2024年人教版中學七7年級下冊數學期末解答題培優試卷及答案

一、解答題

1.如圖，在9x9網格中，每個小正方形的邊K均為1,正方形A6CQ的頂點都在網格的格

點上.

（1）求正方形A8CO的面積和邊長；

（2）建立適當的平面直角坐標系，寫出正方形四個頂點的坐標.

2.如圖，用兩個面積為8cm2的小正方形紙片剪拼成一個大的正方形.

（1）大正方形的邊長是cm；

（2）請你探究是否能將此大正方形紙片沿著邊的方向裁出一個面積為14cm2的長方形紙

片，使它的長寬之比為2:1,若能，求出這個長方形紙片的長和寬，若不能，請說明理

由.

3.工人師傅準備從一塊面積為36平方分米的正方形工料上裁剪出一塊面積為24平方分

米的長方形的工件.

（1）求正方形工料的邊長；

（2）若要求裁下的長方形的長寬的比為4:3,問這塊正方形工料是否滿足需要？（參考數

據：>/2?1.414>>/3as1.732）

4.小麗想用一塊面枳為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁處一塊面積為300cm2的長

方形紙片.

⑴請幫小麗設計一種可行的裁剪方案；

⑵若使長方形的長寬之比為3:2，小麗能用這塊紙片裁處符合要求的紙片嗎？若能，請幫小麗

設計一種裁剪方案，若不能，請簡要說明理由.

5.有一塊正方形鋼板，面積為16平方米.

（1）求正方形鋼板的邊長.

（2）李師傅準備用它裁剪出一塊面積為12平方米的長方形工件，且要求長寬之比為

3:2,問李師傅能辦到嗎？若能，求出長方形的長和寬；若不能，請說明理由.（參考數

據：>/2?1.414,5/3?1.732）.

二、解答題

6.已知直線48〃CD,點P、Q分別在48、CD上，如圖所示，射線PB按逆時針方向以每

秒12。的速度旋轉至以便立即回轉，并不斷往返旋轉；射線QC按逆時針方向每秒3。旋轉

至Q0停止，此時射線P8也停止旋轉.

(1)若射線P8、QC同時開始旋轉，當旋轉時間10秒時，P8與QC1的位置關系為；

(2)若射線QC先轉15秒，射線P8才開始轉動，當射線P8旋轉的時間為多少秒時，

PB7/QC.

（備用圖）~Q（答用圖）Q

1.如圖1,B48IICD,ZC=￡A.

(1)求證：ADW8C；

(2)如圖2,若點￡是在平行線A8,8內，4。右側的任意一點，探究N84￡,ZCDE,

NE之間的數量關系，并證明.

(3)如圖3,若NC=90。，且點E在線段8c上，DF平分NEDC,射線DF在NEDC的內

部，且交8c于點M,交4E延長線于點F,N4ED+NA￡C=180。，

①直接寫出N4ED與NFDC的數量關系：

②點P在射線D4上，且滿足/0EP=2NF,ADEA-^PEA=-^ADEBf補全圖形后，求

ZEPD的度數

8.閱讀下面材料：

小亮同學遇到這樣一個問題：

己知：如圖甲，ABf/CD,E為48,8之間一點，連接8E,DE,得到N8ED.

求證：ZBED=ZB+ZD.

(1)小亮寫出了該問題的證明，請你幫他把證明過程補充完整.

證明：過點￡作EF//48,

則有NBEF=—.

AB//CD,

_//_,

ZFED=_.

ZBED=ABEF+NFED=ZB+ZD.

(2)請你參考小亮思考問題的方法，解決問題：如圖乙，

已知：直線a//b,點48在直線。上，點C,。在直線b上，連接AD,BC,8E平分

NA8C,0E平分NAOC,月.8￡,所在的直線交于點R

①如圖1，當點8在點4的左側時，若N48c=60。，AADC=70°,求N8EO的度數；

②如圖2,當點8在點4的右側時，設NA8C=a,^ADC=6,請你求出NBE。的度數

(用含有凌，6的式子表示).

9.已知八8118,線段EF分別與48,C。相交于點E,F.

(1)請在橫線上填上合適的內容，完成下面的解答:

如圖1,當點P在線段EF上時，已知NA=35。，NC=62。，求N4PC的度數；

解：過點P作直線PHII48,

所以N4=N4PH,依據是____；

因為4811CD,PHWAB,

所以PHIICD,依據是；

所以NC=(),

所以NAPC=()+()=Z4+ZC=97°.

(2)當點P,。在線段EF上移動時(不包括￡,F兩點)：

①如圖2,N4PQ+/PQC=N4+NC+180。成立嗎？請說明理由；

②如圖3,ZAPM=2ZMPQ,ZCQM=2Z.MQP,ZM+ZMPQ+ZPQ/Vf=180°,請直接寫

出NM,NA與NC的數量關系.

10.如圖，已知A8//CD,CN是N8CE的平分線.

