PAGE1-課時分層作業(二十二)雙曲線的幾何性質(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為()A．eq\r(5) B．5C．eq\r(2) D．2A[由題意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5)．]2．若雙曲線的一個焦點為(0，－13)，且離心率為eq\f(13,5)，則其標準方程為()A．eq\f(x2,52)－eq\f(y2,122)＝1 B．eq\f(y2,122)－eq\f(x2,52)＝1C．eq\f(x2,122)－eq\f(y2,52)＝1 D．eq\f(y2,52)－eq\f(x2,122)＝1D[依題意可知，雙曲線的焦點在y軸上，且c＝13．又eq\f(c,a)＝eq\f(13,5)，所以a＝5，b＝eq\r(c2－a2)＝12，故其標準方程為eq\f(y2,52)－eq\f(x2,122)＝1．]3．已知雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點F到漸近線距離與頂點A到漸近線距離之比為3∶1，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±2eq\r(2)x B．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(2),4)xD[依據題意，雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點在y軸上，其漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x，若雙曲線的焦點F到漸近線距離與頂點A到漸近線距離之比為3∶1，則c＝3a，則b＝eq\r(9a2－a2)＝2eq\r(2)a則雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),4)x．]4．平行四邊形ABCD的四個頂點均在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，直線AB，AD的斜率分別為eq\f(1,2)，1，則該雙曲線的漸近線方程為()A．x±eq\r(2)y＝0 B．eq\r(2)x±y＝0C．x±y＝0 D．x±eq\r(3)y＝0A[∵雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)是中心對稱的，故平行四邊形ABCD的頂點B，D關于原點對稱，設A(x0，y0)，B(x1，y1)，則D(－x1，－y1)，故eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，∴eq\f(x0－x1x0＋x1,a2)－eq\f(y0－y1y0＋y1,b2)＝0，整理得到：eq\f(b2,a2)＝eq\f(y0－y1y0＋y1,x0－x1x0＋x1)，即eq\f(b2,a2)－kAB·kAD＝0，故eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，即x±eq\r(2)y＝0．]5．若雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,m)＝1的漸近線的方程為y＝±eq\f(\r(5),3)x，則雙曲線焦點F到漸近線的距離為()A．eq\r(5) B．eq\r(14)C．2 D．2eq\r(5)A[∵a＝3，b＝eq\r(m)，∴eq\f(\r(m),3)＝eq\f(\r(5),3)，∴m＝5，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(14)，∴一個焦點的坐標為(eq\r(14)，0)，到漸近線的距離d＝eq\f(|\r(5)×\r(14)－3×0|,\r(5＋9))＝eq\r(5)．]二、填空題6．已知點(2,3)在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距為4，則它的離心率為．2[依據點(2,3)在雙曲線上，可以很簡單建立一個關于a，b的等式，即eq\f(4,a2)－eq\f(9,b2)＝1，考慮到焦距為4，可得到一個關于c的等式，2c＝4，即c＝2．再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，所以離心率e＝2．]7．與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1共焦點，離心率之和為eq\f(14,5)的雙曲線標準方程為．eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1[橢圓的焦點是(0,4)，(0，－4)，∴c＝4，e＝eq\f(4,5)，∴雙曲線的離心率等于eq\f(14,5)－eq\f(4,5)＝2，∴eq\f(4,a)＝2，∴a＝2．∴b2＝42－22＝12．∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1．]8．已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標原點，F為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N．若△OMN為直角三角形，則|MN|＝．3[因為雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以∠MON＝60°．不妨設過點F的直線與直線y＝eq\f(\r(3),3)x交于點M，由△OMN為直角三角形，不妨設∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線MN過點F(2,0)，所以直線MN的方程為y＝－eq\r(3)(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－2，,y＝\f(\r(3),3)x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝\f(\r(3),2)，))所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，所以|OM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2))＝eq\r(3)，所以|MN|＝eq\r(3)|OM|＝3．]三、解答題9．已知雙曲線的一條漸近線為x＋eq\r(3)y＝0，且與橢圓x2＋4y2＝64有相同的焦距，求雙曲線的標準方程．[解]橢圓方程為eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,16)＝1，∴橢圓的焦距為8eq\r(3)．①當雙曲線的焦點在x軸上時，設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48,\f(b,a)＝\f(\r(3),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝36,b2＝12))．∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1．②當雙曲線的焦點在y軸上時，設雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝48,\f(a,b)＝\f(\r(3),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝12,b2＝36))．∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1．由①②可知，雙曲線的標準方程為eq\f(x2,36)－eq\f(y2,12)＝1或eq\f(y2,12)－eq\f(x2,36)＝1．10．設雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,3)＝1的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為2．(1)求此雙曲線的漸近線l1，l2的方程；(2)若A，B分別為l1，l2上的點，且2|AB|＝5|F1F2|，求線段AB的中點M[解](1)∵e＝2，∴c2＝4a2∵c2＝a2＋3，∴a＝1，c＝2．∴雙曲線方程為y2－eq\f(x2,3)＝1，漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x．∴l1的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x，l2的方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x．(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x，y)．∵2|AB|＝5|F1F2|＝5×2∴|AB|＝10，∴eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝10，即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100．∵y1＝eq\f(\r(3),3)x1，y2＝－eq\f(\r(3),3)x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴y1＋y2＝eq\f(\r(3),3)(x1－x2)，y1－y2＝eq\f(\r(3),3)(x1＋x2)，∴y＝eq\f(\r(3),6)(x1－x2)，y1－y2＝eq\f(2\r(3),3)x，代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，得3×(2y)2＋eq\f(1,3)(2x)2＝100，整理得eq\f(x2,75)＋eq\f(3y2,25)＝1．11．(多選題)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F2(c,0)，又點Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(3b2,2a)))．若雙曲線C左支上的隨意一點M均滿意|MF2|＋|MN|＞4b，則雙曲線C的離心率可能為()A．3 B．4C．eq\f(3,2) D．eq\f(6,5)ABD[雙曲線C左支上的隨意一點M均滿意|MF2|＋|MN|＞4b，即(|MF2|＋|MN|)min＞4b，又|MF2|＋|MN|≥2a＋|MF1|＋|MN|≥2a＋|NF1|＝2a＋eq\f(3b2,2a)，當且僅當M，N，F1三點共線且M在N，F1之間時取“＝”，即2a＋eq\f(3b2,2a)＞4b?3b2－8ab＋4a2＞0?3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－8·eq\f(b,a)＋4＞0，解得eq\f(b,a)＞2或eq\f(b,a)＜eq\f(2,3)，∴e2＝1＋eq\f(b2,a2)＞5或e2＜eq\f(13,9)，∴e＞eq\r(5)或1＜e＜eq\f(\r(13),3)．]12．設F1，F2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P滿意|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝eq\f(4,5)，則雙曲線的漸近線方程為()A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0C．3x±5y＝0 D．5x±4y＝0B[作F2Q⊥PF1于Q，因為|F1F2|＝|PF2所以Q為PF1的中點，由雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a所以|PF1|＝2a＋2故|F1Q|＝a＋c，因為cos∠PF1F2＝eq\f(4,5)，所以eq\f(F1Q,F1F2)＝cos∠PF1F2，即eq\f(a＋c,2c)＝eq\f(4,5)，得3c＝5a，所以3eq\r(a2＋b2)＝5a，得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)x，即4x±3y＝0．]13．(一題兩空)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線C交于M、N兩點，與雙曲線的漸近線交于P、Q兩點．若eq\f(|PQ|,|MN|)＞eq\r(2)，記過第一、三象限的雙曲線C的漸近線為l1，則l1的傾斜角的取值范圍為，離心率的取值范圍為．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))(1，eq\r(2))[如圖，在雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，取x＝c，可得y＝±eq\f(b2,a)，∴|MN|＝eq\f(2b2,a)．分別在雙曲線的漸近線y＝eq\f(b,a)x與y＝－eq\f(b,a)x，取x＝c，求得|PQ|＝eq\f(2bc,a)．由eq\f(|PQ|,|MN|)＞eq\r(2)，得eq\f(\f(2bc,a),\f(2b2,a))＞eq\r(2)，即c2＞2b2，∴a2＋b2＞2b2，∴eq\f(b,a)＜1，∴l1的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))e2＝eq\f(b2,a2)＋1＜2，∴e的取值范圍為(1，eq\r(2))．]14．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>1，b>1)的焦距為2c，直線l過點(a,0)和(0，b)，且點(1,0)到直線l的距離與點(－1,0)到直線l的距離之和s≥eq\f(4,5)c，則雙曲線的離心率e的取值范圍為．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(5)))[直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0．由點到直線的距離公式，且a>1，b>1，得到點(1,0)到直線l的距離d1＝eq\f(ba－1,\r(a2＋b2))，點(－1,0)到直線l的距離d2＝eq\f(ba＋1,\r(a2＋b2))，s＝d1＋d2＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2ab,c)．由s≥eq\f(4,5)c，得eq\f(2ab,c)≥eq\f(4,5)c，即5aeq\r(c2－a2)≥2c2．于是得5eq\r(e2－1)≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0．解不等式，得eq\f(5,4)≤e2≤5，由于e>1