第28講圓錐曲線點代入和非對稱9類

【題型一】基礎型：韋達定理+點帶入法

【典例分析】

已知橢圓C:=+￡=1（〃">0）的離心率為旦過右焦點F的直線/與C相交于A、8兩點，

a'b~3

當,的斜率為1時，坐標原點。到/的距離為坐⑴求a,b的值；

（IDC上是否存在點P,使得當/繞廠轉到某一位置時，有OP=OA+OB成立?

若存在，求出所有的產的坐標與/的方程；若不存在，說明理由。

【變式演練】

LPgyo）（xo#±a）是雙曲線及/一方=1（公>0,b>0）上一點，M、N分別是雙曲線E的左、右

頂點，直線尸PN的斜率之積為償.

（1）求雙曲線的離心率；

（2）過雙曲線上的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于4B兩點,。為坐標原點，。為雙曲線

上一點，滿足OC=X0A+OB,求人的值.

22

2.已知橢圓x會+方v=1（。>8>0）的左、右焦點分別為月、尸2,長軸的一個端點與短軸兩個端點組成等邊

三角形的三個頂點，直線/經過點尸2,傾斜角為45。，與橢圓交于4、B兩點.

（1）若忻周二2夜，求橢圓方程；

（2）對（1）中橢圓，求八45大的面積；

（3）M是橢圓上任意一點，若存在實數2,〃，使得0M+試確定4,〃滿足的等式關系.

3.過橢圓C：E+A=lW＞力＞°)的左焦點寫作其長軸的垂線與。的一個交點為尸，右焦點為戶門若

a'b"

3

lanNPRK=-.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)過點七(1,0)且斜率為g的直線/與橢圓C交于AB兩點，若橢圓上存在點。使得0。=04-；。3,求

橢圓C的方程.

【題型二】定比分點型：a=2b

【典例分析】

設動點M(右y)到直線y=3的距離與它到點F(0,I)的距離之比為6，點M的軌跡為曲線E.

(I)求曲線E的方程：

(H)過點F作直線1與曲線E交于A,B兩點，且4/=”用當時，求直線1斜率k的取

值范圍?

【變式演練】

1.拋物線C/=4x,尸是C的焦點，過點F的直線/與C相交于AB兩點，O為坐標原點.

(1)設/的斜率為1,求以Z3為直往的圓的方程；

(2)若叁=2茄，求直線/的方程.

2.在圓/+9=4上任取點尸，過點尸作彳軸的垂線P。，。是垂足，點M滿足：0M=2OP(4＞0).

(1)求點M的軌跡方程；

(2)若a=(，過點網6,0)作與坐標軸不垂直的直線/與點M的軌跡交于A、8兩點，點C是點A關于x

軸的對稱點，試在x軸上找一定點N,使8、C、N三點共線，并求..AEV與.8尸N面積之比的取值范圍.

3.已知點力，8的坐標分別是（0,-1）,（0,1）,直線4M,8M相交于點且它們的斜率之積為-g.

（1）求點M軌跡C的方程；

（2）若過點。（2,0）的直線，與（1）中的軌跡C交于不同的兩點瓦產（上在。、尸之間），DE=ADF，試求

九的取值范圍.

【題型三】點帶入型：拋物線獨有的代入方法

【典例分析】

已知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點為尸，點P為拋物線C上一點，點P到F的距離比點P到x軸的距離大

1.過點P作拋物線。的切線，設其斜率為環.

（1）求拋物線C的方程；

（2）直線/：y="+b與拋物線C相交于不同的兩點A,B（異于點P）,若直線4P與直線砂的斜率互為

相反數，證明：氏+%。=0.

【變式演練】

1.已知拋物線C：丁=2小過點A（l,2）.

（1）求拋物線。的方程；

（2）求過點夕（3,-2）的直線與拋物線C交于M、N兩個不同的點（均與點A不重合）.設直線AM、AN的

斜率分別為勺、k2t求證：斜率為定值.

2.在平面直角坐標系X。中，設點尸（1,0）,直線/：x=T,點P在直線/上移動，R是線段尸尸與軸的交

點，RQ1FP,PQLI.

（1）求動點。的軌跡E的方程；

（2）過點尸作兩條互相垂直的曲線E的弦A8、CD,設AB、。。的中點分雙為M、N.求直線MN過定點O

的坐標.

3.已知點尸（1,0）為拋物線V=2pM〃>0）的焦點，設A（x，y）,8（b外）是拋物線上兩個不同的動點，存在

動點尸（%，%）（%<。）使得直線刃，P8分別交拋物線的另一點M,N,且31PM=|M4|,3\PN\=\NB\.

（1）求拋物線的方程；

（2）求證：yl+y2=2y0.