(1)若CM平分N6C￡>,求乙如N的度數；

(2)若CM在N88的內部，且CMLCN于C,求證：CM平分NBCO；

(3)在(2)的條件下，過點B作5P_LB。，分別交CM、CN于點P、。，/PBQ繞著

(用含有/月的式子表示).

(1)［問題提出］如圖②，ABHCE,/88=73°,則：ZB=_.

(2)［類比探究］在圖①中，探究N8AD、N8和N8C0之間有怎樣的數量關系？牙用干勺

繾的性質說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖③，在射線8C上取一點。，過。點作直線MN使MN〃4。，BE平分

NA8C交4?于￡點，OF平分N80/V交4)于F點，OG//BE交AD于GM當C點沿著射

線4。方向運動時，NFOG的度數是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這

個不變的值.

13.如圖1,0為直線A8上一點，過點0作射線OC,ZAOC=30\將一直角三角板

(ZAf=30°)的直角頂點放在點。處，一邊ON在射線OA上，另一邊OM與OC都在直線

AO50B

備用圖1備用圖2

(1)幾秒后ON與。C重合？

(2)如圖2,經過f秒后，MN//AB,求此時，的值.

(3)若三角板在轉動的同時，射線OC也繞。點以每秒6。的速度沿“1頁時針方向旋轉一周,

那么經過多長時間OC與OM重合？請畫圖并說明理由.

(4)在(3)的條件下，求經過多長時間。。平分N例0B?請畫圖并說明理由.

14.已知3ABC,DE//AB交AC于氤E,DF//AC交AB于氤F.

(1)如圖1,若點D在邊BC上，

①補全圖形；

②求證：ZA=^EDF.

(2)點G是線段AC上的一點，連接FG,DG.

①若點G是線段AE的中點，請你在圖2中補全圖形，判斷NAR7,/EDG,NDGF之間

的數量關系，并證明；

②若點G是線段EC上的一點，請你直接寫出4FG,NEDG,/以右之間的數量關系.

15.已知兩條直線/】，加/illh,點48在直線上，點＞4在點6的左邊，點C,。在直

線〃上，且滿足乙位心=43。=115”.

(1)如圖①，求證：ADWBC；

(2)點M,N在線段CD上，點M在點N的左邊且滿足NM4C=N54C,且AN平分

ZC4D：

(I)如圖②，當乙48=30°時，求/D4M的度數；

(II)如圖③，當NC4D=8〃W時，求NAC。的度數.

四、解答題

16.在AABC中，射線4G平分N84C交8c于點G,點。在8c邊上運動(不與點G重

合)，過點。作OEII4C交48于點E.

(1)如圖1,點D在線段CG上運動時，DF平分NEDB

①若NBAC=100。，ZC=30°,則NAFD=；若NB=40。，則NAFD=

②試探究/AFD與NB之間的數量關系？請說明理由；

(2)點D在線段BG上運動時，ZBDE的角平分線所在直線與射線AG交于點F試探究

NAFD與NB之間的數量關系，并說明理由

17.如圖，AABC中，N48C的角平分線與N4C8的外角N4CD的平分線交于4.

(1)當NA為70。時，

,/ZACD-Z.480=N

/.ZACD-Z.ABD=°

84、CAi是NABC的角平分線與NACB的外角NACD的平分線

Z41CD-ZAiBD=-(Z.ACD-Z.ABD)

2

z41=°；

(2)N48c的角平分線與N4CD的角平分線交于4,NZh8C與4CD的平分線交于4,

如此繼續下去可得4、…、4,請寫出N4與/4的數量關系；

(3)如圖2,四邊形48CD中，NF為N48C的角平分線及外角NDCE的平分線所在的直線

構成的角，若N4+ND=230度，則NF=.

(4)如圖3,若￡為8A延長線上一動點，連EC,NAEC與N4CE的帶平分線交于。，當E

滑動時有下面兩個結論：①NQ+/4的值為定值；②NQN4的值為定值.其中有且只

有一個是正確的，請寫出正確的結論，并求出其值.

18.如圖1,已知A8IICD,8E平分N48D,DE平分N8DC.

(1)求證：ZBED=90°；

(2)如圖2,延K6E交CD丁點點尸為線段￡片上動點，ZEDF=a,N48戶的角平

分線與NCDF的角平分線OG交于點G,試用含a的式子表示NBGD的大小；

(3)如圖3,延長BE交CD于點H,點F為線段上一動點，NE8M的角平分線與

NFDN的角平分線交于點G,探究N8G。與N8FD之間的數量關系，請直接寫出結

論：.

不與點A重合，點D在直線L上，點A的右側，過D作I3JJ1，點E在直線b上，點D的

下方.

(Db與b的位置關系是:

(2)如圖1,若CE平分NBCD,且NBCD=70。，則NCED=。，ZADC=。；

(3)如圖2,若CD_LBD于D,作NBCD的角平分線，交BD于F,交AD于G.試說明：

ZDGF=ZDFG；

(4)如圖3,若NDBE=NDEB,點C在射線AM上運動，NBDC的角平分線交EB的延長

線于點N,在點C的運動過程中，探索NNNBCD的值是否變化，若變化，請說明理由；

若不變化，請直接寫出比值.

