…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年仁愛科普版高一數學上冊階段測試試卷541考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四總分得分評卷人得分一、選擇題(共9題，共18分)1、已知向量=（2，1）=（3，-1）向量與的夾角為θ；則θ=（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

2、函數y=sinx+cos2x的值域是（）

A.[-1，]

B.[-1；1]

C.[1，]

D.（-∞，]

3、△ABC中，點D、E、F分別為AB、BC、CA的中點，則=（）

A.

B.

C.

D.

4、【題文】設甲：函數的值域為乙：函數有四個單調區間，那么甲是乙的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5、函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為（）A.1B.2C.3D.46、設S是的面積，A,B,C的對邊分別為a,b,c，且則（）A.是鈍角三角形B.是銳角三角形C.可能為鈍角三角形，也可能為銳角三角形D.無法判斷7、函數f（x）=3sin（2x-）的圖象的一條對稱軸是（）A.B.C.D.8、已知函數圖象上的一個最低點為A，離A最近的兩個最高點分別為B與C，則?=（）A.B.C.D.9、設角婁脕=鈭?356婁脨,脭貌2sin(婁脨+婁脕)cos(婁脨鈭?婁脕)鈭?cos(婁脨+婁脕)1+sin2偽+sin(蟺鈭?偽)鈭?cos2(蟺+偽)

的值等于(

)

A.33

B.鈭?33

C.3

D.鈭?3

評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)10、若三直線x+y+1=0，2x-y+8=0和ax+3y-5=0相互的交點數不超過2，則所有滿足條件的a組成的集合為____．11、若關于的不等式的解集為其中則關于的不等式的解集為____________.12、若f（x）=則f（-1）的值為____．13、【題文】如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4,M為BD1的中點,N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,則MN的長為____.

14、【題文】如圖，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB；

PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，則BE與平面PAD的位置關系為________．

15、已知a，b，c分別是△ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a=1，b=A+C=2B，則sinC=____．16、已知f（2x+1）=x2-2x，則f（3）=______．17、函數y=x2+2（x∈R）的最小值是______．評卷人得分三、證明題(共6題，共12分)18、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．19、如圖，已知：D、E分別為△ABC的AB、AC邊上的點，DE∥BC，BE與CD交于點O，直線AO與BC邊交于M，與DE交于N，求證：BM=MC．20、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．21、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．23、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．評卷人得分四、綜合題(共3題，共24分)24、已知二次函數圖象的頂點在原點O，對稱軸為y軸．一次函數y=kx+1的圖象與二次函數的圖象交于A，B兩點（A在B的左側）；且A點坐標為（-4，4）．平行于x軸的直線l過（0，-1）點．

（1）求一次函數與二次函數的解析式；

（2）判斷以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系；并給出證明；

（3）把二次函數的圖象向右平移2個單位，再向下平移t個單位（t＞0），二次函數的圖象與x軸交于M，N兩點，一次函數圖象交y軸于F點．當t為何值時，過F，M，N三點的圓的面積最小？最小面積是多少？25、已知點A（-2，0），點B（0，2），點C在第二、四象限坐標軸夾角平分線上，∠BAC=60°，那么點C的坐標為____．26、如圖；Rt△ABC的兩條直角邊AC=3，BC=4，點P是邊BC上的一動點（P不與B重合），以P為圓心作⊙P與BA相切于點M．設CP=x，⊙P的半徑為y．

（1）求證：△BPM∽△BAC；

（2）求y與x的函數關系式；并確定當x在什么范圍內取值時，⊙P與AC所在直線相離；

（3）當點P從點C向點B移動時；是否存在這樣的⊙P，使得它與△ABC的外接圓相內切？若存在，求出x；y的值；若不存在，請說明理由．

參考答案一、選擇題(共9題，共18分)1、B【分析】

=2×3+1×（-1）=5，||=||=

cosθ===

所以θ=45°；

故選B．

【解析】【答案】利用向量的夾角公式可求得θ．

2、A【分析】

y=sinx+cos2x=sinx+1-sin2x=-（sinx-）2+

∵sinx∈[-1；1]；

∴sinx=時，ymax=又sinx=-1時，ymin=-1；

∴函數的值域為[-1，]．

故選A

【解析】【答案】把函數解析式的第二項利用同角三角函數間的基本關系sin2x+cos2x=1化簡；得到y關于sinx的二次函數，利用完全平方公式配方后，根據正弦的值域求出sinx的范圍，利用二次函數的性質可得出函數的最大值及最小值，進而確定出函數的值域．

