PAGE其次章隨機變量及其分布2.1離散型隨機變量及其分布列2．1.1離散型隨機變量[目標]1.理解隨機變量及離散型隨機變量的含義.2.了解隨機變量與函數的區分與聯系.3.會用離散型隨機變量描述隨機現象．[重點]1.理解隨機變量所表示試驗結果的含義.2.離散型隨機變量的概念．[難點]1.隨機變量的意義.2.區分兩類隨機變量，并能舉出離散型隨機變量的例子．學問點一隨機變量[填一填](1)定義：隨著試驗結果改變而改變的變量稱為隨機變量．(2)表示：常用字母X，Y，ξ，η等表示．[答一答]1．任何隨機試驗的全部結果都可以用數字表示嗎？提示：可以．事實上我們可以建立一個隨機試驗的全部結果同實數間的對應關系，依據問題的須要選擇相應數字．2．隨機變量是特別的函數嗎？提示：隨機變量是把試驗結果映射為實數，而函數是定義在兩個非空數集之上的．因此，隨機變量應為特別的映射而非函數．學問點二離散型隨機變量[填一填]離散型隨機變量的定義：全部取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．[答一答]3．如何辨別一個變量是否是離散型隨機變量？提示：①隨機變量的取值能一一列出，這是判定隨機變量是否為離散型隨機變量的關鍵．②離散型隨機變量的取值可以是有限個，如取值1,2,3，…，n；也可以是無限個，如取值為1,2，…，n，….4．除了離散型隨機變量外，還有其他類型的隨機變量嗎？舉例說明．提示：存在其他類型的隨機變量，如人的頭發長度，人的身高等等．這些量的取值均無法一一列出．5．下列不是離散型隨機變量的是(A)A．某水站視察到一天中長江的水位B．某立交橋一天經過的車輛數C．110報警中心一天內接到的報警電話個數D．從編號為1,2,3,4的卡片中任取一張，取出的卡號1．對隨機變量的相識(1)隨機變量是用來表示不同試驗結果的量．(2)試驗結果和實數之間的對應關系產生了隨機變量，隨機變量每取一個確定的值對應著試驗的不同結果，試驗的結果對應著隨機變量的值，即隨機變量的取值實質上是試驗結果所對應的數．但這些數是預先知道的可能值，而不知道原委是哪一個值，這便是“隨機”的本源．2．離散型隨機變量的特征(1)可用數值表示．(2)試驗之前可以推斷其出現的全部值．(3)在試驗之前不能確定取何值．(4)試驗結果能一一列出．類型一隨機變量的概念【例1】指出下列變量中，哪些是隨機變量，哪些不是隨機變量，并說明理由．(1)某編輯部一天接到詢問電話的個數；(2)從10張已編好號碼的卡片(1號到10號)中任取一張，被取出的卡片的號數；(3)某林場樹木最高達30m，此林場中樹木的高度；(4)體積為27cm3的正方體的棱長．【分析】依據隨機變量的概念推斷．【解】(1)接到詢問電話的個數可能是0,1,2,3，…，出現哪一個結果是隨機的，因此是隨機變量．(2)被抽取的卡片號數是隨機的，是隨機變量．(3)林場樹木的高度可以取(0,30]內的一切值，它是一個隨機變量．(4)體積為27cm3的正方體的棱長為3cm，為定值，不是隨機變量．在一次隨機試驗中，隨機變量的取值實質是隨機試驗的結果所對應的數，且這個數全部可能的取值是預先知道的，但不知道原委會出現哪一個值，這便是“隨機”的本源.將一枚勻稱骰子擲兩次，隨機變量為(C)A．第一次出現的點數B．其次次出現的點數C．兩次出現的點數之和D．兩次出現相同點的種數解析：A，B，D中出現的點數雖然是隨機的，但是其取值所反映的結果，都不能整體反映本試驗，C整體反映兩次投擲的結果，可以預見兩次出現的點數的和是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12這十一種結果，但每擲一次之前都無法確定是哪一個，因此是隨機變量．類型二離散型隨機變量的判定【例2】下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并簡述其理由．(1)在2006張已編號的卡片(從1號到2006號)中任取1張，被取出的號數為X；(2)某人連綿不斷地射擊，首次命中目標須要的射擊次數X；(3)從2006張已編號的卡片(從1號到2006號)中任取3張，被取出的卡片的號數和為X;(4)某工廠加工的某種鋼管外徑與規定的外徑尺寸之差X.【分析】看一個隨機變量是否是離散型隨機變量，主要看此變量的取值是否是有限個，或雖是無限個，但可以按肯定的依次列舉出來．【解】(1)隨機變量X的值有2006個，是有限個，因此X是離散型隨機變量．(2)首次命中目標須要的射擊次數X雖然有無限個，但是可以列舉出來，1,2,3，…，可見，隨機變量X是離散型隨機變量．(3)與(1)比較，雖然取的張數有1張和3張區分，但實質是一樣的，故X是離散型隨機變量．(4)由于隨機變量X的值是(－∞，＋∞)內的一切實數(從理論上看)，不行能列舉出來，故隨機變量X不是離散型隨機變量．看一個變量是否是離散型隨機變量，首先看它是否是隨機的，其次是看它是否是離散的，然后才能下結論.指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量，并說明理由．(1)白熾燈的壽命ξ；(2)某射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，用ξ表示該射手在一次射擊中的得分；(3)鄭州至武漢的電氣化鐵道線上，每隔50m有一電線鐵塔，從鄭州至武漢的電氣化鐵道線上將電線鐵塔進行編號，而其中某一電線鐵塔的編號ξ；(4)江西九江市長江水位監測站所測水位在(0,29]這一范圍內改變，該水位站所測水位ξ.解：(1)白熾燈的壽命ξ的取值是一個非負實數，而全部非負實數不能一一列出，所以ξ不是離散型隨機變量．