中等職業學校對口升學考試《數學總復習》第五章三角函數中職-對口升學-數學考綱要求命題趨勢真題在線知識清單典例解析章節要點15234考綱要求一知識內容考試層次要求了解理解掌握角的概念推廣、終邊相同的角√弧度制√任意角的正弦函數、余弦函數和正切函數√各象限角的三角函數值的正負判斷√同角三角函數基本關系式:sin2α+cos2α=1,tanα=sinα/cosα√誘導公式:2kπ+α、-α、π±α的正弦、余弦及正切公式√正弦函數的圖像和性質√余弦函數的圖像和性質√已知三角函數值求指定范圍內的角√兩角和與差的正弦、余弦、正切公式√二倍角公式√y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質√用“五點法”畫正弦型函數的圖像√正弦定理與余弦定理√命題趨勢一命題規律考點近幾年常考題型及分值20152016201720182019三角函數的概念和計算選擇題,8分選擇題,4分選選擇題,4分選選擇題,4分選選擇題,4分選三角公式選擇題,4分選解答題,12分解答題,13分解答題,12分填空題,4分三角函數的圖像與性質解答題,12分選擇題,4分填空題,4分—選擇題,4分解斜三角形填空題,4分選擇題,4分選擇題,4分選擇題,4分解答題,12分命題趨勢本章內容在歷年真題中既有選擇題和填空題,也有解答題,其分值比例約占25%.主要從以下幾個方面進行考查:一是考查任意角的三角函數;二是考查三角函數的基本公式;三是考查三角函數的圖像和性質;四是考查解斜三角形。真題在線一第一節三角函數的概念和計算真題在線一1.（2015年·四川對口升學）與340°角終邊相同的是（）.A.-160°B.-20°C.20°D.160°2.（2015年·四川對口升學）已知α∈π2,π，cos2α=35，則tanα=（）.A.2B.12C.-12D.-23.（2016年·四川對口升學）sin150°=

.4.（2018年·四川對口升學）sin2π+π6=（）.A.32B.－32C.12D.－125.（2019年·四川對口升學）已知角α的終邊經過（-1,1），則cosα=（）.A.－22B.22C.－12D.12知識清單一知識點一角的概念的推廣1.正角、負角和零角知識清單一角可以看成平面內一條射線從初始位置(始邊)出發，繞著它的端點(頂點)旋轉到終止位置(終邊)而成.我們規定，按逆時針方向旋轉形成的角稱為正角，按順時針方向旋轉形成的角稱為負角，沒有旋轉的角為零角.角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角和零角.因此，我們在確定一個角的大小時，不僅要看它的始邊與終邊的位置，而且要看它是如何旋轉而成的.2.象限角我們常在直角坐標系內討論角，為此使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任一象限.3.終邊相同的角知識清單一任意一個角唯一地確定一條終邊.但是，反過來任意一個終邊位置都可以表示無數個角.一個角，角增加或減少360°，終邊又回到原來的位置，終邊相同的角周而復始地出現.當角的終邊繞其頂點，按逆時針方向旋轉n圈時，就形成n·360°+α的角，按順時針方向旋n轉圈時，就形成-n·360°+α的角，這些角與角α都有相同的終邊.因此，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與整數個周角的和.知識清單一知識點二弧度制1.冪函數的概念知識清單一（1）定義：長度等于半徑長的弧所對的圓心角稱為1弧度的角，用弧度作為單位來度量角的單位制稱為弧度制.它的單位符號是“rad”，讀作“弧度”.（2）角度與弧度的互化.①360°=2πrad,180°=πrad.②1°=π/180rad≈0.01745rad,1rad=180/π°≈57.30°=57°18′.說明：用弧度表示角的大小時，“rad”或“弧度”可以省略不寫.常用特殊角的度數與弧度數的對照見表5-1.注意：采用弧度制后，每一個角都對應唯一的實數；反之，每一個實數都對應唯一的角.這樣，角與實數之間就建立起一一對應的關系.1.冪函數的概念知識點二弧度制一(3)角α的弧度數的絕對值等于弧長除以半徑，即|α|=l/r.(4)扇形的弧度與面積公式.扇形的弧長公式：l=|α|r或l=nπr/180.扇形的面積公式：S=1/2lr=1/2|α|r2或S=nπr2/360.(5)象限角和軸線角的表示法.第一象限角：{α|2kπ＜α＜2kπ+π/2，k∈Z}.第二象限角：{α|2kπ+π/2＜α＜2kπ+π，k∈Z}.第三象限角：{α|2kπ+π＜α＜2kπ+3π/2，k∈Z}.第四象限角：{α|2kπ+3π/2＜α＜2kπ+2π，k∈Z}.與y軸重合的角：{α|α=kπ+π/2，k∈Z}.與x軸重合的角：{α|α=kπ，k∈Z}.與坐標軸重合的角：{α|α=kπ/2，k∈Z}.知識清單一知識點三任意角的三角函數(1)定義：設α是一個任意角，使它的頂點與坐標原點重合，角α的始邊與x軸的非負半軸重合，設α的終邊上任意一點P（除頂點外）的坐標是（x,y），它到原點的距離是r=x2+y2(r>0)（見表5-2）知識點三任意角的三角函數一(2)象限角的三角函數值符號口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦.”