5．6函數目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：根據函數圖象求解析式 2題型二：同名函數圖象的變換 4題型三：異名函數圖象的變換 5題型四：變換的重合問題 7題型五：求圖象變換前、后的解析式 8題型六：由圖象變換研究函數的性質 10題型七：三角函數圖象與性質的綜合應用 12題型八：用五點法作函數的圖象 16【重難點集訓】 20【高考真題】 35【題型歸納】題型一：根據函數圖象求解析式1．（2024·高三·全國·專題練習）若函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖：易知：，，即.由，，時，.所以：.故選：C2．（2024·高一·北京海淀·期末）函數的部分圖象如圖所示，則其解析式為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象知，所以，則或，又，所以，，，，，又，，已知，所以，所以，故選：D．3．（2024·高一·黑龍江雞西·期末）函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函數圖象可知，所以，又，所以，由圖象的最小值可知，所以，而最高點坐標為代入得，所以，則，因為，所以，所以.故選：B.題型二：同名函數圖象的變換4．（2024·高三·四川綿陽·階段練習）將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的圖象，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數的圖象向左平移個單位長度后，得到函數的解析式為：，于是有，解得，針對四個選項中的四個角都是正角且小于，所以令，得，故選：D5．（2024·全國·模擬預測）為了得到函數的圖象，可將函數的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】D【解析】由已知，設將函數向左平移個單位，得，所以，解得，即將函數向左平移個單位長度可得，故選：D.6．（2024·高一·江西贛州·期中）為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（

）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】A【解析】函數，只需將函數的圖象向右平移個單位長度，即可得到函數的圖象.故選：A.7．（2024·高一·湖南益陽·期末）為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】C【解析】為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點向左平移個單位長度.故選：C.題型三：異名函數圖象的變換8．（2024·高一·上海普陀·期末）為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【答案】B【解析】將函數向左平移個單位得：故選：B9．（2024·高一·北京西城·期中）要得到的圖象，只要將的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】C【解析】因為，所以要得到的圖象，只要將的圖象向左平移個單位，故選：C.10．（2024·高三·甘肅蘭州·階段練習）為得到的圖象，只需要將函數的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】D【解析】由題意利用誘導公式、函數的圖象變換規律，得出結論.由題可知，的圖象，將其向右平移個單位有，欲得到的圖象，則所以應向右平移個單位故選：D題型四：變換的重合問題11．（2024·四川·一模）函數的圖象向左平移個單位長度后與函數的圖象重合，則的最小值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】函數圖象向左平移個單位長度后，得的圖象，由已知得，所以，所以，所以，，所以，，因為，所以的最小值為3，故選：C.12．（2024·高三·河南南陽·期中）若將函數的圖像向右平移個周期后，與函數的圖像重合，則的一個可能取值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，周期，函數的圖像向右平移個周期后，得函數的圖像，而，由題意，，令，得，故A錯誤；令，得，故B錯誤；令，得，故C正確；令，得，故D錯誤.故選：C.13．（2024·高一·河南·階段練習）將函數的圖象向右平移個單位長度后與函數的圖象重合，則的最小值為（

）A．7 B．5 C．9 D．11【答案】D【解析】，，，由題可知，，，解得，，又，當時，取得最小值11．故選：D．題型五：求圖象變換前、后的解析式14．（2024·高一·江蘇·期末）已知函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的6倍后，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則函數的解析式可以是.【答案】（答案不唯一）【解析】由函數fx=Asin可得，解得，則∵函數的圖象過點，則，即，由，可得，故，解得，故，將函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的6倍，得到，再向左平移個單位長度，得到.故答案為：（答案不唯一）15．（2024·高三·北京東城·開學考試）函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為，若將的圖象向右平移個單位后，得到新函數解析式為.