20.已知A8〃C。，點E是平面內一點，NCDE的角平分線與N4BE的角平分線交于點F.

(1)若點E的位置如圖1所示.

①若N4BE=60°,ZCDE=30°,則/F=___°；

②探究NF與NBED的數量關系并證明你的結論；

(2)若點E的位置如圖2所示，/尸與N8￡。滿足的數量關系式是—.

(3)若點￡的位置如圖3所示，NCDE為銳角,且NEN；4+45。，設NF=a,則a的取

值范圍為—.

【參考答案】

一、解答題

1.(1)面積為29,邊長為；(2),,,,圖見解析.

【分析】

(1)面積等于一個大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，再利用算術平方根定義求

得邊長即可；

(2)建立適當的坐標系后寫出四個頂點的坐標

解析：(1)面積為29,邊長為回；(2)40,5),8(2,0),C(7,2),0(5,7),圖見解

析.

【分析】

(1)面積等于一個7x7大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，再利用算術平方根

定義求得邊長即可；

(2)建立適當的坐標系后寫出四個頂點的坐標即可.

【詳解】

解：(1)正方形的面積S正方姓皿=72-4X；X2X5=29,

正方形邊長為形=后；

(2)建立如圖平面直角坐標系，

則40,5),3(2,0),C(7,2),￡)(5,7).

【點睛】

本題考查了算術平方根及坐標與圖形的性質及割補法求面積，從圖形中整理出直角三角形

是進一步解題的關鍵.

2.(1)4；(2)不能，理由見解析.

【分析】

(1)根據已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；

(2)先設未知數根據面積=14(cm2)列方程，求出長方形的邊長，將長方形

的長與正方形邊長比較大小再

解析：(1)4；(2)不能，理由見解析.

【分析】

(1)根據已知正方形的面積求出大正方形的邊長即可；

(2)先設未知數根據面積=14(cm2)列方程，求出長方形的邊長，將長方形的長與正方

形邊長比較大小再判斷即可.

【詳解】

解：(1)兩個正方形面積之和為：2x8=16(cm?),

???拼成的大正方形的面積=16(cm?),

???大正方形的邊長是4cm；

故答案為：4；

(2)設長方形紙片的長為2xcm,寬為xcm,

則2x*x=14,

解得：x=-77>

2x=2近>4,

不存在長寬之比為2:1且面積為14cm2的長方形紙片.

【點睛】

本題考查了算術平方根，能夠根據題意列出算式是解此題的關鍵.

3.（1）6分米；（2）滿足.

【分析】

（1）由正方形面積可知，求出的值即可；

（2）設長方形的長寬分別為4a分米、3a分米，根據面積得出方程，求出，求

出長方形的長和寬和6比較即可.

【詳解】

解：（

解析：（1）6分米；（2）滿足.

【分析】

（1）由正方形面積可知，求出J記的值即可；

（2）設長方形的長寬分別為4a分米、3。分米，根據面積得出方程，求出〃，求出長方形

的長和寬和6比較即可.

【詳解】

解：（1）正方形工料的邊長為后=6分米；

（2）設長方形的長為4a分米，則寬為3a分米.

則4/3〃=24,

解得：a=y/2>

.?長為4"5.656<6,寬為3”4.242<6.

」?滿足要求.

【點睛】

本題主要考查了算術平方根及實數大小比較，用了轉化思想，即把實際問題轉化成數學問

題.

4.（1）可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段

作為寬即可裁出符合要求的長方形；（2）不能，理由見解析.

【解析】

（1）解：設面積為400cm2的正方形紙片的邊長為acm

解析：（1）可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即

可裁出符合要求的長方形；（2）不能，理由見解析.

【解析】

（1）解：設面積為400cm2的正方形紙片的邊長為acm

/.a2=400

又丁a>0

a=20

又?..要裁出的長方形面積為300c門2

若以原正方形紙片的邊長為長方形的長，

則長方形的寬為：300+20=15（cm）

???可以以正方形一邊為長方形的長，在其鄰邊上截取長為15cm的線段作為寬即可裁出符

合要求的長方形

（2）?「長方形紙片的長寬之比為3：2

「?設長方形紙片的長為3xcm,則寬為2xcm

6x2=300

x2=50

又<x>0

「.x=5&

「?長方形紙片的長為LSX/5

又（15甸2=450>202

BP：15x/2>20

小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片

5.（1）4米（2）見解析

【分析】

（1）根據正方形邊長與面積間的關系求解即可；

（2）設長方形的長寬分別為米、米，由其面積可得x值，比較長方形的長和寬

與正方形邊長的大小可得結論.

【詳解】

解

解析：（1）4米（2）見解析

【分析】

（1）根據正方形邊長與面積間的關系求解即可；

（2）設長方形的長寬分別為3x米、2x米，由其面積可得x值，比較長方形的長和寬與正

方形邊長的大小可得結論.

