第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年湖南省永州一中高二（上）期中數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.雙曲線C:x23?A.3 B.23 C.32.已知a=(?2,1,3)，b=(?1,1,1)，若a→⊥(a→A.?2 B.?143 C.733.拋物線y=?1ax2A.y=a4 B.y=?4a C.y=?a4.平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，且∠A1AD=∠A1AB=60°，A.3

B.10

C.11

5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，過F作斜率為2的直線l與拋物線交于A，B兩點，若弦A.y2=125x B.y26.“太極圖”因其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，故也被稱為“陰陽魚太極圖”.如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖”，圖中曲線為圓或半圓，已知點P(x,y)是陰影部分(包括邊界)的動點，則yx?2的最小值為(

)

A.?23 B.?32 C.7.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦點分別為F1,F2，過F1的直線與y軸交于點M，與A.33 B.23 C.8.如圖，在棱長為3的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點P是平面A1BC1A.0,12 B.0,13 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.“a=?1”是“直線a2x?y+1=0與直線x?ay?2=0互相垂直”的充要條件

B.“a=?2”是“直線ax+2y+a2=0與直線x+(a+1)y+1=0互相平行”的充要條件

C.直線xsinα+y+2=0的傾斜角θ的取值范圍是[0,π4]∪[3π4,π)

D.若點A(1,0)，10.已知圓O的半徑為定長r，A是圓O所在平面內一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點Q.當點P在圓上運動時，下列判斷正確的是(

)A.當點A在圓O內(不與圓心重合)時，點Q的軌跡是橢圓

B.點Q的軌跡可能是一個定點

C.點Q的軌跡不可能是圓

D.當點A在圓O外時，點Q的軌跡是雙曲線11.著名數學家華羅庚曾說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，事實上，很多代數問題都可以轉化為幾何問題加以解決，如：對于形如(x?a)2+(y?b)2的代數式，可以轉化為平面上點M(x,y)與N(a,b)的距離加以考慮.A.y=f(x)的圖象是軸對稱圖形 B.y=f(x)的值域是[0,4]

C.f(x)先減小后增大 D.方程f(f(x))=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知點N是點M(3,3,4)在坐標平面Oxz內的射影，則|ON|=

．13.一動圓與圓x2+y2+6x+5=014.已知橢圓C:x24+y23=1的左?右焦點分別為F1，F2，M為橢圓C上任意一點，四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)全國執業醫師證考試分實踐技能考試與醫學綜合筆試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則執業醫師考試“合格”，并頒發執業醫師證書。甲、乙、丙三人在醫學綜合筆試中“合格”的概率依次為45，34，23，在實踐技能考試中“合格”的概率依次為12，(1)假設甲、乙、丙三人同時進行實踐技能考試與醫學綜合筆試兩項考試，誰獲得執業醫師證書的可能性最大?(2)這三人進行實踐技能考試與醫學綜合理論考試兩項考試后，求恰有兩人獲得執業醫師證書的概率．16.(本小題15分)

已知圓C：x2+y2?2x?6=0和定點A(?4,0)，直線l：y=m(x+6)?8(m∈R)．

(1)當m=1時，求直線1被圓C所截得的弦長；

(2)若直線l上存在點M，過點M作圓C的切線，切點為B，滿足17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影為BC的中點，D是B1C1的中點．

(1)證明：A118.(本小題17分)已知A、B分別為橢圓E：x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點，AG?GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與(1)求E的方程；(2)證明：直線CD過定點．19.(本小題17分)

若函數y=f(x)對定義域內的每一個值x1，在其定義域內都存在唯一的x2，使得f(x1)f(x2)=1成立，則稱該函數為“依賴函數”．

(1)判斷函數g(x)=sinx是否為“依賴函數”，并說明理由；

(2)若函數f(x)=2x?1在定義域[m,n](m>0)上為“依賴函數”，求mn的取值范圍；

(3)已知函數?(x)=(x?a)2(a≥參考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.B

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.5

13.x214.215.解：(1)記甲乙丙三人在醫學綜合筆試中合格依次為A1，B1，C1，在實踐考試中合格依次為A2，B2，C2，

則甲乙丙獲得執業醫師證書依次為A1A2，B1B2，C1C2，

并且A1與A2，B1與B2，C1與C2相互獨立，

P(A1A2)=45×12=25;

P(B16.解：(1)圓C：(x?1)2+y2=7，圓心C(1,0)，半徑r=7，

當m=1時，直線l的方程為x?y?2=0，所以圓心C到直線l的距離d=|1?0?2|2=22，

故弦長為2r2?d2=27?(22)2=26；

(2)設M(x,y)，則|MB|=|MC|2?r2=x2+y2?2x?6，

由17.解：(1)證明：取BC的中點O，連接AO，A1O，

因為AB=AC=2，D是B1C1的中點，所以A1D⊥B1C1，

因為BC/?/B1C1，∴A1D⊥BC，

因為A1在底面ABC的射影為BC的中點，所以A1O⊥平面ABC，

又平面ABC/?/平面A1B1C1，所以A1O⊥平面A1B1C1，

又A1D?面A1B1C1，所以A1O⊥A1D，

因為A1O∩BC=O，A1O，BC?平面A1BC，

所以A1D⊥平面A1BC；

(2)如圖，以O為坐標原點，以OA、OB、OA1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則BC=2AC=22，A1O=AA118.解：由題意A(?a,0),B(a,0),G(0,1),AG?∴橢圓E的方程為x2(2)由(1)知A(?3,0),B(3,0),

設P6,m，則直線PA的方程為y=聯立y=由韋達定理?3xC=9m2?819+m2?xC直線PB的方程為y=m聯立y=由韋達定理3xD=9m2?91+m2?xD∴直線CD的斜率kCD∴直線CD的方程為y??2m整理得y=4m∴直線CD過定點32

19.解：(1)對于函數g(x)=sinx的定義域R內存在x1=π6，則g(x2)=2無解，

故g(x)=sinx不是“依賴函數”；

(2)因為f(x)=2x?1在[m,n]遞增，故f(m)f(n)=1，即2m?12n?1=1，m+n=2，

由n>m>0，故n=2?m>m>0，得0<m<1，

從而mn=m(2?m)=?m?12+1在(0,