛】此題考查的是指數不等式和對數不等式，屬于基礎題

4.我國天文學和數學著作《周髀算經》中記載：一年有二十四個節氣，每個節氣的唇長損益相同（辱是依

據日影測定時刻的儀器，密長即為所測量影子的長度）.二十四節氣及署長改變如圖所示，相鄰兩個節氣號

長削減或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的署長為一丈三尺五寸，夏至的署長為一尺五寸（一丈

等于十尺，一尺等于十寸），則說法不正確的是（）

A.相鄰兩個節氣密長削減或增加的量為一尺

B.春分和秋分兩個節氣的辱長相同

C.立冬的署長為一丈五寸

D.立春的唇長比立秋的唇長短

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可知夏至到冬至的號長構成等差數列，其中為=15寸，63=135寸，公差為d寸，可求出d,利

用等差數列學問即可推斷各選項.

【詳解】由題意可知夏至到冬至的署長構成等差數列{4},其中4=15寸，63=135寸，公差為d寸，則

135=15+124,

解得d=10（寸），

同理可知由冬至到夏至的號長構成等差數列也J,首項［=135,末項九=15,公差d=—10（單位都為

寸）.

故選項A正確；

,春分的署長為57，二年=4+61=135-60=75

秋分的辱長為%，二%=%+6〃=15+60=75,所以B正確；

?.?立冬的署長為4。，；?%）=%+91=15+90=105,即立冬的號長為一丈五寸，C正確；

?.?立春的號長，立秋的號長分別為“，為，

%=%+3d=15+30=45,Z?4-b1+3d—135-30=105,

b4>a4,故D錯誤.

故選：D

【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，等差數列在實際問題中的應用，數學文化，屬于中檔題.

5.有三個筐，一個裝著柑子，一個裝著蘋果，一個裝著柑子和蘋果，包裝封好然后做“柑子”“蘋果”“混

裝”三個標簽，分別貼到上述三個筐上，由于馬虎，結果全貼錯了，則（）

A.從貼有“柑子”標簽的筐里拿出一個水果，就能訂正全部的標簽

B.從貼有“蘋果”標簽的筐里拿出一個水果，就能訂正全部的標簽

C.從貼有“混裝”標簽的筐里拿出一個水果，就能訂正全部的標簽

D.從其中一個筐里拿出一個水果，不行能訂正全部的標簽

【答案】C

【解析】

【分析】

若從貼有“柑子”或“蘋果”標簽的筐內拿出一個水果，無法判定剩余水果是一種還是兩種，不能訂正全

部標簽，若從“混裝”標簽中取出一個，就能推斷其余兩個筐內水果.

【詳解】假如從貼著蘋果標簽的筐中拿出一個水果，假如拿的是柑子，就無法推斷這筐裝的全是柑子，還

是有蘋果和柑子；

同理從貼著柑子的筐中取出也無法推斷，因此應從貼著蘋果和柑子的標簽的筐中取出水果.

分兩種狀況：(1)假如取出的是柑子，那說明這筐全是柑子，則貼有柑子的那筐就是蘋果，貼有蘋果的那筐

就是蘋果和柑子.

(2)假如取出的是蘋果，那說明這筐全是蘋果，那貼有蘋果的那筐就是柑子，貼有柑子的那筐就是蘋果和柑

子.

故選：C

【點睛】解決本題的關鍵在于，其中貼有混裝的這筐確定不是蘋果和柑子混在一起，所以能推斷不是蘋果

就是柑子，考查了邏輯推理實力，屬于簡潔題.

6.已知向量歷,2行)，將op繞原點。逆時針旋轉45。到0P的位置，則()

A.(1,3)B.(-3,1)C.(3,1)D.(-1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】

設向量0P與x軸的夾角為a,結合三角函數的定義和兩角和與差的正弦、余弦函數公式，求得

cosa,sina,cos(?+45°),sin(?+45°),得到點p的坐標，進而求得op.