【詳解】

解：（1）???正方形的面積是16平方米，

二?正方形鋼板的邊長是加=4米；

（2）設長方形的長寬分別為3x米、2%米，

則女?2x=12,

￡=2,

3x=3應＞4，2x=2夜＜4，

長方形長是3&米，而正方形的邊長為4米，所以李師傅不能辦到.

【點睛】

本題考查了算術平方根的實際應用，靈活的利用算術平方根表示正方形和長方形的邊長是

解題的關鍵.

二、解答題

6.(1)PB/XQC；(2)當射線PB旋轉的時間為5秒或25秒或45秒時，

PB"IQC'

【分析】

(1)求出旋轉10秒時，NBPBZ和NCQU的度數，設PB，與QU交于O,過。作

OEIIAB,根

解析：(1)PBUQC；(2)當射線P8旋轉的時間為5秒或25秒或45秒時，PB'WQC

【分析】

(1)求出旋轉10秒時，NBP&和NCQC*的度數，設Pe與QC交于6過。作。EIMB,根

據平行線的性質求得NPOE和NQQE的度數，進而得結論：

(2)分三種情況：①當0VK15時，②當15〈區30時，③當30VY45時，根據平行

線的性質，得出角的關系，列出t的方程便可求得旋轉時間.

【詳解】

解：(1)如圖1,當旋轉時間30秒時，由已知得N8P&=10,12=120。，ZCQC=

3°xl0=30%

過。作OEIIAB,

■.ABUCD,

：.AB\\OEWCD,

：.ZPOE=1300-ZBP8'=60°,ZQOE=N

ZPOQ=90°,

：.PB」QC,

故答案為：PB」QC；

B---------------R——A

E-------------------*

(2)①當0VK15時，如圖,則N8P8'=12<ZCQC=45<,+3t°,

「4811CD,PB'WQC,

/.ZBPB'=NPEC=NCQC,

即12t=45+3t,

解得，t=5；

.

②當15VH30時，如圖，則N4PB'=12t-180。,ZCQC=3f+45\

：ABWCD,PB'WQC,

/.ZBPB'=N8EQ=/CQC,

即12t-180=45+36

解得，t=25；

③當30Vl445時，如圖,則NBPB'=12t-360°,ZCQC=3t+45°,

?

K---------------g__A

、、

、、、\

、、X、

、、、、

D~（備用中）bF7?

X、

B1

.ABWCD,PB'WQC,

/.Z8P8'=N8EQ=NCQC,

即12t-360=45+36

解得，t=45；

綜上，當射線P8旋轉的時間為5秒或25秒或45秒時，PB'WQC.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質，第（1）題關鍵是作平行線，第（2）題關鍵是分情況討

論，運用方程思想解決幾何問題.

7.(1)見解析；(2)ZBAE+ZCDE=ZAED,證明見解析；(3)①NAED-

ZFDC=45°,理由見解析；②50。

【分析】

(1)根據平行線的性質及判定可得結論；

(2)過點E作EFIIAB,根

解析：(1)見解析；(2)ZBAE+ACDE=AAED,證明見解析；(3)①N4ED-

ZFDC=45°,理由見解析；②50°

【分析】

(1)根據平行線的性質及判定可得結論：

(2)過點E作EFII48,根據平行線的性質得4811CDIIEF,然后由兩直線平行內錯角相等

可得結論；

(3)①根據NAED+NAEC=180。，NAED+NDEC+N4E8=180°,OF平分NEDC,可得出

2ZAED+(9O°-2ZFDC)=180°,即可導出角的關系；

②先根據/AED=AF+ZFDE,ZAED-AFOC=45°得出/DEP=2Z.F=90°,再根據NDEA-

NPEA=±NDEB,求出N4ED=50。，即可得出NEPD的度數.

14

【詳解】

解：(1)證明：4811CD,

/.Z4+ZD=180°,

,/ZC=ZA,

/.ZC+ZD=180°,

：.AD\\8C；

(2)ZBAE+Z.CDE=￡AED,理由如下：

如圖2,過點E作EFIM8,

§2

「4811CD

「?4811CDIIEF

：.ZBAE=/AEFtZCDE=ZDEF

BPZFEA+NFEDMCDE+乙BAE

：.ZBAE+NCDE=NAED；

(3)?ZAED-Z.FDC=45°；

,/ZAED+Z.AEC=180\ZAED+Z.DEC+Z.AEB=130°f

ZAEC=NDEC+NAEB,

：.ZAED-Z.AEB,

OF平分/EDC

NDEC=2NFDC

：.ZD￡C=90°-2ZFDC,

：.2ZAED+(90°-2ZFDC)=180°,

/.ZAED-Z.FDC=45°,

故答案為：N4ED-NFDC=45。：

②如圖3,

圖3

,/ZAED=ZF+ZFDE,ZAED-AF0C=45°,

ZF=45°,

ZD￡P=2ZF=90°,

55

.?ZDEA-Z.PEA二——匕DEB:一/DEA,

147

/.ZPEA=*AED,

9

ZDEP^Z.PEA+NAED=-ZAED=90\

7

/.ZAED=70°t

,/ZAED+ZAEC=130°,

ZDEC+2AAED=180°,

ZDEC=40°,

：ADWBC,

/.Z4DE=ZDEC=40°,

在APDE中，ZEPD=13Q°-Z.DEP-ZAED=5Q°f

BPzEPD=50°.

