第三章經典單方程計量經濟學模型：多元線性回歸模型1§3.1多元線性回歸模型一、線性代數有關知識的回顧二、多元線性回歸模型三、多元線性回歸模型的基本假定2一、線性代數知識的回顧1、矩陣與行列式矩陣是把n×m個數排成n行m列的表，并用該表來研究線性運算。行列式是把個數排成n行和n列，并計算出它的值。因此，可以看出，矩陣是一張表，而行列式是一個值。例如是矩陣，而是行列式。32、有關矩陣的幾個概念（1）向量與矩陣向量可以看成是n×1或者是1×n的矩陣。例如是行向量，是列向量。注意：上述的行向量和列向量實際上是同一向量，只是寫法形式上不同。（2）矩陣的秩設矩陣

4矩陣A的秩r(A)是指A中不為零的行列式最大階數。例如A中有行列式但該行列式不是最大階數非零的行列式，因為在該矩陣中，還有行列式5矩陣A的秩是3。若方陣A的秩等于它的階數，稱A是非奇異矩陣。（3）矩陣的轉置矩陣的轉置就是把矩陣的行變成對應的列，把矩陣的列變成對應的行。例如則A的轉置是6（4）矩陣的逆設A是n階非奇異矩陣，若存在矩陣B滿足，稱矩陣A是可逆的，矩陣B是矩陣A的逆矩陣。注意：n階矩陣A是非奇異的A的秩是nA是可逆的（5）逆矩陣的求法逆矩陣的求法常見的有行變換法和列變換法兩種。行變換法是把矩陣A與它同階的單位矩陣I并排放列，對應的行對齊，組成一個新的大矩陣，對大矩陣進行行的初等變換，使得原來的矩陣A的部分變成單位矩陣，原來單位矩陣的部分就是A的逆矩陣。例如

現在求A的逆矩陣如下78所以A的逆矩陣是

9（6）矩陣的運算ⅰ加法運算矩陣的加法運算是同階矩陣對應的元素相加。例如10（ⅱ）矩陣的乘法設A是m×n階矩陣，B是n×p階矩陣，則AB的(i，j）元素是A的第i行與B的第j列對應元素乘積的和。例如則有注意：1、矩陣相乘時必須滿足前面矩陣的列數與后面矩陣的行數相等

2、矩陣的乘法是不滿足交換律，即AB≠BA。（A與B可以相乘，B與A不一定能相乘，即使能相乘，也不一定相等。）11二、多元線性回歸模型多元線性回歸模型的一般形式是，稱為回歸系數。上述回歸函數的確定形式是將上述模型的隨機形式寫成矩陣形式12其中13同樣，在給出總體中的一個樣本時，可以估計樣本回歸函數，并讓它近似地代表未知的總體回歸函數。樣本回歸函數可以表示為其隨機形式是寫成矩陣形式是14，其中15例題在一項對社區家庭對某種消費品的消費需要調查中，得到下表所示的資料。我們用多元線性回歸模型表示如下16序號對商品的消費支出Y商品單價家庭月收入1591.923.5676202654.524.4491203623.632.07106704647.032.46111605674.031434035.30143408724.038.70159609757.139.631800010706.846.681930017寫成矩陣形式是18三、多元線性回歸模型的基本假定假定1：解釋變量是非隨機的或者固定的。假定2：隨機干擾具有零均值，同方差及序列不相關。

19假設3：解釋變量與隨機干擾項不相關。假設4：隨機干擾項滿足正態分布

i=1,2,…,n假設5：樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數。假設6：回歸模型設定正確。20§3.2多元線性回歸模型的參數估計一、普通最小二乘估計二、參數估計量的性質三、例題講解21一、普通最小二乘估計1、的最小二乘估計設是樣本數據，多元回歸模型是22根據最小二乘原理，參數估計值應使

達到最小。根據微積分學知識，對Q求偏導數，并令其等于零，得23化簡得到正規方程組24（1）25將上述過程用矩陣形式表達出來是

在滿足基本假定的情況下，多元線性回歸模型的設計矩陣X是列滿秩的（X的秩和X的列數相等）。

（2）根據最小二乘原理，應使下列（3）為最小。

（3）根據微積分學原理，對（3）求關于的偏導數，并令其等于零，得

26也就是（4）（4）就是正規方程組。其中

在正規方程組（4）的兩邊，左乘，得27例2.1.1的講解根據課本第28頁的表2.1.3中的樣本數據，有28按行變換法求的逆矩陣，得29302、隨機干擾項的方差的估計

其中i=1，2，…，n.K為回歸方程中解釋變量的個數31二、參數估計量的性質和一元線性回歸模型一樣，多元線性回歸模型的參數估計量也具有下列性質：1、線性性2、無偏性3、有效性見書（P63）32三、例題講解例3.2.2在例2.5.1中，我們已經建立了中國居民人均消費的一元線性模型。這里我們在建立多元線性回歸模型。在中國，居民消費是在國內生產總值經過初次分配和再分配后形成的，所以選擇人均國內生產總值（GDPP）是恰當的，另外，居民消費有一定的慣性，因此，在模型中，再引入前一年的居民人均消費（CONSP（-1））作為另一解釋變量。樣本觀測值在表2.5.1（在下頁）33年份人均居民消費支出人均GDP19781979198019811982198319841985198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000395.8437.0464.1501.9533.5572.8635.6716.0746.5788.3836.4779.7797.1861.4966.61048.61108.71213.11322.81380.91460.61564.41690.8675.1716.9763.7792.4851.1931.41059.21185.21269.61393.61527.01565.91602.31727.21949.82187.92436.12663.72889.13111.93323.13529.33789.734應用EViews5.0軟件計算如下DependentVariable:CONSP Method:LeastSquares Date:10/15/07Time:14:58 Sample(adjusted):223 Includedobservations:22afteradjustments Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.

C 120.7253 36.51374 3.306299 0.0037 GDPP 0.221359 0.060973 3.630462 0.0018 CONSP(-1) 0.451408 0.1703182.650380 0.0158

R-squared 0.995403

Meandependentvar 928.4909AdjustedR-squared0.994919

S.D.dependentvar 372.6339S.E.ofregression26.56264

Akaikeinfocriterion9.523012Sumsquaredresid13405.90

Schwarzcriterion 9.671791Loglikelihood -101.7531

F-statistic 2056.887Durbin-Watsonstat 1.278902

Prob(F-statistic) 0.000000

35所以回歸函數（隨機形式）是36作業1、求下列矩陣的逆矩陣2、研究發現，學生用于購買書籍及課外讀物的支出與本人受教育年限和家庭收入水平有關。對18名學生進行調查的統計資料如下表所示。試求出學生購買書籍及課外讀物的花費與受教育年限和家庭收入水平的回歸方程。。37學生序號購買書籍及課外讀物支出（元/年）受教育年限（年）家庭人均可支配收入（元/年）1234567891011121