3.1.2函數的單調性第1課時學習目標1.理解函數的單調性及其幾何意義.2.會用函數單調性的定義推斷(或證明)一些函數的單調性.3.理解函數的最大值和最小值的概念,會求一些簡潔函數的最值.自主預習閱讀課本第95頁~第97頁“1.單調性的定義與證明”并完成下列問題.(1)完成課本這一部分的填空題目.(2)函數單調性的定義.(3)思索課本第96頁想一想,并完成嘗試與發覺.(4)最大值、最小值.課堂探究問題探究任務一:閱讀課本第95頁~第97頁并完成下列問題1.“情境與問題”中的問題.2.單調性的定義.3.單調性定義中“隨意”二字能不能去掉.4.能否說y=1x在定義域內是減函數?為什么5.最大值、最小值.6.最值點是不是點?任務二:函數單調性的簡潔應用一、利用圖像求函數的單調區間例1如圖是定義在區間[-2,2]的函數y=f(x),則f(x)的單調遞減區間是.

【拓展練習】函數f(x)=x|x|-2x的單調遞增區間為.

要點歸納圖像法求函數單調區間的步驟:二、利用定義證明函數的單調性例2下列函數中,在R上是增函數的是()A.y=|x| B.y=x C.y=x2 D.y=1【拓展練習】證明函數f(x)=x-1x在(0,+∞)上是增函數【小結】利用定義證明函數單調性的步驟:三、單調性與最值例3推斷函數f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的單調性,并求這個函數的最值.評價反饋1.(多選題)下列函數中,在(0,2)上是減函數的是()A.y=1x B.y=2x-C.y=1-2x D.y=(2x-1)22.如圖是函數y=f(x)的圖像,則函數f(x)的單調遞減區間是()A.(-1,0)B.(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-1,0),(1,+∞)課后作業課本第102頁第1,4,5題核心素養專練1.給定函數①y=x;②y=log12(x+1);③y=|x-1|;④y=2x.其中在區間(0,1)上單調遞減的函數的序號是(A.①② B.②③ C.③④ D.①④2.(多選題)下圖中是定義在區間[-5,5]上的函數y=f(x)的圖像,則下列關于函數f(x)的說法正確的是()A.f(x)在區間[-5,-3]上單調遞增B.f(x)在區間[1,4]上單調遞增C.f(x)在區間[-3,1]∪[4,5]上單調遞減D.f(x)在區間[-5,5]上沒有單調性參考答案自主預習略課堂探究問題探究任務一:略任務二:一、利用圖像求函數的單調區間例1解析:由圖像可以看出f(x)的單調遞減區間是[-1,1].答案:[-1,1]【拓展練習】解析:當x≥0時,f(x)=x2-2x,對稱軸為x=1,開口向上,在(1,+∞)單調遞增;當x<0時,f(x)=-x2-2x,對稱軸為x=-1,開口向下,在(-∞,-1)單調遞增,所以函數的單調遞增區間是(-∞,-1)和(1,+∞).答案:(-∞,-1)和(1,+∞)要點歸納1.作圖:作出函數的圖像;2.結論:上升圖像對應單調遞增區間,下降圖像對應單調遞減區間.二、利用定義證明函數的單調性例2B解析:依據題意,依次分析選項:對于A選項,y=|x|=x,x≥0,-對于B選項,y=x,為正比例函數,在R上是增函數,符合題意;對于C選項,y=x2,為二次函數,在R上不是增函數,不符合題意;對于D選項,y=1x,為反比例函數,在R上不是增函數,不符合題意【拓展練習】證明:任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(x1-x2)1+1因為x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0,所以1+1x1x又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.【小結】三、單調性與最值例3在[-1,6]上為增函數這個函數的最小值為f(-1)=2,最大值為f(6)=23.評價反饋1.AC2.D課后作業略核心素養專練1.B2.ABD學習目標1.結合實例,經驗從詳細的直觀描述到形式的符號表達的抽象過程.2.在理解函數單調性定義的基礎上,會用單調性的定義證明簡潔函數的單調性,能利用單調性求簡潔函數的最值,提升邏輯推理和數學運算素養.自主預習學問點一增函數與減函數的定義一般地,設函數y=f(x)的定義域為D,且I?D.(1)假如對x1,x2∈I,當x1<x2時,都有,則稱y=f(x)在I上是增函數(也稱在I上單調遞增).