（見圖5-1）知識點三任意角的三角函數一(3)特殊角的三角函數值（見表5-3）.知識點三任意角的三角函數一知識清單一知識點四同角三角函數基本關系式sin2α+cos2α=1.(平方關系)sinα/cosα=tanα;cosα/sinα=cotα.(商數關系)tanαcotα=1.(倒數關系)知識點四同角三角函數基本關系式一知識清單一知識點五誘導公式同名三角函數的誘導公式如下.（1）第一象限的誘導公式.sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα,tan(2kπ+α)=tanα.(k∈Z)（2）第二象限的誘導公式.sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.（3）第三象限的誘導公式.sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.（4）第四象限的誘導公式.sin(2π-α)=-sinα,cos(2π-α)=cosα,tan(2π-α)=-tanα.sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.記憶此公式口訣：“函數名不變，符號看象限.”知識點五誘導公式一典例解析一注意：例1寫出-360°~720°與-330°的終邊重合的角.【解析】因為與-330°的終邊相同的角可表示為{β|β=-330°+k·360°，k∈Z},所以k=0,1,2.當k=0時，β=-330°；當k=1時，β=30°；當k=2時，β=390°.【技巧點撥】寫出在某個范圍內與角α終邊相同的角的關鍵有兩點：一是正確寫出與角α終邊相同的角的集合；二是正確判斷k的值，不要出現漏解和多解.同時請注意：終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.將75°轉化為弧度為.【解析】由角度與弧度的換算關系可得75°=π/180×75=5/12π.【技巧點撥】角度化為弧度,分母是180;弧度化為角度,分母是π.典例解析一例2

典例解析一注意：例3設sinα>0且tanα<0,則α是().A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】因為sinα>0,所以α是第一象限角或第二象限角或y軸正半軸上的角;又因為tanα<0,所以α是第二象限角或第四象限角.綜上所述,α是第二象限角,故選擇B.【技巧點撥】掌握三角函數值在各象限的正負性是解題的關鍵.

典例解析一注意：例4已知角α的終邊經過點P（-3,4）,求:sinα,cosα,tanα.【解析】因為角α的終邊經過點P（-3，4），即x=-3,y=4,所以r=√（x2+y2）=5.故sinα=y/r=4/5,cosα=x/r=-3/5,tanα=y/x=-4/3.【技巧點撥】掌握三角函數的定義是解題的關鍵.典例解析一注意：例5已知sinα+cosα=4/5,求下列各式的值：(1)2sinαcosα;(2)sinα-cosα.【解析】（1）因為sinα+cosα=4/5，兩邊同時平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=16/25,即1+2sinαcosα=16/25,所以2sinαcosα=-9/25.(2)因為(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-2sinαcosα,所以(sinα-cosα)2=34/25,所以sinα-cosα=±√34/5.【技巧點撥】掌握三角函數的定義是解題的關鍵.真題在線一第二節三角公式真題在線一1.（2016年·四川對口升學）已知向量a=(3,sinθ2)b=(－1,10cosθ2)，且a⊥b.（1）求sinθ；（2）若0＜θ＜π2，求2sinπ4+θ-cosπ-θ.2.（2017年·四川對口升學）cos2π3=（）.A.32B.－32C.12D.－121.兩角和與差的三角函數公式知識清單一（1）sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.（2）cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ.（3）tan(α±β)=tanα±tanβ/(1?tanα·tanβ).2.倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα.(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)tan2α=2tanα/(1-tan2α).3.降次公式知識清單一(1)sin2α=1-cos2α2;(2)cos2α=1+cos2α2.4.升冪公式(1)1-cos2α=2sin2α;(2)1+cos2α=2cos2α.5.和、差角公式、二倍角公式及內在聯系和、差角公式、二倍角公式及內在聯系見圖5-2.