試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024學年第一學期高三年級學業質量調研數學試卷考生注意：1．本場考試時間120分鐘，試卷共4頁，滿分150分，答題紙共2頁．2．作答前，考生在答題紙正面填寫學校、姓名、考生號，粘貼考生本人條形碼．3．所有作答務必填涂或書寫在答題紙上與試卷題號對應的區域，不得錯位．在草稿紙、試卷上作答一律不得分．4．用2B鉛筆作答選擇題，用黑色筆跡鋼筆、水筆或圓珠筆作答非選擇題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應在答題紙相應位置直接填寫結果．1．設集合，，則．2．不等式的解集為．3．直線的傾斜角為．4．已知正實數、滿足，則的最小值為．5．已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側面積為．6．的二項展開式中，項的系數為．7．已知函數為奇函數，則.8．從10名數學老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數為．9．已知（i為虛數單位，為正整數），當、取遍所有正整數時，的值中不同虛數的個數為．10．已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于、兩點．若，則．11．如圖，某小區內有一塊矩形區域，其中米，米，點、分別為、的中點，左右兩個扇形區域為花壇（兩個扇形的圓心分別為、，半徑均為20米），其余區域為草坪．現規劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區，且三角形的一個頂點在線段上，另外兩個頂點在線段上，則該游樂區面積的最大值為平方米．（結果保留整數）12．已知，若存在、，且，使得成立，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項．考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（

）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件14．下列函數中，在區間上是嚴格減函數的為（

）A． B． C． D．15．設，若、為同一象限的角，且不存在、，使得，則、所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限16．已知數列滿足，其中為常數．對于下述兩個命題：①對于任意的，任意的，都有是嚴格增數列；②對于任意的，存在，使得是嚴格減數列．以下說法正確的為（