【詳解】由題意，向量OP=(J5,20),則囪=屈,

則cosa=￡,sina=矍

設向量0P與X軸的夾角為a

VWVW

41y/22V2V2710

所以cos(a+45°)=cosacos450-sinasin45°

Vid2Tio210

2V2V2V2V23V10

sin(a+45°)=sinacos45°+cosasin45°=.——x---F—j=x——二------,

屈2屈210

可得口年05(￡+45。)=加工(—嚕)=—1,|OP|sin(a+45°)^^0x=3

所以OP=(—1,3).

故選：D.

【點睛】本題主要考查了向量的坐標表示，以及三角函數的定義的應用和兩角和與差的正弦、余弦函數的

綜合應用，著重考查推理與運算實力.

n]

7.己知函數/（九）對隨意eR,都有2/（x+y）=/（x）/（y）,且/⑴=1,則^7六=（）

i=0j（I）

C.1,1cl

A.2n-lB.2"——C.1——D.2——

22n2"

【答案】B

【解析】

【分析】

利用賦值法再結合條件，即可得答案；

【詳解】由所求式子可得;'（0）/0,

/(0)/(0)

令x=y=0可得：y(0)=2=>/(0)=2,

令x=y=l可得：/(2)=/⑴"⑴」

令x—l,y—2可得：/(3)=

令x=y=2可得：/(4)="2>:⑵1

21

/（〃）=擊，

V-----=Y2,-1=2-1+2°+21++2"T=2------------=2"——'

占內）占1-22

故選：B.

【點睛】本題考查依據抽象函數的性質求函數的解析式，等比數列求和，考查函數與方程思想、轉化與化

歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力，求解時留意將抽象函數詳細化.

8.已知正四棱柱ABC。-A4GD，設直線4片與平面ACC】A所成的角為々，直線C"與直線4。所成

的角為夕，則（)

JT

A.B=2aB.a=213C.a-[3D.a+/3~—

【答案】D

【解析】

【分析】

分別在正四棱柱中找到a和夕，將a和尸放在同一個平面圖形中找關系即可.

【詳解】作正四棱柱A3CD—44G2如下圖:

；在正四棱柱ABCD-44￡口中，A4,，平面ABCR,

/.A41BtDt

?.?底面44GA是正方形

BQi±AC

又：A4]C4G=A

BXDX，平面

NgAO是直線A5]與平面ACG4所成的角，即/B|AO=a

?；CD.//A.B

.../BAG是直線CD{與直線AG所成的角，即NBAG=0

'：A}B=B.A,4。=用0,OA=OB

：.

NBACi=NABQ=0

?：月2，平面4耳G2

BtO1OA

冗

：.a+/3=AB,AO+^ABxO=-

故選：D

【點睛】本題主要考查直線與平面和異面直線的夾角，屬于中檔題.

二、多項選擇題

9.隨著我國經濟結構調整和方式轉變，社會對高質量人才的需求越來越大，因此考研現象在我國不斷升

溫.某高校一學院甲、乙兩個本科專業，探討生的報考和錄用狀況如下表，則

性別甲專業報考人數乙專業報考人數性別甲專業錄用率乙專業錄用率

男100400男25%45%

女300100女30%50%

A.甲專業比乙專業的錄用率高B.乙專業比甲專業的錄用率高

C.男生比女生的錄用率高D.女生比男生的錄用率高

【答案】BC

【解析】

【分析】

依據數據進行整合，甲專業錄用了男生25人，女生90人；乙專業錄用了男生180人，女生50人；結合選

項可得結果.

【詳解】由題意可得甲專業錄用了男生25人，女生90人；乙專業錄用了男生180人，女生50人；

甲專業的錄用率為-25+90-=28.75%,乙專業的錄用率為當土亞=46%,所以乙專業比甲專業的錄

100+300400+100

用率高.

男生的錄用率為25+180=4%,女生的錄用率為90+50=35%,所以男生比女生的錄用率高.

100+400300+100

故選：BC.

【點睛】本題主要考查頻數分布表的理解，題目較為簡潔，明確錄用率的計算方式是求解的關鍵，側重考

查數據分析的核心素養.