【點睛】

本題主要考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質，角平分線的性質等知

識點是解題的關鍵.

8.（1）ZB,EF,CD,ZD；（2）①65°；（2）180°-

【分析】

（1）根據平行線的判定定理與性質定理解答即可；

（2）①如圖1,過點E作EFIIAB,當點B在點A的左側時，根據NABC=

60°,

解析：（1）ZB,EF,CD,ND：（2）①65。；②180。-：。+：夕

【分析】

（1）根據平行線的判定定理與性質定理解答即可；

（2）①如圖1,過點E作EFII4B,當點8在點A的左側時，根據NA8c=60。，AADC=

70。，參考小亮思考問題的方法即可求NBED的度數；

②如圖2,過點E作EFIIA8,當點8在點4的右側時，N48c=a,N40C=B，參考小亮

思考問題的方法即可求出/BED的度數.

【詳解】

解：（1）過點E作EFII48,

則有NBEF=Z.B,

：ABWCD,

：.EFWCD,

：.ZFED=N0,

Z8ED=N8EF+NFFD=ZB+ZD；

故答案為：Z5；EF；CD；ZD：

（2）①如圖1,過點E作EFIIAB,有/8EF=NEBA.

EFWCD.

：.ZFED=AEDC.

/.Z8EF+NFED=NEBA+,EDC.

即NBED=EBA+Z.EDC,

BE平分NABC,DE平分/ADC,

ZEBA=^Z.ABC=30°,ZEDC=ADC=35°,

/.Z8EO=NEBA+NEDC=65°.

答：N8E。的度數為65。；

②如圖2,過點E作EFWAB,有NBEF+N￡64=180°.

B

a

圖2

/.ZBEF=130°-Z.EBA,

：ABWCD,

EFIICD.

：.ZFEO=NEDC.

：.Z8EF+NFED=180°-ZEB4+NEDC.

即/BED=130°-ZEBA+NEDC,

-：BE平分NABC,DE平分NADC,

：.ZEBA=^ABC=-a,ZEDC=^ADC=-fi,

2222

ZBED=130°-ZEBA+Z.EDC=130°--a+-fl.

22

答：NBED的度數為180°-+；夕.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質.

9.(1)兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；

ZCPH；ZAPH,ZCPH：(2)①NAPQ+NPQC=NA+NC+180。成立，理由見

解答過程；②3NPMQ+ZA+ZC=360°.

解析：(1)兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；NCPH；

ZAPH,ZCPH；(2)①/4PQ+ZPQC=ZA+NC+180。成立，理由見解答過程；

②3NPMQ+N4+ZC=360°.

【分析】

(1)根據平行線的判定與性質即可完成填空；

(2)結合(1)的輔助線方法即可完成證明；

(3)結合(1)(2)的方法，根據N4PM=2/MPQ,ZCQM=2ZMQP,

ZPMQ+ZMPQ+NPQM=180°,即可證明NPMQ,NA與NC的數量關系.

【詳解】

解：過點P作直線PHII48,

所以N4=N4PH,依據是兩直線平行，內錯角相等；

因為4811CD,PHUAB,

所以PHIICD,依據是平行于同一條直線的兩條直線平行；

所以NC=(ZCPH),

所以NAPC=QAPH)+(ZCPH)=Z4+ZC=97°.

故答案為：兩直線平行，內錯角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；ZCPH；

ZAPH,ZCPH；

(2)①如圖2,ZAPQ+NPQC=Z4+ZC+180。成立，理由如下:

^5

G，2l

---------------D

圖2

過點P作直線PHII48,QGIIABt

：ABWCD,

■.ABWCDIIPHIIQG,

1.ZA=ZAPH,ZC=ZCQG,ZHPQ+ZGQP=180°,

/.Z4PQ+ZPQC=N4PH+ZHPQ+ZGQP+ZCQG=Z4+ZC+180°.

/.ZAPQ+ZPQC=NA+NC+1800成立；

②如圖3,

圖3

過點P作直線PHII48,QGII48,MNWABt

：ABWCD,

..ABWCDIIPHIIQGIIMN,

NA=NAPH,ZC=ZCQ6,ZHPQ+ZGQP=180°,乙HPM=￡PMN,NGQM二

ZQMN,

：.ZPMQ=NHPM+ZGQM,

???ZAPM=2AMPQ,ZCQM=2/MQP,ZPMQ+ZMPQ+ZPQM=180°,

/.Z4PM+ZCQM=Z4+ZC+ZPA他=2/MPQ+2ZMQP=2（180°-ZPMQ）,

/.3ZP/WQ+Z4+ZC=360°.

【點睛】

考核知識點：平行線的判定和性質.熟練運用平行線性質和判定，添加適當輔助線是關

鍵.