）A．①真命題；②假命題 B．①假命題；②真命題C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟．17．在直三棱柱中，，，，連接，、分別為和的中點．(1)證明：直線平面；(2)求二面角的大小．18．已知(1)若，求函數的值域；(2)若存在，使得，求實數的取值范圍．19．為了解某市高三學生的睡眠時長，從該市6.6萬名高三學生中隨機抽取600人，統計他們的日均睡眠時長及分布人數如下表所示：睡眠時長（小時）人數150270180注：睡眠時長在的為睡眠充足，在的為睡眠良好，在的為睡眠不足．(1)估計該市6.6萬名高三學生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數約為多少？(2)估計該市高三學生日均睡眠時長；(3)若從這600名學生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取4人做進一步訪談調查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學生的概率．20．已知圓，雙曲線，直線，其中．(1)當時，求雙曲線的離心率；(2)若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個公共點；(3)設與軸交于點，與圓交于點、，與雙曲線的左右兩支分別交于點、，四個點從左至右依次為、、、．當時，是否存在實數，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．21．設函數的定義域為，集合．若中有且僅有一個元素，則稱為函數的一個“值”(1)設，求的值；(2)設，且，若的函數值中不存在值，求實數取值的集合；(3)已知定義域為的函數的圖象是一條連續曲線，且函數的所有函數值均為值，若，證明：在上為嚴格增函數的一個充要條件是．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．##【分析】根據交集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故答案為：2．【分析】將分式不等式等價轉化為一元二次不等式，解得即可.【詳解】不等式等價于，解得，所以不等式的解集為.故答案為：3．【分析】把直線方程化為斜截式，再利用斜率與傾斜角的關系即可得出．【詳解】設直線的傾斜角為．由直線化為，故，又，故，故答案為．【點睛】一般地，如果直線方程的一般式為，那么直線的斜率為，且，其中為直線的傾斜角，注意它的范圍是．4．2【分析】利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】正實數、滿足，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為2.故答案為：25．【分析】根據勾股定理求出母線長，再根據圓錐的側面積公式求解即可.【詳解】因為圓錐的高為8，底面半徑為，所以圓錐的母線長為，則圓錐的側面積.故答案為：.6．28【分析】利用二項式定理求出含的項，進而求出其系數.【詳解】在的二項展開式中，含的項為，所以項的系數為28.故答案為：287．【分析】首先求出當時的函數值，再根據奇函數的性質得解.【詳解】因為函數為奇函數，當時，所以.故答案為：8．144【分析】利用分步乘法計數原理及排列應用問題列式計算得解.【詳解】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種，所以不同的值班安排方法種數為（種）.故答案為：1449．6【分析】由的整數次冪的周期性求出的取值集合，進而列舉出所有結果即可得解.【詳解】依題意，，，則，因此，，所以的值中不同虛數有：，共6個.故答案為：610．【分析】首先求出、，設Ax0,y0，根據數量積的坐標表示及，求出點坐標，從而求出的方程，再聯立直線與橢圓方程，求出點坐標，最后由數量積的坐標表示計算可得.【詳解】橢圓，則、，設Ax0,y0即，又，解得，不妨取，則的方程為，由，解得或，所以，所以，，所以.故答案為：.11．137【分析】根據已知條件知，當三角形的兩邊分別與圓弧相切時，三角形的面積最大，設切點為，，由三角形全等得到，將三角形面積的表達式用表示，從而轉化為三角函數，利用換元法轉化為基本不等式求最值即可求解.【詳解】設游樂區所在的三角形為，在線段上，在線段上，如圖所示，當分別于圓弧相切時，取得最大值，由對稱性，只討論，設與圓弧相切于點，連接，設，因為≌，≌，則，，因為，所以，，，，所以，因為，所以，令，則，則，當且僅當，即時等號成立，所以平方米，即該游樂區面積的最大值為137平方米．故答案為：137.12．【分析】根據的值域得到，則成立的必要條件是，當時必然成立，討論時是否滿足條件即可.【詳解】因為，所以，，因為，所以，所以，即，，所以，當且僅當時，成立，所以，必要條件：，解得；若，即時，必然成立；若，因為，，不妨設，則，，且，所以，，所以①，②，①②兩式聯立得，即，所以，又，所以，，當時，，不符合條件；當時，，則，此時；當時，，則或，此時或，因為，所以；綜上，或，所以的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點之一在于根據的值域得到，將問題轉化為；關鍵點之二在于討論時是否滿足條件.13．A【分析】利用異面直線的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.故選：A14．B【分析】利用解析式直接判斷各選項中函數在上的單調性即可.【詳解】對于A，函數在上是嚴格增函數，A不是；對于B，函數在上是嚴格減函數，B是；對于C，函數在上是嚴格增函數，C不是；對于D，當時，在上是嚴格增函數，D不是.故選：B.15．D【分析】根據給定條件，結合同角公式，逐項分析確定的取值的正負情況即可判斷得解.【詳解】對于A，若，，由，解得，顯然，令方程的根為，，當時，，當時，，而當時，，當時，，取，則，A不是；對于B，當為第二象限時，，，取，，則，B不是；對于C，當為第三象限時，，取，，，C不是；對于D，當為第四象限時，，，則，當為第四象限時，，D正確.故選：D16．A【分析】對于①，當時，，然后作差證明數列的單調性；對于②，當時，容易發現無論為何值，最終恒為常數.【詳解】對于①，時，，，時，；時，，也有，故①為真命題.對于②，時，，，當時，，，不嚴格遞減；當時，，，不嚴格遞減；當時，，若，則，同理當時，，則存在，使得，則，，不嚴格遞減.綜上所述，時，不可能是嚴格遞減數列.故②為假命題.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：本題對①的分析得關鍵是對分類討論，分和研究即可.17．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，易得，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量m=x,y,z，易知平面ABC的一個法向量，設二面角的大小為，由求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：連接，因為、分別為和的中點，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為m=x,y,z則，即，令，得，則，易知平面ABC的一個法向量為：，設二面角的大小為，則，二面角的大小為.18．(1)；(2).【分析】（1）把代入，結合二次函數性質及對勾函數的單調性分段求出求出值域即可得解.（2）由給定條件，可得，再代入化簡并結合輔助角公式及正弦函數的性質求出范圍.【詳解】（1）當時，函數，當時，，當且僅當時取等號，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，，所以函數的值域是.（2）當時，，由，得，則，整理得，而，，因此，所以實數的取值范圍.19．(1)4.95（萬人）(2)（小時）(3)【分析】（1）由樣本中日均睡眠時長大于等于6小時的頻率估計總體即可；（2）用樣本平均數估計總體平均數即可；（3）由古典概型結合組合數公式即可求解.【詳解】（1）由題知，隨機抽取的600人中日均睡眠時長大于等于6小時的人數為（人），所以估計該市6.6萬名高三學生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數約為（萬人）；（2）隨機抽取的600人的日均睡眠時長為（小時），所以估計該市高三學生日均睡眠時長約為（小時）；（3）從這600名學生中利用分層抽樣的方法抽取20人，抽樣比例為，所以睡眠時長在抽取（人），睡眠時長在抽取（人），睡眠時長在抽取（人），則從這20人中隨機抽取4人，這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學生的概率為.20．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據離心率公式即可；（2）聯立雙曲線和直線方程，根據韋達定理即可證明；（3）聯立圓和直線方程，得到韋達定理式和判別式，再聯立雙曲線方程和直線方程，得到韋達定理和判別式，再將向量點乘式化成橫坐標關系，再代入化簡即可.【詳解】（1）由題意，，所以，，因此，雙曲線的離心率.（2）由直線與圓相切，得，即，聯立得，即，該一元二次方程的判別式，因此有兩個不相等的實數根，且兩根之積為，因此兩根一正一負，即與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.（3）設，聯立，得，得，由可得.聯立得，得且分別交于左右兩支可得又，又、、、四個點在同一直線上，，，還可得，，即，化簡后可得:，代入后化簡可得:，解得，由，得.經檢驗，此時與兩支分別有交點，為唯一滿足條件的實數.

【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是多次聯立，得到韋達定理，再將向量式化簡得，即，再代入韋達定理式計算即可.21．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據題意可知有唯一解，由可求出結果；（2）求以及，研究的單調性，分析的圖像，可得出的函數值中不存在值時的情況，列出等式可解出的取值；（3）從充分性以及必要性兩種情況來證.【詳解】（1）由題設知：有唯一解，即有唯一解，所以，解得：.所以的值為.（2），當時，由可得：或，由可得：或，所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，當時，，且，，畫簡圖如下：若的函數