3、D【分析】

如下圖所示：

△ABC中；點D；E、F分別為AB、BC、CA的中點。

則

=-

=（-）

===．

故選D．

【解析】【答案】本題考查的知識點是向量的減法及其幾何意義，由D、E、F分別為AB、BC、CA的中點，我們易得==然后根據圖形分析答案中的四個變量，易求出與相等的向量；即可求出答案．

4、B【分析】【解析】

試題分析：函數的值域為意味著能取到的實數值，所以函數有四個單調區間，意味著有兩個不同零點，所以故甲是乙的必要不充分條件，選B。

考點：本題主要考查充要條件的概念；對數函數的值域，二次函數的單調性。

點評：典型題，充要條件的判斷問題，已是高考考查的保留題型之一，往往具有一定的綜合性。充要條件的判斷有：定義法、等價關系法、集合關系法。【解析】【答案】B．5、B【分析】【解答】把零點轉化為方程的根來求，由可得作函數與函數根據圖像的交點個數可知答案選B.

6、A【分析】【解答】整理為

當時結合的單調性可知當

時三角形是鈍角三角形。

【分析】要判定三角形形狀一般尋找三邊之間的關系或判定內角的大小范圍，其間常借助于正余弦定理或三角形面積公式7、B【分析】解：對于函數的圖象，令2x-=kπ+k∈Z，求得x=+

故它的圖象的一條對稱軸是x=

故選：B．

由條件利用正弦函數的圖象的對稱性；得出結論．

本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題．【解析】【答案】B8、D【分析】解：由三角函數公式化簡可得f（x）=sinxcosx-sinxsinx

=sin2x-（1-cos2x）=sin2x+cos2x-

=sin（2x+）-令2x+=可得x=

可取一個最低點A（-）；

同理可得B（），C（）；

∴=（-2），=（2）；

∴?=-+4；

故選：D．

由三角函數公式化簡可得f（x）=sin（2x+）-結合圖象可得A；B、C的坐標，可得向量的坐標，計算可得．

本題考查三角函數恒等變換，涉及圖象的性質和向量的數量積的運算，屬基礎題．【解析】【答案】D9、C【分析】解：因為婁脕=鈭?356婁脨

則2sin(婁脨+婁脕)cos(婁脨鈭?婁脕)鈭?cos(婁脨+婁脕)1+sin2偽+sin(蟺鈭?偽)鈭?cos2(蟺+偽)

=2sin婁脕cos婁脕+cos婁脕1+sin偽鈭?cos2偽=sin2婁脕+cos婁脕1+sin偽鈭?cos2偽

=鈭?sin353婁脨+cos356婁脨1鈭?sin356婁脨鈭?cos353婁脨

=鈭?sin(12婁脨鈭?13婁脨)+cos(6婁脨鈭?16婁脨)1鈭?sin(6婁脨鈭?16婁脨)鈭?cos(12婁脨鈭?13婁脨)

=sin婁脨3+cos婁脨61+sin婁脨6鈭?cos婁脨3=3

．

故選C

先把所求的式子利用誘導公式化簡后；將婁脕

的值代入，然后再利用誘導公式及特殊角的三角函數值化簡后，即可求出值．

此題考查學生靈活運用誘導公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道綜合題．【解析】C

二、填空題(共8題，共16分)10、略

【分析】

由得

所以直線x+y+1=0與2x-y+8=0的交點為（-3；2）；

若直線ax+3y-5=0過（-3，2），則-3a+6-5=0，解得

由ax+3y-5=0過定點（0，）；

若ax+3y-5=0與x+y+1=0平行，得a=3；

若ax+3y-5=0與2x-y+8=0平行，得a=-6．

所以滿足條件的a組成的集合為{}．

故答案為{}．

【解析】【答案】首先解出直線x+y+1=0與2x-y+8=0的交點；代入ax+3y-5=0求解a的值；然后由ax+3y-5=0分別和已知直線平行求解a的值．

11、略

【分析】本試題主要考查了一元二次不等式的解集和根與系數的關系得到a,b,c關系式進而求解。因為關于的不等式的解集為其中那么由韋達定理可知可知a<0,c>0，因此可知關于的不等式的解集因此可知為答案為解決該試題的關鍵是根據韋達定理得到結論。【解析】【答案】12、略

