第5章分式與分式方程（7類壓軸題專練）題型1：分式方程與一元一次不等式組1．若關(guān)于的不等式組無解，且關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)的值為（

）A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或72．已知數(shù)m使關(guān)于x的不等式組至少有一個(gè)非負(fù)整數(shù)解，且使關(guān)于x的分式方程有不大于5的整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式，解：∵，∴可化為，由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，有（1）或（2）解不等式組（1），得，解不等式組（2），得，故的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．問題：（1）一元二次不等式的解集為___________．（2）求分式不等式的解集．題型2：分式與二次根式4．若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，且，則有：（結(jié)論不需要證明）例如：根據(jù)以上閱讀，請解決下列問題：【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)求的值；【能力提升】(2)設(shè)，求S的整數(shù)部分．【拓展升華】(3)已知，其中，且．當(dāng)取得最小值時(shí)，求x的取值范圍．5．我們知道，整式，分式，二次根式等都是代數(shù)式，代數(shù)式是用基本運(yùn)算符號連接起來的式子，而當(dāng)被除數(shù)是一個(gè)二次根式，除數(shù)是一個(gè)整式時(shí)，求得的商就會出現(xiàn)類似這樣的形式，我們稱形如這種形式的式子稱為根分式，例如，都是根分式．(1)請根據(jù)以上信息，寫出根分式中的取值范圍：______；(2)已知兩個(gè)根分式與．①是否存在的值使得，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由；②當(dāng)是一個(gè)整數(shù)時(shí)，求無理數(shù)的值．6．若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，且，則有：．例如：．請解決下列問題：(1)求的值．(2)設(shè)，求的整數(shù)部分．(3)已知（，），且，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的取值．題型3：化簡復(fù)雜的分式、求值7．若滿足和，則分式的值為．8．先化簡，后求值：，其中x，y滿足．題型4：分式有關(guān)的規(guī)律性問題9．將，，，…，依次代入得到，，…，那么．10．觀察下列等式：，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：=++==猜想并得出：=根據(jù)以上推理，求出分式方程的解是．11．仔細(xì)觀察下面的變形規(guī)律：，，，……解答下面的問題：(1)總結(jié)規(guī)律：已知為正整數(shù)，請將和寫成上面式子的形式；(2)類比發(fā)現(xiàn)：計(jì)算與的結(jié)果；(3)知識遷移：解關(guān)于（為正整數(shù)）的分式方程：；(4)規(guī)律應(yīng)用：化簡．題型5：最值問題12．《見微知著》讀到：從一個(gè)簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入；（4）整體求和等．例如：，求證：證明：左邊：波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征：閱讀材料二基本不等式（，），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立時(shí)等號成立，它是解決最值問題的有力工具．例如：在的條件下的，當(dāng)x為何值時(shí)，有最小值，最小值是多少？解：∵，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有，最小值為2，請根據(jù)閱讀材料解答下列問題：（1）已知，求下列各式的值：①____________②____________（2）若，求的值；（3）已知長方形的面積為9，求此長方形周長的最小值；（4）若正數(shù)a、b滿足，求的最小值．13．閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如，，，，這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式即：整式與真分式的和的形式．如：；，再如：．解決下列問題：(1)分式是分式填“真”或“假”；(2)先將假分式化為帶分式，再當(dāng)?shù)闹禐檎麛?shù)，求的整數(shù)值．寫出過程(3)將假分式化為帶分式，當(dāng)時(shí)，試求的最小值．14．著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則．閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：，這樣，分式就拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式的和的形式．根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：(1)若分式的值為非負(fù)整數(shù)，則整數(shù)的值為______．(2)求分式的取值范圍；(3)若分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：（整式部分對應(yīng)等于，真分式部分對應(yīng)等于），求的最小值．