（3）當點P在曲線）:=T2x（-2<x?-1）上運動時，求△處§面積的取值范圍.

【題型四】非對稱型：利用韋達定理構造“和積消去”型

【典例分析】

已知橢圓E的左、右焦點分別為6（Y,0），5（C,0）（C>0）.點用在E上，濟的周長為6+4夜，

面積為:c.

（1）求E的方程.

⑵設E的左、右頂點分別為A8,過點停0）的宜線/與芯交于C,。兩點，記直線4c的斜率為勺，直線8。

的斜率為網,則.（從以下①②③三個問題中任選一個填到橫線上并給出解答）.

①求直線AC和BO交點的軌跡方程；

②是否存在實常數％,使得勺=九治恒成立；

③過點C作關于/軸的對稱點C',連結仁。得到直線乙，試探究：直線4是否恒過定點.

【變式演練】

0

L已知滿圓C:9J=1(4＞人＞0)的離心率為:A，4分別為橢圓。的左右頂點.

8為橢圓C的上項點，g為橢圓。的左焦點，且的面積為手.

(1)求橢圓C的方程；

(□)設過點。(1,0)的動直線/為橢圓于E、F兩點(點E在x軸上方)，M,N分別為直線AE，4尸與V軸

的交點，0為坐標原點，來的值.

2.已知橢圓氏—+/=1(m＞l)的離心率為由，過點尸(1,0)的直線與柄圓E交于4,8不同的兩點,

m2

直線垂直于直線x=4,垂足為4.

(□)求m的值；

(□)求證：直線力近恒過定點.

3.已知橢圓。:三+2=1(4＞方＞0)經過點E&，一)左頂點為。，右焦點為尸，已知點。(。,女)，且￡＞，

P,E三點共線.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知經過點P的直線，與橢圓C交于A.6兩點，過點8作直線y=3點的垂線，垂足為G,求證：直線AG

過定點.

【題型五】切線

【典例分析】

定義平面曲線的法線如下：經過平面曲線C上一點M,且與曲線C在點”處的切線垂直的直線稱為曲線C

在點M處的法線.設點”(%,%)(%＞。)為拋物線C：y2=2px(p＞0)上一點.

(1)求拋物線。在點M處的切線的方程(結果不含%);

(2)求拋物線C在點M處的法線被拋物線C截得的弦長IABI的最小值，并求此時點M的坐標.

【變式演練】

1.已知橢圓C：y+y2=l,經過圓。：/+尸=4上一動點尸作橢圓。的兩條切線.切點分別記為4B,

直線為，P8分別與圓。相交于異于點尸的“，N兩點.

(1)求證：M,O,N三點共線；

(2)求△。彳8面積的最大值.

2.把拋物線CJ/MZPMP〉。)沿y軸向下平移得到拋物線G：x2=2〃y+Mp>0,〃7>0).

(1)當P=1時，過拋物線G上一點P(2,2)作切線，交拋物線于A,8兩點，求證：|網=|尸網；

(2)拋物線G上任意一點"(不，九)向拋物線G作兩條切線，從左至右切點分別為C,O.直線8交G從左

至右分別為E,r兩點.試判斷與的大小關系，并證明.

2

3.如圖，已知雙曲線C:弓-V=],過P(l,l)向雙曲線。作兩條切線，切點分別為A(x”y),8(盯月),且

$<0,x2>0.

(1)證明:直線E4的方程為竽-yy=L

(2)設尸為雙曲線C的左焦點，證明：NAFP+NBFP=n.

【題型六】暴力計算型：求根公式

【典例分析】

如圖所示，橢圓C：5+g=l(a>b>0)的離心率為g,其右準線方程為x=4,A、8分別為橢圓的左、右

頂點，過點4、8作斜率分別為人、自，直線力用和直線8N分別與橢|員IC交于點M,N(其中M在x軸上

方，N在x軸下方）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線恒過橢圓的左焦點耳，求證：?為定值.

【變式演練】

1.在平面直角坐標系g中，已知直線一與橢圓/營=1（。>6>0）交于點48（4在X軸上方），且

43=亞々.設點力在x軸上的射影為N,三角形48N的面積為2（如圖1）.

3

（1）求橢圓的方程;

（2）設平行于力8的直線與橢圓相交，其弦的中點為0.

①求證：直線。。的斜率為定值；

②設直線00與橢圓相交于兩點C,D（。在x軸的上方），點尸為橢圓上異于4,B,C,O一點，直線為

交CD于點E,PC交AB于息F,如圖2,求證：AQCE為定值.

