2024年江蘇省淮安市中考數學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1.的相反數是（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據互為相反數的兩個數的和為0，即可求解．【詳解】解：∵，∴的相反數是2．故選：A．【點睛】本題主要考查了相反數，熟練掌握互為相反數的兩個數的和為0是解題的關鍵．2.計算，結果正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據同底數冪的乘法直接計算即可求解．【詳解】解：原式＝．故選C．【點睛】本題考查了同底數冪的乘法，掌握同底數冪的乘法的運算法則是解題的關鍵．3.年十三屆全國人大五次會議審議通過的政府工作報告中提出，今年城鎮新增就業目標為人以上．數據用科學記數法表示應為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于或等于時，是正整數；當原數的絕對值小于時，是負整數．【詳解】解：數據用科學記數法表示應為．故選：B.【點睛】本題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數，正確確定的值以及的值是解決問題的關鍵．4.某公司對25名營銷人員4月份銷售某種商品的情況統計如下：銷售量（件）605040353020人數144673則這25名營銷人員銷售量的眾數是（）A.50 B.40 C.35 D.30【答案】D【解析】【分析】根據眾數的定義求解即可．【詳解】解：因為銷售量為30件出現的次數最多，所以這25名營銷人員銷售量的眾數是30.故選：D.【點睛】本題考查了確定一組數據的眾數，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數．5.下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A.3，3，6 B.3，5，10 C.4，6，9 D.4，5，9【答案】C【解析】【分析】根據三角形的三邊關系判斷即可．【詳解】A.∵，∴長度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；B.∵，∴長度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；C.∵，，∴長度為4，6，9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；D.∵，∴長度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；故選：C.【點睛】本題考查的是三角形的三邊關系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關鍵．6.若關于的一元二次方程沒有實數根，則的值可以是（）A B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根據根的判別式列出不等式求出k的范圍即可求出答案．詳解】解：∵一元二次方程沒有實數根，∴，∴，故選：A.【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程無實數根”是解題的關鍵．7.如圖，四邊形是的內接四邊形，若，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據圓周角定理求得的度數，然后根據圓內接四邊形的性質求出的度數即可．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是的內接四邊形，∴，故選：B.【點睛】此題考查的是圓內接四邊形的性質及圓周角定理，比較簡單，牢記有關定理是解答本題的關鍵．8.如圖，在中，，的平分線交于點，為的中點，若，則的長是（）A.8 B.6 C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進行求解即可．【詳解】∵，平分，∴，∴，∵為的中點，∴，故選C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握等腰三角形三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）9.實數27的立方根是______．【答案】3【解析】【分析】如果一個數x的立方等于a，那么x是a的立方根，根據此定義求解即可．【詳解】解：∵3的立方等于27，∴27的立方根等于3.故答案為：3.【點睛】此題主要考查了求一個數的立方根，解題時先找出所要求的這個數是哪一個數的立方．由開立方和立方是互逆運算，用立方的方法求這個數的立方根．注意一個數的立方根與原數的性質符號相同．10.五邊形的內角和等于________度．【答案】540【解析】【分析】根據多邊形內角和公式（n－2）×180°計算求值即可．【詳解】解：五邊形的內角和=（5－2）×180°=540°，故答案為540．【點睛】此題考查了多邊形的內角和公式，熟記公式是解題的關鍵．11.方程的解是______．【答案】【解析】【分析】方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當時，，所以是原方程的解，即原方程的解是，故答案為：.【點睛】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉化成整式方程是解此題的關鍵．12.一組數據3、、4、1、4的平均數是______．【答案】2【解析】【分析】根據平均數的定義即可求解．【詳解】解：3、、4、1、4的平均數是故答案為：．【點睛】本題考查了求平均數，掌握平均數的定義是解題的關鍵．平均數：是指一組數據中所有數據之和再除以數據的個數．13.如圖，在中，，若，則的度數是______．【答案】##40度【解析】【分析】根據平行四邊形對邊平行可得，利用平行線的性質可得，因此利用直角三角形兩個銳角互余求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，平行線的性質，三角形內角和定理，難度較小，解題的關鍵是能夠綜合運用上述知識．14.若圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側面積是______．（結果保留）【答案】【解析】【分析】根據圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，直接利用圓錐的側面積公式求出即可．