題型6：新定義、材料題15．定義：若分式A與分式的差等于它們的積．即，則稱分式是分式A的“可存異分式”．如與．因?yàn)椋允堑摹翱纱娈惙质健保?1)填空：分式________分式的“可存異分式”（填“是”或“不是”；）(2)分式的“可存異分式”是________；(3)已知分式是分式A的“可存異分式”．①求分式A的表達(dá)式；②若整數(shù)使得分式A的值是正整數(shù)，直接寫出分式A的值；(4)若關(guān)于的分式是關(guān)于的分式的“可存異分式”，求的值．16．閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，例如，，求證：．證明：左邊右邊．閱讀材料二：基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，它是解決最值問題的有力工具．例如：在的條件下，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值為2．請根據(jù)閱讀材料解答下列問題(1)若正數(shù)x，則的最小值為______．(2)若正數(shù)a，b滿足，，n為的最小值，求；(3)若正數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．17．我們約定：若關(guān)于的整式與同時(shí)滿足：，，則稱整式A與整式互為“美美與共”整式．根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)若關(guān)于的整式與互為“美美與共”整式，求k，m，n的值．(2)若關(guān)于x的整式，（a，b為常數(shù)），M與互為“美美與共”整式，且是的一個(gè)因式，求的值；(3)若，且關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，求的“美美與共”整式，并求出的最小值．18．閱讀理解：材料1：為了研究分式與其分母x的數(shù)量變化關(guān)系，小力制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)：…01234……無意義1…從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值隨之減小，若無限增大，則無限接近于0；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值也隨之減小．材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．任何一個(gè)假分式都可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和．例如：根據(jù)上述材料完成下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值(增大或減小)；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值（增大或減小）；(2)當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值無限接近一個(gè)數(shù)，請求出這個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，直接寫出代數(shù)式值的取值范圍是．題型7：分式方程的實(shí)際應(yīng)用題19．通常把臟衣服用洗衣液清洗后會進(jìn)行擰干，但由于不可能擰凈衣服上的全部污水，所以還需要用清水進(jìn)行多次漂洗，不斷降低衣服中污水的含量．某小組研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分內(nèi)容如下，請補(bǔ)充完整：實(shí)驗(yàn)研究：先準(zhǔn)備幾件相同的洗過一次并擰干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分別用一定量的清水浸泡，經(jīng)過充分搓洗，使清水與衣服上存留的污水混合均勻，然后擰干，視為一次漂洗，稱重、記錄每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留1斤污水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來的，在多次實(shí)驗(yàn)后，通過對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，該小組決定使用20斤清水，采用三種不同的方案，對每件衣服分別進(jìn)行漂洗，并假設(shè)每次擰干后的衣服上都存留約1斤的污水．?dāng)?shù)據(jù)計(jì)算：對三種漂洗方案進(jìn)行計(jì)算、比較．方案一：采用一次漂洗的方式．將20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原來的________；方案二：采用兩次漂洗的方式，且兩次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原來的________；方案三：采用兩次漂洗的方式，且兩次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原來的________．實(shí)驗(yàn)結(jié)論：對比可知，在這三種方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．推廣證明：將臟衣服用洗衣液清洗后，再用清水進(jìn)行漂洗，假設(shè)每次擰干后還存留（）斤污水，現(xiàn)用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量為斤），請比較并證明方案二與方案三的漂洗效果．20．如圖，“豐收1號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為米的正方形去掉一個(gè)邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了．