(2)假如對x1,x2∈I,當x1<x2時,都有,則稱y=f(x)在I上是(也稱在I上單調遞減).

學問點二函數的單調區間假如函數y=f(x)在I上是增函數(或減函數),則稱函數在I上具有單調性,當I為區間時,稱I為函數的單調區間,也可分別稱為單調遞增區間或單調遞減區間.學問點三函數的最大值與最小值一般地,設函數f(x)的定義域為D,且x0∈D:假如對x∈D,都有f(x)f(x0),則稱f(x)的最大值為f(x0),而x0稱為f(x)的最大值點;假如對x∈D,都有f(x)f(x0),則稱f(x)的最小值為f(x0),而x0稱為f(x)的最小值點.最大值和最小值統稱為,最大值點和最小值點統稱為.

課前自測推斷.1.函數f(x)的定義域為I,假如定義域內某個區間D上存在兩個自變量x1,x2,當x1<x2時,有f(x1)<f(x2),則f(x)在區間D上是增函數.()2.若f(x)在區間D上為減函數,則在此區間上函數值隨自變量的增大而減小.()3.函數f(x)=1x在(1,2]上無最大值,最小值為12,值域為12,4.假如f(x)在區間[a,b]和(b,c]上都是增函數,則f(x)在區間[a,c]上是增函數.()課堂探究閱讀課本第95~96頁回答以下幾個問題(可小組探討).問題(1)當時間間隔t漸漸增大你能看出對應的函數值y有什么改變趨勢?通過這個試驗,你準備以后如何對待剛學過的學問?(2)“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是漸漸下降的,對此,我們如何用數學觀點進行說明?探究問題1:視察下列函數圖像,請你說說這些函數有什么改變趨勢?問題2:怎樣用不等式符號表示“y隨著x的增大而增大”“y隨著x的增大而減小”?問題3:如何用數學語言精確刻畫函數y=f(x)在區間D上單調遞增呢?問題4:請你試著用數學語言定義函數y=f(x)在區間D上是單調遞減的.題型一利用圖像推斷函數的單調性例1如圖是定義在區間[-5,5]上的函數y=f(x),依據圖像說出函數的單調區間,以及在每一單調區間上,它是增函數還是減函數?跟蹤訓練1如圖,已知函數y=f(x),y=g(x)的圖像(包括端點),依據圖像寫出函數的單調區間,以及在每一個區間上,函數是增函數還是減函數.題型二利用定義證明函數的單調性例2求證:函數f(x)=-2x在R上是減函數.跟蹤訓練2求證:函數f(x)=x+4x在區間(2,+∞)內為增函數題型三利用函數的單調性求最值例3推斷函數f(x)=3x+5,x∈[-1,6]的單調性,并求出這個函數的最值.引申推斷函數f(x)=3x+5,x∈(-1,6]的單調性,并求出這個函數的最值.課堂練習1.函數y=f(x)的圖像如圖所示,其增區間是()A.[-4,4] B.[-4,-3],[1,4]C.[-3,1] D.[-3,4]2.下列函數中,在區間(0,+∞)上單調遞減的是()A.y=-1x B.y=x C.y=x2 D.y=13.推斷函數f(x)=5x+1,x∈[-2,7]的單調性,并求出這個函數的最值.核心素養專練A組1.函數y=(2k-1)x+b在(-∞,+∞)上是減函數,則()A.k<12 B.k>12 C.k>-122.下列函數中,在(-∞,0)上為減函數的是()A.y=-x2+2 B.y=4x-1C.y=x2+4x D.y=13.f(x)對隨意兩個不相等的實數a,b,總有f(a)-f(b)A.函數f(x)先增后減B.函數f(x)先減后增C.函數f(x)是R上的增函數D.函數f(x)是R上的減函數4.(多項選擇)如圖所示的是定義在區間[-5,5]上的函數y=f(x)的圖像,則下列關于函數f(x)的說法正確的()A.函數在區間[-5,-3]上單調遞增B.函數在區間[2,3]上單調遞增C.函數在區間[-3,1]∪[4,5]上單調遞減D.函數在區間[-3,3]上不單調5.已知函數y=f(x)是定義在[-2,2]上的增函數,且f(1-m)<f(m),則實數m的取值范圍是.