10.己知函數/（x）=sin（（9x+。）（口＞0,。＜。＜萬），將y=/（%）的圖像上全部點向左平移2個單位，然后

6

1JT

縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的不，得到函數y=g（x）的圖像.若g（x）為偶函數，且最小正周期為一，

22

則（）

7TS77

A.丁=/（%）圖像關于點（-二,0）對稱B.Ax）在（0,二）單調遞增

X57cITSIT

C./00=8(；)在(0,—)有且僅有3個解D.g(x)在(一,一)有且僅有3個極大值點

24124

【答案】AC

【解析】

【分析】

依據題意求得啰=2,(p=~,進而求得g(%)=cos4x,/(x)=sin(2x+-),然后對選項逐一推斷即可.

【詳解】解：將y=/(x)的圖像上全部點向左平移子個單位后變為：sin[ox+-^-+0J,

O

然后縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的人后變為：sin|20%+-^+

216

所以g(x)=sin120x+等+.

JTTT27r

因為g(x)的最小正周期為一，所以一=—,解得：＜9=2.

222a)

所以g(x)=sin[4x+]+o],

"llrll'll

又因為g(x)為偶函數，所以彳+0=刀+而次eZ,所以夕=一+左左,keZ.

326

兀

因為。＜0〈萬，所以。二一.

6

(冗\冗

所以g(X)=sin[4x+]J=cos4x,/(%)=sin(2x+—).

jrjrjrTT

對于選項A,因為/(一二)=sin2(---)+—=sin0=0,所以y—f(-^)圖像關于點(-五,0)對稱,

12|_126_

故A正確.

對于選項3,因為xe(0,9X)時，2x+Je[J,%],

12616J

設/=2x+?,則/=

因為/(')在]巳，兀]不是單調遞增，所以f(x)在(0,^|)不單調遞增，

故6錯誤.

對于選項C,g(1)=cos2x,/(x)=sin(2x+?),畫出在(0,充)圖像如圖所示:

從圖中可以看出：在(0,紅)圖像有三個交點，所以/(x)=g(±)在(0,組)有且僅有3個解,

\2)424

故C正確.

TT5冗

對于選項D,g(x)=cos4x在(一,—)的圖像如圖所示：

124

TTSir

從圖中可以看出g(x)在(一,——)有且僅有2個極大值點，故。選項錯誤.

124

故選：AC

【點睛】本題主要考查正弦型函數、余弦型函數的周期、對稱中心、奇偶性、單調性等，考查學生數形結

合的實力，計算實力等，屬于中檔題.

11.已知拋物線y2=2px(p>。)上三點A(XQI)，3。,2),C(x2,y2),歹為拋物線的焦點，則()

A.拋物線的準線方程為x=-l

B.FA+FB+FC=0>貝1j|E4|，MW，成等差數列

C.若A,F,C三點共線，則為為=-1

D.若|A。=6,則AC的中點到了軸距離的最小值為2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

把點3(1,2)代入拋物線V=2°x即可得到本題答案；依據拋物線的定義，以及E4+EB+EC=0,可得

X,+X2=2,從而可證得網+陽=2網；由A,F,C三點共線，得含?二最色，結合

西=；靖遣2=：當2,化簡即可得到本題答案；設”的中點為S|AF|+|CF|>|AC|,結合

=

|AF'I+1CF*|+l+x2+1=2x0+2,即可得到本題答案.

【詳解】把點5(1,2)代入拋物線y2=2。％,得p=2,所以拋物線的準線方程為x=—l,故A正確；

因為A(x”%),3(1,2),。(々，％)1(1,0),所以FA=(x「l,%),FB=(0,2),FC=(x2-l,y2),又由

FA+FB+FC=0<得再+%=2，

所以網+因=/+1+々+1=4=2閥，即網，網，因成等差數列,故B正確;

M%————=————

因為4F,。三點共線，所以直線斜率左轉=左CF，即17=4；，所以12[12]，化簡得，

xix24%TT

%%=-4,故C不正確；

設然的中點為M(5,%)，因為|AF|+|CF|習AC|，|AF|+|CF|=%+1+W+1=2XO+2,所以

2x0+2>6,得/22,

即AC的中點到y軸距離的最小值為2,故D正確.