(1)①“豐收1號”單位面積產(chǎn)量為，“豐收2號”單位面積產(chǎn)量為（以上結(jié)果均用含的式子表示）；②通過計(jì)算可知，（填“1號”或“2號”）小麥單位面積產(chǎn)量高；(2)若高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量的多，求的值；(3)某農(nóng)戶試種“豐收1號”、“豐收2號”兩種小麥種子，兩種小麥試種的單位面積產(chǎn)量與實(shí)驗(yàn)田一致，“豐收1號”小麥種植面積為平方米（為整數(shù)），“豐收2號”小麥種植面積比“豐收1號”少55平方米，若兩種小麥種植后，收獲的產(chǎn)量相同，當(dāng)且為整數(shù)時(shí)，符合條件的值為（直接寫出結(jié)果）．21．我校科技興趣小組利用機(jī)器人開展研究活動，在相距150個(gè)單位長度的直線跑道AB上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)A出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)A、B之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)B出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)B、A之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)，興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．(1)【觀察】①觀察圖1，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為30個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為35個(gè)單位長度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為個(gè)單位長度．(2)【發(fā)現(xiàn)】設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為x個(gè)單位長度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為y個(gè)單位長度，興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖像（線段OP，不包括點(diǎn)O，如圖2所示）①a＝；②分別求出各部分圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式，并在圖2中補(bǔ)全函數(shù)圖像．

第5章分式與分式方程（7類壓軸題專練）題型1：分式方程與一元一次不等式組1．若關(guān)于的不等式組無解，且關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)的值為（

）A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7【答案】D【分析】本題考查一元一次不等式組的解，分式方程的解，先解不等式組，再解分式方程，從而確定的取值，進(jìn)而解決此題．【解析】解不等式組，得，不等式組無解，，，分式方程，方程的兩邊同時(shí)乘，得，，整理得，，，方程有整數(shù)解，或或或，或或或或或或或，，，，或或，故選：D．2．已知數(shù)m使關(guān)于x的不等式組至少有一個(gè)非負(fù)整數(shù)解，且使關(guān)于x的分式方程有不大于5的整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)m的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】分別解不等式組的兩個(gè)不等式，根據(jù)“關(guān)于x的不等式組至少有一個(gè)非負(fù)整數(shù)解”，得到關(guān)于m的一元一次不等式，解之，解分式方程，結(jié)合“該分式方程有不大于5的整數(shù)解”，得到關(guān)于m的不等式，解之，經(jīng)判斷后即可得到m的值，即可得到答案．【解析】解不等式﹣11x﹣5≤6得：x≥﹣1，解不等式＞x﹣m得：x＜2m，∵關(guān)于x的不等式組至少有一個(gè)非負(fù)整數(shù)解，∴2m＞0，解得：m>0，解分式方程得：x＝，且x≠2，∵關(guān)于x的分式方程有不大于5的整數(shù)解，≤5且≠2，解得：m≤13且m≠1，則符合要求的m的值為：5，9，13，共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查解不等式組，解不等式，根據(jù)不等式組及不等式的解的情況確定未知數(shù)的值，正確求解很關(guān)鍵.3．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：解一元二次不等式，解：∵，∴可化為，由有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，有（1）或（2）解不等式組（1），得，解不等式組（2），得，故的解集為或，即一元二次不等式的解集為或．問題：（1）一元二次不等式的解集為______．（2）求分式不等式的解集．