2.已知橢圓￡:鼻+方的右焦點為尸，點力，8分別為右頂點和二頂點，點0為坐標原點,

lie廣

西f+網二兩，的面積為近,其中e為E的離心率.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點。異于坐標軸的直線與E交于N兩點，射線AM,AN分別與圓C:/+y2=4交于月，。兩點，

記直線MN和直線R2的斜率分別為人，修，問與是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

3.已知橢圓c：《+[=im>b>0）的左、石頂點分別為A8,點（1,9該橢圓上，且該橢圓的右焦點尸與拋

ab~I

物線丁=43的焦點重合.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，過點尸且斜率為2的直線/與橢圓交于M,N兩點，記直線A"的斜率為卜,直線BN的斜率為

h，直線4N的斜率與，求證：.

在以下三個結論中選擇一個填在橫線處進行證明.

①直線AM與BN的交點在定直線x=4上；

②K；

③曬==.

【題型七】無韋達定理：點代入法

【典例分析】

22q

已知M為橢圓C：景卷=1上的動點，過點”作x軸的垂線段皿。為垂足，點〃滿足=

（二）求動點P的軌跡E的方程；

（口）若A8兩點分別為橢圓C的左右頂點，尸為橢圓C的左焦點，直線網與橢圓C交于點。，直線。￡尸4

的斜率分別為句「女必，求義的取值范圍.

【變式演練】

1.如圖，在平面直角坐標系X。中，橢圓E：*■+的離心率為￥，上頂點A到右焦點的距

離為及.過點。（0,加）（m/0）作不垂直于T軸，丁軸的直線/,交橢圓E于尸，。兩點，C為線段PQ的中點，

且ACJ_OC.

（1）求橢圓E的方程；

（2）求實數機的取值范圍；

（3）延長AC交橢圓E于點b,記-AO8與△AOC的面積分別為4,邑，若興=g,求直線/的方程.

221

2.在平面直角坐標系g中，已知橢圓。東+￡=1（4>“0）的左焦點為尸（-6,0）,點4-75,；）在橢圓。

上.

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知圓O：d+y2=/,連接用并延長交圓。于點民”為橢圓長軸上一點（異于左、右焦點），過點方

作橢圓長軸的垂線分別交橢圓C和圓。于點只。（P，Q均在X軸上方）.連接PAQB,記心的斜率為勺,

QB的斜率為網.

①求，的值；

②求證：直線尸AQB的交點在定直線上.

1（。＞人＞0）的離心率為孝

3.如圖，在平面直角坐標系大廳中，橢圓S4,過原點。的直線交該橢圓于

A,6兩點（點A在X軸上方），點E（4,0）.當直線A8垂直于X軸時，|A￡|=26.

（1）求?的值;

（2）設直線AE與橢圓的另一交點為C,直線比與橢圓的另一交點為D.

①若OC//BE,求A4跳:的面積；

②是否存在1軸.上的一定點T,使得直線8恒過點T?若存在，求出廠的坐標；若不存在，請說明理由.

【題型八】坐標運算

【典例分析】

已知雙曲線C：=■-六=l（a＞0,b＞0）,A（2,0）,B—1,—,D（-l,0）,E（4,0）五點

中恰有三點在。上.

（1）求C的方程；

（2）設尸是。上位于第一象限內的一動點，則是否存在定點Q（，幾0）（機＜0）,使得NPQA+；/■吟若

存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【變式演練】

1.設拋物線。：爐=2〃)，(〃>0)的焦點為產，準線為/,AeC,已知以尸為圓心，

E4為半徑的圓尸交/于氏。兩點；

[1)若N8bO=90°,A48。的面積為4收；求p的值及圓尸的方程；

[2)若A8,尸三點在同一直線加上，直線〃與加平行，且相與。只有一個公共點,

求坐標原點到以〃距離的比值。

2.設直線/：丁=公+1與雙曲線C：3/一'2=]相交于4,8兩點，。為坐標原點.

(1)。為何值時，以A8為直徑的圓過原點？

(2)是否存在實數“，使且&+d=共2,1)?若存在，求。的值，若不存在，說明理由.

3.已知橢圓：，看=l(a>QO)的長軸長為4,且過點砥，｛J.

⑴求橢圓的方程；(2)設4,B,M是橢圓上的三點.若說=浙+浙，點N為線段AB的中點,

《一半，0),從當，0)，求證：|陽+匹。=2w.

【題型九】綜合題

【典例分析】

己知動直線I與橢圓C：,+，=1交于P(xi，刈)，0(x2，”)兩不同點，且△OP。的面積Sa0p0=夸,

其中。為坐標原點.

(1)證明："+竟和"+比均為定值.

(2)設線段P0的中點為求|OM〃0的最大值.

(3)橢圓C上是否存在三點￡>,E,G,使得SAODE=S4ODG=SaOEG=^"?若存在，判斷

△OEG的形狀；若不存在，請說明理由.

