沖刺中考數(shù)學(xué)壓軸題真題試卷專項(xiàng)訓(xùn)練

(三)解答題

1.【2020年浙江省衢州24.(12分)】【性質(zhì)探究】

如圖，在矩形A3CD中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,AE平分44C,交3c于點(diǎn)E.作_LAE

于點(diǎn)”，分別交AB,AC于點(diǎn)尸，C.

(I)判斷A4FG的形狀并說明理由.

(2)求證：BF=2OG.

【遷移應(yīng)用】

(3)記ADGO的面積為S-AZM/的面積為S2,當(dāng)'=,時(shí)，求處的值.

S23AB

【拓展延伸】

(4)若。尸交射線他于點(diǎn)尸，【性質(zhì)探窕】中的其余條件不變，連結(jié)￡F,當(dāng)ME尸的面積為矩形

面積的,時(shí)，請(qǐng)直接寫出tanzJME的值.

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2.【2020年浙江省寧波市24.(14分)】定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角

平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角.

(I)如圖1,“是AABC中NA的遙望角，若NA=a,請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示NE.

(2)如圖2,四邊形A88內(nèi)接于OO,AD=BD,四邊形ABCD的外角平分線。尸交O。于點(diǎn)尸，

連結(jié)所并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：NBEC是AABC中的C的遙望角.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)AE,AF,若4c是0O的直徑.

①求N4ED的度數(shù)；

②若A8=8,C￡>=5,求ADEF的面積.

3.【2020年生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)23.(13分)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線

丁=*+笈+。的頂點(diǎn)是41,3),將。4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到08,點(diǎn)B恰好在拋物線上，OB

與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A,C重合，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，與AOAB的邊分

別交于M,N兩點(diǎn)，將A4MV以直線MN為對(duì)稱軸翻折，得到△AMN,設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為機(jī).

①當(dāng)△4MN在△。鉆內(nèi)部時(shí)，求機(jī)的取值范圍；

②是否存在點(diǎn)P,使若存在，求出滿足條件，〃的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4.【2020年天津市25.（10分）】已知點(diǎn)4（1,0）是拋物線y=o?+bx+〃?（a,人為常數(shù)，々工。,

加＜0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn).

（I）當(dāng)。=1,m=一3時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（II）若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M（肛0）,與y軸的交點(diǎn)為C,過點(diǎn)C作直線1平行于x軸，E

是直線1上的動(dòng)點(diǎn)，尸是），軸上的動(dòng)點(diǎn)，EF=2近.

①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線上（不與點(diǎn)。重合），且隹=即時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)：

②我斯的中點(diǎn)N,當(dāng)〃?為何值時(shí)，MN的最小值是立？

2

5.【2020年貴州省安順市】25.（12分）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)。為對(duì)角線AC的中點(diǎn).

（1）問題解決：如圖①，連接80,分別取CB,80的中點(diǎn)P,Q,連接P。，則P0與80的數(shù)量

關(guān)系是—，位置關(guān)系是—;

（2）問題探究：如圖②，△AO￡是將圖①中的AAQB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到的三角形，

連接CE,點(diǎn)尸，。分別為CE,80'的中點(diǎn)，連接PQ,PB.判斷APQ8的形狀，并證明你的結(jié)論；

（3）拓展延伸：如圖③，△AOE是將圖①中的AAO8繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。得到的三角形,

連接80',點(diǎn)尸，Q分別為CE,80'的中點(diǎn)，連接尸Q,PB.若正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,求APQB

的面積.

6.[2020年貴州省黔東南州26.(14分)】已知拋物線y=加+加+c(a。0)與x軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)

A在點(diǎn)8的左邊)，與y軸交于點(diǎn)。(0,-3),頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-4).

(1)求拋物線的解析式.

(2)在)，軸上找一點(diǎn)E,使得AE4C為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的義標(biāo).

(3)點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)尸、Q,使得以點(diǎn)尸、Q、B、D

為頂點(diǎn)，8。為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸、Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

7.【2020年黑龍江省大興安嶺地區(qū)24.(14分)】綜合與探窕

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線加經(jīng)過點(diǎn)人(-4,0),點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y

軸上，且QA=O6,直線A6與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C(2,6),如圖①.

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線4B的函數(shù)解析式為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,cosNABO=_；

連接OC,若過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P,將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的坐

標(biāo)為;

(3)在y軸上找一點(diǎn)。，使得△AMQ的周長(zhǎng)最小.具體作法如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于)，軸的對(duì)稱點(diǎn)

A',連接交y軸于點(diǎn)Q,連接AM、A。，此時(shí)△AM。的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(4)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M使以點(diǎn)A、O、。、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，

請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖①圖②

8.【2020年黑龍江省雞西市28.(10分)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形他8的邊45長(zhǎng)是

W—3x—18=0的根，連接應(yīng))，ZDBC=30°,并過點(diǎn)C作CN_L3￡>,垂足為N,動(dòng)點(diǎn)尸從8點(diǎn)以

每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿瓦)方向勻速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)為止；點(diǎn)M沿線段DA以每秒G個(gè)單位長(zhǎng)度的

速度由點(diǎn)。向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A為止，點(diǎn)產(chǎn)與點(diǎn)”同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒(/>0).