（1）sinαcosα；（2）（2sinα－cosα）/（sinα－2cosα）.【解析】（1）解法一：由已知可得方程組得sinα=3cosα，cos2α=1/10.故sinαcosα=3cosαcosα=3cos2α=3/10.【技巧點撥】對于三角函數的化簡和運算，一般情況下，分子分母同時除以cosα，轉化成含tanα的式子，化簡求值；對于含“1”的式子，要與緊密聯系在一起化簡求值，或者利用關系式sin2α+cos2α=1的關系后代入式子中，再化簡求值.典例解析一注意：例1已知tanα=3,求:（1）求cosα的值；（2）若sin(α-β)=-3/5，β∈(π/2,π)，求cosβ的值.【技巧點撥】(1)利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可將sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三者有機地結合起來，做到“知一求二”.(2)靈活運用倍角公式和降次公式解決此類問題.典例解析一例2已知α∈(π/2,π)，且sin(α/2)+cos(α/2)=√6/2.（1）sin(α-β);(2)cos(α-β).【解析】(1)因為sin2α+cos2α=1,所以sin2α=1-cos2α=9/25,又因為α是第二象限角，所以sinα>0，即sinα=3/5,同理:cosβ=-5/13.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=3/5×(-5/13)-(-4/5)×12/13=33/65.(2)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(-4/5)×(-5/13)+3/5×12/13=56/65.【技巧點撥】解答此類問題，一是要熟練掌握兩角和與差的三角公式，二是要關注三角函數值的符號與象限的關系.典例解析一例3已知cosα=-4/5,sinβ=12/13,α,β均是第二象限角，試求：（1）(√3-tan15°)/(1+√3tan15°);(2)tan15°+tan30°+tan15°tan30°.【解析】(1)(√3-tan15°)/(1+√3tan15°)=(tan60°-tan15°)/(1+tan60°tan15°)=tan(60°-15°)=1.(2)tan15°+tan30°+tan15°tan30°=tan(15°+30°)(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.【思路點撥】(1)題逆用兩角差的正切公式；（2）題利用公式的變形進行轉換.典例解析一例4化簡下列各式：真題在線一第三節三角函數的圖像與性質真題在線一1.（2017年·四川對口升學）函數y=12sinxcosx的最小正周期是（）.A.2πB.πC.π/2D.π/42.（2018年·四川對口升學）若將函數y=sin2x－π3的圖像變為函數y=sin2x+π2的圖形，則需將第一個函數的圖像（）.A.向左平移5π/12個單位B.向左平移π/12個單位C.向右平移5π/12個單位D.向右平移π/12個單位3.（2019年·四川對口升學）函數fx=sin(2x+π/3)在區間[－π,π]上的圖像大致為（）.A.B.C.D.1.“五點法”描圖知識清單一(1)y=sinx的圖像在［0，2π］上的五個關鍵點的坐標為（0，0），π2,1(π,0),32π,-1,(2π,0).(2)y=cosx的圖像在［0，2π］上的五個關鍵點的坐標為（0，1），π2,0(π,-1),32π,0,(2π,1).2.正弦、余弦函數的圖像和性質正弦、余弦函數的圖像和性質見表5-4.2.正弦、余弦函數的圖像和性質知識清單一表5-4續表3.已知三角函數值求角知識清單一根據角x的三角函數值求角x，通常有如下幾個步驟：（1）找出與函數值的絕對值對應的銳角α1.（2）根據所給值的符號，判斷角α所在象限，求得［0，2π）范圍內的角α，即如果適合條件的角在第二象限，則α=π-α1;如果α在第三角限，則α=π+α1；如果α在第四象限，則α=2π-α1.其中0<α1<π/2(3)將以上求得的角α各加上2kπ，即用終邊相同的角的表達式寫出所有適合條件的角.4.正弦型函數知識清單一（1）正弦型函數y=Asin(ωx+φ)的性質：定義域為R；值域為［-|A|,|A|］；最大值為|A|；最小值為-|A|；最小正周期為T=2π/|ω|.其圖像可由“五點法”或“平移法”作出來.（2）將三角函數式化為正弦型函數式.(3)函數的圖像變換（A>0,ω>0）.A——振幅變化：由y=sinx的圖像，在保持橫坐標不變的情況下，把所有點的縱坐標伸長或縮短到原來的A倍，得到y=Asinx的圖像.ω——周期變化：由y=Asinx的圖像，在保持縱坐標不變的情況下，將各點的橫坐標壓縮或伸長為原來的1/|ω|倍，得到y=Asinωx的圖像，它的周期為T=2πω.φ——左右平移變化：當φ>0時，將函數y=Asinωx的圖像向左移φ/ω個單位；當φ<0時，將函數y=Asinωx的圖像向右移|φ|/ω個單位，得到y=Asin(ωx+φ)的圖像.A.向左平移π/3個單位B.