10.（1）90°；（2）見解析；（3）不變，180°

【分析】

（1）根據鄰補角的定義及角平分線的定義即可得解；

（2）根據垂直的定義及鄰補用的定義、角平分線的定義即可得解；

（3）,過，分別作，，根據

解析：(1)90。；(2)見解析；(3)不變，180°

【分析】

(1)根據鄰補角的定義及角平分線的定義即可得解；

(2)根據垂直的定義及鄰補角的定義、角平分線的定義即可得解：

(3)ZBPC+ZBeC=180°,過。，P分別作QG//AB,PH//AB,根據平行線的性質及

平角的定義即可得解.

【詳解】

解(1):CNfCM分別平分N8CE和N8CD,

/.BCN=-ZBCE,NBCM=-/BCD,

22

,ZBCE+ZBCD=\S(rt

NMCN=/BCN+Z.BCM=-Z.BCE+-/BCD=-(ZBCE+ZBCD)=90°；

222

(2);CM1CN,

.?.NMCN=90。，即NBCV+N3CM=90°,

:.2^BCN+2ZBCM=180°,

CN是NBCE的平分線，

..ZBCE=2ZBCNt

:.ZBCE+2^BCM=,

又?.?ZBCE+=18(P,

:.ZBCD=2ZBCM,

又「CM在N8CD的內部，

二.CM平分N8CO；

(3)如圖，不發生變化，4PC+N伙2c=180。，過。，戶分別作QG//A8,PH//AB,

則有O7/MB//a/〃CQ,

??.NBQG=ZABQ,ZCQG=ZECQt/BPH=/FBP,NCPH=4DCP,

vBPIBQ,CP1CQ,

/.NPBQ=NPCQ=90P,

ZABQ+ZPBQ+FfiP=180°,NECQ+NPCQ+NDCP=T80°,

ZABQ+ZFBP+ZECQ+ZDCP=180^,

4BPC+NBQC=/BPH+NCPH+ZBQG+Z.CQG

=ZABQ+ZFBP+ZECQ+NDCP=180°,

.?."PC+N8QC=180°不變.

【點睛】

此題考查了平行線的性質，熟記平行線的性質及作出合理的輔助線是解題的關鍵.

三、解答題

11.;2.平行于同一條直線的兩條直線平行；3.(1)；(2).

【分析】

1、根據角度和計算得到答案；

2、根據平行線的推論解答；

3、(1)根據角平分線的性質及1的結論證明即可得到答案；

(2)根據B

解析：1.72；2.平行于同一條直線的兩條直線平行；3.(1)3。+3夕；(2)

180—ctH—B.

22

【分析】

1、根據角度和計算得到答案；

2、根據平行線的推論解答；

3、(1)根據角平分線的性質及1的結論證明即可得到答案；

(2)根據8E平分N43CDE平分ZAOC,求出==過點E作

EFWAB,根據平行線的性質求出/8EF=ga,ZDEF=180°-ZCDE=180°-^/7,再利用

周角求出答案.

【詳解】

1、過點E作EF//AB

則有N8E產=/反

因為A5//CD,

所以耳7/CD①

所以//石。=/力，

所以/BEF+ZFED=NB+ZD,

即4瓦)=72;

故答案為：72;

2、過點七作E尸//A3,

則有=

因為AB//C。，

所以EFIICD(平行于同一條直線的兩條直線平行)，

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；

3、(1).?平分ZABQDE平分NADC,

過點￡作EFIIABt由1可得/BED=NBEF+NFED=ZABE+NCDE,

11c

■.ZBED=-CC+—J3,

故答案為：ga+g4;

圖1

(2),/8E平分445coE平分N4OC,

/.ZABE=-ZABC=-a,ZCDE=-ZADC=-fl

2222t

過點E作EFWAB則/48E=/BEF=-a,

t2

.ABHCD,

/.EFWCD,

/.NCOE+NOE產=180°,

Z.DEF=180°-ZCDE=180°-^,

2

ZBED=360O-ZDEF-ABEF=360°-(180°-i/7)-=180-+；夕.

此題考查平行線的性質：兩直線平行內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補，平行線的推

論，正確引出輔助線是解題的關鍵.

12.(1);(2),見解析；(3)不變，

【分析】

(1)根據平行線的性質求出，再求出的度數，利用內錯角相等可求出角的度

數；

(2)過點作II,類似(1)利用平行線的性質，得出三個角的關系；

(3)運用

解析：(1)23°；(2)NBCD=ZA+NB,見解析：(3)不變，ZFOG=25°

【分析】

(1)根據平行線的性質求出NA=N￡)CE=50。，再求出N8CE的度數，利用內錯角相等可

求出角的度數；

(2)過點C作CEIIAB,類似(1)利用平行線的性質，得出三個角的關系；

(3)運用(2)的結論和平行線的性質、角平分線的性質，可求出NFOG的度數，可得結

論.