(I)線段CV=;

(2)連接PAf和MN,求APMV的面積s與運(yùn)動(dòng)時(shí)間/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)APMN是以取為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

9.【2020年江蘇省連云港市27.（12分）】（1）如圖1,點(diǎn)P為矩形ABC。對(duì)角線3。上一點(diǎn)，過點(diǎn)P

作EF//BC,分別交AB、CD于點(diǎn)E、F.若BE=2,PF=6,AA￡P(guān)的面積為,ACEP的面

積為S?，則S|+§2=;

（2）如圖2,點(diǎn)、P為口ABCD內(nèi)一點(diǎn)I點(diǎn)P不在BD上），點(diǎn)E、尸、G、，分別為各邊的中點(diǎn).設(shè)

四邊形AEP”的面積為W,四邊形尸尸CG的面積為邑（其中求AP8D的面積（用含S1、S2

的代數(shù)式表示）；

（3）如圖3,點(diǎn)尸為oABCD內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)尸不在3。上），過點(diǎn)月作EF//A。，HG//AB,與各邊分

別相交于點(diǎn)E、F、G、H.設(shè)四邊形AEP〃的面積為S,四邊形PGC尸的面積為S?（其中$2>￡）,

求AP8O的面積（用含,、S2的代數(shù)式表示）；

（4）如圖4,點(diǎn)A、B、C、。把OO四等分.請(qǐng)你在圓內(nèi)選一點(diǎn)尸（點(diǎn)尸不在AC、BD上）,設(shè)

PB、PC、8c圍成的封閉圖形的面積為S],PA.PD.40圍成的封閉圖形的面積為S?，APBD的

面積為邑，MAC的面積為54，根據(jù)你選的點(diǎn)尸的位置，直接寫出一個(gè)含有S1、S2、S3、S4的等

式（寫出一種情況即可）.

C

圖4

10.【2020年山東省濱州市26.(14分)】如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A(〃,-1),與)，軸交于點(diǎn)8(0,-3，

點(diǎn)F(2,1)為其對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn).

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式；

(2)已知直線/是過點(diǎn)C(0,-3)且垂直于y軸的定直線，若拋物線上的任意一點(diǎn)尸。小〃)到直線/的距

離為d,求證：PF=d：

(3)已知坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)￡>(4,3),請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)Q,使ADPQ的周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)ADFQ

周長(zhǎng)的最小值及點(diǎn)。的坐標(biāo).

II.【2020年四川省樂山市25.（12分）】點(diǎn)。是平行四邊形ABC。的對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、。向直線期作垂線，垂足分別為點(diǎn)七、F.點(diǎn)。為

AC的中點(diǎn).

（I）如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，線段OE和O尸的關(guān)系是；

（2）當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到如圖2所示的位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全圖形并通過證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然

成立？

（3）如圖3,點(diǎn)P在線段OA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)NO印=30°時(shí)，試探究線段。尸、AE.。石之間

的關(guān)系.

12.【2020年四川省樂山市26.（13分）】已知拋物線y=o?+2+C與x軸交于A（T,0）,8（5,0）兩點(diǎn),

C為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)O，連結(jié)8C，且tanNC8D=3，如圖所示.

3

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

①過點(diǎn)尸作x軸的平行線交線段8c于點(diǎn)石，過點(diǎn)E作￡F_L上交拋物線于點(diǎn)尸，連結(jié)EB、FC,

求AfiCF的面積的最大值；

②連結(jié)PA,求3PC+PB的最小值.

5

13.【2020年浙江省舟山市23.（10分）】在一次數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)中，小兵將兩個(gè)全等的直角三角形

紙片ABC和DEF拼在一起，使點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合,點(diǎn)C與點(diǎn)。重合（如圖1），其中NAC8=ND在：=90。,

BC=EF=3c7n,AC=DF=4cm,并進(jìn)行如下研究活動(dòng).

活動(dòng)：將圖1中的紙片上尸沿AC方向平移，連結(jié)BD（如圖2）,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)停

止平移.

【思考】圖2中的四邊形A8DE是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

【發(fā)現(xiàn)】當(dāng)紙片。所平移到某一位置時(shí)，小兵發(fā)現(xiàn)四邊形45。石為矩形（如圖3）.求AF的長(zhǎng).