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）仿照例題進(jìn)行解答即可；（2）先利用分式的基本性質(zhì)將分式轉(zhuǎn)換成整式，然后仿照例題解答即可．【解析】解：（1）∵，∴可化為，根據(jù)有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，同號得正”，可得①或②解不等式組①，得，解不等式組②，得，故的解集為或，即一元二次不等式的解集為或；（2）∵∴（5x+1）（2x-3）＜0根據(jù)有理數(shù)的乘法法則“兩數(shù)相乘，異號得負(fù)”，可得：①或②解不等式組①，得，解不等式組②，發(fā)現(xiàn)無解，故（5x+1）（2x-3）＜0的解集為，即分式不等式的解集．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次不等式和解分式不等式，根據(jù)例題總結(jié)解答方法和掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．題型2：分式與二次根式4．若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，且，則有：（結(jié)論不需要證明）例如：根據(jù)以上閱讀，請解決下列問題：【基礎(chǔ)訓(xùn)練】(1)求的值；【能力提升】(2)設(shè)，求S的整數(shù)部分．【拓展升華】(3)已知，其中，且．當(dāng)取得最小值時(shí)，求x的取值范圍．【答案】(1)(2)S的整數(shù)部分2019(3)代數(shù)式取得最小值時(shí)，x的取值范圍是【分析】（1）根據(jù)范例中提供的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；（2））利用題目的僅能式將其進(jìn)行化簡，再確定整數(shù)部分；（3）將原式化簡為，再根據(jù)||取最小值時(shí)，確定x的取值范圍．【解析】（1）（2），∴S的整數(shù)部分2019；（3）由已知得：，且，，∵，∴原式，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為2，∴代數(shù)式取得最小值時(shí)，x的取值范圍是：．【點(diǎn)睛】本題考查無理數(shù)的大小比較，分式的加減法以及找規(guī)律等知識，理解題意和推廣應(yīng)用是本題的亮點(diǎn)．5．我們知道，整式，分式，二次根式等都是代數(shù)式，代數(shù)式是用基本運(yùn)算符號連接起來的式子，而當(dāng)被除數(shù)是一個(gè)二次根式，除數(shù)是一個(gè)整式時(shí)，求得的商就會出現(xiàn)類似這樣的形式，我們稱形如這種形式的式子稱為根分式，例如，都是根分式．(1)請根據(jù)以上信息，寫出根分式中的取值范圍：______；(2)已知兩個(gè)根分式與．①是否存在的值使得，若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由；②當(dāng)是一個(gè)整數(shù)時(shí)，求無理數(shù)的值．【答案】(1)且(2)①不存在，理由見解析；②【分析】（1）根據(jù)平方根的被開方數(shù)不能為負(fù)數(shù)、分母不能為，代數(shù)式才有意義即可得答案；（2）①根據(jù)已知列出方程，解方程即得答案；計(jì)算，變形為，是一個(gè)整數(shù)，則的值為或，解出方程取無理數(shù)且即可．【解析】（1）由且可得：且，故答案為：且；（2）不存在，理由如下：由得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，原方程無解，不存在；，是一個(gè)整數(shù)，是整數(shù)，或，解得或x=1或或，為無理數(shù)，且，．【點(diǎn)睛】本題考查根分式有意義的條件，無理方程及根分式的值，解題的關(guān)鍵是掌握無理方程需檢驗(yàn)，是整數(shù)，則或．6．若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，且，則有：．例如：．請解決下列問題：(1)求的值．(2)設(shè)，求的整數(shù)部分．(3)已知（，），且，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的取值．【答案】(1)；(2)整數(shù)部分為2019；(3)．【分析】（1）根據(jù)范例中提供的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）將原式進(jìn)行化簡，再確定整數(shù)部分；（3）將原式化簡為，再根據(jù)取最小值時(shí)，確定的取值范圍．【解析】（1）解：；（2）解：，故整數(shù)部分為2019；（3）解：由題意得，，，又，原式，因?yàn)槿∽钚≈担裕虼耍穑旱娜≈捣秶鸀椋军c(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法、實(shí)數(shù)的運(yùn)算、二次根式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握數(shù)字間的變化規(guī)律，準(zhǔn)確計(jì)算．題型3：化簡復(fù)雜的分式、求值7．若滿足和，則分式的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，把兩個(gè)方程聯(lián)合組成方程組，然后兩方程相減得到③，再把③整理，代入到①方程，得到④，再由，得到，然后代入分式進(jìn)行求解，即可得到答案.【解析】解：根據(jù)題意，兩個(gè)方程了聯(lián)合組成方程組，有：，由，得：③，∴，把代入①，得：④，把得：；∴；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三元一次方程組，以及求分式的值，熟練掌握解方程組的方法，正確得到和是解題的關(guān)鍵.8．