【詳解】根據圓錐的側面積公式：，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓錐側面面積的計算，熟練記憶圓錐的側面積公式是解決問題的關鍵．15.在平面直角坐標系中，將點向下平移5個單位長度得到點，若點恰好在反比例函數的圖像上，則的值是______．【答案】【解析】【分析】將點向下平移5個單位長度得到點，再把點B代入反比例函數，利用待定系數法進行求解即可．【詳解】將點向下平移5個單位長度得到點，則，∵點恰好在反比例函數的圖像上，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化—平移，待定系數法求反比例函數的解析式，熟練掌握知識點是解題的關鍵．16.如圖，在中，，，，點是邊上的一點，過點作，交于點，作的平分線交于點，連接．若的面積是2，則的值是______．【答案】【解析】【分析】先根據勾股定理得出，根據的面積是2，求出點到的距離為，根據的面積，求出點到的距離為，即可得出點到的距離為，根據相似三角形的判定與性質，得出，求出，，根據等角對等邊求出，即可求出，即可得出最后結果．【詳解】解：在中，由勾股定理得，，∵的面積是2，∴點到的距離為，在中，點到的距離為，∴點到的距離為，∵，∴，∴，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形高的有關計算，平行線的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，解題的關鍵是求出點到的距離為，點到的距離為．三、解答題（本大題共11小題，共102）17.（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據絕對值，零指數冪和特殊角三角形函數值的計算法則求解即可；（2）根據分式的混合計算法則求解即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．【點睛】本題主要考查了分式的混合計算，特殊角三角函數值，零指數冪，絕對值等等，熟知相關計算法則是解題的關鍵．18.解不等式組：，并寫出它的正整數解．【答案】，不等式組的正整數解為：1，2，3【解析】【分析】分別求出每個不等式的解集，進而求出不等式組的解集，再求出不等式組的正整數解即可．【詳解】解：解不等式得．解不等式得，∴不等式組的解集為：．∴不等式組的正整數解為：1，2，3．【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，求不等式組的整數解，正確求出每個不等式的解集，進而求出不等式組的解集是解題的關鍵．19.已知：如圖，點、、、在一條直線上，且，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據證明，即可得出答案．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵在和中，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的性質和判定，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關鍵．20.某校計劃成立學生體育社團，為了解學生對不同體育項目的喜愛情況，學校隨機抽取了部分學生進行“我最喜愛的一個體育項目”問卷調查，規定每人必須并且只能在“籃球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五個項目中選擇一項，并根據統計結果繪制了兩幅不完整的統計圖．請解答下列問題：（1）在這次調查中，該校一共抽樣調查了______名學生，扇形統計圖中“跑步”項目所對應的扇形圓心角的度數是______°；（2）請補全條形統計圖；（3）若該校共有1200名學生，試估計該校學生中最喜愛“籃球”項目的人數．【答案】（1）200，72（2）補全的條形統計圖見解析（3）估計該校學生中最喜愛“籃球”項目的有180名【解析】【分析】（1）利用選擇乒乓球的人數÷所占百分比得到總人數，再利用選擇跑步的人數÷總人數得到跑步所占的百分比，利用百分比即可得到圓心角度數；（2）先求出選擇足球的人數，再補全條形圖即可；（3）用總體數量×喜愛籃球項目的人所占的百分比即可得解．【小問1詳解】（名），在扇形統計圖中，“跑步”項目所對應的扇形圓心角的度數是，故答案為：200，72；【小問2詳解】選擇足球的學生有：（人），補全的條形統計圖如圖所示：【小問3詳解】（名），答：估計該校學生中最喜愛“籃球”項目的有180名．【點睛】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應用．從條形圖和扇形圖中有效的獲取信息，熟練掌握相關計算公式是解題的關鍵．21.一只不透明的袋子中裝有3個大小、質地完全相同的乒乓球，球面上分別標有數字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個球，記下數字．（1）第一次摸到標有偶數的乒乓球的概率是______；（2）用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率．【答案】（1）（2）兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率為【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結果數和兩次都摸到標有奇數的乒乓球的結果數，再利用概率公式可得出答案．【小問1詳解】解：∵袋中共有3個分別標有數字1、2、3的小球，數字2為偶數，∴第一次摸到標有偶數的乒乓球的概率是故答案為：.【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中兩次都摸到標有奇數的乒乓球的結果有：，共4種，∴兩次都摸到標有奇數的乒乓球的概率為.【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．22.如圖，已知線段和線段．（1）用直尺和圓規按下列要求作圖．（請保留作圖痕跡，并標明相應的字母，不寫作法）①作線段的垂直平分線，交線段于點；②以線段為對角線，作矩形，使得，并且點在線段的上方．（2）當，時，求（1）中所作矩形的面積．