【變式演練】

1.已知橢圓E的中心在坐標原點0,焦點在工軸上，左、右焦點分別為「、K，離心率e=走，短軸長為2,.

2

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設過用且斜率不為零的直線4與橢圓E交于加、N兩點，過M作直線，2：工=2的垂線，垂足為“，證明:

直線M/恒過一定點，并求出該定點的坐標；

(3)過點T(0,2)做另一直線4,與橢圓分別交于尸、。兩點，求相的取值范圍.

2.已知橢圓C：小/”小°)的左右頂點分別為%右焦點為取2,點小目在橢圓上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：丁=-％-4)代工0)與橢圓。交于加，N兩點，已知直線AM與4N相交于點G,證明：點

G在定直線上，并求出此定直線的方程.

3.如圖，在平面直角坐標系wy中，橢圓C：4+4=1(a>b>0)的離心率為立，點A,8分別為橢圓

a~b~2

C的上頂點、右頂點，過坐標原點的直線交橢圓C于。、E兩點，交48于M點，其中點E在第一象限，

設直線。石的斜率為

(1)當a=；時，證明直線OE平分線段A8；

(2)已知點A(0,l),則：

=

①若SgDM6slM和，求A；

②求四邊形AO3E面積的最大值.

【課后練習】

1.橢圓G：.+g=ig＞b＞0)的焦點K，尸2是等軸雙曲線。2：=1的頂點，若橢圓C1與雙曲線G

的一個交點是尸，△「"g的周長為4+2〃.⑴求橢圓G的標準方程；

(2)點時是雙曲線。2上任意不同于其頂點的動點，設直線MK、M5的斜率分別為K，k2f求證K，網的乘

積為定值；

(3)過點。(T,o)任作一動直線/交橢圓G與4B兩點、,記AQ=a28(&R),若在直線43上取一點H,使

得AR=(-/l)R8,試判斷當直線/運動是，點R是否在某一定直線上運動？若是，求出該直線的方程；若不

是，請說明理由.

J#1

2.如圖，已知橢圓C:不+齊=13＞人＞0)的離心率為萬，A,B分別是橢圓C的左、右頂點，右焦點F,BF=L

過尸且斜率為左伏＞0)的直線/與橢圓C相交于M,N兩點，M在x軸上方.

(1)求橢圓C的標準方程；

S3

(2)記”為W,八眄的面積分別為y,反,若苦=3,求女的值；

(3)設線段MN的中點為直線0。與直線x=4相交于點E,記直線AM,BN,FE的斜率分別為占，k”

網，求右曲-勺)的值.

3.已知拋物線C的頂點為原點，其焦點”①，以。＞0)到直線/：“-)」3=0的距離為2夜，設〃為直線/上的

點，過點P作拋物線C的兩條切線以，PB，其中A,B為切點.

（1）求拋物線C的方程;

（2）當點P在直線/上移動時,求IAFHB尸|的最小值.

4.已知橢圓C:￡+￡=l（a>力>0）的左、石焦點分別為兄（一1,0）,瑪（1,0）,點叩目為橢圓C上一點.

a~b~I“

（I）求橢圓。的方程；

（2）過點6（-1,0）作動直線/與橢圓交于48兩點，過點4作直線x=y的垂線，垂足為N,求證：直線

BN過定點.

5.已知橢圓C:￡+￡=1（〃>b>0）的離心率為乎，且過點A卜，孝J，過點放1，0）的直線（不與x軸重合）與

橢圓C相交于P、。兩點，直線/：x=2與x軸相交于點N,過點尸作PM_L直線/,垂足為"

（1）求橢圓C的方程；

（2）求四邊形OPM2（O為坐標原點）的面積的取值范圍；

（3）證明：直線M。過定點。，且求出點。的坐標.

22

6.已知橢圓C:t+工=1的左、右頂點分別為A8,右焦點為尸，過尸的直線/與C交于8。兩點.

43

（1）設“IP尸和45。尸的面積分別為際S”若$=35，求直線/的方程；

（2）當直線/繞廠點旋轉時，求證：四邊形AP8Q的對邊AP與BQ所在直線的斜率的比值恒為常數.

7.已知雙曲線C：，苴=l（a>0,6>0）的焦距為3卷其中一條漸近線的方程為l揚=0.以雙曲線C

的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為￡過原點。的動直線與橢圓后交于4B兩點、.

(1)求橢圓后的方程;

⑵若點P為橢圓E的左頂點，PG=1GO,求|G4F+|G8|2的取值范圍;

112

(3)若點尸滿足|%|=|P8|,求證：西+研+研為定值?

8.如圖1?7所示，已知雙曲線C：:一