先化簡，后求值：，其中x，y滿足．【答案】，【分析】利用因式分解和整式運(yùn)算法則逐步化簡整式，再借助已知條件計(jì)算x，y的值，代入求解即可．【解析】解：原式∵，∴，即，∵，，∴，，解得：，，將其代入，可得原式【點(diǎn)睛】本題主要考查整式混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練使用整式運(yùn)算法則及因式分解完成整式化簡．題型4：分式有關(guān)的規(guī)律性問題9．將，，，…，依次代入得到，，…，那么．【答案】100【分析】用m表示n，然后化簡，再分別表示，再求和即可．【解析】解：分析可知n=，∴n+1=+1=，∴==1-，∴=+1-，=+1-，=+1-，…，=+1-，∴+++…+-（）+100=100故答案是：100．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的規(guī)律性問題，逐個(gè)計(jì)算找到規(guī)律是解題關(guān)鍵，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．10．觀察下列等式：，，將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：=++==猜想并得出：=根據(jù)以上推理，求出分式方程的解是．【答案】x=5【分析】根據(jù)題目中的運(yùn)算法則，原方程利用拆項(xiàng)法變形后，求出答案即可．【解析】解：根據(jù)題意，∵，∴，整理得：，∴，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)x=5是分式方程的解．故答案為：x=5．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．11．仔細(xì)觀察下面的變形規(guī)律：，，，……解答下面的問題：(1)總結(jié)規(guī)律：已知為正整數(shù)，請將和寫成上面式子的形式；(2)類比發(fā)現(xiàn)：計(jì)算與的結(jié)果；(3)知識遷移：解關(guān)于（為正整數(shù)）的分式方程：；(4)規(guī)律應(yīng)用：化簡．【答案】(1)；(2)；(3)(4)【分析】（1）根據(jù)題目中的規(guī)律，寫出結(jié)果即可；（2）利用解析（1）中得出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先化簡方程左邊的式子，然后解分式方程即可；（4）利用解析（1）中的規(guī)律進(jìn)行變形計(jì)算即可．【解析】（1）解：∵，，，……∴，；（2）解：；．（3）解：方程變?yōu)椋矗海シ帜傅茫海獾茫海瑱z驗(yàn)：因?yàn)闉檎麛?shù)，原方程分母不會為零；所以原方程的根式．（4）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)的規(guī)律題，解分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出題目中的規(guī)律，注意解分式方程要進(jìn)行檢驗(yàn)．題型5：最值問題12．《見微知著》讀到：從一個(gè)簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜：從部分到整體，由低維到高維，知識與方法上的類比是探索發(fā)展重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、結(jié)論的重要方法．閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，常用的途徑有：（1）整體觀察；（2）整體設(shè)元；（3）整體代入；（4）整體求和等．例如：，求證：證明：左邊：波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長”類似問題，我們有更多的式子滿足以上特征：閱讀材料二基本不等式（，），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立時(shí)等號成立，它是解決最值問題的有力工具．例如：在的條件下的，當(dāng)x為何值時(shí)，有最小值，最小值是多少？解：∵，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有，最小值為2，請根據(jù)閱讀材料解答下列問題：（1）已知，求下列各式的值：①____________②____________（2）若，求的值；（3）已知長方形的面積為9，求此長方形周長的最小值；（4）若正數(shù)a、b滿足，求的最小值．【答案】（1）①1；②1；（2）5；（3）12；（4）【分析】（1）①由題意可得a=，代入式中可求值；②由題意可得a=，代入式中可求值；（2）將abc=1代入方程可求解；（3）設(shè)此長方形的連長為a，b，則，，由此解答即可．（4）由，可得當(dāng)a+取最小值時(shí)，M的值最小．【解析】（1）①∵∴∴原式②∵∴原式（2）∵，且∴（3）設(shè)此長方形的邊長為a，b，則∵，∴所以周長的最小值為12（4）∵正數(shù)a，b滿足∴，，，∴∵∴當(dāng)時(shí)，M有最小值，∴M最小值為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，讀懂材料，理解題意并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．13．閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：．我們定義：在分式中，對于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．