故選：ABD

【點睛】本題主要考查拋物線定義的應用以及拋物線與直線的相關問題，考查學生的分析問題實力和轉化

實力.

12.己知函數“X)的定義域為(0,+8),導函數為尸(x),#'(x)-/(x)=xlnx,則

B.在x=」處取得極大值

e

C.0</(1)<1D./(九)在(0,+。)單調遞增

【答案】ACD

【解析】

分析】

依據題意可設/(x)=gxln2x+bx,依據：求b,再求尸(x)推斷單調性求極值即可.

【詳解】：函數/(%)的定義域為(0,+8),導函數為/(%),礦(x)-/(x)=xlnx

即滿意

X2X

x2

/(x)=^-xln2x+/7x

1解得人=1

2eeee2

滿意0</(1)<1

;.c正確

1//f(x)=—In2x+lnx+—=—(lnx+1)2>0,且僅有/'f-j=0

222IeJ

...B錯誤，A、D正確

故選：ACD

【點睛】本題主要考查函數的概念和性質，以及利用導數推斷函數的單調性和極值點，屬于中檔題.

三、填空題

13.(x+2y)(x—y)5的綻開式中爐>4的系數為.

【答案】-15

【解析】

【分析】

把(x->)5依據二項式定理綻開，可得(x+2y)(x-丁彳的綻開式中必、4的系數.

【詳解】(x+2y)(x-4=(x+2y).(以./_仁,J,+犬丫2_以.+C^x'/-Cf-/)-

故它的綻開式中的系數為C：-2C；=-15,

故答案為：-15.

【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項綻開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題.

14.已知/是平面夕外的直線，給出下列三個論斷，①///a；②。，尸；③U0.以其中兩個論斷

為條件，余下的論斷為結論，寫出一個正確命題：.(用序號表示)

【答案】若①③，則②或若②③，則①(填寫一個即可)；

【解析】

【分析】

利用空間直線與平面的位置關系進行推斷，H/a,。，分時，/與夕可能平行或者相交.

【詳解】因為///a，。，分時，/與￡可能平行或者相交，所以①②作為條件，不能得出③；

因為///a,所以a內存在一條直線機與/平行，又I1/3,所以小，，，所以可得《，，，即①③作為

條件，可以得出②；

因為/，/?,所以///a或者/ua,因為/是平面a外的直線，所以///a,即即②③作為條件,

可以得出①；

故答案為：若①③，則②或若②③，則①(填寫一個即可)；

【點睛】本題主要考查空間位置關系的推斷，略微具有開放性，熟識空間的相關定理及模型是求解的關鍵,

側重考查直觀想象的核心素養.

22

15.已知雙曲線+—%=1(。〉0,6〉0)過左焦點且垂直于》軸的直線與雙曲線交于「，。兩點，以P,Q

為圓心的兩圓與雙曲線的同一條漸近線相切，若兩圓的半徑之和為&a，則雙曲線的離心率為.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】

首先求RQ兩點的坐標，代人圓心到直線的距離，由已知條件建立等式求得2=苴，最終再求雙曲線的

a2

離心率.

22

【詳解】設E（—c,0）,當x=-c，代人雙曲線方程二—當—1，

a2b2

(-歐、

解得：y=±—，設尸一a一Q-c,

avcia,

b

依據對稱性，可設與兩圓相切的漸近線是y=—x,

a

bcb2bc+b2

則P,Q兩點到漸近線的距離\--\+\-\=島，

ob,上式去掉確定值為"上藝+變二生=氐，

CC

即2=好，那么￡=JI+'=2.

a2a\a22

.3

二雙曲線的離心率6=—.

2

3

故答案為：一

2

【點睛】本題考查雙曲線的離心率，重點考查轉化與化歸的思想，計算實力，屬于基礎題型.

16.我國的西氣東輸工程把西部的資源優勢變為經濟優勢，實現了氣能源需求與供應的東西部連接，工程建

設也加快了西部及沿線地區的經濟發展輸氣管道工程建設中，某段管道鋪設要經過一處峽谷，峽谷內恰好

有一處直角拐角，水平橫向移動輸氣管經過此拐角，從寬為2