【分析】

由題得：f（-1）=f（2）=f（5）=f（8）；

∵8≥6

∴f（8）=log28=3；

∴f（-1）=f（8）=3．

故答案為：3．

【解析】【答案】本題考查的分段函數的函數值；由函數解析式，我們可以得到f（-1）=f（2）=f（5）=f（8）；再結合8≥6代入第二段的解析式即可求出結論．

13、略

【分析】【解析】

試題分析：取的中點連接則面所以⊥在中，

考點：1、線面垂直的性質；2、勾股定理.【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】平行15、1【分析】【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180°知；B=60°；

由正弦定理知，

即

由a＜b知；A＜B=60°，則A=30°，C=180°﹣A﹣B=90°；

于是sinC=sin90°=1．

故答案為：1．

【分析】先根據A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值，再由邊的關系可確定A的值，從而可得到C的值確定最后答案．16、略

【分析】解：【方法一】∵f（2x+1）=x2-2x；

設2x+1=t，則x=

∴f（t）=-2×=t2-t+

∴f（3）=×32-×3+=-1．

【方法二】∵f（2x+1）=x2-2x；

令2x+1=3；解得x=1；

∴f（3）=12-2×1=-1．

故答案為：-1．

【方法一】利用換元法求出f（x）的解析式；再計算f（3）的值．

【方法二】根據題意；令2x+1=3，求出x=1，再計算f（3）的值．

本題考查了求函數的解析式以及利用函數的解析式求值的應用問題，是基礎題目．【解析】-117、略

【分析】解：函數y=x2+2（x∈R）的圖象是開口朝上；且以y軸為對稱軸的拋物線；

當x=0時；函數取最小值2；

故答案為：2

函數y=x2+2（x∈R）的圖象是開口朝上；且以y軸為對稱軸的拋物線，當x=0時，函數取最小值．

本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．【解析】2三、證明題(共6題，共12分)18、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結論；

（2）根據三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．19、略

【分析】【分析】延長AM，過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．根據平行線分線段成比例的性質和逆定理可得CF∥BE，根據平行四邊形的判定和性質即可得證．【解析】【解答】證明：延長AM；過點B作CD的平行線與AM的延長線交于點F，再連接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

從而四邊形OBFC為平行四邊形；

所以BM=MC．20、略

【分析】【分析】構造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．21、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】首先作CD關于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．23、略

【分析】【分析】構造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．四、綜合題(共3題，共24分)24、略

【分析】【分析】（1）設二次函數的解析式是y=ax2；把A（-4，4）代入求出a代入一次函數求出k，即可得到答案；

（2）求出B；O的坐標；求出OA和O到直線y=-1的距離即可得出答案；

（3）作MN的垂直平分線，△FMN外接圓的圓心O在直線上，求出MN、DN，根據勾股定理求出O'F=O'N的圓心坐標的縱坐標Y，求出y取何值時r最小，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）設二次函數的解析式是y=ax2（a≠0）；

把A（-4；4）代入得：4=16a；

a=；

∴y=x2；

把A（-4；4）代入y=kx+1得：4=-4k+1；

∴k=-；

∴y=-x+1；

答：一次函數與二次函數的解析式分別為y=-x+1，y=x2．

（2）答：以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系是相切．

證明：得：，；

∴B（1，）；

AB的中點O的坐標是（-，）；

OA==；

O到直線y=-1的距離是+1==0B；

∴以線段AB為直徑的圓與直線l的位置關系是相切．

（3）解：作MN的垂直平分線；△FMN外接圓的圓心O在直線上；

由于平移后的拋物線對稱軸為x=2；對稱軸交x軸于D；

F（0，1）平移后二次函數的解析式是y=（x-2）2-t，即y=x2-x+1-t；

當y=0時，x2-x+1-t=0；

設M（e；0），N（f，0），N在M的右邊；

則e+f=-=4，e?f==4-4t；

∴MN=f-e==4；

MD=2；

設圓心坐標（2；y），根據OF=ON；

∴=；

y=-2t；

r==；

當t=時；半徑有最小值2，圓面積最小為4π；

答：當t為時，過F，M，N三點的圓的面積最小，最小面積是4π．25、略

【分析】【分析】首先根據等腰三角形的性質得出CO垂直平分AB，進而求出△ABC是等邊三角形，再利用勾股定理求出C到x軸的距離，即可得出C點坐標，同理可