向右平移π/3個單位C.向左平移π/6個單位D.向右平移π/6個單位【解析】D【技巧點撥】一般的，函數y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像可以看作是用下面的方法得到：先把正弦曲線y=sinx上所有點向左（φ>0）或向右(φ<0)平移|φ|個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短（ω>1）或伸長（0<ω<1）到原來的1/ω倍（縱坐標不變），再把所得各點的縱坐標伸長（A>1）或縮短（0<A<1）到原來的A倍（橫坐標不變）.典例解析一注意：例1要得到y=sin(2x-π/3)的圖像,只需將函數y=sin2x的圖像().A.(0,π)B.(-π/2,0)C.(3π/2,2π)D.(-π,-π/2)【解析】由函數圖像可知，其單調遞減區間為[kπ,kπ+π/2],故選D.【技巧點撥】根據圖像即可判斷其單調性.典例解析一注意：例2下列區間是函數y=2|cosx|的單調遞減區間的是().函數f(x)=sinx-√3cosx(x∈［-π/2,π/2］)的最小正周期是

，最大值是

，最小值是

.【解析】因為f(x)=sinx-√3cosx=2sin(x-π/3),所以f(x)的最小正周期T=2π.因為-π/2≤x≤π/2，所以-5π/6≤x-π/3≤π/6，故當x-π/3=π/6即x=π/2時，fmax=1，當x-π/3=-π/2即x=-π/6時，fmin=-2.【技巧點撥】求解此類問題，首先要掌握正弦型函數的值域，其次利用正弦、余弦函數取最值時x的取值范圍列出等式，最后求解等式即可；同時可將函數y=asinωx+bcosωx(a>0,b>0)轉化為y=√(a2+b2)sin(ωx+φ),其中tanφ=b/a.典例解析一注意：例3（1）f(x)=sinxcosx;(2)f(x)=|sinx|+1.【解析】(1)函數f(x)=sinxcosx的定義域為R.對于任意x∈R,均有-x∈R，且f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sinxcosx=-f(x),故原函數是R上的奇函數.（2）函數f(x)=|sinx|+1的定義域為R，對于任意x∈R,均有-x∈R,且f(-x)=|sin(-x)|+1=|sinx|+1=f(x),故原函數是R上的偶函數.【技巧點撥】判斷函數的奇偶性，首先要確定函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱，則函數為非奇非偶函數，若對稱則再利用f(-x)=±f(x)來判斷.典例解析一例4判斷下列函數的奇偶性:真題在線一第四節解斜三角形真題在線一1.(2015年·四川對口升學)已知△ABC三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a=5,c=2√3，A=2π/3.（1）求sinC的值；（2）求5sinC+√2sin(C+π/4).2.(2016年·四川對口升學)在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知sinA/sinB=2,b=√2,則a=（）.A.22B.2C.2D.223.(2018年·四川對口升學)在△ABC中，三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=54c·sinA.（1）設△ABC的面積為S，證明S=1/2absinC；（2）已知△ABC的面積為1，記u=a2+b2－abcosC，證明u≥2√3.4.(2019年·四川對口升學)在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=2，tanC=-2,△ABC的面積為2.（1）求邊b的長；（2）求cosB的值.三角形具有以下性質：知識清單一(1)角的關系.內角和定理：A+B+C=180°.(2)邊的關系.兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.(3)邊與角的關系.①正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R為三角形外接圓的半徑）.②余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA?cosA=(b2+c2-a2)/2bc;b2=a2+c2-2accosB?cosB=(a2+c2-b2)/2ac;c2=b2+a2-2bacosC?cosC=(a2+b2-c2/)2ab;(4)sin(A+B)=sin(π-C)=sinC;sin(A+B)/2=sin[(π-C)/2]=cosC/2.(5)三角形的面積公式：S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA.【解析】因為A=180°-(B+C)=75°,所以sinA=sin75°=(√6+√2)/4.又因為b/sinB=a/sinA,sinB=sin60°=√3/