【答案】【解析】根據圖象知，，將點代入，得，，又，則，，將的圖象向右平移個單位后，得到新函數解析式為．故答案為：，．16．（2024·高一·全國·課后作業）把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象的解析式是，則函數的解析式為．【答案】【解析】將函數的圖象橫坐標縮短到原來的得到函數的圖象，再向左平移個單位長度，得到函數的圖象，所以.故答案為：.題型六：由圖象變換研究函數的性質17．（2024·四川成都·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖像，且函數是偶函數，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意是偶函數，所以，解得，又，所以當且僅當時，.故選：A.18．（2024·高一·江蘇常州·期末）將正弦曲線向左平移個單位得到曲線，再將曲線上的每一點的橫坐標變為原來的得到曲線，最后將曲線上的每個點的縱坐標變為原來的2倍得到曲線的．若曲線恰好是函數的圖象，則在區間上的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】將正弦曲線向左平移個單位得到曲線的圖象；再將曲線上的每一點的橫坐標變為原來的得到曲線的圖象；最后將曲線上的每個點的縱坐標變為原來的2倍得到曲線的的圖象.由于曲線恰好是函數的圖象.在區間上，，，.故在區間上的值域是.故選：B.19．（2024·高三·全國·階段練習）把函數的圖像向右平移個單位長度，再把橫坐標壓縮到原來的倍，縱坐標不變，得到圖像關于原點對稱的函數，則（）A．為的一個對稱中心 B．為的一條對稱軸C． D．【答案】D【解析】把函數的圖像向右平移個單位長度，得，再把橫坐標壓縮到原來的倍，縱坐標不變，得，即，由函數圖像關于原點對稱，得，得，當時，由，得，則，對于選項A:，故A錯誤；對于選項B:因為，故B錯誤；對于選項C:，故C錯誤；對于選項D:，故D正確.故選:D.題型七：三角函數圖象與性質的綜合應用20．（2024·高一·浙江湖州·階段練習）已知函數的圖象在軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為和.(1)試求的解析式；(2)將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），然后再將新的圖象向軸正方向平移個單位，得到函數的圖象.寫出函數的解析式，并用五點法畫出在長度為一個周期的閉區間上的圖象；(3)在第（2）問的前提下，若方程對有兩個不同的實數根，求的取值范圍.【解析】（1）由函數在軸右側的第一個最大值點和最小值點分別為和.可得，且，解得，所以，此時，把點的坐標代入解析式，可得，因為，所以，所以該函數的解析式為.（2）將圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的，得到，再沿x軸正方向平移個單位，得到，列表如下：0020-20描點、連線，可得函數在長度為一個周期的閉區間上的簡圖，如圖所示：（3）在第（2）問的前提下，若方程對有兩個不同的實數根，即與對有兩個不同的交點.如圖，當時，.結合圖知道的取值范圍為.21．（2024·高一·安徽·期末）已知函數在區間上單調遞增，且直線和為函數的圖象的兩條對稱軸．(1)求的一個解析式；(2)將的的象先向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，若對任意的，不等式恒成立，求實數p的取值范圍．【解析】（1）根據題意可知，，取,則，又根據"五點法"可得，，.（2）將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象,再將各點的橫坐標伸長為原來的2倍得到的圖象，故.對任意的，不等式恒成立.即對任意的，即恒成立.當時，，當時，不等式恒成立.當時，，令，設，，則.令，其值域為，，即.綜上，的取值范圍是.22．（2024·高一·北京延慶·期中）已知函數的部分圖象如下圖，，．

(1)若已知圖中點A的橫坐標．（ⅰ）求，，的解析式；（ⅱ）若，求x的取值范圍；(2)求的值．【解析】（1）(i)圖中點的橫坐標,，將點代入得：，所以,所以，因為，所以時，..(ii)若,則,,解得，即的取值范圍為.（2）由圖可知,,又,將點代入得：，所以,解得,因為,即,所以,所以當時，，，，，，由圖可知，，，，.題型八：用五點法作函數的圖象23．（2024·高一·四川涼山·期中）已知函數