如，，，，這樣的分式就是假分式；再如：這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式即：整式與真分式的和的形式．如：；，再如：．解決下列問題：(1)分式是分式填“真”或“假”；(2)先將假分式化為帶分式，再當(dāng)?shù)闹禐檎麛?shù)，求的整數(shù)值．寫出過程(3)將假分式化為帶分式，當(dāng)時(shí)，試求的最小值．【答案】(1)真(2)，的值為或或或；(3)最小值為【分析】（1）根據(jù)定義即可求出答案；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，然后根據(jù)的值為整數(shù)求解即可；（3）先化為帶分式，然后根據(jù)題意求解即可．本題考查分式和新定義問題，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義以及分式的運(yùn)算，本題屬于中等題型．【解析】（1）由題意可得，分式是真分式；故答案為：真；（2），的值為整數(shù)，且為整數(shù)，的值為或或或，的值為或或或；（3），當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)式子的和有最小值．最小值為，則的最小值為．14．著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個(gè)數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則．閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問題時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（分式）的和（差）的形式，通過對它的簡單分析來解決問題，我們稱這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效．將分式分離常數(shù)可類比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：，這樣，分式就拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式的和的形式．根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：(1)若分式的值為非負(fù)整數(shù)，則整數(shù)的值為______．(2)求分式的取值范圍；(3)若分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)真分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：（整式部分對應(yīng)等于，真分式部分對應(yīng)等于），求的最小值．【答案】(1)或或(2)(3)27【分析】本題考查分式的化簡以及完全平方公式．（1）根據(jù)題干中的方法，將分式進(jìn)行變形，再進(jìn)行求解即可；（2）先將分式轉(zhuǎn)化為一個(gè)整數(shù)和一個(gè)分式的和的形式，進(jìn)而求出取值范圍即可；（3）先將分式轉(zhuǎn)化為一個(gè)整數(shù)和一個(gè)分式的和的形式，然后將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為完全平方公式的形式，求出最大值即可．掌握分式的變形方法，是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：∵的值為非負(fù)整數(shù)，∴，∴；故答案為：或或；（2），∵，∴，∴，即：；（3）∵，又，∴，，∴，∴，∴；∵，∴；∴的最小值為．題型6：新定義、材料題15．定義：若分式A與分式的差等于它們的積．即，則稱分式是分式A的“可存異分式”．如與．因?yàn)椋允堑摹翱纱娈惙质健保?1)填空：分式________分式的“可存異分式”（填“是”或“不是”；）(2)分式的“可存異分式”是________；(3)已知分式是分式A的“可存異分式”．①求分式A的表達(dá)式；②若整數(shù)使得分式A的值是正整數(shù)，直接寫出分式A的值；(4)若關(guān)于的分式是關(guān)于的分式的“可存異分式”，求的值．【答案】(1)不是(2)(3)①；②分式A的值是1，3，5；(4)520【分析】（1）根據(jù)“可存異分式”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）設(shè)的“可存異分式”為，根據(jù)定義得出，利用分式混合運(yùn)算法則求出N即可；（3）①根據(jù)“可存異分式”的定義列式計(jì)算即可；②根據(jù)整除的定義進(jìn)行求解即可；（4）設(shè)關(guān)于的分式的“可存異分式”為M，求出，根據(jù)關(guān)于的分式是關(guān)于的分式的“可存異分式”，得出，求出，代入求值即可．【解析】（1）解：∵，，∴，∴分式不是分式的“可存異分式”；故答案為：不是．（2）解：設(shè)的“可存異分式”為，則，∴，∴．故答案為：．（3）①∵分式是分式A的“可存異分式”，∴，∴，∴；②∵整數(shù)使得分式A的值是正整數(shù)，，∴時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，∴分式A的值是1，3，5；（4）解：設(shè)關(guān)于的分式的“可存異分式”為M，則：，∴，∵關(guān)于的分式是關(guān)于的分式的“可存異分式”，∴，整理得：，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式混合運(yùn)算的應(yīng)用，新定義運(yùn)算，解方程組，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．