【詳解】

(1)因為CEIIAB,

所以ZA=NDCE=50。，NB=NBCE

因為NBCD=73°,

所以ZBCE=NBCD—/DCE=23°,

故答案為：23°

(2)/BCD=ZA+/B,

如圖②，過點。作CEIIAB,

貝|JNA=NDCE,ZB=ZBCE.

因為NBCD=NDCE+ZBCE,

所以/BCD=NBAD+NB,

(3)不變，

設=

因為BE平分NA8C,

所以NC6石=NABE=x.

由(2)的結論可知NBCD=4A￡)+NABC,且/B4O=50°,

則：4c￡)=500+2x.

因為MNIIAD,

所以/BON=ZBCD=50O+2x,

因為O尸平分N30N,

月f以/CCF=/NOF=-/RON=25°+r.

2

因為OGIIBE,

所以NCOG=NC8E=x,

所以NRG=NCOF-NCOG=25。+x-x=25。.

【點睛】

本題考查了平行線的性質和角平分線的定義，解題關鍵是熟練運用平行線的性質證明角相

等，通過等量代換等方法得出角之間的關系.

13.(1)10秒；(2)20秒；(3)20秒，畫圖見解析；(4)秒，畫圖見解

析

【分析】

(1)用角的度數除以轉動速度即可得；

(2)求出NAON=60。，結合旋轉速度可得時間t；

(3)設NA0N=3

70

解析：(1)10秒；(2)20秒：(3)20秒，畫圖見解析；(4)—秒，畫圖見解析

3

【分析】

(1)用角的度數除以轉動速度即可得；

(2)求出NAON=60。，結合旋轉速度可得時間t；

(3)設NAON=3t,則/AOC=3(T+6t,由題意列出方程，解方程即可；

(4)根據轉動速度關系和OC平分NMOB,由題意列出方程，解方程即可.

【詳解】

解：(1)=30+3=10,

10秒后ON與OC重合；

(2)MNIIAB

/.ZBOM=ZM=30°,

,/ZAON+ZBOM=90°,

NAON=GO0,

/.t=604-3=20

經過t秒后，MNIIAB,t=20秒.

(3)如圖3所示：

圖3

/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZBOM,

???三角板繞點O以每秒3。的速度，射線OC也繞O點以每秒6。的速度旋轉,

設NA0N=3t,則NAOC=300+6t,

OC與OM重合，

「ZAOC+ZBOC=180°,

可得：(300+6t)+(90°-3t)=180°,

解得：t=20秒；

即經過20秒時間OC與OM重合；

/ZAON+ZBOM=90°,ZBOC=ZCOM,

.二三角板繞點O以每秒3。的速度，射線OC也繞O點以每秒6。的速度旋轉,

設NA0N=3t,ZAOC=30°+6t,「ZBOM+ZAON=90°,

/.ZBOC=ZCOM=-i-ZBOM=^(90°-3t),

由題意得：180°-(30°+6t)(90°-3t),

70

解得：杪，

3

70

即經過一秒OC平分NMOB.

3

【點睛】

此題考查了平行線的判定與性質，角的計算以及方程的應用，關鍵是應該認真審題并仔細

觀察圖形，找到各個量之間的關系求出角的度數是解題的關鍵.

14.(1)①見解析；②；見解析(2)①NAFG+NEDG=NDGF；②NAFG-

ZEDG=ZDGF

【分析】

(1)①根據題意畫出圖形；②依據DEIIAB,DFIIAC,可得

NEDF+ZAFD=180°,N

解析：(1)①見解析；②；見解析(2)①/AFG+/EDG=NDGF；@ZAFG-

ZEDGMDGF

【分析】

(1)①根據題意畫出圖形；②依據DEIIAB,DFWAC,可得NEDF+N4FD=180°,

ZA+Z4FD=180°,進而得出NEDF=ZA；

(2)①過G作GHIIA8,依據平行線的性質，即可得到

ZAFG+NEDG=Z.FGH+Z.DGH=NDGF；②過G作GHWAB,依據平行線的性質，即可得到

Z4FG-ZEDG=4FGH-Z.DGHMDGF.

【詳解】

解：(1)①如圖，

圖1

②；DEWAB,DFWAC,

ZEDF+ZAFD=180\N4+N4FO=180°,

/.ZEDF-Z.A；

(2)①NAFG+Z.EDG=ADGF.

如圖2所示,過G作GHII48,

「A8IIDE,

/.GHWDE,

ZAFG=NFGH,ZEDG=NDGH,

ZAFG+NEDGMFGH+NDGH=NDGF；

②NAFG-Z.EDG=NDGF.

如圖所示，過G作GHII48,

：ABWDE,

GHWDE,

/.ZAFG=Z.FGH,ZEDG=NDGH,

ZAFG-Z.EDG=,FGH-乙DGH=4DGF.

【點睛】

本題考查了平行線的判定和性質：兩直線平行，內錯角相等.正確的作出輔助線是解題的

關鍵.

15.(1)證明見解析；(2)(I)；(II).