6.已知函數f(x)=x-bx+a,且f(2)=14,f(1)求f(x)的函數解析式;(2)求證:f(x)在[3,5]上為增函數;(3)求函數f(x)的值域.B組1.已知函數f(x)=x2-kx-6在[2,8]上是單調函數,則k的取值范圍是()A.(4,16) B.[4,16]C.[16,+∞) D.(-∞,4]∪[16,+∞)2.已知函數f(x)=1x,x≥10,kx+1,x<10,若3.已知函數f(x)=x2-4|x|+3,x∈R.(1)將函數寫成分段函數的形式;(2)畫出函數的圖像;(3)依據圖像寫出它的單調區間.參考答案自主預習略課堂探究問題:略探究:略題型一利用圖像推斷函數的單調性例1解:y=f(x)的單調區間有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y=f(x)在區間[-5,-2],[1,3]上是減函數,在區間[-2,1],[3,5]上是增函數.跟蹤訓練1解:y=f(x)的單調區間有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2].其中y=f(x)在區間[-2,-1],[0,1]上是減函數,在區間[-1,0],[1,2]上是增函數.y=g(x)的單調區間有[-3,-1.5],[-1.5,1.5],[1.5,3],其中y=g(x)在區間[-3,-1.5],[1.5,3]上是減函數,在區間[-1.5,1.5]上是增函數.題型二利用定義證明函數的單調性例2證明:任取x1,x2∈R且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(-2x1)-(-2x2)=2(x2-x1)>0,從而f(x1)>f(x2).因此函數f(x)=-2x在R上是減函數.跟蹤訓練2證明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,那么f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2=(x1-x2)+由x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2.所以x1x2>4,x1x2-4>0,又由x1<x2,得x1-x2<0.于是(x1-x2)(x1x2-4)x1所以函數f(x)=x+4x在(2,+∞)上是增函數題型三利用函數的單調性求最值例3解:任取x1,x2∈[-1,6]且x1<x2,則x1-x2<0,那么f(x1)-f(x2)=(3x1+5)-(3x2+5)=3(x1-x2)<0,所以這個函數是增函數.因此,當-1≤x≤6時,有f(-1)≤f(x)≤f(6).從而這個函數的最小值為f(-1)=2,最大值為f(6)=23.引申f(x)無最小值,最大值為f(6)=23.課堂練習1.C2.D3.解:任取x1,x2∈[-2,7],且x1<x2,則x1-x2<0.那么f(x1)-f(x2)=5x1+1-(5x2+1)=5(x1-x2)<0.所以這個函數是增函數.因此當-2≤x≤7時,有f(-2)≤f(x)≤f(7),從而這個函數的最小值為f(-2)=-9,最大值為f(7)=36.核心素養專練1.A2.D3.C4.ABD5.12<m≤6.解:(1)函數f(x)=x-由f(2)=14,得a+4b=6,由f(3)=25,得2a+5b=9,聯立①②解得a=2,b=1,則函數解析式為f((2)任取x1,x