16．閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡便解決方法，例如，，求證：．證明：左邊右邊．閱讀材料二：基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，它是解決最值問題的有力工具．例如：在的條件下，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最小值，最小值為2．請根據(jù)閱讀材料解答下列問題(1)若正數(shù)x，則的最小值為______．(2)若正數(shù)a，b滿足，，n為的最小值，求；(3)若正數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)材料2即可求解；（2）先根據(jù)分式的性質(zhì)以及恒等式變形求得的值，再根據(jù)負(fù)指數(shù)冪即可求解；（3）根據(jù)題意可得，進(jìn)而解不等式組，即可求解．【解析】（1）解：∵∴的最小值為故答案為：．（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴（3）∵正數(shù)a，b滿足，∴∵不等式恒成立，∴∴①或②∴解不等式組①無解，解不等式組②得【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，二次根式的性質(zhì)化簡，分式的加減運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，理解題意，利用好不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17．我們約定：若關(guān)于的整式與同時(shí)滿足：，，則稱整式A與整式互為“美美與共”整式．根據(jù)該約定，解答下列問題：(1)若關(guān)于的整式與互為“美美與共”整式，求k，m，n的值．(2)若關(guān)于x的整式，（a，b為常數(shù)），M與互為“美美與共”整式，且是的一個(gè)因式，求的值；(3)若，且關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，求的“美美與共”整式，并求出的最小值．【答案】(1)k的值為，m的值為3，n的值為2．(2)(3)或，最小值為或【分析】題目主要考查整式的乘法運(yùn)算及因式分解，解分式方程等，熟練掌握因式分解是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意得到即可解答；（2）根據(jù)題意得出，再由是的一個(gè)因式，進(jìn)行因式分解確定，即可求解；（3）根據(jù)因式分解得出，再由分式方程的解確定或，即可分情況得出Q，然后配方確定最小值即可．【解析】（1）解：由題意可知：，∴．答：k的值為，m的值為3，n的值為2．（2），∵整式，（a，b為常數(shù)），M與互為“美美與共”整式，∴，∴，∵是的一個(gè)因式，∴，∴，∴；（3），∴，得，∵關(guān)于的方程的解為正整數(shù)，∴或，∴或，∴，或∴最小值為或．18．閱讀理解：材料1：為了研究分式與其分母x的數(shù)量變化關(guān)系，小力制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)：…01234……無意義1…從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值隨之減小，若無限增大，則無限接近于0；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值也隨之減小．材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．任何一個(gè)假分式都可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和．例如：根據(jù)上述材料完成下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值(增大或減小)；當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值（增大或減小）；(2)當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值無限接近一個(gè)數(shù)，請求出這個(gè)數(shù)；(3)當(dāng)時(shí)，直接寫出代數(shù)式值的取值范圍是．【答案】(1)減小，減小(2)當(dāng)時(shí)，無限接近于2(3)【分析】（1）根據(jù)的變化情況，判斷、值得變化情況即可；（2）根據(jù)材料由即可求解；（3）由，配合即可求解．【解析】（1）解：∵當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值隨之減小，∴隨著的增大，的值隨之減小；∵當(dāng)時(shí)，隨著的增大，的值也隨之減小，∴隨著的增大，的值隨之減小，故答案為：減小；減小；（2）解：∵∵當(dāng)時(shí)，的值無限接近于0，∴當(dāng)時(shí)，無限接近于2；（3）解：，∵，∴，∴，∴，即∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法是解題的關(guān)鍵．題型7：分式方程的實(shí)際應(yīng)用題19．通常把臟衣服用洗衣液清洗后會進(jìn)行擰干，但由于不可能擰凈衣服上的全部污水，所以還需要用清水進(jìn)行多次漂洗，不斷降低衣服中污水的含量．