活動(dòng)二:在圖3中，取4）的中點(diǎn)O,再將紙片DEF繞點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度（嵌k90）,連結(jié)08,

OE（如圖4）.

【探究】當(dāng)所平分NA￡O時(shí)，探究。尸與8。的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

A（F）EAA

14.【2020年浙江省舟山市24.（12分）】在籃球比賽中，東東投出的球在點(diǎn)A處反彈，反彈后球運(yùn)

動(dòng)的路線為拋物線的一部分（如圖1所示建立直角坐標(biāo)系），拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)4.

（I）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)被東東搶到，8_Lx軸于點(diǎn)。，CD=2.6m.

①求。。的長(zhǎng).

②東東搶到球后，因遭對(duì)方防守?zé)o法投籃，他在點(diǎn)。處垂直起跳傳球，想將球沿直線快速傳給隊(duì)友

華華，目標(biāo)為華華的接球點(diǎn)夙4」.3）.東東起跳后所持球離地面高度％（小）（傳球前）與東東起跳后

時(shí)間”s）滿足函數(shù)關(guān)系式九=-2"0.5）2+2.7（（W1）：小戴在點(diǎn)尸（1.5,0）處攔截，他比東東晚0.3s垂

直起跳，其攔截高度與東東起跳后時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示〔其中兩條拋物線的形狀相

同）.東東的直線傳球能否越過小戴的攔截傳到點(diǎn)E?若能，東東應(yīng)在起跳后什么時(shí)間范圍內(nèi)傳球？

若不能，請(qǐng)說明理由（直線傳球過程中球運(yùn)動(dòng)時(shí)間忽略不計(jì)）.

.y（m）

5(0.4,3.32)

4Q3)

C

DFx(m)

圖1

15.【2020年山東省泰安市25.(13分)】若一次函數(shù)y=-3x-3的圖象與x軸，y軸分別交于A,C

兩點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為(3,0),二次函數(shù)y=ar2+〃x+c的圖象過A,B,C三點(diǎn)，如圖(1).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖(1),過點(diǎn)C作CD〃x軸交拋物線于點(diǎn)。，點(diǎn)后在拋物線上(y軸左側(cè))，若恰好平分

ZDBE.求直線3E的表達(dá)式；

(3)如圖(2),若點(diǎn)尸在拋物線上(點(diǎn)尸在y軸右側(cè)),連接AP交8C于點(diǎn)尸，連接BP,S^FP=mS^F.

①當(dāng)機(jī)=■!■時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

2

Q

16.【2020年貴州省遵義市24.（14分）】如圖，拋物線y=ar2+Nx+c經(jīng)過點(diǎn)A（_1,0）和點(diǎn)C（0,3）與

x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)3，點(diǎn)M是直線8c上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作軸，交拋物線于點(diǎn)尸.

（I）求該拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得AQCO是等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由；

（3）以M為圓心，為半徑作（DM,當(dāng)OM與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求出。M的半徑.

17.【2020年浙江省紹興市24.(14分)】如圖1,矩形OEFG中，DG=2,DE=3,RtAABC中,

ZACB=90°,CA=CB=2,AG,■的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O,且尸G_L8C，06=2,OC=4.將AA8C

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°?a<180°)得到△AfffC.

(1)當(dāng)a=30°時(shí)，求點(diǎn)C'到直線。尸的距離.

(2)在圖1中，取A8的中點(diǎn)?，連結(jié)CP,如圖2.

①當(dāng)CP與矩形。加G的一條邊平行時(shí)，求點(diǎn)C到直線DE的距離.

②當(dāng)線段AP與矩形。"C的邊有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求該交點(diǎn)到直線DG的距離的取值范圍.

圖1圖2

18.【2020年黑龍江省綏化市29.(1()分)】如圖1,拋物線尸=-3(%+2尸+6與拋物線

,=「？+：田+，一2相交丁軸于點(diǎn)。，拋物線耳與x軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，直線

%=履+3交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)N,交y軸于點(diǎn)M,ROC=ON.

(1)求拋物線兇的解析式與&的值；

(2)拋物線y的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)。，連接AC,在x軸上方的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E,使以點(diǎn)A,D,

石為頂點(diǎn)的三角形與A4OC相似，求出小的長(zhǎng)；

(3)如圖2,過拋物線切上的動(dòng)點(diǎn)G作G”_Lx軸于點(diǎn)H,交直線必=丘-3于點(diǎn)Q,若點(diǎn)。是點(diǎn)。

關(guān)于直線MG的對(duì)稱點(diǎn)，是否存在點(diǎn)G(不與點(diǎn)C重合)，使點(diǎn)2落在)，軸上？若存在，請(qǐng)直接寫出

點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.【