【分析】

(1)先根據平行線的性質可得，再根據角的和差可得，然后根據平行線的判定

即可得證；

(2)(I)先根據平行線的性質可得，從而可得，再根據隹的和差可得

解折；(1)證明見解析；(2)(I)ZDAM=5°；(D)ZACD=250.

【分析】

(1)先根據平行線的性質可得/氏位＞=65。，再根據角的和差可得N8AO+NA8C=180。，

然后根據平行線的判定即可得證；

(2)(I)先根據平行線的性質可得N8AC=NACD=30。，從而可得NM4C=30。，再根

據角的和差可得ZDAC=35°,然后根據ZDAM=ZDAC-ZMAC即可得；

(U)設4WV=x,從而可得NCW=8x,先根據角平分線的定義可得

NC4N=gNC4O=4x,再根據角的和差可得NBAC=NM4C=5x,然后根據

NC4。+N8AC=NB4。=65。建立方程可求出x的值，從而可得/以C的度數，最后根據平

行線的性質即可得.

【詳解】

(1)V/1///2,Z4DC=115°,

ZE4￡>=180°-ZA￡>C=65o,

又???NABC=115。，

.■.ZBAD+ZABC=180°,

..AD//BC；

（2）（I）VZ,//Z2,ZACD=30°,

/.ZB4C=Z4CD=30°,

???NM4C=N8AC,

/.ZAMC=30°,

由（1）已得：ZBAD=65°,

:.ZDAC=ZBAD-ZBAC=35°,

:.ZDAM=ZDAC-^MAC=35°-30°=5°；

（n）設ZAWV=x,則NC4Z）=8x,

???AN平分NC4D,

ACAN=-ZCAD=4x

2f

:.ZMAC=NCAN+/MAN=5x,

?.?NM4C=NiMC,

ZBAC=5x,

由（1）已得：ZBAD=65°,

/.ZC4D+ZBAC=ZBAD=65°,即8x+5x=65。，

解得x=5°,

:.ZBAC=5x=25°,

又Q"4,

:.ZACD=ABAC=25°.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質、角的和差、角平分線的定義、一元一次方程的幾何應用

等知識點，熟練掌握平行線的判定與性質是解題關鍵.

四、解答題

16.（1）①115。；110°；②，；理由見解析；（2）；理由見解析

【分析】

（1）①若NBAOIOO。，ZC=30°,由三角形內角和定理求出NB=50。，由平行

線的性質得出NEDB=Z030°：由

解析：（1）①115°；110°；（2）ZAFD=90o+^Z5；理由見解析；（2）

Z4FD=90°-izfi；理由見解析

【分析】

（1）①若NBAC=100。，ZC=30°,由三角形內角和定理求出NB=50。，由平行線的性質得

出/EDB=NC=30。，由角平分線定義得出NB4G=L/8AC=50。，NFDG=、NEDB=15。,由

22

三角形的外角性質得出NDGF=100。，再由三角形的外角性質即可得出結果；若NB=40。，則

ZBAC+ZC=180o-40o=140o,由角平分線定義得出N5AG=,NFDG=、NEDB,由

22

三角形的外角性質即可得出結果；

②由①得：NEDB=/C,/8AG=g/H4C=50°,NFOG=g/E￡>B=15°,由三角形的外角

性質得出NDGF=ZB+ZBAG,再由三角形的外角性質即可得出結論；

(2)由(1)得：NEDB=/C,ZBAG=-ZBAC,NBO"=L/EOB=1NC,由三角形的外

222

角性質和三角形內角和定理即可得出結論.

【詳解】

(1)①若NBAC=1OO°,ZC=30°,

貝B=180°-100O-30<,=50°,

DEIIAC,

ZEDB=ZC=30°,

「AG平分NBAGDF平分NEDB,

/.ZBAG=-ZBAC=50°tZFDG=-ZEDB=\50,

22

/.ZDGF=ZB+ZBAG=500+50°=100<),

ZAFD=ZDGF+ZFDG=100o+15o=115<,；

若NB=40°,則/BAC+ZC=180°-40°=140\

「AG平分NBAC,DF平分NEDB,

/.N3AG=L/BAC,4FDG=、NEDB,

22

ZDGF=ZB+ZBAG,

ZAFD=ZDGF+ZFDG=ZB+ZBAG+ZFDG

=ZB+i(ZBAC+ZC)

=40°+-xl400

2

=400+70o=110°

故答案為：115。；110°；

②4FQ=900+g/B；

理由如下：由①得：ZEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC,ZFDG=-^EDB,

22

?/ZDGF=ZB+ZBAG,

/.ZAFD=ZDGF+ZFDG

=NB+NBAG+ZFDG

=+g(/班C+NC)

=ZB+-(180°-ZB)

=90°+-ZB；

2

(2)如圖2所示：ZAFD=90°-2-ZB；

理由如下：

由(1)得：ZEDB=ZC,ZBAG=-ZBAC,ZBDH=-ZEDB=-ZC,

222

,/ZAHF=ZB+NBDH,

ZAFD=1800-ZBAG-ZAHF

=180°--/BAC-ZB-4BDH

2

=