第1節立體圖形及其直觀圖、簡單幾何體的表面積與體積第一課時立體圖形及其直觀圖、柱錐臺的表面積與體積知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練空間幾何體的幾何特征、直觀圖2,3,410空間幾何體的體積與表面積1,5,6,8,912,13折疊與展開問題711綜合問題14,151.《算術書》竹簡于二十世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現存最早的數學著作,其中記載有求“囷蓋”的術:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術相當于給出圓錐的底面周長l與高h,計算其體積V的近似公式V=136l2h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942lA.227 B.258 C.15750解析:V=13πr2h=13π·(l2π)2h=112πl2h.由112π2.(多選題)(2021·山東濰坊調研)下列關于空間幾何體的敘述正確的是(CD)A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓或矩形C.長方體是直平行六面體D.存在每個面都是直角三角形的四面體解析:A.當頂點在底面的射影是正多邊形的中心時才是正棱錐,不正確;B.當平面與圓柱的母線平行或垂直時,截得的截面才為矩形或圓,否則為橢圓或橢圓的一部分,不正確;C正確;D正確,如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角三角形.故選CD.3.(多選題)如圖,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個角度,則傾斜后水槽中的水形成的幾何體可以是(AC)A.四棱柱 B.四棱臺 C.三棱柱 D.三棱錐解析:根據題圖,因為有水的部分始終有兩個平面平行,而其余各面都易證是平行四邊形,因此形成的幾何體是四棱柱或三棱柱.故選AC.4.如圖,一個水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法)是一個底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形,則這個平面圖形的面積是(D)A.2+2 B.1+2C.4+22 D.8+42解析:由已知直觀圖根據斜二測畫法規則畫出原平面圖形,如圖所示.由于O′D′=2,D′C′=2,所以OD=4,DC=2,在題圖中過D′作D′H⊥A′B′(圖略),易知A′H=2sin45°=2,所以AB=A′B′=2A′H+DC=22+2,故平面圖形的面積為S=DC+AB2·5.(2021·山東聊城模擬)在《九章算術》中,將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱為“羨除”.現有一個羨除如圖所示,DA⊥平面ABFE,四邊形ABFE,CDEF均為等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=AD=4,EF=8,點E到平面ABCD的距離為6,則這個羨除的體積是(C)A.96 B.72 C.64 D.58解析:如圖,將多面體分割為兩個三棱錐D-AGE,C-HBF和一個直三棱柱GAD-HBC.這個羨除的體積為V=2×13×12×2×6×4+12×6×6.(2021·河南鄭州調研)現有同底等高的圓錐和圓柱,已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形,則圓錐的側面積為(D)A.3π B.3π2 C.5π2 解析:設底面圓的半徑為R,圓柱的高為h,依題意2R=h=2,所以R=1.所以圓錐的母線為l=?2+R2=22+15π=5π.故選D.7.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的側棱長為a,底面邊長為b,一只螞蟻從點A出發沿每個側面爬到A1,路線為A→M→N→A1,則螞蟻爬行的最短路程是(A)A.a2+9C.4a2+9b解析:正三棱柱的側面展開圖是如圖所示的矩形,矩形的長為3b,寬為a,則其對角線AA1的長為最短路程,因此螞蟻爬行的最短路程為a28.(2020·浙江卷)已知圓錐的側面積(單位:cm2)為2π,且它的側面展開圖是一個半圓,則這個圓錐的底面半徑(單位:cm)是.