某小組研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分內(nèi)容如下，請補(bǔ)充完整：實(shí)驗(yàn)研究：先準(zhǔn)備幾件相同的洗過一次并擰干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分別用一定量的清水浸泡，經(jīng)過充分搓洗，使清水與衣服上存留的污水混合均勻，然后擰干，視為一次漂洗，稱重、記錄每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留1斤污水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來的，在多次實(shí)驗(yàn)后，通過對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，該小組決定使用20斤清水，采用三種不同的方案，對每件衣服分別進(jìn)行漂洗，并假設(shè)每次擰干后的衣服上都存留約1斤的污水．?dāng)?shù)據(jù)計(jì)算：對三種漂洗方案進(jìn)行計(jì)算、比較．方案一：采用一次漂洗的方式．將20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原來的________；方案二：采用兩次漂洗的方式，且兩次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原來的________；方案三：采用兩次漂洗的方式，且兩次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原來的________．實(shí)驗(yàn)結(jié)論：對比可知，在這三種方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．推廣證明：將臟衣服用洗衣液清洗后，再用清水進(jìn)行漂洗，假設(shè)每次擰干后還存留（）斤污水，現(xiàn)用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量為斤），請比較并證明方案二與方案三的漂洗效果．【答案】方案一：；方案二：；方案三：；實(shí)驗(yàn)結(jié)論：三；推廣證明：見解析【分析】本題考查分式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列式等．?dāng)?shù)據(jù)計(jì)算∶分別計(jì)算出三種方案漂洗后衣服中存有的污物與原來的污物關(guān)系即可解答；實(shí)驗(yàn)結(jié)論∶比較數(shù)據(jù)計(jì)算得出的數(shù)據(jù)，即可作出判斷；推廣證明∶先用字母表示出三種方案漂洗后衣服中存有的污物與原來污物間的關(guān)系，再利用求差法比較即可解決問題．【解析】解：根據(jù)題意可知：方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原來的；方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原來的；方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原來的．∵，∴方案三的漂洗效果最好，故答案為：；；；三；推廣證明理由如下：方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原來的；方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原來的；方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原來的，∵，∴方案三比方案一漂洗效果好；∵，當(dāng)時(shí)，，∴方案三比方案二效果好，綜上所述：方案三漂洗效果最好．20．如圖，“豐收1號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為米的正方形去掉一個(gè)邊長為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號”小麥的試驗(yàn)田是邊長為米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了．

(1)①“豐收1號”單位面積產(chǎn)量為，“豐收2號”單位面積產(chǎn)量為（以上結(jié)果均用含的式子表示）；②通過計(jì)算可知，（填“1號”或“2號”）小麥單位面積產(chǎn)量高；(2)若高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量的多，求的值；(3)某農(nóng)戶試種“豐收1號”、“豐收2號”兩種小麥種子，兩種小麥試種的單位面積產(chǎn)量與實(shí)驗(yàn)田一致，“豐收1號”小麥種植面積為平方米（為整數(shù)），“豐收2號”小麥種植面積比“豐收1號”少55平方米，若兩種小麥種植后，收獲的產(chǎn)量相同，當(dāng)且為整數(shù)時(shí)，符合條件的值為（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)①；②2號(2)14(3)，，【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用．（1）①用“總產(chǎn)量÷面積”列式求得單位面積的產(chǎn)量；②根據(jù)，并利用不等式的性質(zhì)作出比較；（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得的值；（3）根據(jù)題意列出方程，并結(jié)合，列不等式求解．理解分式的基本性質(zhì)，不等式的基本性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題關(guān)鍵．【解析】（1）解：①由題意，“豐收號”小麥的試驗(yàn)田的面積為，∴“豐收號”單位面積產(chǎn)量為；由題意，“豐收號”單位面積為，∴“豐收號”單位面積產(chǎn)量為．故答案為：；．②∵，∴，，∴，∴，∴，即“