【答案】（1）①見解析；②見解析（2）矩形的面積為【解析】【分析】（1）①分別以點A，為圓心，以大于為半徑畫弧，兩弧分別交于點，，作直線與線段交于點O，則所在直線為線段的垂直平分線；②以點O為圓心，的長為半徑畫弧，再以點A為圓心，線段a的長為半徑畫弧，兩弧在線段上方交于點B，同理，以點O為圓心，的長為半徑畫弧，再以點C為圓心，線段a的長為半徑畫弧，兩弧在線段下方交于點D，連接，即可得矩形．（2）根據矩形的性質可知道，根據勾股定理可求出的長度，由此即可求出矩形的面積．【小問1詳解】解：①線段的垂直平分線，如圖所示，②如圖，矩形ABCD即為所求．【小問2詳解】解：如圖所示，∵在矩形中，，，，∴在中，，∴矩形的面積是，故答案是：．【點睛】本題主要考查垂直平分線，矩形的性質，勾股定理，掌握垂直平分線，矩形的性質，勾股定理是解題的關鍵．23.如圖，湖邊、兩點由兩段筆直的觀景棧道和相連.為了計算、兩點之間的距離，經測量得：，，米，求、兩點之間的距離．（參考數據：，，，，，）【答案】、兩點之間的距離約為94米【解析】【分析】過點作，垂足為點，分別解，，求得的長，進而根據即可求解．【詳解】如圖，過點作，垂足為點，在中，∵，米，∴，，∴（米），（米），在中，∵，米，∴，∴（米），∴（米）.答：、兩點之間的距離約為94米.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，構造直角三角形是解題的關鍵．24.如圖，是的內接三角形，，經過圓心交于點，連接，．（1）判斷直線與的位置關系，并說明理由；（2）若，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）直線與相切，理由見解析（2）圖中陰影部分的面積【解析】【分析】（1）連接，根據圓周角定理得到，連接，根據等邊三角形的性質得到，根據切線的判定定理即可得到結論；（2）根據圓周角定理得到，解直角三角形得到，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．【小問1詳解】解：直線與相切，理由：如圖，連接，∵，∴，連接，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵是半徑，∴直線與相切；【小問2詳解】解：如（1）中圖，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴圖中陰影部分的面積．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，等邊三角形的判定和性質，解直角三角形，扇形面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵．25.端午節前夕，某超市從廠家分兩次購進、兩種品牌的粽子，兩次進貨時，兩種品牌粽子的進價不變．第一次購進品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，總費用為7000元；第二次購進品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，總費用為8100元．（1）求、兩種品牌粽子每袋的進價各是多少元；（2）當品牌粽子銷售價為每袋54元時，每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對品牌粽子進行降價銷售．經市場調研，若每袋的銷售價每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當品牌粽子每袋的銷售價降低多少元時，每天售出品牌粽子所獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）種品牌粽子每袋的進價是25元，種品牌粽子每袋的進價是30元（2）當品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元【解析】【分析】（1）根據已知數量關系列二元一次方程組，即可求解；（2）設品牌粽子每袋的銷售價降低元，利潤為元，列出關于的函數關系式，求出函數的最值即可．【小問1詳解】解：設種品牌粽子每袋的進價是元，種品牌粽子每袋的進價是元，根據題意得，，解得，故種品牌粽子每袋的進價是25元，種品牌粽子每袋的進價是30元；【小問2詳解】解：設品牌粽子每袋的銷售價降低元，利潤為元，根據題意得，，∵，∴當品牌粽子每袋的銷售價降低10元時，每天售出品牌粽子所獲得的利潤最大，最大利潤是980元．【點睛】本題考查二次函數和二元一次方程的實際應用，根據已知數量關系列出函數解析式和二元一次方程組是解題的關鍵．26.如圖（1），二次函數的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為，直線經過、兩點．（1）求該二次函數的表達式及其圖像的頂點坐標；（2）點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數的圖像相交于點，再過點作軸的垂線與該二次函數的圖像相交于另一點，當時，求點的橫坐標；（3）如圖（2），點關于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當的值最小時，直接寫出的長．【答案】（1），頂點坐標（2）點橫坐標為或或或（3）【解析】【分析】（1）用待定系數法求函數的解析式即可；（2）設，則，，則，由題意可得方程，求解方程即可；（3）由題意可知Q點在平行于的線段上，設此線段與x軸的交點為G，由，求出點，作A點關于的對稱點，連接與交于點Q，則，利用對稱性和，求出，求出直線的解析式和直線的解析式，聯立方程組，可求點，再求．【小問1詳解】解：將點，代入∴解得∴∵，∴頂點坐標；【小問2詳解】解：設直線的解析式為，∴解得∴，設，則，，∴，，∵，∴，∴或，當時，整理得，解得，，當時，整理得，解得，，∴點橫坐標為或或或；【小問3詳解】解：∵，點與點關于軸對稱，∴，令，則，解得或，∴，∴，∵，∴點在平行于的線段上，設此線段與軸的交點為，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，作點關于的對稱點，連接與交于點，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設直線的解析式為，∴，解得，∴，同理可求直線的解析式為，聯立方程組，解得，∴，∵，∴.【點睛】本題考查二次函數圖象及性質，熟練掌握二次函數的圖象及性質，利用軸對稱求最短距離的方法，解絕對值方程，待定系數法求函數的解析式是解題的關鍵．27.在數學興趣小組活動中，同學們對菱形的折疊問題進行了探究．如圖（1），在菱形中，為銳角，為中點，連接，將菱形沿折疊，得到四邊形，點的對應點為點，點的對應點為點．（1）【觀察發現】與的位