解析:如圖,設圓錐的母線長為l,底面半徑為r,則圓錐的側面積S側=πrl=2π,所以r·l=2.又圓錐的側面展開圖為半圓,所以12πl2所以l=2,所以r=1.答案:19.如圖,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此幾何體的體積.解:法一如圖,取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.所以V幾何體=V三棱柱+V四棱錐.由題意知三棱柱ABC-NDM的體積為V1=12×8×6×四棱錐D-MNEF的體積為V2=13·S梯形MNEF·DN=13×12×(1+2)×6×8=24,則幾何體的體積為V=V1法二用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V幾何體=12V三棱柱=12·S△ABC·AA′=12×10.(多選題)(2021·山東煙臺調研)在一個密閉透明的圓柱筒內裝一定體積的水,將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時,指出圓柱桶內的水平面可以呈現出的幾何形狀可能是(ABD)A.圓面 B.矩形面C.梯形面 D.橢圓面或部分橢圓面解析:將圓柱桶豎放,水面為圓面;將圓柱桶斜放,水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱桶水平放置,水面為矩形面,但圓柱桶內的水平面不可以呈現出梯形面.故選ABD.11.(多選題)(2021·湖北武漢模擬)長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為3,2,1,則(BC)A.長方體的表面積為20B.長方體的體積為6C.沿長方體的表面從A到C1的最短距離為32D.沿長方體的表面從A到C1的最短距離為25解析:長方體的表面積為2×(3×2+3×1+2×1)=22,A錯誤.長方體的體積為3×2×1=6,B正確.如圖1所示,長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,將側面ABB1A1和側面BCC1B1展開,如圖2所示.連接AC1,則有AC1=52+12=26,即經過側面ABB1A1和側面BCC1B1時,A到C1的最短距離是26;將側面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開,如圖3所示,連接AC1,則有AC1=32+32=32,即經過側面ABB1A1和底面A1B1C1D1時,A到C1的最短距離是32;將側面ADD1A1和底面A連接AC1,則有AC1=42+22=25,即經過側面ADD1A1和底面A1B1C1D1時,A到C1的最短距離是25.因為32<25<26,所以沿長方體表面由A到C12.(2021·重慶診斷)一件剛出土的珍貴文物要在博物館大廳中央展出,如圖,需要設計各面是玻璃平面的無底正四棱柱將其罩住,罩內充滿保護文物的無色氣體.已知文物近似于塔形,高1.8m,體積0.5m3,其底部是直徑為0.9m的圓形,要求文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3m,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2m,氣體每立方米1000元,求氣體的費用最少為(B)A.4500元 B.4000元C.2880元 D.2380元解析:因為文物底部是直徑為0.9m的圓形,文物底部與玻璃罩底邊至少間隔0.3m,所以由正方體與圓的位置關系可知,底面正方形的邊長最少為0.9+2×0.3=1.5(m).又文物高1.8m,文物頂部與玻璃罩上底面至少間隔0.2m,所以正四棱柱的高最少為1.8+0.2=2(m),則正四棱柱的體積V=1.52×2=4.5(m3).因為文物的體積為0.5m3,所以罩內氣體的體積為4.5-0.5=4(m3).因為氣體每立方米1000元,所以氣體的費用最少為4×1000=4000(元).故選B.13.如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3.

解析:螺帽的底面正六邊形的面積為S=6×12×22×sin60°=63(cm2),正六棱柱的體積為V1=63×2=123(cm3),圓柱的體積為V2=π×0.52×2=π2(cm3),所以此六角螺帽毛坯的體積為V=V1-V2=(123-π2答案:(123-π214.如圖,在正四棱錐P-ABCD中,B1為PB的中點,D1為PD的中點,則棱錐A-B1CD1與棱錐P-ABCD的體積之比是(A)A.1∶4 B.3∶8 C.1∶2 D.2∶3解析:如圖,棱錐A-B1CD1的體積可以看成是正四棱錐P-ABCD的體積減去角上的四個小棱錐的體積得到.因為B1為PB的中點,D1為PD的中點,所以棱錐B1-ABC的體積和棱錐D1-ACD的體積都是正四棱錐P-ABCD的體積的14,棱錐C-PB1D1的體積與棱錐A-PB1D1的體積之和是正四棱錐P-ABCD的體積的14,則中間剩下的棱錐A-B1CD1的體積VA-B1CD1=VP-ABCD-3×14V15.(2021·廣東佛山質檢)已知圓錐的