(1)用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數在上的圖像；(2)結合第（1）圖象寫出函數在上單調遞增區間；(3)當時，的取值范圍為，求的取值范圍.【解析】（1），，由可得，，列表如下：25200作圖：（2）結合圖像，函數在上的單調遞增區間為，（3），，又，所以，所以，，的取值范圍是．24．（2024·高一·海南·階段練習）已知函數.(1)用“五點作圖法”在給定的坐標系中，畫出函數在上的圖像；(2)先將函數的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，求在上的取值范圍.【解析】（1），作圖如下：（2）將函數的圖像向右平移個單位，得到，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到，當時，，，，所以在上的取值范圍是.25．（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習）已知函數．(1)用五點作圖法下面直角坐標系中作出該函數在內的圖象（要求先列表后描點連線）；(2)，求的值；(3)將函數的圖象向左平移個單位長度，再將橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，求的單調增區間．【解析】（1）因為，則在上的列表如下：所以在上的圖象如圖，（2）因為，所以，則，所以.（3）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，再其將橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，則，令，得，所以的單調增區間為.【重難點集訓】1．如果兩個函數的圖象經過平移后能夠重合，那么這兩個函數稱為“和諧”函數．下列函數中與能構成“和諧”函數的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，所求函數與函數的振幅、最小正周期均相等，由題意可知，函數的振幅為，最小正周期為，對于A選項，函數的振幅為，最小正周期為，A不滿足要求；對于B選項，函數的振幅為，最小正周期為，B不滿足要求；對于C選項，函數的振幅為，最小正周期為，C不滿足要求；對于D選項，函數的振幅為，最小正周期為，D滿足要求.故選：D.2．已知函數的圖象與軸的交點坐標為，與直線的三個相鄰交點的橫坐標依次為，，，且，．當時，，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意知，所以．又，所以．由已知得圖象相鄰的兩條對稱軸分別為直線，，所以函數的最小正周期，所以，所以．當時，，．由，得，所以，所以，解得.故選：B．3．若直線是函數圖象的一條對稱軸，則（

）A．函數的周期為B．函數在的值域為C．函數在單調遞增D．將函數圖象上的每一個點的縱坐標變為原來的倍，再將所得到的圖象向左平移個單位長度，可以得到的圖象【答案】C【解析】因為直線是函數圖象的一條對稱軸，所以，即，解得，所以，則其周期為，故A錯誤；當時，，則，所以，即函數在的值域為，故B錯誤；由，則，則函數的單調遞增區間為，因為，所以函數在單調遞增，故C正確；將函數圖象上的每一個點的縱坐標變為原來的倍，再將所得到的圖象向左平移個單位長度，則得到的圖象，故D錯誤.故選：C.4．已知，，函數的圖象如圖所示，，，是的圖象與相鄰的三個交點，與軸交于相鄰的兩個交點，，若在區間上，有2027個零點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】將原點坐標代入得，又，所以，故，的中點橫坐標為，故，又對應的點為軸左側第一個最低點，所以，解得，解得，所以，令得，則或，解得或，所以相鄰兩個零點的距離有兩種，可能為，在上，有2027個零點，要求的最大值，則當為個和1014個時，取得最大值，故最大值為.故選：A5．如圖是函數的部分圖象，則函數的解析式可為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】觀察圖象可得函數的最小正周期為，所以，故或，排除B；觀察圖象可得當時，函數取最小值，當時，可得，，所以，，排除C；當時，可得，，所以，，取可得，，故函數的解析式可能為，A正確；，D錯誤故選：A.6．已知，把的圖象向右平移φ個單位長度后，恰好得到函數的圖象，則φ的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，.且.所以將y=fx的圖象向左平移個單位可得y=gx的圖象又函數y=fx與y=gx的周期均為所以將y=fx的圖象向右平移個單位可得y=gx的圖象故選：D7．已知函數的一個零點是，且在上單調，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，函數的一個零點是，故，,所以，在上單調，則，故，解得，且，故，結合故故選：B8．已知，其中，.其部分圖象如下圖，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，函數圖象關于對稱，故，所以，則，又，，且，所以，所以，所以.故選：C9．（多選題）已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．B．函數的圖象關于對稱C．函數在上的值域為D．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象向左平移個單位【答案】ACD【解析】設函數的最小正周期為，由圖可知，，，故.∵，∴.∵函數圖象最高點為，∴，∴，故，∵，∴，選項A正確.由A可得，，故直線不是函數的對稱軸，選項B錯誤.當時，，，，故函數在上的值域為，選項C正確.由題意得，，將函數的圖象向左平移個單位后的函數表達式為，選項D正確.故選：ACD.10．（多選題）已知是實數，則函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】當時，；當時，周期為，振幅為，對A，當時，，故A正確；對B，由，可得，所以，所以振幅小于2，故B錯誤；對C，當時，，故C正確；對D，由可得，所以，所以振幅大于2，故D正確；故選：ACD11．（多選題）已知，，若和是函數的兩條相鄰的對稱軸，將的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A．是奇函數B．的圖象關于點對稱C．的圖象關于直線對稱D．的周期為【答案】BD【解析】∵和是函數的兩條相鄰的對稱軸，∴，∴，∴，∴.∵是函數的對稱軸，∴，∴，∵，∴當時，∴，∴.∵的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，∴.是偶函數，選項A錯誤.由得的圖象關于點對稱，選項B正確.由得直線不是的對稱軸，選項C錯誤.的周期為，選項D正確.故選：BD.12．將函數的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像對應的函數是偶函數，則的最小值為．【答案】/【解析】，圖像向右平移個單位長度后得到是偶函數，，的最小值為.故答案為：.13．函數的部分圖象如圖所示，直線與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為，則.【答案】/【解析】由圖知，，，點位于減區間內，點位于增區間內，且這兩個區間相鄰，則，而，解得，，函數的最小正周期，而，即，解得，于是，，，直線與這部分圖象相交于三個點，橫坐標從左到右分別為，觀察圖得，，所以.故答案為：14．函數的部分圖象如圖所示，關于函數有如下結論:

①函數的圖象關于點對稱②函數的圖象關于直線對稱③函數在上單調遞減④該圖象向右平移個單位可得的圖象以上結論正確的是【答案】①②④【解析】觀察圖象知，，函數的周期，則，由，得，而，則，因此，而，則的圖象關于點對稱，①正確；又，則函數的圖象關于直線對稱，②正確；當時，，而，即時，取得最小值，則函數在上不單調，③錯誤；函數圖象向右平移個單位，得，即的圖象，④正確，所以正確結論的序號是①②④.故答案為：①②④15．在函數，（其中）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上的一個最低點為.(1)求的解析式；(2)當時，求的值域．【解析】（1）由最低點為，得.由軸上相鄰兩個交點之間的距離為，得，即，故.由點在圖象上，得，即，∴，∴，∵，∴，∴.（2）由，得.當，即時，取得最大值2，當，即時，取得最小值，∴當時，的值域為.16．已知函數.(1)求的最小正周期及單調遞增區間;(2)將的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，求在上的最大值和最小值.【解析】（1）依題意得，所以的最小正周期為令，得，所以的單調遞增區間為.（2）將的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，得到函數的圖象.令，由，可得.因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的最大值為，最小值為.17．某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：00300(1)求出實數，，和函數的解析式；(2)將圖象上的所有點向右平移個單位長度，并把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象.已知圖象的一個對稱中心為，求的最小值；(3)在（2）的條件下，當取最小值時，若對，關于的方程恰有兩個實數根，求實數的取值范圍.【解析】（1）由題意得，所以，所以，故，根據表中已知數據，，所以，，所以，.（2）的圖象向右平移個單位，再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得的圖象，則，得，所以當時，此時最小值為.（3）當取最小值時，，當時，，此時，恰有兩個實數根，所以與的圖象有兩個交點，結合圖象可知，即，.18．設函數(1)求函數的最小正周期，并解不等式；(2)先將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變；再向左平移個單位；最后向下平移個單位得到函數的圖象．若對，不等式恒成立，求實數的取值范圍【解析】（1）由可得，令，則，故，解得，故不等式的解為；（2）將圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變；可得，再向左平移個單位，可得；最后向下平移個單位得到函數，當，由于在單調遞增，故，所以，由于，故，即.19．已知函數的最大值為2．(1)求常數的值；(2)求函數的單調遞減區間和對稱軸方程；(3)把函數的圖象先向右平移個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到函數的圖象．若方程在上恰好有兩個不同的根，求的值．【解析】（1）因為，所以，解得；（2）因為，由，解得，所以函數的單調遞