(2)是離散型隨機變量，因為射手的得分的取值只有1或0，可一一列舉．(3)是離散型隨機變量．因為電線鐵塔為有限個，其編號從1起先可一一列出．(4)不是離散型隨機變量．因為水位在(0,29]這一范圍內改變，對水位值我們不能按肯定次序一一列出．類型三用隨機變量表示隨機試驗的結果【例3】寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果：(1)在2024年北京高校的自主招生中，參與面試的5名考生中，通過面試的考生人數X；(2)一個袋中裝有5個同樣的球，編號分別為1,2,3,4,5.現從該袋內隨機取出3個球，被取出的球的最大號碼數X.【分析】明確隨機變量X的意義，寫出X的全部可能取值及每個值對應的試驗結果．【解】(1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面試通過的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5.(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3個球的編號為1,2,3”；X＝4表示“取出的3個球的編號為1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3個球的編號為1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,因為隨機變量的取值描述了隨機試驗的結果，因此，要精確寫出隨機變量的全部取值，就必需弄清晰全部試驗的結果.還要留意一個隨機變量的取值可能對應一個和多個隨機試驗的結果，因此在解決這類問題時不能漏掉某些試驗結果.寫出下列各隨機變量可能取的值，并說明隨機變量所取的值表示的隨機試驗的結果：(1)盒中裝有6支白粉筆和2支紅粉筆，從中隨意取出3支，其中所含白粉筆的支數X，所含紅粉筆的支數Y；(2)在含有10件次品的100件產品中，隨意抽取4件，所含次品的件數X.解：(1)X可取1,2,3.X＝i表示“取出i支白粉筆，3－i支紅粉筆”，其中i＝1,2,3.Y可取0,1,2.Y＝i表示“取出i支紅粉筆，3－i支白粉筆”，其中i＝0,1,2.(2)隨機變量X可能的取值為0,1,2,3,4.X＝i表示“取出的4件產品中有i件次品”，其中i＝0,1,2,3,4.隨機變量與函數的關系【例4】拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點數與其次枚骰子擲出的點數之差為ξ，試求ξ的值域，并說明“ξ>4”表示的試驗結果．【思路分析】【解】設第一枚骰子擲出的點數為x，其次枚骰子擲出的點數為y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6，依題意得ξ＝x－y.則－5≤ξ≤5，即ξ的值域為{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．則ξ>4?ξ＝5，表示x＝6，y＝1，即第一枚骰子擲出6點，其次枚骰子擲出1點．【解后反思】隨機變量ξ與函數f(x)的區分函數是探討確定性現象的，它定義在實軸上，有確定的因果關系；隨機變量從本質上講就是以隨機試驗的每一個可能結果為自變量的一個函數，即隨機變量的取值實質上是試驗結果所對應的數，但這些數是預先知道的全部可能的值，這便是“隨機”的本源．一個袋中裝有5個白球和5個黑球，從中任取3個，其中所含白球的個數為ξ.(1)列表說明可能出現的結果與對應的ξ的值；(2)若規定抽取3個球中，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最終不管結果如何都加上6分，求最終得分η的可能取值，并判定η的隨機變量類型．解：(1)ξ0123結果取得3個黑球取得1個白球2個黑球取得2個白球1個黑球取得3個白球(2)由題意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3}，∴η對應的各值是5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值為{6,11,16,21}，明顯η為離散型隨機變量．1．一個袋中有4個白球和3個紅球，從中任取2個，則隨機變量可能為(B)A．所取球的個數B．其中含紅球的個數C．所取白球與紅球的總數D．袋中球的總數解析：由于A、C、D均為定值，不隨試驗的改變而改變，故不是隨機變量．由于每次取球是隨機的，故所含紅球的個數可能為0,1,2，因此B是隨機變量．2．下列X是離散型隨機變量的是(B)①某座大橋一天經過的車輛數X；②在一段時間間隔內某種放射性物質放出的α粒子數η；③一天之內的溫度X；④一射手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中得0分，用X表示該射手在一次射擊中的得分．A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④解析：①、②、④中的X取值均可一一列出，而③中的X是一個范圍．不能一一列舉出來，故選B.3．已知X，Y均為離散型隨機變量．且X＝2Y，若X的全部可能取值為0,2,4，則Y的全部可能取值為0,1,2.解析：由題意Y＝eq\f(1,2)X且X∈{0,2,4}，∴Y∈{0,1,2}．4．推斷下列變量是否是隨機變量，若是，是否為離散型隨機變量．(1)某市醫院明天接到120急救